ELETRICIDADE BASICA CAP1 E 2

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ELETRICIDADE 
BÁSICA 
 VOLUME 02 
 
CAP 01 
CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
EM REGIME 
PERMANENTE 
 
CAP 02 
TRANSFORMADORES 
IDEAIS DE TENSÃO 
 
FEI 2S_2014 
 
Sobre o Autor 
 
Prof. Dr. Devair 
Aparecido Arrabaça. 
 
Formação 
Acadêmica: 
Graduado pela 
Faculdade de 
Engenharia 
Industrial (FEI) com 
o título de: 
“Engenheiro 
Eletricista 
Modalidade 
Eletrônica” Concluído 
em 1976. 
 
Mestre em 
Engenharia Elétrica 
pela Faculdade de 
Engenharia 
Industrial, Título da 
Dissertação: 
“Aplicação dos 
Diagramas de 
Fasores no Estudo 
de Retificadores 
Industriais”, 
concluído em 1995. 
 
Doutor em 
Engenharia Elétrica 
na área de Sistemas 
de Potência, pela 
Escola Politécnica da 
Universidade de São 
Paulo (EPUSP), 
Título da Tese: 
“Formulação 
Matemática da 
característica CC de 
Retificadores 
Trifásicos de 
Múltiplos Pulsos”, 
concluído em 2004. 
 
Coautor dos livros: 
Conversores de 
Energia Elétrica 
CC/CC para 
Aplicações em 
Eletrônica de 
Potência. e 
Conversores de 
Energia Elétrica 
CA/CC Teoria, 
Prática e Simulação. 
Coordenador do 
Curso de Eletricidade 
Básica na FEI 
 
 
FEI_2S_2014 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FEI_2S_2014 
2 
 
Sumário 
CAPÍTULO 01 – Circuitos Trifásicos em Regime Senoidal Permanente 03 
1. – Introdução 03 
1-1. Fasores de Tensões e de Correntes Trifásicas. 05 
1-2. Ligações Elétricas entre Fontes e Cargas Trifásicas. 08 
 1-2.1 Ligação Estrela-Estrela (Y-Y). 08 
1-2.2 Ligação Estrela-Triângulo (Y-). 08 
1-2.3 Ligação Triângulo-Estrela (-Y). 08
1-2.4 Ligação Triângulo-Triângulo (-). 09 
1-3. Estudo das Tensões e Correntes de Linha e de Fase. 09 
1-4. Potência em Sistemas Trifásicos Equilibrados. 16 
 Exemplo 01 16 
 Exemplo 02 18 
1-5. Correção do Fator de Potência no Sistema Trifásico. 19
 Exemplo 03 20 
 Exemplo 04 21 
1-6. Exercícios Resolvidos. 23 
1-7. Exercícios Propostos. 30 
CAPÍTULO 02 - Transformadores Ideais de Tensão 37 
1. – Introdução. 37 
 Exemplo 39 
2. – Transformador Monofásico Ideal. 42 
 2-1. Solução de Exercícios com um transformador Monofásico Ideal. 49 
3. – Transformador Trifásico Ideal. 56 
 3-1 Primário fechado em triângulo e secundário em estrela (-Y). 57 
 3-2 Primário fechado em estrela e secundário em triângulo (Y-). 57 
 3-3 Primário fechado em triângulo e secundário em triângulo (-). 57 
 3-4 Primário fechado em estrela e secundário em estrela (Y - Y). 57 
 3-1.1 Solução de Exercícios com um Transformador Trifásico Ideal. 58 
4. – Exercícios Propostos. 67 
5. – Desafios (em construção). 73 
 
FEI_2S_2014 
3 
 
CAPÍTULO 1 
 
Circuitos Trifásicos em Regime Senoidal Permanente 
Neste capítulo será estudado o comportamento dos circuitos trifásicos 
equilibrados em regime senoidal permanente, objetivando o estudo das 
potências envolvidas e a correção do fator de potência através da colocação de 
bancos de capacitores em paralelo com a fonte CA trifásica de alimentação. 
Serão apresentados os principais tipos de conexões (triângulo ou estrela) das 
fontes e das cargas, assim como o estudo das tensões e correntes presentes 
nos circuitos, com ênfase no cálculo dos capacitores para a correção do fator de 
potência de uma carga indutiva (motor trifásico). Os conceitos utilizados serão, 
quando necessário, demonstrados e fortemente reforçados com a apresentação 
de exercícios resolvidos ou exercícios propostos com respostas. Todos os 
circuitos elétricos aqui apresentados podem ser simulados no software 
PSIMDEMO. 
1. – INTRODUÇÃO. 
A importância dos circuitos trifásicos é marcante em sistemas de potência 
elétrica, uma vez que a grande parte da energia elétrica gerada é transmitida 
e distribuída aos consumidores utilizando este sistema. 
 Os circuitos trifásicos são um caso particular dos circuitos polifásicos de 
alimentação que por razões econômicas e técnicas tornou-se um padrão 
mundial na transmissão e distribuição de energia elétrica, pois possuem a 
flexibilidade de poder atender cargas monofásicas, bifásicas e trifásicas sem 
qualquer alteração na sua configuração, embora isto ocasione, na maioria dos 
casos, o desequilíbrio geral do sistema. 
 Em um sistema trifásico a potência é fornecida por um gerador de 
corrente alternada (CA) que produz três tensões senoidais iguais em módulo e 
frequência, porem defasadas entre si de 120, sendo uma delas (geralmente a 
primeira) adotada como referência (fase inicial 
º0
), conforme a ilustração 
feita no desenho da figura 1.01. 
Desta forma as três tensões CA geradas, denominadas de tensões de 
fases, podem ser representadas pelas seguintes funções de tempo: 
 
FEI_2S_2014 
4 
 
   º0tsenVtv p1 
 - tensão de fase 1 (referência). 
   º120tsenVtv p2 
 - tensão de fase 2 (atrasada de 120º da tensão de 
fase 1). 
   º240tsenVtv p3 
 - tensão de fase 3 (atrasada de 120º da tensão de 
fase 2 ou atrasada de 240º da fase 1). 
Embora seja aceito a unidade da fase 
"" 
em graus é preciso lembrar que 
o correto é em radianos, pois a unidade resultante do produto “
t
” é radianos, 
assim as tensões são corretamente representadas pelas funções de tempo a 
seguir: 
   0tsenVtv p1  
   3/2tsenVtv p2  
   3/4tsenVtv p3  
 
Fig. 1.01 Formas de Ondas do Sistema Trifásico de Tensão. 
Assim como no sistema monofásico é possível representar estas tensões 
pelos seus respectivos fasores e colocá-los no correspondente diagrama fasorial, 
conforme mostra o desenho na figura 1.02. 
 
Fig. 1.02 Fasores e Diagrama Fasorial das Tensões Trifásicas. 
 
FEI_2S_2014 
5 
 
Para a mesma especificação de potência o sistema trifásico exige 
condutores com menor peso em cobre que o sistema monofásico, além disso, as 
cargas trifásicas (motores elétricos) são de menores dimensões, mais leves e 
mais eficientes que as correspondentes monofásicas. As três tensões geradas 
(tensões de fases) podem ser ligadas entre si de duas maneiras distintas, 
triângulo ou estrela, como ilustra o desenho da FIG – 1.03 e podem ser assim 
percebidas ou distinguidas: 
 Se existir um terminal comum entre as três fases (nó), a ligação é 
denominada de estrela ou Upsilon “Y” e o terminal comum é denominado de 
neutro (N), conforme a indicação na figura 3.3a. 
 Se as três fases forem ligadas para formar um percurso fechado (malha), a 
ligação é denominada de triângulo ou delta 
""
, conforme a indicação na figura 
3.3b. 
 
FIG. 1.03 Tipo de ligação: a) Estrela e b) Triângulo. 
A transmissão de energia elétrica é feita pela linha de transmissão, 
transportando energia elétrica da usina geradora até aos grandes centros 
consumidores. Se as cargas trifásicas forem iguais entre si o sistema é 
denominado de trifásico equilibrado, caso de estudo deste livro. Para diferenciar 
os valores das correntes e tensões de linha dos valores das correntes e tensões 
nos bipolos, adota-se a seguinte critério: 
 Valores das tensões e correntes de fases: São aquelas medidas nos terminais 
dos bipolos geradores ou receptores. 
 Valores das tensões e correntes de linhas: São aquelas medidas nas linhas 
trifásicas de alimentação (transmissão). 
1-1. FASORES DE TENSÕE E DE CORRENTES TRIFÁSICAS. 
 Assim como no sistema monofásico épossível representar as tensões e as 
correntes trifásicas por fasores e colocar estes fasores no plano de fase. Para 
tanto considere as tensões de fases: 
 
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6 
 
 
)0Wt( senV)wt(v p1 
 (referência) 
 )120Wt( senV)wt(v p2  
 )240Wt( senV)wt(v p3 
 
na sequência de fase 1, 2 e 3, conectadas em estrela conforme indica o desenho 
na figura 1.04a. 
Como a tensão de fase 
)"wt(v" 1
 foi adotada como referência, ou seja, fase 
nula (
 0
) é possível escrever os respectivos fasores e desenhar o 
correspondente diagrama de fasores conforme ilustra o desenho na figura 
1.04b. 
 
FIG. - 1.04 a) Tensões de fases e b) Respectivo diagrama de fasores. 
Como os fasores giram no sentido anti-horário, se conclui que no instante 
"0t"  as posições dos três fasores são: 
 
"V" 1
 está sobre o eixo horizontal e orientado no sentido da esquerda para a 
direita. 
 
