Aula 05 - Método Gauss-Seidel

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Método Gauss-Seidel 
 
 
Exemplo 
 
Supondo: 
 
 
 
Dado x0 = e  = 5 x 10-2 (precisão) 
 
Da mesma forma que o método anterior, dado x0 (aproximação inicial) obter x1, ...xk, através 
da relação recursiva: x k+1 = Cxk + G. 
 
 
Podemos escrever na forma: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Seja  onde B = 
 
 
 
1º Passo: Observe que x corresponde na definição do método a , y a e z a , ou seja, 
podemos reescrever o sistema como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2º Passo: Portanto podemos reescrever: 
 
 
 
3º Passo: Podemos definir a matriz e a matriz G = 
 
 
4º Passo: Iniciamos as iterações. Assim, temos para k = 0: 
 
 
 
5º Passo: Como realizamos a primeira iteração, faremos o teste de parada para verificar se a 
solução encontrada alcançou a precisão desejada. O teste de parada será realizado a cada 
iteração. 
 
 
Teste de Parada: 
 
Utilizaremos o mesmo teste de parada do método anterior, ou seja, a distância entre xk e xk-1 
por mk = . Da mesma maneira que no teste de parada dos métodos 
estudados na aula anterior, onde procurávamos a raiz da função, podemos aplicar o teste do 
erro relativo. 
 
 
 
Observação: Podemos optar em usar como teste de parada um número máximo de iterações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
 
 
 Então, Portanto, passamos para k = 1. 
 
 
 
Observação: O método de Gauss-Seidel tem a convergência garantida se o critério de 
Sassenfeld for satisfeito.