Solucoes em Serie Topico 2

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Soluções em série – Tópico 2
• Pontos ordinários e singulares
• Solução em torno de pontos ordinários
• Equação de Airy
• Existência das soluções em série
Soluções em série
em torno de um ponto ordinário
• Anteriormente, estudamos métodos de resolução de equações
diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. 
• Agora consideraremos o caso onde os coeficientes são funções da
variável independente, na qual denotaremos por x. 
• É suficiente considerar apenas a equação homogênea
uma vez que os métodos para o caso não homogêneos são similares. 
• Consideraremos primeiramente o caso onde P, Q, R são polinômios
e portanto todos contínuos. 
• Contudo, como veremos, o método de solução é também aplicável
quando P, Q e R são funções analíticas gerais.
,0)()()( 2
2
=++ yxR
dx
dyxQ
dx
ydxP
Pontos ordinários
• Assumimos que P, Q, R são polinômios sem fatores em comum, e 
que queremos resolver a equação abaixo nas vizinhanças do ponto x0:
• O ponto x0 é chamado de ponto ordinário se P(x0) ≠ 0. Uma vez
que P é contínua, P(x) ≠ 0 para todo x em um intervalo em torno de 
x0. Dentro deste intervalo, dividimos a equação diferencial por P e 
obtemos
• Como p e q são contínuas, o primeiro teorema de EDO lineares nos
diz que existe uma única solução, para o conjunto de condições
iniciais y(x0) = y0, y'(x0) = y0' .
0)()()( 2
2
=++ yxR
dx
dyxQ
dx
ydxP
 
)(
)()( ,
)(
)()(,0)()(2
2
xP
xRxq
xP
xQxpondeyxq
dx
dyxp
dx
yd ===++
Pontos singulares
• Suponha que queremos resolver a equação abaixo nas
vizinhanças de um ponto x0:
• O ponto x0 é chamado de ponto singular se P(x0) = 0. 
• Uma vez que P, Q, R P, Q, R são polinômios sem fatores em
comum, segue que Q(x0) ≠ 0 ou R(x0) ≠ 0, ou ambos. 
• Então ou p ou q ou ambos se tornam ilimitados quando x →
x0, e portanto o primeiro teorema de EDO lineares não se 
aplica. 
• No próximo tópico estudaremos soluções em torno de pontos
singulares especiais (pontos singulares regulares). 
 
)(
)()( ,
)(
)()(,0)()(2
2
xP
xRxq
xP
xQxpondeyxq
dx
dyxp
dx
yd ===++
Soluções em série em torno de pontos ordinários
• Para resolver nossa equação em torno de um ponto
ordinário x0, 
assumiremos uma representação em série de uma função
solução desconhecida y:
• Dentro do intervalo de convergência, esta representação de 
y é contínua e possui derivadas de todas as ordens. 
0)()()( 2
2
=++ yxR
dx
dyxQ
dx
ydxP
∑∞
=
−=
0
0 )()(
n
n
n xxaxy
Exemplo 1: soluções em série (1 de 8)
• Procuremos uma solução em série para a equação
• Aqui, P(x) = 1, Q(x) = 0, R(x) = 1. Assim todo ponto x é um 
ponto ordinário. Escolheremos x0 = 0. 
• Assumindo uma solução em série sob a forma
• Diferenciando termo a termo obtemos
• Substituindo estas expressão na equação obtemos
∑∞
=
=
0
)(
n
n
n xaxy
( )∑∑∑ ∞
=
−∞
=
−∞
=
−=′′=′=
2
2
1
1
0
1)(,)(,)(
n
n
n
n
n
n
n
n
n xannxyxnaxyxaxy
( ) 01
02
2 =+− ∑∑ ∞
=
∞
=
−
n
n
n
n
n
n xaxann
∞<<∞−=+′′ xyy ,0
Exemplo 1: combinando séries (2 de 8)
• Nossa equação é
• Mudando os índice obtemos
( ) 01
02
2 =+− ∑∑ ∞
=
∞
=
−
n
n
n
n
n
n xaxann
( )( )
( )( )[ ] 012
ou
012
0
2
00
2
=+++
=+++
∑
∑∑
∞
=
+
∞
=
∞
=
+
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
xaann
xaxann
Exemplo 1: relação de recorrência (3 de 8)
• Assim a equação resulta em
• Para esta equação ser válida para todo x, os coeficientes de 
cada potência de x devem ser zero, e portanto
• Este tipo de equação é chamado de relação de recorrencia. 
