Solucoes em Serie Topico 3

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Soluções em série – Tópico 3
• Pontos singulares regulares
• Classificação de pontos singulares
• Equação de Euler
Pontos singulares regulares
{ Lembremos que um ponto x0 é um ponto ordinário da
equação
se p(x) = Q(x)/P(x) e q(x)= R(x)/P(x) são analíticas em x0. De 
outra forma x0 é um ponto singular. 
{ Assim, se P, Q e R são polinômios que não possuem fatores
em comum, então os pontos singulares da equação diferencial
são pontos na qual P(x) = 0. 
0)()()( 2
2
=++ yxR
dx
dyxQ
dx
ydxP
Exemplo 1: equações de Bessel e Legendre
{ Equação de Bessel de ordem ν:
{ O ponto x = 0 é um ponto singular, uma vez que P(x) = x2 é
zero em x = 0. Todos os outros pontos são pontos ordinários.
{ Equação de Legendre:
{ Os pontos x = ±1 são pontos singulares, uma vez que P(x) = 
1- x2 é zero nestes pontos. Todos os outros pontos são pontos
ordinários.
( ) 0222 =−+′+′′ yxyxyx ν
( ) ( ) 0121 2 =++′−′′− yyxyx αα
Comportamento da solução em torno
de pontos singulares (1 de 2)
{ Se tentarmos usar os métodos desenvolvidos no tópico 2 para
resolver as equações diferenciais nas vizinhanças de um 
ponto singular x0, veremos que estes métodos falham.
{ Isto ocorre porque a solução pode não ser analítica em x0, e 
portanto não ter uma expansão em série de Taylor em x0. 
Assim, devemos usar uma expansão em série mais geral.
{ Uma equação diferencial normalmente possui poucos (ou
nenhum) pontos singulares, mas o comportamento da solução
próximo desses pontos são importantes. 
{ Por exemplo, as soluções podem se tornar ilimitadas ou
apresentam rápidas mudanças de magnitude próximos dos 
pontos singulares.
{ Além do mais, singularidades geométricas em problemas
físicos, como bicos, podem levar a pontos singulares na
equação diferencial correspondente.
Comportamento da solução em torno
de pontos singulares (2 de 2)
{ Assim, sem maiores informações sobre Q/P e R/P nas
vizinhanças de um ponto singular x0, pode ser impossível
descrever o comportamento da solução próximo deste ponto. 
{ Pode ocorrer de existir duas soluções linearmente
independentes que permanencem limitadas quando x → x0; 
ou pode ser que apenas uma seja limitada enquanto que a 
outra divirja quando x→ x0; ou ainda as duas podem divergir
quando x→ x0.
{ Se uma solução diverge, é interessante saber se y → ∞ da
mesma maneira que (x - x0)-1 ou |x - x0|-½, ou ainda de outra
maneira.
Exemplo 2
{ Considere a seguinte equação
que possui um ponto singular em x = 0. 
{ Pode ser mostrado por substituição direta que as seguintes
funções são soluções linearmente independentes para x ≠ 0:
{ Assim, em qualquer intervalo que não contém a origem, a 
solução geral é y(x) = c1x2 + c2 x -1. 
{ Note que y = c1 x2 é limitada e analítica na origem, mesmo
que o teorema 5.1 não seja aplicável. 
{ Contudo, y = c2 x -1 não tem uma expansão em série de 
Taylor em torno de x = 0, e os métodos da seção anterior não
funcionam para a obtenção desta solução.
1
2
2
1 )(,)(
−== xxyxxy
,022 =−′′ yyx
Exemplo 3
{ Considere a seguinte equação
que possui um ponto singular em x = 0. 
{ Pode ser mostrado que as seguintes funções são soluções
linearmente independentes e são analíticas em x = 0:
{ Portanto, a solução geral é
{ Se condições iniciais arbitrárias são específicadas em x = 0, 
então será impossível determinar ambos c1 e c2.
0222 =+′−′′ yyxyx
2
21 )(,)( xxyxxy ==
2
21)( xcxcxy +=
Exemplo 4
{ Considere a seguinte equação
que possui um ponto singular em x = 0.
{ Pode ser mostrado que as seguintes funções são soluções
linearmente independentes, e que nenhuma das duas são
analíticas em x = 0:
{ Assim, em qualquer intervalo que não contém a origem, a 
solução geral é y(x) = c1x -1 + c2 x -3. 
{ Então, segue que as duas soluções são divergentes próximo
da origem.