"V" 2
 está 120 atrasado do fasor 
"V" 1
 
 
"V" 3
 está 120 atrasado do fasor 
"V" 2
 ou 240° atrasado do fasor 
"V" 1
 . 
Conectando com a fonte trifásica desenhada na figura 1.04a, uma carga 
trifásica equilibrada 
"ZZ " z
 também ligada em estrela, irão circular pelo 
circuito três correntes de fases de módulos iguais e defasadas de 
"º120"
entre 
si. O cálculo para determinar os correspondentes valores fasoriais destas 
correntes é efetuado da seguinte forma: 
 
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



Z
V
I FF 
z
p
1F
Z
º0V
I 




 
zp1F II 
 onde 
Z
V
I 
p
p  
Analogamente se obtém:
 
z
p
2F
Z
º120V
I 




 
 º120II zp2F 
 
z
p
3F
Z
º240V
I 




 
 º240II zp3F 

 
Então as expressões de tempo associadas às correntes de fases podem 
ser assim representadas: 
 
   zp1F tsenIti  
   º120tsenIti zp2F  
   º240tsenIti zp3F 
 
Da mesma forma feita para as tensões de fases, pode-se fazer um 
diagrama fasorial representando as correntes de fases, conforme ilustra o 
desenho na figura 1.05, em que estão representadas as funções de tempo, a 
ligação estrela, os correspondentes fasores e o diagrama fasorial destas 
correntes. 
 
FIG. - 1.05 a) Correntes de fases e b) Diagrama de fasores das 
correspondentes correntes de fases. 
 
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8 
 
1-2. LIGAÇÕES ELÉTRICAS ENTRE FONTES E CARGAS TRIFÁSICAS. 
Tanto as fontes quanto as cargas trifásicas podem ser conectadas em 
triângulo ou estrela, dando como resultado quatro tipos básicos de ligações. 
1-2.1 Ligação Estrela-Estrela (Y-Y). 
 Nesta ligação as fontes estão conectadas em estrela e ligadas 
eletricamente com as cargas também conectadas em estrela, conforme ilustra o 
desenho na figura 1.06. 
 
FIG. - 1.06 Ligação YY – Fontes e cargas conectados em estrela. 
1-2.2 Ligação Estrela-Triângulo (Y-). 
Nesta ligação as fontes estão conectadas em estrela e ligadas 
eletricamente com as cargas conectadas em triângulo, conforme ilustra o 
desenho na figura 1.07. 
 
FIG. - 1.07 Ligação Y/ – Fontes ligadas em estrela e cargas em 
triângulo. 
1-2.3 Ligação Triângulo-Estrela (-Y). 
Nesta ligação as fontes estão conectadas em triângulo e ligadas 
eletricamente com as cargas conectadas em estrela, conforme ilustra o desenho 
na figura 1.08. 
 
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9 
 
 
FIG. - 1.08 Ligação /Y – Fontes ligadas em triângulo e cargas em estrela. 
1-2.4 Ligação Triângulo-Triângulo (-). 
Nesta ligação as fontes estão conectadas em triângulo e ligadas 
eletricamente com as cargas também conectadas em triângulo, conforme ilustra 
o desenho na figura 1.09. 
 
FIG. - 1.09 Ligação / – Fontes e cargas ligadas em triângulo. 
 
1-3. ESTUDO DAS TENSÕES E CORRENTES DE LINHA E DE FASE. 
A energia elétrica disponibilizada pelo sistema trifásico 
"3" 
 está disponível 
em uma tomada com três orifícios de acesso, sem a indicação de que as fontes 
estão conectadas em triângulo ou estrela, proporcionando uma ligação a três 
fios (linhas) para alimentar a carga trifásica a ser energizada, que, por sua vez, 
pode estar conectada em estrela (figura 3.10) ou em triângulo (figura 3.11). 
Dependendo da maneira que a carga está conectada, em triângulo ou estrela, 
os valores assumidos pelas correntes e tensões de fase e de linha são 
estabelecidos pela análise de circuitos elétricos, aplicando as duas leis de 
Kirchhoff como é demonstrado em seguida. 
 Considere o circuito elétrico desenhado na figura 3.10 onde a carga 
conectada em estrela é alimentada por uma linha trifásica a três fios. 
 
FEI_2S_2014 
10 
 
 
FIG. - 3.10 Circuito elétrico com alimentação trifásica a três fios e 
cargas conectadas em estrela. 
Os respectivos valores das correntes e tensões de linha e fase estão assim 
relacionados: 
a) Tensões de fase. 
 Adotando a tensão da fase “1”, medida entre os terminais da carga ligada 
entre os pontos “1” e “N”, como referência, (
0º
), se obtém as funções de 
tempo e os respectivos fasores associados a estas tensões, conforme indicação 
a seguir: 
     0VV 0tsenVtv p1Fp1F 
 
     

120VV 120tsenVtv p2Fp2F
 
     240VV 240tsenVtv p3Fp3F 
 
 
b) Relações entre as tensões de linha e as tensões de fase. 
 Como o sistema trifásico é equilibrado, as três tensões de linha possuem o 
mesmo valor máximo e estão defasadas de 120º entre si, portanto conhecendo-
se o fasor de uma delas os fasores das demais são facilmente determinados. 
Considerando o circuito desenhado na FIG – 3.10 e sabendo que a soma 
algébrica das tensões em uma malha é igual à zero, obtêm-se as seguintes 
equações que relacionam as tensões de linha com as tensões de fase: 
 Malha 1,N,2 

 
2F1F1L VVV

 
 (01) 
 
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Malha 2,N,3 

 
3F2F2L VVV

 
 Malha 3,N,1  1F3F3L VVV

 
 Desenvolvendo a equação (01) obtêm-se a equação (03) que relaciona as 
tensões de linha com as tensões de fase. 
2F1F1L VVV


 


120V0VV pp1L
 
         

120senj120cosV0senj0cosVV pp1L
 
























2
3
j
2
1
1VV p1L
 
























2
3
j
2
3
VV p1L
 





































 

2
3
2
3
tag
2
3
2
3
VV 1
22
p1L
 
º30V3V p1L 

 
 
(02) 
Pode-se concluir que em uma ligação trifásica com os bipolos conectados 
em estrela o módulo das tensões de linha é 
3
 vezes maior que o módulo das 
tensões de fase e está atrasada de 
º30
 das tensões de fase, conforme indica a 
equação (03). 
º30V3V FL 

 
(03) 
 
 Portando, no circuito desenhado na figura 3.10, as tensões de linha 
podem ser representadas pelas funções de tempo e os respectivos fasores 
conforme indicam as equações (04), (05) e (06). 
 30ºt senV3)t(v P1L 
 
 

30V3V p2L
 (04) 
 0º51t senV3)t(v P2L 
 
 

150V3V p2L
 (05) 
 
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12 
  0º27t senV3)t(v P3L 
 
 

270V3V p2L
 (06) 
OBS: Lembrar que na teoria de números imaginários a forma cartesiana é 
expressapela equação (07): 
 

jbaXX p
 (07) 
 Um número imaginário escrito na forma cartesiana pode ser transformado 
na forma polar utilizando o recurso da equação (08): 
     
a
btagbaXX 1
22
p







 (08) 
c) Relações entre as correntes de fase e as correntes de linha. 
 Observando o circuito desenhado na figura 3.10 se conclui que as 
correntes de linha são as mesmas que as correntes de fase, então as suas 
expressões no tempo e fasoriais são iguais entre si e podem ser calculadas 
obedecendo a lei de Ohm, obtendo-se a equação (09): 
 
Z
V
I I
1F
1F1L




 
z
p
1F1L
 Z
0 V
I I



 
z
p
1F1L - 
 Z
 V
I I 
 (09) 
Desta forma, as demais correntes de linhas ou de fases podem ser 
representadas pelas expressões (10) e (11). 
  120º- 
Z
V
I I z
p
2F2L 
 (10) 
  º 240- 
Z
V
I I z
p
3F3L 
 (11) 
Portando, no circuito desenhado na figura 3.10 as correntes de linhas e de 
fases podem ser escritas em função do tempo conforme indicam as equações 
(12), (13) e (14).
 
    )-t( sentiti z1F1L 
 (12) 
    )º120-t( sentiti z2F2L 
 (13) 
    )º240-t( sentiti z3F3L 
 (14) 
 
FEI_2S_2014 
13 
 
d) Conclusões: 
 Na ligação estrela de bipolos geradores ou receptores são válidas as 
seguintes relações entre os valores de linha e de fase: 
 - A corrente de linha é igual (a mesma) a corrente de fase: 
FL II


 
 - A tensão de linha está adiantada de 30º da corrente de fase e o seu 
módulo é 
3
 vezes maior que o módulo da tensão de fase: 
.º30V3V FL 

 
 Fonte trifásica alimentando uma carga conectada em triângulo. 
 Considere o circuito elétrico desenhado na FIG - 3.11, onde a carga, que 
está ligada em triângulo, é alimentada por uma linha trifásica. 
 
 
FIG. - 3.11 Alimentação trifásica de cargas associadas em triângulo. 
A seguir são obtidas as relações entre os valores das correntes e tensões 
de fase com as correntes e tensões de linha, para cargas conectadas em 
triângulo e alimentadas por uma fonte trifásica a três fios. 
 
a) Expressões das correntes de fase considerando a fase 1 como referência 
(
0º
). 
    0II 0tsenItI p1Fp1F 
 
    

120II 120tsenItI p2Fp2F
 
    

240II ou 120II 120tsenItI p3Fp3Fp3F
 
 
FEI_2S_2014 
14 
 
b) Relações entre as correntes de linha e as correntes de fase. 
 Considerando o circuito desenhado na FIG – 3.11 e sabendo que a soma 
algébrica das correntes em um nó é igual à zero, obtêm-se as seguintes 
equações relacionando correntes de linha com correntes de fase: 
 Nó de número “1” 

 
3F1F1L III


 (15) 
 Nó de número “2”  1F2F2L III

 
 Nó de número “3”  2F3F3L III

 
 Desenvolvendo a equação (15) obtêm-se a equação (17) que relaciona as 
tensões de linha com as tensões de fase. 
3F1F1L III


 


120I0II pp2L
 
         

120senj120cosI0senj0cosII pp2L
 
























2
3
j
2
1
1II p2L
 
























2
3
j
2
3
II p2L
 






































 

2
3
2
3
tag
2
3
2
3
II 1
22
p1L
 
 30I3I p1L 

 
(16) 
Pode-se concluir que em uma ligação trifásica com os bipolos conectados 
em triângulo o módulo das correntes de linha é 
3
 vezes maior que o módulo 
das correntes de fase e está atrasada de 
º30
 das correntes de fase, conforme 
indica a equação (03). 
º30I3I FL 

 
(17) 
 Portanto as funções de tempo associadas as correntes de linha são as 
indicadas nas equações (18), (19) e (20). 
 