O próximo passo é determinar os coeficientes a0, a1, a2, ….
( )( )
( )( ) ...,2,1,0,12
ou
...,2,1,0,012
2
2
=++
−=
==+++
+
+
n
nn
aa
naann
n
n
nn
( )( )[ ] 012
0
2 =+++∑∞
=
+
n
n
nn xaann
• Para determinar a2, a4, a6, …., procedemos como segue:
Exemplo 1: coeficientes pares (4 de 8)
( )( )122 ++
−=+ nn
aa nn
( ) ...,3,2,1,
)!2(
1
,
12345656
,
123434
,
12
0
2
04
6
02
4
0
2
=−=
⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅−=
⋅⋅⋅=⋅−=
⋅−=
k
k
aa
aaa
aaa
aa
k
k
M
• Para determinar a3, a5, a7, …., procedemos como segue:
Exemplo 1: coeficientes ímpares (5 de 8)
( ) ...,3,2,1,
)!12(
1
,
123456767
,
1234545
,
23
1
12
15
7
13
5
1
3
=+
−=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅−=
⋅⋅⋅⋅=⋅−=
⋅−=
+ kk
aa
aaa
aaa
aa
k
k
M
( )( )122 ++
−=+ nn
aa nn
Exemplo 1: soluções (6 de 8)
• Assim, os resultados anteriores mostram que
• Então
• Note que a0 e a1 são determinados pelas condições iniciais. 
• Também, utilizando o teste da razão, podemos mostrar que
estas duas séries convergem absolutamente para o intervalo
(-∞, ∞), e portanto as manipulações realizadas em cada
passo são válidas.
11202
0 !)12(
)1(,
!)2(
)1(,)( a
k
aa
k
aondexaxy
k
k
k
k
n
n
n +
−=−== +
∞
=
∑
12
0
1
2
0
0 !)12(
)1(
!)2(
)1()( +
∞
=
∞
=
∑∑ +−+−= nn
n
n
n
n
x
n
ax
n
axy
Example 1: funções definidas pelo PVI (7 de 8)
• A solução obtida é
• Do cálculo, sabemos que esta solução é equivalente a
• De fato, é fácil de verificar que cos x e sin x formam um 
conjunto fundamental de solução da equação diferencial
original
12
0
1
2
0
0 !)12(
)1(
!)2(
)1()( +
∞
=
∞
=
∑∑ +−+−= nn
n
n
n
n
x
n
ax
n
axy
xaxaxy sincos)( 10 +=
∞<<∞−=+′′ xyy ,0
Exemplo 1: gráficos (8 de 8)
• Os gráficos abaixo mostram as somas parciais das séries
para o cos x e sin x. 
• Conforme o número de termos aumenta, o intervalo no qual
a aproximação se torna satisfatória também aumenta
gerando uma soluação mais fidedigna.
• Contudo, o truncamento da série proporciona somente uma
aproximação local nas vizinhanças de x = 0.
12
0
1
2
0
0 !)12(
)1(
!)2(
)1()( +
∞
=
∞
=
∑∑ +−+−= nn
n
n
n
n
x
n
ax
n
axy
Exemplo 2: Equação de Airy (1 de 10)
• Vamos determinar a solução em série em torno de x0 = 0 da
equação de Airy: 
• Veja que P(x) = 1, Q(x) = 0 e R(x) = - x. Assim, todos os
pontos são pontos ordinários.
