AD2 - Met Det II - Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2013
Gabarito da AD2
Questa˜o 1: (2,0 pts) Seja m(x) =
{
x2 + 3x se x ≤ 1
5x− 1 se x > 1 .
a) Mostre pela definic¸a˜o que m e´ deriva´vel em x = 1 e calcule m′(1).
b) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de m.
Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt - sendo 0,5pt para cada um dos limites) Como a func¸a˜o possui duas leis de
definic¸a˜o pro´ximo do ponto x0 = 1 precisamos usar a definic¸a˜o de derivada para conseguirmos calcula´-
la. Inicialmente precisamos determinar o limite quando x → 1, mas isso significa que precisamos
determinar os limites laterais e verificar se os dois sa˜o iguais. Iniciamos com
lim
x→1−
m(x)−m(1)
x− 1 = limx→1−
x2 + 3x− 4
x− 1 = limx→1−
(x− 1)(x+ 4)
x− 1 = 5.
lim
x→1+
m(x)−m(1)
x− 1 = limx→1+
5x− 1− 4
x− 1 = limx→1+
5(x− 1)
x− 1 = 5.
Portanto, os limites laterais sa˜o iguais e vale que m′(1) = 5.
b) (Vale 1,0pt) Para fazer um esboc¸o do gra´fico, fac¸a um esboc¸o de x2+3x que e´ uma para´bola com a
concavidade voltada para cima e tem ra´ızes x = −3 e x = 0. Apague a parte da para´bola com x > 1
e marque dois pontos da reta y = 5x− 1. E obtera´ algo como
Questa˜o 2: (3,0 pts) Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = x
4+1
x2
.
a) Determine o domı´nio de f ;
b) Calcule f ′ e f ′′;
c) Fac¸a um estudo do sinal de f ′ e de f ′′(x). Com essas informac¸o˜es diga onde f e´ cres-
cente/decrescente e tambe´m a concavidade e os pontos de inflexa˜o;
1
d) Calcule os limites: x→ 0, x→ −∞ e x→ +∞;
e) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: a) (Vale 0,3pt) D(f) = {x ∈ R : x 6= 0}.
b) (Vale 0,8pt) reescrevendo f(x) = x
4+1
x2
= x2 + 1
x2
. Derivando obtemos
f ′(x) = 2x− 2x−3 e f ′′(x) = 2 + 6x−4.
c) (Vale 0,9pt - sendo 0,6pt para o estudo do sinal de f ′(x) e 0,3pt para f ′′(x)) Para fazer o estudo
do sinal de f ′(x) observe que podemos reescreveˆ-la da forma f ′(x) = x
2−1
x .
Ja´ a segunda derivada f ′′(x) = 2x
4+6
x4
vemos que f ′′(x) > 0 para todo x ∈ D(f). Portanto,
f(x) sempre tem a concavidade voltada para cima. Ale´m disso, e´ crescente em (−1, 0) ∪ (1,+∞) e
decrescente no complementar.
d) (Vale 0,6pt) Os limites laterais de f em 0 sa˜o
lim
x→0−
[
x2 +
1
x2
]
= lim
x→0+
[
x2 +
1
x2
]
= +∞.
lim
x→−∞
[
x2 +
1
x2
]
= +∞ = lim
x→−∞
[
x2 +
1
x2
]
.
2
e) (Vale 0,4pt) f(x) na˜o admite ra´ızes. Marque a reta x = 0 como ass´ıntota horizontal e lembre em
ambas as vizinhanc¸as dessa reta a func¸a˜o vai para mais infinito.
Questa˜o 3: (3,0 pts) Encontre as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) =
3
√
x+ x√
x
+
√
x. b) g(x) =
√
x2 + e
√
x.
c) h(x) =
√
x+
3
x3 + 2
. d) l(t) =
23t − 2−3t
23t + 2−3t
.
Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt)
f ′(x) =
( 3
√
x+ x)′(
√
x)− ( 3√x+ x)(√x)
x
+
1
2
√
x
=
(x
1
3 + x)′(x
1
2 )− (x 13 + x)(x 12 )′
x
+
1
2
√
x
=
(13x
− 2
3 + 1)(x
1
2 )− (x 13 + x)(12x−
1
2 )
x
+
1
2
√
x
=
(13x
− 1
6 + x
1
2 )− (12x−
1
6 + 12x
1
2 )
x
+
1
2
√
x
=
1√
x
− 1
6x7/6
b) (Vale 0,5pt)
g(x) =
2x+ e
√
x
2
√
x
2
√
x2 + e
√
x
3
c) (Vale 0,5pt)
h′(x) =
1
2
√
x
+
−3(3x2)
(x3 + 2)2
=
1
2
√
x
− 9x
2
(x3 + 2)2
d) (Vale 1,0pt) Para derivar 23t, comec¸amos escrevendo ela da seguinte forma: eln(2
3t). Para simplificar
vamos chamar de u(t) = ln 23t = 3t ln(2) e derivando temos u′(t) = 3 ln(2) e derivando eu(t) temos
u′(t)eu. Logo, (23t)′ = 3 ln(2)23t.
l′(t) =
(23t − 2−3t)′(23t + 2−3t)− (23t − 2−3t)(23t + 2−3t)′
(23t − 2−3t)2
=
43t+1 ln(8)
(64t + 1)2
Questa˜o 4: (2,0 pts) Determine a reta r sabendo que ela na˜o e´ vertical, que passa pelo ponto (0, 43)
e que e´ normal ao gra´fico de y = x3.
Soluc¸a˜o: obter a equac¸a˜o da reta normal 0,5pt, obter o coeficiente angular da reta normal 0,5pt,
montar o sistema 0,5pt e encontrar uma soluc¸a˜o 0,5pt.
Sabemos que a equac¸a˜o de qualquer reta que passa pelo ponto (x0, y0) e tem coeficiente angular
m e´ da forma y − y0 = m(x − x0). Por outro lado, o ponto (0, 43) na˜o pertence ao gra´fico de y = x3.
Ao derivar e avaliar a derivada no ponto (x1, y1) obtemos o coeficiente angular 3x
2
1 da reta tangente.
Mas o coeficiente da reta normal m satisfaz m × 3x21 = −1. E como a reta vertical ja´ foi eliminada,
segue que x1 6= 0. Logo, m = − 13x2
1
.
Precisamos determinar m, pois ja´ sabemos que (x0, y0) = (0,
4
3). Mas pela construc¸a˜o sabemos
que a reta normal intercepta o gra´fico de y = x3 no ponto (x1, y1), com isso obtemos
y1 − 4
3
= − 1
3x21
x1
y1 = x
3
1
Resolvendo estas duas equac¸a˜o obtemos:
x31 −
4
3
= − 1
3x1
⇒ 3x41 − 4x1 + 1 = 0.
Resolvendo em x1 obtemos facilmente que x1 = 1 e´ uma soluc¸a˜o. Dividindo o polinoˆmio por x1 − 1
obtemos 3x31+3x
2
1+3x1−1 que tem pelo menos mais uma soluc¸a˜o real. Vamos descartar essa soluc¸a˜o,
mas o valor aproximado e´ de x1 ≈ 0, 253. Enta˜o para x1 = 1 obtemos a equac¸a˜o
y = −x
3
+
4
3
.
4