FEI_2S_2014 
15 
 
    30tsenI3ti p1L 
(18) 
    150tsenI3ti p2L 
(19) 
    270tsenI3ti p3L 
(20) 
c) Relações entre as tensões de linha e as tensões de fase. 
 As tensões de linha são as mesmas que as tensões de fase e podem ser 
calculadas aplicando-se a Lei de Ohm obtendo-se as equações (21), (22) e (23). 
 

0IZVV 0IZVV IZV V p1F1Lp1F1L1F1F1L
 
       tsenIZtvtv p1F1L 
 (21) 
 

120IZVV 120IZVV IZV V p2F2Lp2F2L2F2F2L
 
       120tsenIZtvtv p2F2L 
 (22) 
 

120IZVV 120IZVV IZV V p3F3Lp3F3L3F3F3L
 
       120tsenIZtvtv p3F3L 
 (23) 
d) Conclusões: 
 Na ligação triângulo de bipolos geradores ou receptores são válidas as 
seguintes relações entre os valores de linha e de fase: 
 - A tensão de linha é igual (a mesma) a tensão de fase: 
FL VV


 
 - A corrente de linha está atrasada de 30º da corrente de fase e o seu 
módulo é 
3
 vezes maior que o módulo da corrente de fase: 
.º30I3I FL 

 
Sugestões: 
- Demonstre as expressões que relacionam as tensões de linha 
   t v e t v 3L 2L
 com as respectivas tensões de fase, para cargas ligadas em 
estrela. 
- Demonstre as expressões que relacionam as correntes de linha 
   ti e ti 3L2L
 com as respectivas correntes de fase, para cargas ligadas em 
triângulo. 
 
FEI_2S_2014 
16 
 
1-4. POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS. 
 Fazendo analogia com o sistema monofásico, as potências; aparente, 
ativa e reativa totais no sistema trifásico podem ser calculadas utilizando as 
mesmas equações do sistema monofásico, multiplicando-se os resultados por 
três, independente do tipo de associação dos bipolos. Procedendo desta maneira 
resultam as seguintes equações: 
 VA IV3S aparente total Potência FF 
 
   W cosIV3P ativa total Potência zFF 
 
   rzFF VA senIV3Q reativa total Potência 
 
onde “
FF I e V
” são, respectivamente, os valores eficazes (módulos) da tensão e 
corrente de fase e “
z
” o ângulo de fase da impedância da carga. 
Exemplo 01 Considere o circuito trifásico desenhado na figura 3.12 e 
determine as potências totais e a potência dissipada em um resistor da carga. 
 
FIG. - 3.12 
Solução: 
a) Cálculo das tensões e correntes de fase: 
Como as cargas estão conectadas em estrela as tensões linha e de fase estão 
relacionadas pela equação (03). 
º30V3V FL 
 
º30V3º0380 1F 
 
º30
3
380
V 1F 
 
 
FEI_2S_2014 
17 
 º30220V 1F 
 , 
analogamente: 
º150220V 2F 
 
º270220V 3F 
 
 
Z
V
I
1F
1F




 
º0100
º30220
I 1F



 


302,2I 1F
, 
analogamente: 
 
A 1502,2I 2F 
 
 
A 2702,2I 3F 
 
b) Cálculo das Potências Totais 
Para o cálculo das potências utilizam-se os valores dos módulos da tensão 
e corrente de fase, então resultam os seguintes valores: 
 2,22203S IV3S aparente total Potência FF 
 
VA 1452S 
 
   0 cos2,22203P cosIV3P ativa total Potência zFF  
W1452P  
   0 sen2,22203Q senIV3Q reativa total Potência zFF  
rVA 0Q 
 
Obs: Como não existe bipolo reativo na impedância de carga, a potência 
reativa é nula. 
c) Cálculo da Potência dissipada em um bipolo da carga. 
cosφ IVP FFR  
2,2.1220PR 
 
W 484PR 
 
Portanto, cada resistor da carga dissipa 484 W de potência. 
 
FEI_2S_2014 
18 
 
Exemplo 02 Considere o circuito trifásico desenhado na figura 3.13 e 
determine as potências totais e a potência reativa em um indutor da carga. 
 
FIG. - 3.13 
Solução: 
a) Cálculo das tensões e correntes de fase: 
Como a carga está conectada em triângulo as tensões de fase são iguais 
as tensões de linha, portanto resultam os seguintes valores: 
 º0380V 1F 
 V 
 º120380V 2F 
 V 
 º120380V 3F 
 V 
 




Z
V
I
1F
1F
 
 
º90100
º0380
I 1F



 
A 908,3I 1F 
 
 
A 2108,3I 2F 
 
A 3308,3I 3F 

 
 b) Cálculo das potências totais do circuito 
 VA 4332S
 8,33803S
 IV3S aparente total Potência FF



 
 
FEI_2S_2014 
19 
 
 
 
W0P
º90 cos8,33803P
 cosIV3P ativa total Potência ZFF



 
 
 
 VA 4332Q
 90º .sen 8,33803Q
 sen IV3Q reativa total Potência
R
ZFF



 
 c) Cálculo da potência em um indutor. 
   º90senIVQ FF 
  º90 sen8,3380Q  
 RVA 1440 Q  
Portanto, há 
RVA 1440
de reativos em cada indutor. 
1-5. CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA NO SISTEMA TRIFÁSICO. 
 O processo de correção do fator potência utilizado no sistema trifásico é 
análogo ao utilizado no sistema monofásico, ou seja, no sistema monofásico o 
ângulo de fase final da carga equivalente instalada deve ser menor ou igual a 
23º (
º23c 
) e, analogamente, no sistema trifásico o ângulo de fase final de 
cada carga equivalente instalada deve ser menor ou igual a 23º (
º23c 
). 
Desta forma, se a carga trifásica for indutiva (motor de indução) a 
correção do fator de potência é feita adicionando-se um capacitor em paralelo 
com cada carga, resultando um conjunto ou um banco de capacitores 
associados entre si, para formar três capacitores equivalentes de capacitâncias 
iguais, calculadas de maneira que o ângulo de fase final de cada carga seja 
“
º23c 
”. Assim sendo, o cálculo do valor da capacitância de cada capacitor, 
para a correção do fator de potência atrasado no sistema trifásico, é feito 
aplicando-se a equação (24). 
    
   2F
cZZ
Vf2
tagtagP
C



 
 (24) 
Onde: 
C  Capacitância, em Farad (F). 
Z
 = ângulo da impedância “Z” antes da correção, em radianos ou 
graus. 
 
FEI_2S_2014 
20 
 
c
= ângulo da impedância “Z” após a correção, em radianos ou 
graus. 
ZP
 = potência ativa da impedância “Z”, em Watts (W). 
 f = frequência do circuito, em Hertz (Hz). 
FV
= tensão eficaz de fase (aplicada nos terminais da carga), em 
Volts (V). 
 
Exemplo 03: Considere o sistema trifásico desenhado na figura 3.14, em que 
as tensões de linha são caracterizadas por 380V/60Hz, e adicione ao circuito os 
capacitores para que o fator de potência seja corrigido para 0,92 atrasado. 
 
FIG. - 3.14 
Solução: 
 Para cálculo do valor de “C” é necessário calcular os módulos das tensões 
e das correntes no circuito. 
- Cálculo do valor do módulo da tensão de fase (tensão aplicada nos terminais 
da carga): 
3
380
V 1F 
 
V220V 1F 
 
- Cálculo do módulo da corrente de fase: 
Z
V
I 1F1F 
 
 
40
220
I 1F 
 
 
FEI_2S_2014 
21 
 
A5,5I 1F  
- Cálculo do valor da potência ativa em “Z”: 
 ZFFF cosIVP 
 
 45cos5,5220PF 
 
W855PF 
 
- Cálculo do valor da capacitância “C”: 
    
   2220602
23tag45tag855
C



 
 
80,246.18
424.01855
C


 
80,246.18
576,0855
C


 
F27C  
Resposta: Utilizam-se três capacitores com capacitância igual a 
"F27" 
 cada, 
ligados em paralelo com cada carga, conforme ilustra o circuito desenhado na 
figura 3.15. 
 
 
FIG. - 3.15 
 
Exemplo 04: Considere o circuito desenhado na figura 3.16 e corrija o fator de 
potência da instalação para 0,92, adicionando capacitores em paralelo com a 
carga. 
 
FEI_2S_2014 
22 
 
 
FIG. - 3.16 
Solução: 
- Cálculo do valor do módulo da tensão de fase: 
1L1F VV 
 
V380V 1F 
 
- Cálculo do valor do módulo da corrente de fase: 
Z
V
I 1F1F 
 
40
380
I 1F 
 
A5,9I 1F  
- Cálculo do valor da potência ativa em “Z”: 
 ZFFF cosIVP 
 
 º45cos5,9380PF 
 
W2553PF 
 
- Cálculo da capacitância “C”: 
    
   2380602
º23tagº45tag2553
C



 
 
80,438.45
424.012553
C


 
F27C 
 
 
FEI_2S_2014 
23 
 
Resposta: Utilizam-se três capacitores com capacitância igual a 
"F27" 
 cada, 
ligados em paralelo com a carga, como ilustra o circuito desenhado na figura 
3.17. 
 
FIG. - 3.17 
1-6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. 
6.01 No circuito esquematizado na figura 3.18 a carga é igual a J34Z  , a 
fase da corrente da linha 3 é igual a “-240º” e o valor da linha é 220V. Pede-se 
determinar: 
 a) O valor da tensão 
3LV
 . 
 b) O valor da corrente 
3FI
 . 
c) O valor da potência reativa total. 
 