• Assumindo uma solução em série e diferenciando-a obtemos
• Substituindo estas expressões na equação, segue
( )∑∑∑ ∞
=
−∞
=
−∞
=
−=′′=′=
2
2
1
1
0
1)(,)(,)(
n
n
n
n
n
n
n
n
n xannxyxnaxyxaxy
( ) 01
0
1
2
2 =−− ∑∑ ∞
=
+∞
=
−
n
n
n
n
n
n xaxann
∞<<∞−=−′′ xxyy ,0
Exemplo 2: combinando séries (2 de 10)
• Nossa equação é
• Renomeando os índices obtemos
( ) 01
0
1
2
2 =−− ∑∑ ∞
=
+∞
=
−
n
n
n
n
n
n xaxann
( )( )
( )( )[ ] 01212
ou
012
1
122
1
1
0
2
=−+++⋅⋅
=−++
∑
∑∑
∞
=
−+
∞
=
−
∞
=
+
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
xaanna
xaxann
Exemplo 2: relação de recorrência (3 de 10)
• Copiando a equação do slide anterior
• Para esta equação ser válida para todo x, o coeficiente de 
cada potência de x deve ser zero; assim a2 = 0 e
( )( )
( )( ) ...,2,1,0,23
ou
,...3,2,1,
12
3
1
2
=++=
=++=
+
−
+
n
nn
aa
n
nn
aa
n
n
n
n
( )( )[ ] 01212
1
122 =−+++⋅⋅ ∑∞
=
−+
n
n
nn xaanna
Exemplo 2: coeficientes (4 de 10)
• Do slide anterior a2 = 0 e
• Para esta relação de recorrência, temos a2 = a5 = a8 = … = 0.
• O próximo passo é determinar os coeficientes a0, a3, a6, ….
• Para isso vamos procurar uma fórmula com a3n, n = 1, 2, 3, …
• Em seguida, determinaremos a1, a4, a7, …, através de uma
fórmulapara a3n+1, n = 1, 2, 3, …
( )( ) ...,2,1,0,323 =++=+ nnn
aa nn
Exemplo 2: determinando a3n (5 de 10)
• Determinando a3, a6, a9, ….
• A equação geral para esta sequência é
( )( )323 ++=+ nn
aa nn
L,
98653298
,
653265
,
32
06
9
03
6
0
3 ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅=
aaaaaaaa
...,2,1,
)3)(13)(33)(43(6532
0
3 =−−−⋅⋅⋅= nnnnn
aa n L
Exemplo 2: Determinando a3n+1 (6 de 10)
• Obtendo a4, a7, a10, …
• A fórmula geral para esta sequência é
L,
1097643109
,
764376
,
43
17
10
14
7
1
4 ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅=
aaaaaaaa
...,2,1,
)13)(3)(23)(33(7643
1
13 =+−−⋅⋅⋅=+ nnnnn
aa n L
( )( )323 ++=+ nn
aa nn
Exemplo 2: séries e coeficientes (7 de 10)
• Dos slides anteriores sabemos que
onde a0, a1 são constantes arbitrárias, e
n
n
n
n
n
n xaxaaxaxy ∑∑ ∞
=
∞
=
++==
3
10
0
)(
...,2,1,
)13)(3)(23)(33(7643
...,2,1,
)3)(13)(33)(43(6532
1
13
0
3
=+−−⋅⋅⋅=
=−−−⋅⋅⋅=
+ nnnnn
aa
n
nnnn
aa
n
n
L
L
Exemplo 2: solução (8 de 10)
• Assim, a solução é
onde a0 e a1 são constantes arbitrárias determinadas pelas
condições iniciais.
