MEstII-AP2-Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2013
Questa˜o 1 [2,5 pts]
Erupc¸o˜es solares sa˜o violentas exploso˜es no sol que liberam enormes quantidades de energia
e radiac¸a˜o. Essas emisso˜es podem danificar naves e sate´lites na o´rbita da terra e interrom-
per comunicac¸o˜es com o solo. Em um esforc¸o de planejamento relativo a poss´ıveis erupc¸o˜es,
realizou-se um estudo durante va´rios anos. Em 86 de 350 dias selecionados aleatoriamente
houve, pelo menos, um erupc¸a˜o solar.
(a) Ache um intervalo de confianc¸a de 99% para a verdadeira proporc¸a˜o de dias nos quais ha´,
pelo menos, uma erupc¸a˜o solar.
(b) Suponha que na˜o se conhec¸a qualquer estimativa pre´via de p̂. Qual e´ o tamanho amostral
necessa´rio para que o limite do erro de estimac¸a˜o seja 0,02, com o n´ıvel de confianc¸a da
parte (a)?
Soluc¸a˜o
(a) p̂ =
86
350
= 0, 2457 1− α = 0, 99⇒ z0,005 = 2, 58
� = 2, 58×
√
0, 2457× 0, 7543
350
= 0, 05937
IC: (0, 2457− 0, 05937; 0, 2457 + 0, 05937) = (0, 18633; 0, 30507)
(b) � = 0, 02 = 2, 58×
√
0, 5× 0, 5
n
⇒ √n = 2, 58× 0, 5
0, 02
= 64, 5⇒ n = 4161
Questa˜o 2 [2,5 pts]
Depois de analisar um arquivo de dados de mais de 2 milho˜es de chamadas telefoˆnicas, uma
companhia telefoˆnica relatou que a durac¸a˜o me´dia de todas as chamadas internacionais era de
295 segundos. Em um esforc¸o para aumentar a durac¸a˜o das chamadas internacionais e os lucros,
a companhia realizou uma extensa campanha publicita´ria. Alguns meses depois da aparic¸a˜o
dos primeiros anu´ncios, obteve-se uma amostra aleato´ria de 48 chamadas. A me´dia amostral
foi x = 306, 3 segundos. Suponha que o desvio-padra˜o populacional seja de 52 segundos. Ha´
alguma evideˆncia que sugira que a campanha de propaganda tenha tido sucesso? Use α = 0, 01.
Certifique-se de especificar claramente
(a) as hipo´teses nula e alternativa;
(b) a estat´ıstica de teste;
(c) a regia˜o cr´ıtica;
(d) a conclusa˜o;
(e) o valor P .
Soluc¸a˜o
σ = 52 α = 0, 01 n = 48 grande!
(a)
H0 : µ = 295
H1 : µ > 295
(b) Z0 =
√
48
X − 295
52
(c) RC : Z0 > 2, 33
(d) z0 =
√
48
306, 3− 295
52
= 1, 5056 < 2, 33
Na˜o se rejeita H0, ou seja, na˜o ha´ evideˆncias de que a campanha tenha aumentado a
durac¸a˜o das chamadas telefoˆnicas.
(e) P = P(Z ≥ 1, 5056) = 0, 5− tab(1, 51) = 0, 5− 0, 4345 = 0, 0655
Questa˜o 3 [1,0 pt]
Determine as hipo´teses nula e alternativa para as seguintes afirmativas. Certifique-se de utilizar
o paraˆmetro apropriado.
(a) Ha´, em me´dia, pelo menos 15 clientes.
(b) O tempo me´dio tem que ser menor que 15 minutos.
(c) O comprimento me´dio tem que ser 15 cm.
(d) A proporc¸a˜o de defeituosos tem que ser no ma´ximo 5%.
(e) A proporc¸a˜o de votos favora´veis tem que ser maior que 75%.
Soluc¸a˜o
(a)
afirmativa dada: µ ≥ 15 H0 : µ = 15
complementar: µ < 15 H1 : µ < 15
(b)
afirmativa dada: µ < 15 H0 : µ = 15
complementar: µ ≥ 15 H1 : µ < 15
(c)
afirmativa dada: µ = 15 H0 : µ = 15
complementar: µ 6= 15 H1 : µ 6= 15
(d)
afirmativa dada: p ≤ 0, 05 H0 : p = 0, 05
complementar: p > 0, 05 H1 : p > 0, 05
(e)
afirmativa dada: p > 0, 75 H0 : p = 0, 75
complementar: p ≤ 0, 75 H1 : p > 0, 75
Questa˜o 4 [1,0 pt]
Com base na tabela e nas propriedades da func¸a˜o de densidade t de Student determine a
abscissa t que satisfaz as condic¸o˜es pedidas:
(a) P(t(12) < t) = 0, 99 Sol: t = 2, 681
(b) P(t(19) < t) = 0, 05 Sol: t = −1, 729
(c) P(t(28) ≥ t) = 0, 90 Sol: t = −1, 313
2
(d) P(|t(16)| > t) = 0, 04 Sol: t = 2, 235
(e) P(|t(8)| < t) = 0, 70 Sol: t = 1, 108
Questa˜o 5 [3,0 pts]
A semana de trabalho de 40 horas na˜o se tornou padra˜o nos Estados Unidos ate´ 1940. Hoje,
muitos executivos trabalham mais de 40 horas por semana porque a gereˆncia pede mais horas
ou oferece incentivos moneta´rios. Obteve-se uma amostra aleato´ria de executivos, e o nu´mero
de horas de trabalho por semana de cada um e´ dado na tabela que segue.
44,7 42,0 45,8 43,0 42,8 50,9 47,0
41,9 49,3 45,6 45,7 39,4 39,0 44,4
(a) [2,0 pts] Ha´ alguma evideˆncia de que o verdadeiro nu´mero me´dio de horas de trabalho
de executivos seja superior a 40? Justifique sua resposta, realizando um teste de hipo´tese
apropriado com n´ıvel de significaˆncia de 2,5%. Certifique-se de especificar claramente as
hipo´teses nula e alternativa, a estat´ıstica de teste, a regia˜o cr´ıtica e a sua conclusa˜o em
linguagem na˜o te´cnica. Quais suposic¸o˜es voceˆ fez para completar esse teste de hipo´tese?
(b) [1,0 pt] Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para o verdadeiro nu´mero me´dio de horas
de trabalho de executivos americanos.
14∑
i=1
xi = 621, 5;
14∑
i=1
x2i = 27739, 05
Soluc¸a˜o
x =
621, 5
14
= 44, 3929 s2 =
1
13
{
27739, 05− 621, 5
2
14
}
= 11, 453022
(a)
H0 : µ = 40
H1 : µ > 40
T0 =
X − 40√
11, 453022
14
=
X − 40
0, 904474
RC : T0 > 2, 160
t0 =
44, 3929− 40
0, 904474
= 4, 8569 > 2, 16
Rejeita-se H0, ou seja, ha´ evideˆncias de que o verdadeiro nu´mero me´dio de horas de trabalho
de executivos seja superior a 40. Foi necessa´rio supor que a distribuic¸a˜o das horas de
trabalho e´ normal, uma vez que temos uma amostra pequena
(b) IC: [44, 3929− 2, 16× 0, 904474; 44, 3929 + 2, 16× 0, 904474] = [40, 1522; 46, 3466]
Note que o intervalo de confianc¸a na˜o conte´m o valor 40!
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