Matrizes: Definições e Operações

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MATRIZES
DEFINIÇÃO
Sejam m e n dois números inteiros maiores
ou iguais a um. Denomina-se matriz, m por
n, uma tabela retangular formada por m
vezes n elementos, números reais, dispostos
em m linhas e n colunas. Dizemos que a
matriz é do tipo mxn ou de ordem mxn.
Exemplo: 3 2 3 7
A = 2 5 8 5
5 1 4 2 Matriz 3x4
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA
Matriz qualquer de ordem mxn, 
com m linhas e n colunas.
A = (aij) i e j N
*
Onde 1 ≤ i ≤ m
1 ≤ j ≤ n
MATRIZES
mxn 
DEFINIÇÃO
É a matriz em que todos os seus 
elementos são nulos.
Exemplo:
0 0 0
0 0 0
MATRIZ NULA
A =
DEFINIÇÃO
Matriz de ordem mx1, ou seja m 
linhas e 1 coluna.
Exemplo:
1
A = 2
3
MATRIZ COLUNA
Matriz de ordem 3x1
DEFINIÇÃO
Matriz de ordem 1xn, ou seja uma 
linha e n colunas.
Exemplo:
A = 2, 3, 0
MATRIZ LINHA
Matriz de ordem 1x3
DEFINIÇÃO
Matriz de ordem mxm ou nxn, ou seja 
m = n.
Exemplo:
2 1 3
A= 2 5 4
8 2 1
MATRIZ QUADRADA
Matriz de ordem 3x3
Diagonal Principal
É formada pelos elementos aij
onde i = j.
Exemplo: 2 4 3
A = 2 9 1
5 8 7
DIAGONAL DA MATRIZ
Diagonal formada por: 2, 9, 7
Diagonal Secundária
É formada pelos elementos aij
onde i+j = n + 1.
Exemplo: 2 4 3
A = 2 9 1
5 8 7
DIAGONAL DA MATRIZ
Diagonal formada por: 3, 9, 5
MATRIZ DIAGONAL
DEFINIÇÃO
É uma Matriz quadrada, onde aij = 0 para i ≠ j, isto
é, todos os elementos que não pertencem à Diagonal
Principal são nulos, ou seja todos os elementos acima
ou abaixo da Diagonal Principal são nulos.
Exemplo: 3 0 0
A = 0 5 0
0 0 4
MATRIZ TRIANGULAR
DEFINIÇÃO
Matriz que possui todos os 
elementos nulos acima ou abaixo da 
Diagonal Principal. Toda Matriz 
Triangular é uma Matriz Quadrada, 
porém a recíproca não é verdadeira.
Exemplo: 3 0 0
A = 2 5 0
0 7 4
MATRIZ IDENTIDADE
DEFINIÇÃO
Matriz Quadrada onde os
elementos da Diagonal Principal são
todos iguais a 1 e os outros 0.
aij = 1, se i = j
aij = 0, se i ≠ j
Exemplo: 1 0 0
I = 0 1 0
0 0 1
I =
IGUALDADE DE MATRIZES
DEFINIÇÃO
Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se,
têm a mesma ordem e seus elementos
correspondentes são iguais.
Matrizes A e B de mesma ordem mxn.
Se A = B aij = bij com i e j N
*
Onde 1 ≤ i ≤ m
1 ≤ j ≤ n

IGUALDADE DE MATRIZES
Exemplos:
1) 3x + 2y 2 7 2
2 3x - 3y 2 -3
2) a 2a + b 6 2
a + c 2b + d 4 3 
=
=
MATRIZ TRANSPOSTA
DEFINIÇÃO
Seja a Matriz A = [aij]mxn, denomina-se
transposta de A a matriz B=[bji]nxm, tal que bji = aij,
onde i = 1,...,m e j = 1,...,n.
Ou seja, basta trocarmos linhas por colunas, ou
colunas por linhas.
Exemplo:
3 -1 2 3 0 0
A = 0 5 1 B = -1 5 -6
0 -6 4 2 1 4
MATRIZ OPOSTA
DEFINIÇÃO
Seja a Matriz A = [aij]mxn, denomina-se matriz
oposta de A a matriz B tal que A + B = 0, ou seja
B = - A.
Exemplo:
3 -1 2 -3 1 -2
A = 0 5 1 B = - A = 0 -5 -1
0 -6 4 0 6 -4
ADIÇÃO DE MATRIZES
Sejam a Matriz A = [aij]mxn, e a Matriz
B = [bij]mxn, onde cij = aij + bij
Exemplo:
3 -1 2 2 5 1
A = 2 5 7 B = -1 5 -6
0 -6 4 2 1 7
5 4 3
C = A + B = 1 10 1
2 -5 11
PRODUTO DE MATRIZES
Sejam as Matrizes A = [aij]mxn, e a matriz
B = [bij]nxp, onde C = [cij]mxp.
Exemplo:
3 -1 2 5 1 0
A = 2 5 B = -1 5 -6 1
0 -6
7 10 9 -1
C = A x B = -1 35 -28 5
6 -30 36 -6
MATRIZ SIMÉTRICA
DEFINIÇÃO
Quando a Matriz Quadrada A = At,
então dizemos que a matriz A é uma Matriz
Simétrica.
Exemplo:
3 -1 2 3 -1 2
A = -1 5 -6 At = -1 5 -6
2 -6 4 2 -6 4
MATRIZ ANTI–SIMÉTRICA
DEFINIÇÃO
Quando a Matriz Quadrada A = - At,
então dizemos que a matriz A é uma Matriz
Anti-Simétrica. Temos a(ij) = -a(ji).
Exemplo:
0 4 -5 0 -4 5
A = -4 0 8 At = 4 0 -8
5 -8 0 -5 8 0
MATRIZ INVERSA
DEFINIÇÃO
Dada a Matriz Quadrada A se X é uma
matriz tal que AxX = I e XxA = I, então
dizemos que a matriz X é a Matriz Inversa
de A e é indicada por A–1.
Exemplo:
1 -1 0 ½
2 0 -1 ½
A–1 =A =