• Considere os dois casos
(1) a0 =1, a1 = 0 ⇔ y(0) = 1, y'(0) = 0
(2) a0 =0, a1 = 1 ⇔ y(0) = 0, y'(0) = 1
• As soluções correspondentes y1(x), y2(x) são linearmente
independentes, uma vez queW(y1, y2)(0) =1 ≠ 0, onde
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+⋅++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⋅+= ∑∑
∞
=
+∞
= 1
13
1
1
3
0 )13)(3(43)3)(13(32
1)(
n
n
n
n
nn
xxa
nn
xaxy LL
)0()0()0()0(
)0()0(
)0()0(
)0)(,( 2121
21
21 yyyyyy
yy
yyW ′−′=′′= 21
Exemplo 2: soluções fundamentais (9 de 10)
• Solução obtida:
• Para os casos
(1) a0 =1, a1 = 0 ⇔ y(0) = 1, y'(0) = 0
(2) a0 =0, a1 = 1 ⇔ y(0) = 0, y'(0) = 1,
as soluções y1(x) e y2(x) são linearmente independentes, e 
portanto são soluções fundamentais da equação de Airy, 
com solução geral dado por
y (x) = c1 y1(x) + c1 y2(x) 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+⋅++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⋅+= ∑∑
∞
=
+∞
= 1
13
1
1
3
0 )13)(3(43)3)(13(32
1)(
n
n
n
n
nn
xxa
nn
xaxy LL
Exemplo 2: gráficos (10 de 10)
• Assim, dados as condições iniciais
y(0) = 1, y'(0) = 0 e y(0) = 0, y'(0) = 1
as soluções são, respectivamente,
• Os gráficos de y1 e y2 são dados abaixo. Os números próximos
de cada curva representam as somas parciais.
∑∑ ∞
=
+∞
= +⋅+=−⋅+= 1
13
2
1
3
1 )13)(3(43
)(,
)3)(13(32
1)(
n
n
n
n
nn
xxxy
nn
xxy LL
Exemplo 3: equação de Airy (1 de 7)
• Neste exemplo, vamos determinar a solução em série em
torno de x0 = 1 da equação de Airy: 
• Temos, P(x) = 1, Q(x) = 0 e R(x) = - x. 
• Assumindo uma solução em série e diferenciando-a obtemos
• Substituindo estes resultados na EDO e rearranjando os
índices, segue
( )∑∑∑ ∞
=
−∞
=
−∞
=
−−=′′−=′−=
2
2
1
1
0
)1(1)(,)1()(,)1()(
n
n
n
n
n
n
n
n
n xannxyxnaxyxaxy
( )( ) ( ) ( ) .1112
00
2 ∑∑ ∞
=
∞
=
+ −=−++
n
n
n
n
n
n xaxxann
∞<<∞−=−′′ xxyy ,0
Exemplo 3: Manipulando a equação em série (2 de 7)
• Do slide anterior temos
• O x do lado direito pode ser escrito como 1 + (x – 1), assim
( )( ) ( ) ( )∑∑ ∞
=
∞
=
+ −=−++
00
2 1112
n
n
n
n
n
n xaxxann
( )( ) ( ) [ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )∑∑
∑∑
∑∑
∞
=
−
∞
=
∞
=
+∞
=
∞
=
∞
=
+
−+−=
−+−=
−−+=−++
1
1
0
0
1
0
00
2
11
11
1)1(1112
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
xaxa
xaxa
xaxxann
Exemplo 3: relação de recorrência (3 de 7)
• A equação é reescrita como
• Juntando os termos determinamos a relação de recorrência
• Igualando os coeficientes das potências de x -1 obtemos
M
,
1224
34
,
66
23
,
2
2
10
4124
10
3013
0
202
aaaaaa
aaaaaa
aaaa
+=⇒+=⋅
+=⇒+=⋅
=⇒=
( )( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑ ∞
=
−
∞
=
∞
=
+ −+−+=−+++
1
1
1
0
1
22 111122
n
n
n
n
n
n
n
n
n xaxaaxanna
( )( ) )1(,12 12 ≥+=++ −+ naaann nnn
Exemplo 3: solução (4 de 7)
• Baseado nos slides anteriores temos
com
( )∑∞
=
−=
0
1)(
n
n
n xaxy
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+−+−+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+−+−+=
L
L
12
1
6
11
24
1
6
1
2
11)(
43
1
432
0
xxxa
xxxaxy
M
,
1224
,
66
,
2
arbitrário
arbitrário
10
4
10
3
0
2
1
0
aaa
aaa
aa
a
a
+=
+=
=
=
=
Exemplo 3: solução e recursão (5 de 7)
• A solução obtida é
• A fórmula de recursão tem três termos, 
e determinar uma fórmula geral para os coeficientes an contendo
três termos é bastante difícil ou até mesmo impossível.