3
2
1
1 )(,)(
−− == xxyxxy
,0352 =++′′ yxyyx
Classificação de pontos singulares
{ Nosso objetivo é extender o método já desenvolvido para
resolver
próximo de um ponto ordinário para que ele se aplique nas
vizinhanças de um ponto singular x0.
{ Para fazer isso, nos restringiremos aos casos na qual as 
singularidades Q/P e R/P em x0 não são muito severas. 
{ Estas singularidades são chamadas de singularidades fracas e 
se distinguem das outras pois respeitam as condições
0)()()( =+′+′′ yxRyxQyxP
( ) ( ) finito. é 
)(
)(lim finito é 
)(
)(lim 200
00 xP
xRxxe
xP
xQxx
xxxx
−− →→
Pontos singulares regulares
{ Considere a equação diferencial
{ Se P e Q são polinômios, então um ponto regular singular x0
é ponto singular que respeita as condições
{ Para funções mais gerais que polinômios, x0 é um ponto
sigular regular se ele é um ponto singular na qual
{ Qualquer outro ponto singular em x0 é um ponto singular 
irregular.
( ) ( ) . em analíticos são 
)(
)( 
)(
)(
0
2
00 xxxP
xRxxe
xP
xQxx =−−
0)()()( =+′+′′ yxRyxQyxP
( ) ( ) finito. é 
)(
)(lim finito é 
)(
)(lim 200
00 xP
xRxxe
xP
xQxx
xxxx
−− →→
Exemplo 5: equação de Bessel
{ Considere a equação de Bessel de ordem ν
{ O ponto x = 0 é um ponto singular regular, uma vez que
ambos os limites são finitos:
( ) 0222 =−+′+′′ yxyxyx ν
( )
( ) 22
22
2
0
2
0
200
lim 
)(
)(lim
,1lim
)(
)(lim
0
0
νν −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−
→→
→→
x
xx
xP
xRxx
x
xx
xP
xQxx
xxx
xxx
Exemplo 6: equação de Legendre
{ Considere a equação de Legendre
{ O ponto x = 1 é im ponto singular regular, uma vez que
ambos os limites são finitos :
{ Similarmente, pode-se mostrar que x = -1 também é um 
ponto singular regular.
( ) ( ) 0121 2 =++′−′′− yyxyx αα
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
1
11lim
1
11lim 
)(
)(lim
,1
1
2lim
1
21lim
)(
)(lim
12
2
1
2
0
1210
0
0
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
+−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+−=−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
−−=−
→→→
→→→
x
x
x
x
xP
xRxx
x
x
x
xx
xP
xQxx
xxxx
xxxx
αααα
Exemplo 7
{ Considere a equação
{ O ponto x = 0 é um ponto singular regular :
{ O ponto x = 2, contudo, é um ponto singular irregular, uma
vez que o seguinte limite não existe:
( ) ( ) 02322 2 =−+′+′′− yxyxyxx
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ∞<=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=−
∞<=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=−
→→→
→→→
0
22
lim
22
2lim 
)(
)(lim
,0
22
3lim
22
3lim
)(
)(lim
02
2
0
2
0
20200
0
0
x
x
xx
xx
xP
xRxx
x
x
xx
xx
xP
xQxx
xxxx
xxxx
( ) ( ) ( ) ( )22
3lim
22
32lim
)(
)(lim
22200 −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−=− →→→ xx
x
xx
xx
xP
xQxx
xxxx
Exemplo 8: Coeficientes não polinomiais (1 de 2)
{ Considere a equação
{ Note que x = π /2 é o único ponto singular. 
{ Demostraremos que x = π /2 é um ponto singular regular 
mostrando que as seguintes funções são analíticas em π /2:
( ) ( ) ( ) 0sincos2/ 2 =+′+′′− yxyxyx π
( ) ( ) ( ) ( ) xx
xx
x
x
x
xx sin
2/
sin2/,
2/
cos
2/
cos2/ 2
2
2 =−−−=−− πππππ
Exemplo 8: ponto singular regular (2 de 2)
{ A série de Taylor de cos x em torno de π /2 é
{ Então
que converge para todo x, e portanto é analítica em π /2. 
{ Similarmente, sin x é analítica em π /2, com série de Taylor
{ Assim, π /2 é um ponto singular regular da equação
diferencial.