FIG. - 3.18 
 
 
Solução: 
J34Z 
   º37 5Z 
 
FEI_2S_2014 
24 
 240º- II L3L 
  
0º- II L1L 
 
1L1F1L 220VV 
 
30º- 3II 1F1L 
  
30º- 3
0º I
I L1F



  
A 30º 
3
 I
I L1F 
 
1F1F IZV


  
 30º 
3
 I
º37 5 220 L1L 
, portanto: 
 
3
 I5
 220 L


 
A 76IL 
 e 
º3730º1L 
  
º71L 
 
Obtendo-se os valores: 
a) 
V 247º- 220V 3L 
 
b) 
A 30º 
3
 67
I 1F 
  
V 30º 44I 1F 
  
V 10º2- 44I 3F 
 
c) 
 37 sen442203Q 
  
RVA 476.17Q 
 
6.02 Considere o circuito trifásico equilibrado esquematizado na figura 3.19 e determine 
os seguintes valores: 
a) Da impedância “ Z ” da carga. 
b) Da capacitância “C” que faz o fator de potência ser unitário. 
 
FIG. - 3.19 
Solução: 
 .
N1 0127V 
 
3001273V
 .
12 
 
V 30220V
 .
12 
 
 733,18I
 .
12 
A 
 
FEI_2S_2014 
25 
 
como .
12
. .
12 IZV 
 obtém-se: 
733,18
30220
Z
.



 
a)  3712Z. 
 37cos
3
33,18
127P  
W 38,1073P  
    
   2127602
0 tag37 tag38,073.1
C



 
 
F 133C 
 
6.03 No circuito trifásico equilibrado abaixo esquematizado sabe-se que: 
 i) A tensão de linha é a igual a 380V/60Hz. 
 ii) A impedância de carga é igual a J4030Z  . 
Adote a tensão “
RSV
” e responda as seguintes questões: 
a) Qual o valor da tensão 
RNV
 . 
b) Qual o valor da corrente 
TNI
 . 
c) Qual o valor do capacitor que corrige ao fator de potência para 0,92. 
 
FIG. - 3.20 
 
Solução: 
a) 



30
3
V
V
RS
RN
 

 




30
3
0380
VRN
 
 
FEI_2S_2014 
26 
 
 


30220VRN
 V 
b) 




Z
V
I
RN
RN
 

 
J4030
30220
IRN



 
 




5350
30220
IRN
 

 


834,4IRN
 
 


240II RNTN
 

 


240834,4ITN

3234,4ITN
A 
c) 2IRP  

 
 24,430P 
 

 
W 132P 
 
    
   2220602
23 tag53 tag132
C



 
F 5,6C 
 
6.04 Uma fonte trifásica de frequência igual a 60Hz está conectada em estrela 
alimentando uma carga trifásica equilibrada conectada em triângulo. A tensão 
de fase gerada é igual a 2.200V e o fator de potência instalado é igual a 0,707 
atrasado. Sabendo que a potência reativa total é igual a 120kVA, determine: 
a) O valor da impedância "Z"  da carga. 
b) O valor do capacitor que colocado em paralelo com a carga torna o fator de 
potência unitário. 
 Solução: 
 O enunciado do exercício descreve o circuito esquematizado na figura 
3.21: 
 
FIG. - 3.21 
 
 
FEI_2S_2014 
27 
 
a) A tensão aplicada na impedância "Z"  é a de linha então resulta a seguinte 
solução: 
22200VL 
 

 
32200VV Lz 
 
  707,0 osc z 
 

 
 45z
 
zT Q3Q 
 

 
VA000.40Qz 
 
 
 zzzz senIVQ  
 
  45 senI32200000.40 z
 
 
A85,14Iz 
 

 
z
z
I
V
Z 
 

 
85,14
22200
Z


 

 
 40,255Z
 
 


4540,255Z
 
b) Como 
 45z
 a potência ativa é igual a potência reativa: 
VA000.40Pz 
 
    
   2F
czz
Vf2
tagtagP
C



 
    
   23200.2602
0tag45tag000.40
C



 
F3,7C 
 
6.05 Considere o circuito trifásico equilibrado esquematizado na figura 3.22 
onde são conhecidas as seguintes informações: 
 - A frequência do sistema é igual a 60Hz. 
 - A tensão 
"V" 31
 possui módulo igual a 600V e fase igual a “-220°”. 
 - A corrente 
"I" N2
 possui módulo igual a 100A e fase igual a “-220°”. 
Pede-se calcular os valores: 
a) Do fator de potência do sistema. 
b) Da indicação do amperímetro alterando a frequência para 50Hz. 
 
FIG. - 3.22 
 
FEI_2S_2014 
28 
 
Solução: 
a) 
V 220600V31 
 

 
V 20600V12 
 
A 220100I N2 
 

 
A 100100I N1 
 


30V3V N112
 

 




303
20600
V N1
 
V 1041,346V N1 
 
N1
N1
I
V
Z




 

 




100100
1041,346
Z
 


 9046,3Z
 
Como 
 90z
 se conclui que o fator de potência é nulo e que a carga é 
formada por três indutores ideais. 
b) O valor da indutância “L” não se altera com a alteração da frequência, 
portanto para F = 60Hz se obtém: 
LWXL 
 

 
L60246,3 
 
602
46,3
L


 
Para F=50Hz se obtém: 
LWXL 
 

 
602
46,3
502XL


 
 89,2XL
 

 


 J89,2Z
 
O amperímetro indica o valor do módulo da corrente da linha “2”. 
Z
V
I N2N2 
 

 
89,2
41,346
I N2 
 
A120I N2 
 
6.07 No circuito trifásico esquematizado na figura 3.23 a frequência é igual 60 
Hz e a carga é equilibrada. Pede-se calcular: 
 a) O valor da impedância “ .Z ”. 
 b) O da potência ativa total. 
 c) O valor do capacitor que colocado em paralelo com a carga torna o 
fator de potência igual a 0,92. 
 
FEI_2S_2014 
29 
 
 
FIG. - 3.23 
Solução: 
 O circuito pode ser redesenhado com os valores referenciados à corrente 
de linha 
"I" R
. e à tensão de linha 
"V" RS
. , de acordo com esquema indicado na 
figura 3.24. 
 
FIG. - 3.24 
 
 240II T
.
R
.    270240173IR. 
 
 30173IR
. A 
 
 30I3I RS
.
R
.  
 30I330173 RS
.  
 
A 0100IRS
.

 
 
 120VV ST
.
RS
. 

   67120220VRS. 
 
 53220VRS
. V 
 
FEI_2S_2014 
30 
 a) 
RS
.
RS
.
.
I
V
Z 
  
º0100
º53220
Z
.



  
 º532,2Z
.  
 J 76,132,1Z
. 
b) 
 zRSRST cosIV3P 
  
 53 cos1002203PT 
  
W 720.39PT 
 
c) 
    
 2RS
zz
VW
tagtagP
C



  
    
 22203773
23tag53tag720.39
C



  
F 655C 
 
1-7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 
7.01 Considere um sistema trifásico equilibrado com sequência de fases 1, 2, 3 
e escreva as expressões matemáticas das correntes ou das tensões indicadas 
abaixo e desenhe os respectivos fasores. 
a) 
 tsenI)t(i p1 
 
 
 
)t(i2
 
 
 
)t(i3
 
 
 
 
 
 
 
b) 
)t(v1
 
 
 
 º90tsenV)t(v p2 
 
 
 
)t(v3
 
 
 
 
 
 
 
FEI_2S_2014 
31 
 
 
c) 
)t(v1
 
 
 º45tsenV)t(v p2 
 
 
)t(v3
 
 
 
)t(i1
 
 
)t(i2
 
 
 º150tsenI)t(i p3 
 
 
 
 
d) 
 º90tsenV)t(v p1 
 
 
)t(v2
 
 
)t(v3
 
 
 º60tsenI)t(i p1 
 
 
)t(i2
 
 
)t(i3
 
 
 
7.02 Considere o circuito desenhado na figura 3.25 e adote a tensão de linha 
“1” como referência. Sabendo que 
 º0500Z
 e 
V400V 1L 
determine os 
seguintes valores: 
a) Das tensões e correntes de linha e de fase. 
b) Das potências totais do sistema. 
c) Da potência em cada resistor. 
 
FIG. - 3.25 
 
FEI_2S_2014 
32 
 
7.03 Considere o circuito desenhado na figura 3.26 e adote a tensão de fase “1” 
como referência. Sabendo que 
 º45500Z
 e 
V400V 1L 
determine os 
seguintes valores: 
a) Das tensões e correntes de linha e de fase. 
b) Das potências totais e em cada impedância. 
 
FIG. - 3.26 
7.04 Considere o circuito desenhado na figura 3.27 e adote a tensão de linha 
“2” como referência. Sabendo que 
 º45500Z
 e 
V600V 1L 
determine os 
valores: 
a) Das tensões e correntes de linha e de fase. 
b) Das potências totais do sistema. 
c) Das potências em cada impedância. 
 
FIG. - 3.27 
7.05 Considere o circuito desenhado na figura 3.28 e adote a tensão de linha 
“1” como referência. Sabendo que 
 º050Z
 e 
V1200V 1L 
determine os 
valores: 
a) Das tensões e correntes de linha e de fase. 
b) Das potências totais do sistema e em cada impedância. 
 
FEI_2S_2014 
33 
 
 
 
FIG. - 3.28 
7.06 Considere o circuito desenhado na figura 3.29 e adote a tensão de fase “2” 
como referência. Sabendo que 
 º60100Z
 e 
V3200V 1L 
determine os 
valores: 
a) Das tensões e correntes de linha e de fase. 
b) Das potências totais do sistema e em cada impedância. 
 
FIG. - 3.29 
 
7.07 Considere o circuito desenhado na figura 3.30 e adote a tensão de linha 
“3” como referência. Sabendo que 
 º3540Z
 e 
V800V 1L  determine os 
valores: 
a) Das tensões e correntes de linha 
b) Das tensões e correntes e de fase. 
c) Das potências totais. 
 
 
 
 
FEI_2S_2014 
34 
 
 
FIG. - 3.31 
7.08 Considere o circuito desenhado na figura 3.32, adote como referência a 
tensão de fase “3” da fonte e determine: 
a) Os valores das correntes indicadas. 
b) Os valores das potências totais do lado das fontes e do lado da carga. 
c) A potência ativa em cada impedância. 
 