• Contudo, utilizando a última equação, podemos gerar quantos
coeficientes quisermos.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
12
1
6
11
24
1
6
1
2
11)(
43
1
432
0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+−+−+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+−+−+=
L
L
xxxa
xxxaxy
( )( ) )1(,12 12 ≥+=++ −+ naaann nnn M
,
1224
,
66
,
2
arbitrário
arbitrário
10
4
10
3
0
2
1
0
aaa
aaa
aa
a
a
+=
+=
=
=
=
Exemplo 3: solução e convergência (6 de 7)
• Solução obtida:
• Uma vez que não temos uma fórmula geral para an, não
podemos usar os testes de convergência (e.g., teste da razão) 
nesta série de potências
• Isto torna nossa manipulação da série de potênciais
duvidosa. Contudo, um teorema anunciado logo a seguir
confirmará a convergência da solução.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+−+−+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+−+−+=
L
L
12
1
6
11
24
1
6
1
2
11)(
43
1
432
0
xxxa
xxxaxy
( )∑∞
=
−=
0
1)(
n
n
n xaxy
Exemplo 3: soluções fundamentais (7 de 7)
• Assim, a solução
pode ser escrita como
onde y3(x) e y4(x) são funções linearmente independentes e 
portanto formam um conjunto fundamental de soluções para
a equação de Airy.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+−+−+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+−+−+=
L
L
12
1
6
11
24
1
6
1
2
11)(
43
1
432
0
xxxa
xxxaxy
)()()( 4130 xyaxyaxy +=
Existência das soluções em séries
• Uma função p é analítica em x0 se ela tem uma expansão
em série de Taylor que converge para p em algum intervalo
em x0
• O ponto x0 é um ponto ordinário da equação
se p(x) = Q(x)/P(x) e q(x)= R(x)/P(x) são analíticos em x0. 
De outro modo x0 é um ponto singular.
• Se x0 é um ponto ordinário, então p e q são analíticas e tem 
derivadas de todas as ordens em x0. Isto nos permite obter a 
solução da EDO acima como uma série y(x) = Σ an(x - x0)n.
∑∞
=
−=
0
0 )()(
n
n
n xxpxp
0)()()( 2
2
=++ yxR
dx
dyxQ
dx
ydxP
Teorema 5.1
• Se x0 é um ponto ordinário da equação diferencial
então a solução geral para esta equação é
onde a0 e a1 são arbitrários, e y1 e y2 são soluções em série
linearmente independentes e analíticas em x0. 
• Além disso, o raio de convergência para cada solução em
série y1 e y2 é ao menos tão grande quanto o menor raio de 
convergência das séries para p e q. 
0)()()( 2
2
=++ yxR
dx
dyxQ
dx
ydxP
)()()()( 2110
0
0 xyaxyaxxaxy
n
n
n +=−=∑∞
=
Raio de convergência
• Assim, se x0 é um ponto ordinário da equação diferencial, 
então existe uma solução em série y(x) = Σ an(x - x0)n. 
• Além disso, o raio de convergência para cada solução em
série y1 e y2 é ao menos tão grande quanto o menor raio de 
convergência das séries para p e q. 
• Este raio de convergência pode ser determinado de duas
formas distintas: 
1. Obtendo as séries de Taylor em torno x0 de p e q, e em seguida
determinando seus raiosde convergência.
2. Se P, Q e R são polinômios sem fatores em comum, então pode se 
mostra que Q/P e R/P são analíticas em x0 se P(x0) ≠ 0, e o raio de 
convergência da série de potências para Q/P e R/P em torno de x0 é
a distância de x0 à raiz mais próxima de P (incluindo os zeros 
complexos). 