( )∑∞
=
++ −+
−=
0
12
1
2/
!)12(
)1(cos
n
n
n
x
n
x π
( ) ,2/
!)12(
)1(1
2/
cos
1
2
1∑∞
=
+
−+
−+−=− n
n
n
x
nx
x ππ
( )∑∞
=
−−=
0
22/
!)2(
)1(sin
n
n
n
x
n
x π
Equação de Euler
{ Uma equação diferencial relativamente simples que possui
um ponto singular é a equação Euler,
onde α e β são constantes.{ Note que x0 = 0 é um ponto singular regular. 
{ A solução da equação de Euler serve como base para a 
solução de todas as equações diferenciais com pontos
singulares regulares, e portanto iremos examinar esta equação
antes de discutirmos problemas mais gerais.
0][ 2 =+′+′′= yyxyxyL βα
Soluções da forma y = xr
{ Em qualquer intervalo que não contenha a origem, a solução
geral da equação de Euler tem a forma
{ Suponha que x está em ]0, ∞[, assumindo uma solução da
forma y = xr. Então,
{ Substituindo estes resultados na equação diferencial, obtemos
ou
ou
)()()( 2211 xycxycxy +=
21 )1(,, −− −=′′=′= rrr xrryxryxy
0)1(][ =++−= rrrr xxrxrrxL βα
[ ] 0)1(][ 2 =+−+= βα rrxxL rr
[ ] 0)1(][ =++−= βα rrrxxL rr
0][ 2 =+′+′′= yyxyxyL βα
Equação quadrática
{ Após substituir y = xr na equação de Euler, chegamos ao
resultado
e assim
{ Seja a função F(r) definida por
{ O próximo passo é examinar os diferentes casos para as 
raízes r1 e r2.
( ) 0,0)1(2 >=+−+ xrrxr βα
))(()1()( 21
2 rrrrrrrF −−=+−+= βα
2
4)1()1( 2 βαα −−±−−=r
Raízes distintas e reais
{ Se F(r) tem raízes reais r1 ≠ r2, então
são soluções da equação de Euler. Note que
{ Assim, y1 e y2 são linearmente independentes, e portanto a 
solução geral da nossa equação diferencial é
21 )(,)( 21
rr xxyxxy ==
( ) .0 todopara 0112
1
1
1
2
1
2
1
121
21
21
2121
21
21
>≠−=
−=
=′′=
−+
−+−+
−−
xxrr
xrxr
xrxr
xx
yy
yy
W
rr
rrrr
rr
rr
0,)( 21 21 >+= xxcxcxy rr
Exemplo 9
{ Considere a equação
{ Substituindo y = xr nesta equação, obtemos
e
{ Assim, r1 = -1/3, r2 = 1, e a nossa solução geral é
21 )1(,, −− −=′′=′= rrr xrryxryxy
[ ][ ]
( )( ) 0113
0123
01)1(3
0)1(3
2
=−+
=−−
=−+−
=−+−
rrx
rrx
rrrx
xrxxrr
r
r
r
rrr
0,)( 2
3/1
1 >+= − xxcxcxy
0,03 2 >=−′+′′ xyyxyx
Raízes iguais
{ Se F(r) tem raízes iguais r1 = r2, então temos uma solução
{ Consideremos o seguinte método para obter a segunda solução: 
{ Uma vez que F(r) tem uma raíz dupla r1, F(r) = (r - r1)2, e 
F'(r1) = 0. 
