Simulado 01 AV2 (Gabarito)

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SIMULADO CÁLCULO NUMÉRICO 
1) Considere a equação diferencial y´= y, sendo y 
uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e
x
, 
onde a é um numero real e e um número irracional 
cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é 
tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta 
condição. 
SOLUÇÃO: 
y(x) = a.e
x
  y´(x) = a.e
x 
Substituindo na equação diferencial, temos: 
 a.e
x
 = a.e
x 
CONDIÇÃO INICIAL: y(x) = a.e
x 
 2 = a.e
0 
 2 = a.1
 
2) Suponha que numa experiência no laboratório de 
Física um estudante de engenharia coletou os 
seguintes dados (0,6), (1,2) e (-1,12). Determine o 
polinômio interpolador: 
 
a) Pelo método de Lagrange 
b) Pelo método de Newton 
 
P(x) = x
2
 – 5x + 6 
 
3) Dados os 13 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., 
(x12,f(x12)) ) extraídos de uma situação real de 
engenharia. Suponha que se você tenha encontrado 
o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A 
respeito deste polinômio são feitas as seguintes 
afirmativas: 
 
I – seu grau máximo é 13 
II - Existe apenas um polinômio P(x) 
III - A técnica de Lagrange não é adequada para 
determinar P(x). 
 
Desta forma, é verdade que: 
 
a) Todas as afirmativas estão corretas 
 
b) Todas as afirmativas estão erradas 
 
c) Apenas I é verdadeira 
 
d) Apenas II é verdadeira 
 
e) Apenas II e III são verdadeiras. 
 
SOLUÇÃO: 
Dados “n” pontos distintos, o polinômio 
interpolador terá grau máximo “n-1”. Logo como 
são 13 pontos, o grau máximo é 12. 
Existe apenas um polinômio que interpola “n” 
pontos distintos dados. 
 
Lagrange e Newton são técnicas específicas para 
a interpolação 
 
4) Considere a função polinomial f(x) = 2x
3
 - 4x. 
Existem vários métodos iterativos para se determinar 
as raízes reais, dentre eles, Método de Newton 
Raphson – Método das Tangentes. Se tomarmos 
como ponto inicial x0= 2, a próxima iteração (x1) será: 
 
a) 2,0 b) 1,8 c) 1,6 d) 1,0 e) 1,2 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
f’(xi) = 6x
2
 – 4  f’(2) = 6.(2)
2
 – 4 = 20 
f(x) = 2x
3
 - 4x  f(2) = 2.(2)
3
 – 4.(2) = 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Suponha a equação 3x
3
 + 5x
2
 + 1 = 0. Responda 
os itens a seguir: 
 
a) Calcule f(-1), f(0), f(1) e f(2) 
 
f(x) = 3x
3
 +5x
2
 + 1 
 
f(-1) = 3(-1)
3
 +5(-1)
2
 + 1 = 3 
f(0) = 3(0)
3
 +5(0)
2
 + 1 = 1 
f(1) = 3(1)
3
 +5(1)
2
 + 1 = 9 
f(2) = 3(2)
3
 +5(2)
2
 + 1 = 45 
 
b) Diga em qual dos três intervalos existe uma raiz 
real da equação 
 
1
0
 intervalo: (-1,0); 
2
0
 intervalo: (0,1); 
3
0
 intervalo: (1,2); 
 
f(-1) x f(0) > 0 
 
f(0) x f(1) > 9 
 
f(1) x f(2) > 0 
 
Não podemos afirmar que existe uma raiz real em 
nenhum intervalo 
 
 
7) Seja o método numérico de integração conhecido 
como regra dos retângulos, isto é, a divisão do 
intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. 
Aplicando este método para resolver a integral 
definida 
 
 
com n = 20, cada base h terá 
que valor? 
 
a) 5,0 
b) 0,5 
c) 0,25 
d) 1,0 
e) 2,5 
 
SOLUÇÃO: 
h = (b-a) /n = (5-0)/20 = 0,25 
 
8) Considere a seguinte integral definida 
 
 
 
. Seu valor exato é 0,20. Determine o erro 
ao se resolver esta integral definida utilizando o 
método dos trapézios com quatro intervalos (n=4) 
 
DADO: 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
SOLUÇÃO: 
h = (b-a) /n = (1-0)/4 = 0,25 
 
a = 0  f(a) = 0
4
 = 0 
x1 = 0,25  f(x1) = 0,25
4
 = 0,00390625 
x2 = 0,50 f(x2) = 0,50
4
 = 0,0625 
x3 = 0,75 f(x3) = 0,75
4
 = 0,31640625 
b = 1  f(b) = 1
4
 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =0,2207 
 
Erro = (0,2207 – 0,20)/0,20=0,1035 = 
10,35%