Exemplo 4
• Seja f (x) = (1 + x2)-1. Determine o raio de convergência da
série de Taylor em torno x0 = 0.
• Esta série de Taylor é
• Usando o teste da razão, temos
• Assim, o raio de convergência é ρ = 1. 
• Alternativamente, note que os zeros de 1 + x2 são x = ±i. 
Uma vez que a distância no plano complexo de 0 para i ou –i
é 1, vemos novamente que ρ = 1. 
LL +−++−+−=+
nn xxxx
x
2642
2 )1(11
1
1for ,1lim
)1(
)1(lim 22
221
<<=−
−
∞→
++
∞→ xxx
x
nnn
nn
n
Exemplo 5
• Determine o menor valor do raio de convergência da solução
em série em torno de x0 = 0 para a equação
• Note que P(x) = (x - 1), Q(x) = 0 e R(x) = 1. Assim, x0 = 0 é
um ponto ordinário, pois q(x) = 1/(x - 1) é analítica em x0 = 0. 
• Uma vez que x = 1 é um ponto singular de q, o raio de 
convergência para a expansão em série de Taylor de q em
torno de x0 = 0 é ρ = 1.
• Portanto, pelo teorema 5.1, o raio de convergência para a 
solução em série em x0 = 0 é pelo menos ρ = 1. 
0)1( =+′′− yyx
Exemplo 6: equação de Airy
• Determine o menor valor do raio de convergência da
solução em série em torno de x0 = 1 para a equação
• Aqui, P(x) = 1, Q(x) = 0 e R(x) = - x. 
• Assim, todo ponto x é um ponto ordinário, pois p(x) = 0 
e q(x) = - x são analíticos em toda a reta real. 
• O raio de convergência para p e q é infinito.
• Portanto, pelo teorema 5.1, o raio de convergência para
a solução em série em torno de x0 = 1 é infinito. 
0=−′′ xyy
Exemplo 7
• Determine o menor valor do raio de convergência da
solução em série em torno de x0 = -1 para a equação
• Aqui, P(x) = x(x + 3), Q(x) = 1 e R(x) = 1. 
• Assim, x0 = -1 é um ponto ordinário, uma vez que p(x) = 
1/x(x + 3) e q(x) = 1/x(x + 3) são analíticas em x0 = -1. 
• Também, p e q tem pontos singulares em x = 0 e x = -3.
• O raio de convergência para a expansão da série de Taylor 
de p e q em torno de x0 = -1 é ρ = 1. 
• Portanto, pelo teorema 5.1, o raio de convergência para a 
solução em série em x0 = -1 é pelo menos ρ = 1. 
0)3( 2 =+′+′′+ yyyxx
Exemplo 8: equação de Legendre
• Determine o menor valor do raio de convergência da solução em
série em x0 = 0 para a equação de Legendre
• Aqui, P(x) = 1 – x2, Q(x) = -2x e R(x) = α (α + 1). 
• Assim, x0 = 0 é um ponto ordinário, uma vez que p(x) = -2x/(1 –
x2) e q(x) = α (α + 1)/(1 – x2) são analíticas em x0 = 0. 
• Temos também que p e q têm pontos singulares em x = ±1.
• O raio de convergência para a expansão da série de p e q em
torno de x0 = 0 é ρ = 1. Portanto, este é o menor valor para o raio
de convergência da solução da equação de Legendre.
• Pode-se mostrar que se α é um inteiro positivo, então uma das 
soluções em série termina depois de um número finito de termos, 
e portanto converge para todo x, não somente para |x| < 1.
( ) constant. a ,012)1( 2 ααα =++′−′′− yyxyx
Exemplo 9: raio de convergência (1 de 2)
• Determine o menor valor do raio de convergência da
solução em série em torno de x0 = 0 para a equação
• Aqui, P(x) = 1 + x2, Q(x) = 2x e R(x) = 4x2.
• Assim, x0 = 0 é um ponto ordinário, uma vez que p(x) = 
2x/(1 + x2) and q(x) = 4x2 /(1 + x2) são analíticas em x0 = 0. 