{ Isto sugere uma diferenciação de L[xr] com respeito a r e então
fazemos r = r1, como segue:
1)(1
rxxy =
[ ] ( )
( )
( ) ( )
0,ln)(
2ln]ln[
][
)1(][
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
>=⇒
−+−=
−∂
∂=∂
∂
−=+−+=
xxxxy
xrrrrxxxxL
rrx
r
xL
r
rrxrrxxL
r
rrr
rr
rrr βα
0][ 2 =+′+′′= yyxyxyL βα
Raízes iguais
{ Assim, no caso de raízes iguais r1 = r2, temos duas soluções: 
{ Agora,
{ Então, y1 e y2 são linearmente independentes, e a solução
geral da nossa equação diferencial é
xxxyxxy rr ln)(,)( 11 21 ==
( )
( )
.0 todopara 0
ln1ln
1ln
ln
12
12
11
12
1
11
121
21
1
11
11
11
>≠=
−+=
+=′′=
−
−−
−−
xx
xxrxrx
xrxxr
xxx
yy
yy
W
r
rr
rr
rr
( ) 0,lnln)( 111 2121 >+=+= xxxccxxcxcxy rrr
Exemplo 10
{ Considere a equação
{ Então
e
{ Assim, r1 = r2 = -3, com solução geral dado por
21 )1(,, −− −=′′=′= rrr xrryxryxy
0,0972 >=+′+′′ xyyxyx
[ ][ ]
( ) 03
096
097)1(
097)1(
2
2
=+
=++
=++−
=++−
rx
rrx
rrrx
xrxxrr
r
r
r
rrr
( ) 0,ln)( 321 >+= − xxxccxy
Raízes complexas
{ Suponha que F(r) tenha raízes complexas r1 = λ + iμ, r2 = λ -
iμ, com μ ≠ 0. Então, 
{ Assim, xr é definido para r complexo, e neste caso a solução
geral da equação diferencial tem a forma
{ Contudo, estas soluções assumem valores complexos. Pode-
se mostrar que as seguintes funções também são soluções:
( )
( ) ( )[ ] 0,lnsinlncoslnln
lnlnlnlnln
>+==
==== +
xxixxee
eeeeex
xix
xixxixrxr r
μμλμ
μλμλ
λ
0,)( 21 >+= −+ xxcxcxy ii μλμλ
( ) ( )xxxyxxxy lnsin)(,lncos)( 21 μμ λλ ==
Raízes complexas
{ As seguintes funções são soluções da nossa equação
diferencial:
{ Usando o Wronskiano, pode-se mostrar que y1 e y2 são
linearmente independentes, e assim a solução geral pode ser 
escrita como
( ) ( )xxxyxxxy lnsin)(,lncos)( 21 μμ λλ ==
( ) ( ) .0,lnsinlncos)( 21 >+= xxxcxxcxy μμ λλ
Exemplo 11
{ Considere a equação
{ Então
e
{ Assim, r1 = -2i, r2 = 2i, e nosso solução geral é
0,042 >=+′+′′ xyyxyx
21 )1(,, −− −=′′=′= rrr xrryxryxy
[ ][ ] 04 04)1(
04)1(
2 =+
=++−
=++−
rx
rrrx
xrxxrr
r
r
rrr
( ) ( )
( ) ( ) 0,ln2sinln2cos
ln2sinln2cos)(
21
0
2
0
1
>+=
+=
xxcxc
xxcxxcxy
Teorema 5.2
{ A solução geral da equação de Euler
em qualquer intervalo que não contém a origem é
determinado pelas raízes r1 e r2 da equação
de acordo com os seguintes casos:
onde r1 = λ + iμ e r2 = λ - iμ.
{ O comportamento qualitativo destas soluções próximo do 
ponto singular x = 0 depende da natureza de r1 e r2.
( )
( ) ( ),lnsinlncos)(:complexos ,
;ln)(:;)(:
2121
21212121
121
xxcxxcxyrr
xxccxyrrxcxcxyrr rrr
μμ λλ +=
+==+=≠
02 =+′+′′ yyxyx βα
))(()1()( 21
2 rrrrrrrF −−=+−+= βα
A equação de Euler modificada
{ A solução para a equação de Euler
é similar àquela dada pelo teorema 5.2:
onde r1 = λ + iμ e r2 = λ - iμ.
( )
( ) ( ),lnsinlncos)(
:complexos ,
ln)(:
)(:
02001
21
002121
020121
1
21
xxxcxxxxcxy
rr
xxxxccxyrr
xxcxxcxyrr
r
rr
−+−−=
−−+==
−+−=≠
μμ λλ
( ) ( ) 0020 =+′−+′′− yyxxyxx βα
	Pontos singulares regulares
	Exemplo 1: equações de Bessel e Legendre
	Comportamento da solução em torno�de pontos singulares (1 de 2)
	Comportamento da solução em torno�de pontos singulares (2 de 2)
	Exemplo 2
	Exemplo 3
	Exemplo 4
	Classificação de pontos singulares
	Pontos singulares regulares 
	Exemplo 5: equação de Bessel
	Exemplo 6: equação de Legendre
	Exemplo 7
	Exemplo 8: Coeficientes não polinomiais (1 de 2)
	Exemplo 8: ponto singular regular (2 de 2)
	Equação de Euler
	Soluções da forma y = xr 
	Equação quadrática
	Raízes distintas e reais
	Exemplo 9
	Raízes iguais
	Raízes iguais
	Exemplo 10
	Raízes complexas
	Raízes complexas
	Exemplo 11
	Teorema 5.2
	A equação de Euler modificada