FIG. - 3.32 
7.09 Considere o circuito desenhado na figura 3.33 e adote como referência 
tensão de fase “1” da fonte. Sabendo que o fator de potência é 0,5 atrasadopede-se: 
a) Determinar o valor da impedância complexa 
Z . 
b) Determinar os valores das correntes indicadas. 
c) Determinar os valores das potências totais. 
d) Escreva a função de tempo da tensão 
).t(V31 
 
FIG. - 3.33 
 
FEI_2S_2014 
35 
 
 
7.10 Considere o circuito desenhado na figura 3.34 e que os instrumentos de 
leitura indicam 2.200 V e 200 A. Sabendo que o fator de potência da instalação 
é igual a 0,6 adiantado, pede-se determinar: 
a) O valor da impedância e da corrente na linha “3”. 
b) Os valores das potências totais do sistema. 
 
FIG. - 3.34 
 
7.11 No circuito desenhado na figura 3.35 a tensão de fase na fonte é igual a 
2500V e a corrente na carga é igual a 125A. Determine as indicações dos 
aparelhos de medida e o valor da impedância para que o fator de potência do 
circuito seja 0,65 adiantado. 
 
FIG. - 3.35 
 
7.12 Uma carga trifásica equilibrada com impedâncias iguais à 
 º3510Z
 é 
alimentada por um gerador trifásico com frequência igual a 60 Hz, como indica 
o circuito desenhado na figura 3.36. Sabendo-se que 
Vº60220V31 

, 
determine os valores das tensões e as correntes indicadas e das potências totais 
do sistema. 
 
FEI_2S_2014 
36 
 
 
FIG. - 3.36 
7.13 Considere o circuito desenhado na figura 3.37 em que uma carga trifásica 
equilibrada, ligada em estrela, com impedâncias iguais à 
 º3060Z
 é 
alimentada por um gerador trifásico. Sabendo que a tensão 
Vº65480V23 

, 
pede-se determinar: 
a) Os valores das tensões e das correntes de fase e de linha. 
b) Os valores das potências totais do sistema. 
 
FIG. - 3.37 
7.14 Refazer, caso seja possível, os exercícios propostos nos itens anteriores 
calculando o valor da capacitância “C” dos capacitores que colocados em 
paralelo com a carga corrija o fator de potência para 0,92 atrasado. Considerar 
para todos os casos a frequência igual a 60Hz. 
7.15 Uma carga equilibrada trifásica com impedância igual a 1.5+2J Ω por fase 
é alimentada por uma rede de 220V/3ф/60Hz. Determinar o valor da 
capacitância “C” que colocado em paralelo com a carga corrija o fator de 
potência para 0,92 considerando cargas ora ligadas em estrela e ora em 
triângulo. Em cada caso determinar os valores das potências totais do sistema. 
 
 
FEI_2S_2014 
37 
 
CAPÍTULO 2 
Transformadores Ideais de Tensão 
Neste capítulo será estudado o comportamento do transformador ideal de 
tensão, utilizado para adequar tensões em circuitos monofásicos e trifásicos, 
alimentando uma associação qualquer de cargas monofásicas ou trifásicas 
equilibradas. Será considerado o sentido de enrolamento das bobinas para 
determinar o módulo e a fase correta da tensão transformada. As equações 
envolvidas com o estudo do transformador são apresentadas sem preocupação 
de fundamentar os conceitos a elas relacionados. A proposta é utilizar o 
transformador como um componente elétrico caracterizado por correntes e 
tensões bem definidas para equacionar e estudar o comportamento dos circuitos 
elétricos. Com a finalidade de fixar os conceitos teóricos são apresentados 
exemplos, exercícios resolvidos e exercícios propostos com respostas. 
1.– INTRODUÇÃO. 
 O transformador desempenha um papel fundamental nos sistemas de 
distribuição de energia elétrica, assim como na grande maioria dos circuitos 
eletrônicos e aparelhos de medidas elétricas. Embora os transformadores sejam 
amplamente empregados em circuitos monofásicos de alimentação residencial 
(110V ou 220V), são vitais na aplicação de geração, transmissão e distribuição 
de energia elétrica desempenhando o fundamental papel de elevar ou abaixar a 
tensão e/ou corrente elétrica, permitindo que a energia elétrica da usina 
geradora possa chegar com qualidade até ao consumidor final. 
 Toda a energia elétrica gerada para atender a um sistema elétrico 
industrial em território brasileiro, por decreto governamental, é feito sob a 
forma trifásica alternada senoidal com frequência de 60 Hz. Está representado 
em diagrama de blocos na Figura 2.01 um sistema simplificado de geração, 
transmissão e distribuição de energia elétrica em que aparece o símbolo 
utilizado para representar o transformador e a palavra “trafo” para identifica-lo. 
 
Fig – 2.01 Gerações, transmissão e distribuição de energia elétrica 
 
FEI_2S_2014 
38 
 
A seguir é apresentado, sem a preocupação de fidelidade com as normas 
brasileiras, um resumo das funções associadas a cada um dos blocos 
apresentados: 
i) Geração de Energia: A geração de energia elétrica ocorre utilizando-se 
usinas geradoras que utilizam instalações hidráulicas, térmicas, eólicas, 
nucleares, etc. No Brasil, atualmente, predominam as usinas hidrelétricas de 
geração (2,2 a 20kV), que podem ser divididas em duas grandes categorias: 
 Instalações a água corrente, nas quais não existe possibilidade de 
acumulação e a água que chega é imediatamente utilizada. 
 Instalações com reservatórios, os quais permitem a acumulação da água e o 
seu emprego no momento desejado. 
ii) TRAFO-1: Como é preciso vencer grandes distâncias para transportar a 
energia elétrica desde a usina geradora até os grandes centros de consumo é 
conveniente que a transmissão seja feita em alta tensão diminuindo assim a 
corrente elétrica e consequentemente a perda de potência por aquecimento 
(efeito Joulle), que aumentam com o quadrado da corrente elétrica. Nesses 
casos utilizando-se um transformador elevador de tensão, que elevam a tensão 
de 20kV para os padrões entre 69kV até 500kV, de acordo com as reais 
necessidades. 
iii) Transmissão de Energia: As linhas de transmissão têm a finalidade de 
transportar grandes potências desde a geração até os centros de consumo com 
segurança e confiabilidade. As tensões mais usuais em corrente alternada nas 
linhas de transmissão são 69 kV, 138 kV, 230 kV, 400 kV e 500 kV. 
iv) TRAFO-2: Ao chegar aos grandes centros de consumo a alta tensão de 
transmissão é reduzida para valores padrões, entre 11 kV e 35 kV) com a 
finalidade de percorrer as zonas urbanas com total segurança. A 
responsabilidade desta redução é das subestações redutoras que são 
implantadas em locais apropriados e isolados da população. 
v) TRAFO-3: A distribuição de energia elétrica urbana é feita a três fios e 
normalizadas com tensão de 13.8 kV. Para o consumidor residencial essa tensão 
é reduzida para 110V ou 220V eficazes e para a indústria reduzida para 220V ou 
380V eficazes, com raras exceções de solicitações especiais. Nesses casos 
utilizam-se transformadores abaixadores de tensão que são fixados nos postes 
da linha de transmissão urbana. 
 
FEI_2S_2014 
39 
 
 OBS: No Brasil a geração, transmissão e distribuição de energia elétrica 
são normalizadas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). 
A seguir é apresentado um exemplo com a intenção de ilustrar o motivo 
pelo qual se faz a transmissão de energia elétrica elevando-se a tensão elétrica 
ao invés de elevar a corrente elétrica. 
Exemplo: Deseja-se transmitir uma potência de 4400 kW a uma distância de 
10 km com um fator de potência unitário e 10% de perda em tensão. 
Determine as respectivas correntes e seções retas dos condutores de cobre nos 
dois casos a seguir: 
a) Sistema monofásico com 
V 220Va 
 
b) Sistema monofásico com 
kV 220Vb 
 
Considere conhecidas: 
A resistividade do cobre: 
m/mm 018,0 2
. 
As equações: 
 
R
fio do Área e 
RI
RVR ,zcosnInVnP


 
onde: 
- 
"nP"
é a potência elétrica transmitida em [W]; 
- 
"nV"
 é a tensão elétrica do sistema em [V]; 
- 
"nI"é a corrente elétrica que percorre o fio, em [A]; 
- 
 " zcos" 
 é o fator de potência da carga; 
- 
"z"
 é o ângulo de fase da carga, em [graus]; 
- 
"RV"
 é a tensão elétrica aplicada nos terminais do resistor, em [V]; 
- 
"RI"
 
é a corrente elétrica que percorre o resistor, em [A]; 
- 
""
 é o comprimento do fio, em [m]; 
- 
"R"
 é o resistor elétrico, em 
 
. 
Solução: 
Caso a) 
- Cálculo da corrente no fio de cobre: 
 
 
cosV
P
 = I
za
a

 
 kA 20 = 
1220
1044
 = I
5
a


 
 
FEI_2S_2014 
40 
 
- Cálculo da perda de tensão: 
 O sistema monofásico é formado por dois fios de cobre e como a distância 
da transmissão é de 10 km são necessários 20km de fios conforme o desenho 
ilustrativo da figura 2.02 a seguir: 
 
Fig – 2.02 Linha monofásica 
 VV2V 'aaa 
 
 222220V'a 
 
 V176V'a 
 
 Portanto a tensão entregue a carga é igual a 
 V10176 3
, ou seja, uma 
queda total de 
V44
 
perdidos na transmissão. 
- Cálculo da resistência do fio de cobre 
 
I
V
R
a
a


 
 
20000
44
Ra 
 
 m 2,2Ra 
 
- Cálculo da área do fio de cobre 
a
a
R
A

 
3
3
a
102,2
1020
018,0A


 
2
a mm 636.163A 
 ou 
2
a cm 1636A 
 
Nesse caso a transmissão é inviável, pois é necessário um fio de cobre 
com secção reta de área igual a 
"cm 1636" 2
que é um valor exorbitante. 
 
