Fórum de Discussão D

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Estamos de volta para o nosso último fórum de discussões que pontua para a AV2. O tema proposto é o das equações diferenciais ordinárias.
Determine as aproximações para a solução do valor de problema inicial no intervalo [0, 2] com h = 0,1, dado y´= 1 – x + 4y com y(0) = 1. Utilize o método de Euler.
Aguardo a participação de todos.
Att,
Professor Júlio César 
Boa noite Professor,
Participei do fórum C, mas resolvi fazer esse fórum também para praticar.
Segue abaixo a resolução:
y' = 1-x+4y, y(0) = 1; Solução exata: y(x) = x/4 -3/16 + (19/16)*e^4x
Solução: (h = 0.1)
f(x,y) = 1 - x +4y
y1 = y0 + h*f(x0,y0) = 1 + 0.1*(1 – 0 + 4*1)=1 + 0,5 = 1,5 ; x = x1 = h = 0.1
y(0,1) = 1,609041828
y2 = y1 + h*f(x1,y1) = 1,5 + 0,1*(1 - 0,1 + 4*1,5) = 1,5 + 0,69 = 2,19; x = x2 = 0,2
y(0,2) = 2.505329853
y3 = y2 + h*f(x2,y2) = 2,19 + 0,1*(1 - 0,2 + 4*2,19) = 2,19 + 0,956 = 3,146; x = x3 = 0,3
y(0,3) = 3,830138846
	n
	 xn+1
	 yn+1
	 y(xn+1) 
	0
	 0.1
	1.5
	1.609041828
	1
	 0.2
	 2.19
	 2.505329853 
	2
	 0.3
	3.146
	3.830138846 
	3
	 0.4
	4.4744
	5.794226004 
	4
	 0.5
	6.32416
	 8.712004117 
	5
	 0.6
	 8.903824
	13.05252195 
OU
Solução: yn+1 = yn + h.f(xn,yn) yn+1 = yn + 0,1.(1 – x + 4y)
h = xn+1- xn xn+1 = xn + h xn+1 = xn + 0,1
n = 0
y1 = 1 + 0,1.(1 – 0 + 4.1) = 1,5
x1 = 0 + 0,1 = 0,1
n = 1
y2 = 1,5 + 0,1.(1 – 0,1 + 4.1,5) = 2,19
x2 = 0,1 + 0,1 = 0,2
n = 2
y3 = 2,19 + 0,1.(1 – 0,2 + 4.2,19) = 3,146
x3 = 0,2 + 0,1 = 0,3
n = 3
y4= 3,146 + 0,1.(1 – 0,3 + 4.3,146) = 4,474
x4= 0,3 + 0,1 = 0,04
Bela participação inicial Renan,
O desenvolvimento matemático de sua solução está claro e preciso. Conseguiu entender perfeitamente o método de Euler na resolução numérica de EDOs. Além disso, utilizou de maneira precisa as fórmulas de recorrência que geram os valores de xi e yi.
Sugiro que tente implementar numa planilha eletrônica (EXCEL) e teste novos valores para h. Por exemplo h = 0,05.
Aguardo nova contribuição.
Att,
Professor Júlio César 
Boa noite Professor,
Segue abaixo a resolução fazendo com h=0,05:
Solução: yn+1 = yn + h.f(xn,yn) yn+1 = yn + 0,05.(1 – x + 4y)
h = xn+1- xn xn+1 = xn + h xn+1 = xn + 0,05
n = 0		y1 = 1 + 0,05.(1 – 0 + 4.1) = 1,25				x1 = 0 + 0,05 = 0,05
n = 1		y2 = 1,25 + 0,05.(1 – 0,05 + 4.1,25) = 1,5475			x2 = 0,05 + 0,05 = 0,1
n = 2		y3 = 1,5475 + 0,05.(1 – 0,1 + 4.1,5475) = 1,902			x3 = 0,1 + 0,05 = 0,15
n = 3		y4 = 1,902 + 0,05.(1 – 0,15 + 4.1,902) = 2,3249			x4 = 0,15 + 0,5 = 0,2
n = 4		y5 = 2,3249 + 0,05.(1 – 0,2 + 4. 2,3249) = 2,82988		x5 = 0,2 + 0,5 = 0,25
n = 5		y6 = 2,82988 + 0,05.(1 – 0,25 + 4. 2,82988) = 3,433356		x6 = 0,25 + 0,5 = 0,3
	n
	 xn+1
	 yn+1
	0
	 0,05
	1,25
	1
	 0,1
	1,5475
	2
	 0,15
	1,902
	3
	 0,2
	2,3249
	4
	 0,25
	2,82988
	5
	 0,3
	3,433356
Outras Respostas:
Bom dia
y' = 1-x+4y, y(0) = 1; solução exata: y(x) =x/4 -3/16 + (19/16)•e4x
Solução : (h = 0.1)
f(x,y) = 1 - x +4y
y1 = y0 + h•f(x0,y0) = 1 + 0.1•(1-0+4•1)=1+0,5 = 1,5 ; x = x1 = h = 0.1
valor : y(0,1) = 1,609041828
y2 = y1 + h•f(x1,y1) = 1,5 + 0,1•(1-0,1+4•1,5) = 1,5 +0,69 = 2,19; x = x2 = 0,2
valor : y(0,2)= 2.505329853
y3 = y2 + h•f(x2,y2) = 2,19 + 0,956 = 3,146; x = x3 = 0,3
valor : y(0,3) = 3,830138846
Boa Noite, Professor
yn+1 = yn + h.f(xn,yn)
xn+1 = xn + h
yn+1 = yn + h.f(xn,yn): yn+1 = yn + 0,1.(1 – x + 4y)
xn+1 = xn + h: xn+1 = xn + 0,1
n = 0
• y1 = 1 + 0,1.(1 – 0 + 4.1) = 1,5
• x1 = 0 + 0,1 = 0,1
n = 1
• y2 = 1,5 + 0,1.(1 – 0,1 + 4.1,5) = 2,19
• x2 = 0,1 + 0,1 = 0,2
n = 2
• y3 = 2,19 + 0,1.(1 – 0,2 + 4.2,19) = 3,146
• x3 = 0,2 + 0,01 = 0,3
n             x                   y 
00         0,1            1,500
01         0,2            2,190
02         0,3            3,146
03         0,4            4,474
04         0,5            6,324
05         0,6            8,904
06         0,7            12,505
07         0,8            17,537
08         0,9            24,572
09         1,0            34 ,411
10         1,1            48,176
11         1,2            67,437
12         1,3            94,391
13         1,4            132,118
14         1,5            184,925
15         1,6            258,844
16         1,7            362,322
17         1,8            507,181
18         1,9            709,974
19          2,0           993,873