• Veja que p e q tem pontos singulares em x = ±i.
• O raio de convergência para a expansão da série de Taylor 
de p e q em torno de x0 = 0 é ρ = 1. 
• Portanto, pelo teorema 5.1, o raio de convergência para a 
solução em série em x0 = 0 é pelo menos ρ = 1. 
042)1( 22 =+′+′′+ yxyxyx
Exemplo 9: teoria da solução (2 de 2)
• Assim, para a equação
o raio de convergência para a solução em série em x0 = 0 é ao
menos ρ = 1 (teorema 5.1).
• Suponha que as condições iniciais y(0) = y0 e y(0) = y0' são
dadas. Uma vez 1 + x2 ≠ 0 para todo x, então existe uma
única solução para o problema de valor inicial em -∞ < x < ∞
(teorema de exis. e uni. de EDO lineares de segunda ordem). 
• Por outro lado, o teorema 5.1 somente garante uma solução
sob a forma Σanxn para -1 < x < 1, onde a0 = y0 e a1 = y0'. 
• Assim, a solução única para -∞ < x < ∞ pode não ter uma
série de potências em x0 = 0 que converge para todo x. 
,042)1( 22 =+′+′′+ yxyxyx
Exemplo 10
• Determine o menor valor do raio de convergência da solução
em série em torno de x0 = 0 para a equação
• Aqui, P(x) = 1, Q(x) = sinx e R(x) = 1 + x2.
• Note que p(x) = sin x não é polinomial, porém possuí uma
série de Taylor em torno de x0 = 0 que converge para todo x. 
• Similarmente, q(x) = 1 + x2 tem uma série de Taylor em torno
de x0 = 0 (igual a 1 + x2) que converge para todo x. 
• Portanto, pelo teorema 5.1, o raio de convergência para a 
solução em série em x0 = 0 é infinito. 
( ) 0)1(sin 2 =++′+′′ yxyxy
	Soluções em série �em torno de um ponto ordinário
	Pontos ordinários 
	Pontos singulares 
	Soluções em série em torno de pontos ordinários 
	Exemplo 1: soluções em série (1 de 8)
	Exemplo 1: combinando séries (2 de 8) 
	Exemplo 1: relação de recorrência (3 de 8) 
	Exemplo 1: coeficientes pares (4 de 8)
	Exemplo 1: coeficientes ímpares (5 de 8)
	Exemplo 1: soluções (6 de 8)
	Example 1: funções definidas pelo PVI (7 de 8)
	Exemplo 1: gráficos (8 de 8)
	Exemplo 2: Equação de Airy (1 de 10)
	Exemplo 2: combinando séries (2 de 10)
	Exemplo 2: relação de recorrência (3 de 10) 
	Exemplo 2: coeficientes (4 de 10)
	Exemplo 2: determinando a3n (5 de 10)
	Exemplo 2: Determinando a3n+1 (6 de 10)
	Exemplo 2: séries e coeficientes (7 de 10) 
	Exemplo 2: solução (8 de 10)
	Exemplo 2: soluções fundamentais (9 de 10)
	Exemplo 2: gráficos (10 de 10)
	Exemplo 3: equação de Airy (1 de 7)
	Exemplo 3: Manipulando a equação em série (2 de 7)
	Exemplo 3: relação de recorrência (3 de 7)
	Exemplo 3: solução (4 de 7)
	Exemplo 3: solução e recursão (5 de 7)
	Exemplo 3: solução e convergência (6 de 7)
	Exemplo 3: soluções fundamentais (7 de 7)
	Existência das soluções em séries
	Teorema 5.1 
	Raio de convergência 
	Exemplo 4 
	Exemplo 5 
	Exemplo 6: equação de Airy 
	Exemplo 7 
	Exemplo 8: equação de Legendre
	Exemplo 9: raio de convergência (1 de 2)
	Exemplo 9: teoria da solução (2 de 2)
	Exemplo 10