FEI_2S_2014 
41 
 
Caso b) 
- Cálculo da corrente no fio de cobre: 
 
 
cosV
P
 = I
zb
b

 
 A 20 = 
110220
1044
 = I
3
5
b


 - Cálculo da perda de tensão: 
 VV2V 'bbb 
 
 1022210220V 33'a 
 
 V10176V 3'a 
 
 Portanto a tensão entregue a carga é igual a 
V10176 3
, ou seja, uma 
queda total de 
kV44
 perdidos na transmissão. 
- Cálculo da resistência do fio de cobre 
 
I
V
R
b
b
b


 
 
1020
1044
R
3
3
b



 
 2,2Rb 
 
- Cálculo da área do fio de cobre 
a
b
R
A

 
2,2
1020
018,0A
3
b

 
2
b mm 163A 
 ou 
2
b cm 63,1A 
 
Conclusão: 
Nesse caso a transmissão é viável, pois o fio de cobre necessário possui 
secção reta de área igual a 
2cm 63,1
, que é um valor dentro dos padrões. Esse 
exemplo mostra claramente que sem o uso de transformadores de tensão seria 
impossível a transmissão de energia elétrica. 
 
FEI_2S_2014 
42 
 
2. TRANSFORMADOR MONOFÁSICO IDEAL. 
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) aceita a seguinte 
definição: O transformador é um dispositivo que por meio da indução 
eletromagnética transfere energia elétrica de um circuito (primário) para um ou 
mais circuitos (secundário, terciário..), usando a mesma frequência e com 
valores de tensões e intensidades de correntes, geralmente, diferentes entre si. 
 Para melhor compreensão, considere o desenho da figura 4.02 que ilustra 
um sistema elétrico de alimentação monofásica em que um transformador 
recebe no seu enrolamento primário a tensão 
)"t(v" 1
 
proveniente de uma fonte 
de tensão alternada senoidal e transfere por meio do seu enrolamento 
secundário uma tensão 
)"t(v" 2
 
para a carga. É possível observar que o 
transformador além de poder modificar o valor da tensão fornecida pela fonte 
senoidal faz o isolamento elétrico entre a carga e a fonte, determinando dois 
circuitos elétricos independentes em que a transferência de energia é feita por 
meio da indução eletromagnética. Embora possa ser construído com mais de 
dois enrolamentos (Bobinas) acoplados magneticamente, o transformador 
monofásico típico possui apenas dois enrolamentos, sendo um o enrolamento 
primário, no qual é aplicada a tensão da fonte elétrica de alimentação, e o outro 
enrolamento secundário, onde se encontra a carga a ser alimentada. 
 
Fig – 2.03 Sistema de alimentação monofásica com transformador 
O sistema de alimentação ilustrado na figura 2.03 pode ser representado 
pelo circuito elétrico ilustrado na figura 2.04 em que os bipolos são 
representados pelos seus símbolos elétricos e as tensões e as corrente pelos 
respectivos fasores, de maneira a simplificar a representação do sistema elétrico 
e facilitar o seu equacionamento. 
 
FEI_2S_2014 
43 
 
 
Fig – 2.04 Circuito elétrico com indicação dos fasores. 
A postulação de Faraday e a Lei de Lenz estabelecem que: “A variação do 
campo magnético envolvido por “N” espiras induz uma força eletromotriz cujo 
sentido de polarização é tal que a corrente elétrica produzida por ela procura 
criar um campo magnético que se opõe a variação do campo magnético que 
produziu essa referida força induzida”. De maneira simplista, pode-se afirmar 
que se trata de um fenômeno que obedece a lei física de “ação e Reação”, isto 
é, a ação variar o fluxo no interior das “N” espiras corresponde a uma reação 
que é produzir a tensão elétrica induzida. Estabelecida por Maxwell a forma 
quantitativa da Lei da indução eletromagnética é expressa pela (01). 
dt
(t)d
 N = )t(V

 (01) 
Então, para um transformador com dois enrolamentos pode ser assim 
interpretada: 
 A tensão nos terminais de um enrolamento formado por “N” espiras, é igual ao 
número de espiras multiplicado pela variação do fluxo induzido no núcleo do 
transformador (fluxo concatenado) e expresso pelas equações (02) e (03). 
Para o enrolamento primário:
 dt
(t)d
 N = )t(V 11

 
(02)
 
Para o enrolamento secundário:
 dt
(t)d
 N = )t(V 22

 
(03)
 
 Se o número de espiras no enrolamento secundário for menor que no 
enrolamento primário 
)N N( 12 
, o transformador é abaixador. 
 Se o número de espiras no enrolamento secundário for igual ao do 
enrolamento primário 
)N N( 12 
, o transformador é isolador. 
 Se o número de espiras no enrolamento secundário for maior que no 
enrolamento primário 
)N N( 12 
, o transformador é elevador. 
 
FEI_2S_2014 
44 
 
Observa-se ainda, que a inversão no sentido o fluxo magnético 
corresponde à inversão no sentido da polaridade da tensão elétrica induzida e 
vice-versa, portanto para representar essas grandezas é preciso considerar, 
respectivamente, os seus valores de módulos e de fases. No estudo do 
comportamento elétrico dos circuitos elétricos que contêm transformadores as 
grandezas analisadas são a corrente e a tensão elétrica, portanto é preciso 
conhecer os seus respectivos fasores, que podem ser obtidos de acordo com o 
procedimento a seguir: 
- Os módulos das correntes e das tensões elétricas presentes nos enrolamentos 
do transformador monofásico ideal estão relacionados pela equação (06), obtida 
pela aplicação da relação entre as equações (02) e (03) e pelo fato do 
transformador ser considerado ideal, conforme a sequência a seguir: 
dt
(t)d
 N
dt
(t)d
 N
 = 
V
V
2
1
2
1




 
 N
 N
 = 
V
V
2
1
2
1


 
(04) 
Como o transformador é ideal a potência aparente no primário é igual a 
potência aparente no secundário sem as respectivas perdas, ou seja: 
 21 SS  
 2211 IVIV  
1
2
2
1
I
I
V
V

 (05)
 
Identificando as equações (04) e (05) obtêm-se a equação (06) procurada. 
r
I
I
V
V
2N
1N
1
2
2
1 
 (06) 
A constante “r”, relação entre os números de espiras do primário e do 
secundário, é denominada de relação de transformação. 
- As fases das correntes e das tensões elétricaspresentes nos enrolamentos 
primário e secundário do transformador monofásico ideal dependem do sentido 
do fluxo existente no interior desses enrolamentos e o sentido desse fluxo pode 
ser determinado pela regra da mão direita, assim enunciada pelo pesquisador 
dinamarquês Hans Christian Oersted: 
 
FEI_2S_2014 
45 
 
 “A direção do fluxo produzido pela corrente elétrica que passa em um 
enrolamento de fio elétrico é o mesmo que o indicado pelo dedo polegar da mão 
direita, quando esta abraça o condutor com os dedos coincidindo com o sentido 
da corrente no enrolamento.” 
 
Hans Christian Oersted, pesquisador 
dinamarquês, era filho de farmacêutico e 
estudou Filosofia na Universidade de 
Copenhague. Depois de viajar pela Europa, 
retomou àquela universidade e ali trabalhou 
como professor e pesquisador, desenvolvendo 
várias pesquisas no campo da Física e da 
Química. A unidade da indução magnética 
(Oersted) foi assim designada em sua honra. 
 O desenho na figura 2.05 ilustra a aplicação da regra da mão direita 
enunciada pelo físico dinamarquês, Oersted. 
 
Fig – 2.05 Exemplo de aplicação da regra da mão direita. 
 A figura 2.06 mostra que mantendo o sentido da corrente elétrica 
"I" 12
 e 
invertendo o sentido de enrolamento do fio em torno do núcleo magnético, ao 
aplicar a regra da mão direita há a inversão de sentido no fluxo magnético 
induzido no interior das espiras. 
 
FEI_2S_2014 
46 
 
 
Fig – 2.06 A inversão no sentido do enrolamento em torno do núcleo. 
 A figura 2.07 mostra que mantendo o sentido de enrolamento do fio em 
torno do núcleo magnético e invertendo a polaridade da fonte de alimentação e 
como consequência inverter o sentido da corrente, também há a inversão de 
sentido no fluxo magnético induzido no interior das espiras. 
 
Fig – 2.07 A inversão no sentido da polaridade da fonte de alimentação. 
 Acrescentando um novo enrolamento com
"N" 2
 espiras e com terminais 
iniciando em (3) e terminando em (4), conforme o desenho na figura 2.08, irá 
ser induzido nos seus extremos uma tensão elétrica devido ao fluxo magnético 
existente no núcleo magnético e, como foi anteriormente estudada esta tensão 
induzida possui módulo e fase obtidos da seguinte maneira: 
- O módulo é determinado pela equação (03), que relaciona o número de 
espiras com as tensões envolvidas. 
- A fase, para que fique de acordo com a regra da mão direita, depende 
do sentido de enrolamento do fio em torno do núcleo magnético, ou seja, caso o 
sentido do enrolamento 
"N" 2
 
do fio em torno do núcleo magnético, onde irá 
aparecer a tensão induzida, coincidir com o sentido do fio em torno do núcleo 
 
FEI_2S_2014 
47 
 
magnético do enrolamento 
"N" 1
, responsável pela indução do fluxo magnético 
""
 
no interior do núcleo magnético, as tensões 
"V" 12

 e 
"V" 34

 estarão em fase 
e, portanto terão fases iguais, e caso os sentidos dos enrolamentos sejam 
discordantes, as tensões 
"V" 2

 e 
"V" 43

 estarão defasadas, entre si, de 180º, ou 
seja, a fase da tensão 
"V" 43

 é igual à fase da tensão 
"V" 12

 
acrescida de 180°, 
conforme ilustra o desenho da figura 2.09. Por simplicidade de distinção entre 
esses enrolamentos, o enrolamento onde se aplica a fonte de alimentação é 
denominado de enrolamento primário e o enrolamento onde se obtêm a tensão 
induzida (onde será colocada a carga a ser alimentada) de enrolamento 
secundário. Amaneira pela qual se convencionou representar os sentidos dos 
enrolamentos em torno do núcleo eletromagnético é assinalar os enrolamentos 
com a seguinte marca "" , conforme ilustração feita na figura 2.09. 
 
 Fig – 2.08 A inversão de polaridade na fonte de alimentação. 
 A convenção adota para colocação das marcas indicando os sentidos dos 
enrolamentos obedece a seguinte disposição: 
- Se os enrolamentos têm sentidos opostos as marcas "" são discordantes 
e os, respectivos, fluxos magnéticos são denominados de subtrativos, vide 
ilustração na figura 2.09a. 
- Se os enrolamentos têm mesmo sentido as marcas ""
 
são concordantes 
e os, respectivos, fluxos magnéticos são denominados de aditivos, vide 
ilustração na figura 2.09b. 
 
 
 
FEI_2S_2014 
48 
 
 
 Fig – 2.09 – Enrolamentos: a) sentidos opostos e b) sentidos iguais 
 Por exemplo, se a tensão no primário dos transformadores desenhados na 
figura 2.09 for igual 
º30110V12 

 e 
21 N2N 
 resultam os seguintes valores 
de tensões induzidas nos secundários: 
Caso a) Enrolamentos em sentidos opostos (figura 2.09a): 
 
2N
2N2
34V
110 

 
 
 
V55V34 
 
então 
 
)18030(55V34 

 
 
V º21055V34 

 
Caso b) Enrolamentos no mesmo sentido (figura 2.09b): 
 
2N
2N2
34V
110 

 
 
 
V55V34 
 
então 
 
V º3055V34 

 
 
FEI_2S_2014 
49 
 
2-1. SOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS COM UM TRANSFORMADOR MONOFÁSICO 
IDEAL. 
2.01 Indique os sentidos (horário ou anti-horário) dos fluxos magnéticos 
induzidos pelas correntes elétricas no núcleo magnético do transformador 
desenhado na figura 2.10. 
 
Fig – 2.10 – Transformador com quatro enrolamentos 
Solução: 
De acordo com a regra da mão direita, os sentidos dos fluxos magnéticos 
induzidos pelas correntes elétricas no núcleo magnético são os seguintes: 
a) A corrente elétrica 
"I" 1
 induz no núcleo do transformador um fluxo 
magnético no sentido horário. 
b) A corrente elétrica 
"I" 2
 induz no núcleo do transformador um fluxo 
magnético no sentido anti-horário. 
c) A corrente elétrica 
"I" 3
 induz no núcleo do transformador um fluxo 
magnético no sentido anti-horário. 
d) A corrente elétrica 
"I" 4
 induz no núcleo do transformador um fluxo 
magnético no sentido horário. 
2.02 Considere o circuito desenhado na figura 2.11 e responda as seguintes 
questões: 
a) Qual valor “V” do módulo da tensão da fonte de alimentação ligada no 
primário do transformador ideal? 
b) Qual o valor “R” da resistência que compõe a impedância "Z"  ? 
c) Qual o valor “C” da capacitância do capacitor que inserido em paralelo com 
a impedância "Z"  torna o fator de potência igual a 0,92. 
 
 
FEI_2S_2014 
50 
 
 
Fig – 2.11 
Solução: 
  64,0cos Z 
  
 50Z
 
 º50 ZZ
 
IVS 1 
 portanto: 
200V000.120 1 
 
V600V1 
 
 a) 
2
1
V
V
1

  
2
600
V1 
 
 V300V1  
 b) ..
1
.
IZV 
 
 
º50200º50Z600 1V 
 
 º503Z   J30,293,1Z  
  93,1R 
 c) 
 ZcosSP 
  
64,0120000P 
 
kW8,76P 
 
 
    
 2
CZ
Vf2
 tag tagP
C



 
 
 
 2600602
)(23º tag)(50º tag800.76
C



 
 
 
41036377
42,019,1800.76
C



 
 F433C  
 
FEI_2S_2014 
51 
 
2.03 No circuito esquematizado na figura 2.12 os transformadores são ideais. 
Pede-se: 
a) Calcular a tensão “
XV
 ” (módulo e fase). 
b) A potência ativa total. 
 
Fig – 2.12 
Solução: 
 O circuito fornecido pode ser representado pelo esquema elétrico 
apresentado na figura 2.13. 
 
Fig – 2.13 
 
 1
 10
 = 
V
200.2
a 

 
 V220Va 
 
 
 V 0220Va 

 
 
XZa VVV


 

 
  Xa VIJ430220


 
   IJ430220V aX   (07)2
 1
 = 
I
I
V
V
a
b
b
X





 

 
Xb V2V


 
 
FEI_2S_2014 
52 
 
 2
I
I
a
b



 
e
 
bb I2V


 
 
2
I
2I2
a
X



 

 
 
2
I
V
a
X



 (08) 
 Combinando as equações (07) e (08) resulta: 
 
  IJ430220I5,0 aa


 

 
  

0220 IJ45,3 a
 
 
A 4940,41 Ia 

 
a) 
V 4970,20VX 
 
R
V
P
2

 

 
 
2
70,20
P
2

 
 
b) 
 
W 24,214P 
 
2.04 Considere o circuito esquematizado na figura 2.14 e as seguintes 
considerações: 
i) "M" representa um motor de indução monofásico ideal que absorve 7.920W 
com fator de potência igual a 0,6. 
ii) "L" representa um conjunto com três lâmpadas incandescentes idênticas que 
absorve um total de 1210W. 
Pede-se responder as seguintes questões: 
a) Qual o valor da resistência (R) indutância (L) interna do motor? 
b) Qual o valor da corrente em uma das lâmpadas? 
 
Fig – 2.14 
Solução: 
 Seja 
"V" M
 
a tensão aplicada nos terminais do motor e 
"V" L
 a tensão 
aplicada nos terminais das lâmpadas.
 
 
 
FEI_2S_2014 
53 
 100
 6.000
 = 
V
200.13
M 
 
 V220VM 
 
 50
 6.000
 = 
V
200.13
L 
 
 V110VL 
 
a) 
MMM cosSP 
 
 
6,0
7920
SM 
 
VA 200.13SM 
 
 
M
2
M
M
Z
V
S  
 
200.13
220
Z
2
M  
 67,3ZM
 
)senJ(cosZZ MMMM 
 
)(cosZR MMM 
 
6,067,3RM 
 
 2,2RM
 
)sen(ZX MMM 
 
8,067,3XM 
 
 93,2XM
 
MM LWX 
 
377
93,2
ML  
mH 77,7LM 
 
b) 
TLL IVP 
 
110
1210
IT  
 
A 11IT 
 
 Portanto, a corrente em cada lâmpada é igual a um terço do valor da 
corrente total, ou seja: 
A 
3
11
I 
. 
 
FEI_2S_2014 
54 
 
2.05 O transformador desenhado na figura 2.15 é usado para acoplar energia 
elétrica de uma linha de transmissão com o objetivo de distribuir esta energia 
de um para três ramais distintos. O primário está ligado a uma linha cuja fonte 
de alimentação fornece 13800V/60Hz. Sabendo que o enrolamento primário 
possui 10.000 espiras, calcule o número de espiras ou o módulo da tensão nos 
enrolamentos de distribuição. 
 
Fig – 2.15 
Solução: 
 
800.13
110000.10
N 
V
VN
N 
N
N
V
V
ab
12
ab12
ab
ab
12
ab
12 


 
espiras 80Nab 
 
 
000.10
160800.13
V 
N
NV
V 
N
N
V
V
cd
12
cd12
cd
cd
12
cd
12 


 
V 220Vab 
 
 
800.13
380000.10
N 
V
VN
N 
N
N
V
V
ef
12
ef12
ef
ef
12
ef
12 


 
espiras 275Nab 
 
 
FEI_2S_2014 
55 
 
2.06 No circuito esquematizado na figura 2.16 o transformador é ideal e a 
corrente “IX“ é igual a 200A. Sabendo que o fator de potência da carga é igual a 
0,6 atrasado determine: 
a) O valor da impedância “ .Z ”. 
b) O valor da corrente IX após corrigir o fator de potência para 0.95. 
 
Fig – 2.16 
Solução: 
 2
3
V
380
1

 

 
V 33,253V1 
 

 
V 033,253V1 
 
 2
3
I
I
x
1 
 

 
A 300I1 
 

 
A 300I 11 
 
 
6,0cos z 
 

 
 13,53z
 

 


 33,53ZZ
 
 
a) 
11 IZV


 

 
130033,53Z033,253 
 

 


 33,5388,0Z1
 
b) A potência ativa não se modifica então: 
Antes da correção do FP  
 Z11 cosIVP 
 
Após a correção do FP  
 cor
'
11 cosIVP 
 
 Z11 cosIV 
=
 cor
'
11 cosIV 
 

  
  1cor
Z'
1 I
cos
cos
I 



 
 
 
I
cos
cos
'I
cor
Z 



 

  
300
95,0
13,53cos
'I 


 

 
A 47,189I'1 
 
 2
3
I
I
'
x
'
1 
 

 
2
3
I
47,189
'
x

 

 
3
47,1892
I'x


 
 
A 31,126I'x 
 
 
FEI_2S_2014 
56 
 
3. Transformador Trifásico Ideal. 
 O transformador trifásico é basicamente formado por três transformadores 
monofásicos arranjados conforme mostra os desenhos apresentados na figura 
2.17, que dependendo do tipo de acomodação dos enrolamentos no núcleo 
ferromagnético resulta no tipo coluna ou encouraçado. Para o sistema trifásico 
de alimentação se consegue uma grande economia, tanto no custo como no 
espaço ocupado, quando se utiliza um só transformador trifásico no lugar de 
três monofásicos. A desvantagem é que na avaria de um enrolamento de fase 
se coloca todas as fases (primário ou secundário) fora de operação, além de 
uma reparação mais dispendiosa em relação ao transformador monofásico. 
 
 
Fig – 2.17 – Representação do Transformador Trifásico em que os 
enrolamentos A,B,C,D,E e F representam os primários e os enrolamento 
1,2,3,4,5 e 6 representam os respectivos secundários. 
 A polaridade indicada em cada bobina define o sentido de enrolamento das 
espiras em torno do núcleo, com o objetivo de facilitar as ligações ao fazer o 
fechamento do transformador obedecendo a uma determinada ligação, que pode ser 
ligação em estrela ou em triângulo. Como o transformador trifásico ideal é formado por 
três enrolamentos primários e três enrolamentos secundários, respectivamente, iguais 
entre si, a equação que relaciona as tensões e as correntes com o respectivo número 
de espiras é a mesma utilizada para o transformador ideal monofásico, levando-se em 
consideração o número de enrolamentos, indicado na equação (7), que considera o 
primário “A e B” e o respectivo secundário “1 e 2”. 
 
FEI_2S_2014 
57 
 
 
r
I
I
V
V
12N
ABN
12
AB
12
AB 
 (07) 
 Sendo “N” o número de espiras do respectivo enrolamento. 
 Para evitar dúvidas ao se referir a uma tensão ou a uma corrente no 
transformador, as tensões e as correntes nos enrolamentos são denominadas de 
tensões e correntes de fase, as demais tensões e correntes são denominadas de 
linha. De acordo com o tipo de fechamento (conexões entre os enrolamentos) 
realizado no transformador trifásico podem-se obter os resultados apresentados 
na figura 2.18. 
3-1 Primário fechado em triângulo e secundário em estrela ( - Y). 
 
 
 
Primário 
FpriLpri VV  
FpriLpri I3I 
 
 
Secundário 
secFsecL V3V  
secFsecL II 
 
3-2 Primário fechado em estrela e secundário em triângulo (Y - ). 
 
 
 
Primário 
FpriLpri V3V 
 
FpriLpri II 
 
 
Secundário 
secFsecL VV 
 
secFsecL I3I 
 
3-3 Primário fechado em triângulo e secundário em triângulo ( - ). 
 
 
 
Primário 
FpriLpri VV  
FpriLpri I3I  
 
Secundário 
secFsecL VV 
 
FpriLpri I3I 
 
3-4 Primário fechado em estrela e secundário em estrela (Y - Y). 
 
 
 
Primário 
FpriLpri V3V 
 
FpriLpri II 
 
 
Secundário 
secFsecL V3V  
secFsecL II 
 
Fig – 2.18 – Possíveis Conexões em um Transformador Trifásico 
 
FEI_2S_2014 
58 
 
3-1.1 SOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS COM UM TRANSFORMADOR TRIFÁSICO 
IDEAL. 
3.01 - O circuito elétrico esquematizado na figura 4.19 é alimentado por uma 
fonte trifásica equilibrada de valor igual a 220V/60Hz, um transformador 
trifásico ideal comrelação de transformação igual a 1:1 e alimenta uma carga 
formada por três lâmpadas conectadas em estrela, com valores nominais 
iguais a 220V/1100W cada. Pede-se responder as seguintes questões: 
- Calcular o valor do módulo das tensões e correntes indicadas nos 
circuitos. 
- Faça um comentário sobre o valor da potência total dissipada nas 
lâmpadas e calcule os valores das potências ativas envolvidas no circuito. 
 
Fig – 2.19 - Circuito trifásico equilibrado conectado em:  - Y – Y. 
 
Solução: 
 Com os dados nominais da lâmpada é possível calcula o valor da 
resistência “R”, conforme o desenvolvimento a seguir: 
  
R
P
2
alminnoV
alminno 
 

 
 
100.1
R
2220

 

 
 44R
 
 Com o primário conectado em triângulo a tensão disponibilizada pela rede 
é igual à tensão aplicada na bobina do primário, ou seja: 
V 220VAB 
. 
 O primário e o secundário do transformador estão relacionados pela 
equação a seguir: 
 
r
I
I
V
V
12N
ABN
12
AB
12
AB 
 

 1
1
Fpri
secF
secF
Fpri
I
I
V
V

 
 
1
I
I
V
220
Fpri
secF
secF

 

 
V 220V secF 
 

 
secFFpri II 
 
 Com o secundário conectado em estrela pode-se considerar a seguinte 
equação: 
 
FEI_2S_2014 
59 
 
 
secFsecL V3V 
 

 
12secL V3V 
 
 
2203V secL 
 

 
V 380V secL 
 
 Com as lâmpadas conectadas em estrela pode-se considerar a seguinte 
equação: 
 
RsecL V3V 
 

 3
380
VR 
 

 
V 220VR 
 
 
RR IRV 
 

 44
220
IR 
 

 
A 5IR 
 
 
RsecFsecL III 
 

 
A 5II secFsecL 
 
 
secFFpri II 
 

 
A 5IFpri 
 
 
FpriLpri I3I 

53ILpri 

A 66,8ILpri 
 
 O circuito trifásico fornecido pode ser redesenhado conforme o esquema 
indicado na figura 2.20. 
 
Fig – 2.20 - Circuito trifásico equilibrado e os respectivos valores 
de tensões e correntes. 
 Como as lâmpadas estão sendo alimentadas por uma tensão igual à 
tensão nominal (220V), o brilho será normal e cada lâmpada irá dissipar 
uma potência ativa igual a 1.100 W, resultando uma potência ativa total 
solicitada igual a 3.300W e, com relação as potências envolvidas no 
circuito pode-se obter os seguintes valores: 
 - Considerando o secundário do transformador trifásico ideal se obtém as 
seguintes equações: 
 A potência aparente em uma bobina é igual a 
secFsecF IVS 
 e como são 
três bobinas a potência aparente total será total será obtida pela equação: 
 
  secFsecFsecT IV3S 
. 
 A potência ativa total pode ser obtida pela equação: 
 
    ZsecTsecT cosSP 
 
 
FEI_2S_2014 
60 
 
 A potência reativa total pode ser obtida pela equação: 
 
    ZsecTsecT senSQ 
 
 Como a carga é puramente resistiva o fator de potência é igual a “1”, ou 
seja: 
1cos z 
 ou 
º0z 
. Portanto se conclui que: 
 
  52203S secT 
  
  VA 300.3S secT 
 
     ZsecTsecT cosSP   
  W 300.3P secT 
 
 
    ZsecTsecT senSQ 
  
  VAr 0Q secT 
. 
- Analogamente, no lado primário do transformador trifásico ideal se obtém os 
seguintes valores para as potências totais: 
 
  52203S priT 
  
  VA 300.3S priT 
 
 
    ZpriTpriT cosSP 
  
  W 300.3P priT 
 
 
    ZpriTpriT senSQ 
 

 
  VAr 0Q priT 
 
- Na rede se obtém os seguintes valores para as potências totais: 
 
LredeLrederede IV3S 
 
 
  52203S redeT 
  
  VA 300.3S redeT 
 
 
    ZredeTredeT cosSP 
  
  W 300.3P redeT 
 
 
    ZredeTredeT senSQ 
  
  VAr 0Q redeT 
 
3.02 - Inverta a posição do transformador trifásico ideal fornecido no exercício 
anterior (3.01), conforme a indicação na figura 2.21, e refaça os cálculos 
solicitados. 
 
Fig – 2.21 - Circuito trifásico equilibrado conectado em: Y -  – Y. 
 
FEI_2S_2014 
61 
 
Solução: 
 Analogamente ao exercício anterior se obtém os valores a seguir: 
 
 
 
 
 44R
. 
 Com o primário conectado em estrela a tensão aplicada na bobina do 
primário (fase) obedece à equação “
FpriLpri V3V 
” resultando o valor: 
 
ABV3220 
 

 3
220
VAB 
 

 
V 127VAB 
 
 
Da relação de transformação se obtém a equação: 
 
r
I
I
V
V
12N
ABN
12
AB
12
AB 
 

 1
1
Fpri
secF
secF
Fpri
I
I
V
V

 
 
1
I
I
V
127
Fpri
secF
secF

 

 
V 127V secF 
 

 
secFFpri II 
 
 Com o secundário conectado em triângulo a tensão de fase é igual à 
tensão de linha, ou seja: 
 
secFsecL VV 
 

 
V127V secL 
 
 
 Com as lâmpadas conectadas em estrela podem-se obter os seguintes 
resultados: 
 
RsecL V3V 
 

 3
127
VR 
 

 
V 33,73VR 
 
 
RR IRV 
 

 44
33,73
IR 
 

 
A 66,1IR 
 
 
RsecL II 
 

 
A 66,1I secL 
 
 
secFsecL I3I 
 

 3
66,1
I secF 
 

 
A 96,0I secF 
 
 
secFFpri II 
 

 
A 96,0IFpri 
 
 
FpriLpri II 
 

 
A 96,0ILpri 
 
 O circuito trifásico fornecido pode ser redesenhado conforme o esquema 
indicado na figura 2.22. 
 
Fig – 2.22 - Circuito trifásico equilibrado e os respectivos valores 
de tensões e correntes. 
 
FEI_2S_2014 
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 Como as lâmpadas estão sendo alimentadas por uma tensão menor que 
tensão nominal, o brilho será inferior ao normal e cada lâmpada irá dissipar 
uma potência ativa menor que a nominal, cujo valor será igual a 
2
R)I(RP 
, ou 
seja: 
2)66,1(44P 
 
 
W 122P 
 
 Portanto a potência total ativa (dissipada) nas lâmpadas é igual a 366W e, 
com relação as potências envolvidas no circuito pode-se obter os seguintes 
valores: 
- No lado do secundário do transformador trifásico ideal: 
 
  96,01273S secT 
  
  VA 366S secT 
 
     ZsecTsecT cosSP   
  W 366P secT 
 
 
    ZsecTsecT senSQ 
  
  VAr 0Q secT 
. 
- No lado do primário do transformador trifásico ideal: 
 
  96,01273S priT 
  
  VA 366S priT 
 
 
    ZpriTpriT cosSP 
  
  W 366P priT 
 
 
    ZpriTpriT senSQ 
 

 
  VAr 0Q priT 
 
- Na rede se obtém os seguintes valores para as potências totais: 
 
LredeLrederede IV3S 
 
 
  96,02203S redeT 
  
  VA 366S redeT 
 
 
    ZredeTredeT cosSP 
  
  W 366P redeT 
 
 
    ZredeTredeT senSQ 
  
  VAr 0Q redeT 
 
OBS: Como as perdas elétricas do circuito são desprezíveis as potências 
envolvidas no conjunto: carga, transformador e rede são iguais entre si, ou 
seja, uma vez calculados os valores das potências na carga, automaticamente 
se obtém os valores correspondentes as potências no secundário e no primário 
do transformador e na rede trifásica de alimentação. 
3.03 - O circuito elétrico esquematizado na figura 2.23 é alimentado por uma 
fonte trifásica equilibrada de valor igual a 660V/60Hz, um transformador 
trifásico ideal com relação de transformação igual a 1:1 e alimenta