MATRIZES

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MATRIZES
Professora Karina Pereira Carvalho
Definição: dados dois números naturais e não nulos m e n, chama-
se m por n (indica-se m x n) toda tabela M formada por números
reais distribuídos em m linhas e n colunas (ordem m x n).
Exemplos:
𝐴 =
5 2
7 0
−1 −3
é uma matriz de ordem 3 x 2
𝐵 =
0 1
−1 3
é uma matriz 2 x 2
𝐶 =
5 2 1
0 −1 8
é uma matriz de ordem 2 x 3
REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ
Seja A uma matriz de ordem m x n. Cada elemento da matriz A
pode ser representado por 𝑎𝑖𝑗, onde i indica o número da linha e j,
o número da coluna, às quais o elemento pertence. E denotamos a
matriz por 𝐴𝑖𝑗. Assim, a matriz é representada por:
𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚1
⋮
𝑎𝑚2
⋮
𝑎𝑚3
⋱
⋯
⋮
𝑎𝑚𝑛
EXEMPLO
𝐴 =
5 2
6 −5
0 −2 3𝑥2
=
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32 3𝑥2
Uma matriz A do tipo m x n também pode ser
indicada por:
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 ; 𝑖 ∈ {1, 2, 3, … ,𝑚} e 𝑗 = {1, 2, 3, … , 𝑛} ou
simplesmente 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛.
LEI DE FORMAÇÃO DE ELEMENTOS 
DE UMA MATRIZ
EXEMPLOS
1) Seja a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥3, tal que:
𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 3, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
Escreva essa matriz.
2) Encontre a matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)3𝑥3 , tal
que:
𝑏𝑖𝑗 = 2𝑖 + 3𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑏𝑖𝑗 = 𝑖
2 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
MATRIZES ESPECIAIS
Há matrizes que, por apresentarem uma utilidade
maior nesta teoria, recebem um nome especial:
a) Matriz linha: é toda matriz do tipo 1 x n, ou seja,
possui somente uma linha.
Exemplo:
𝐷 = [𝑑𝑖𝑗]1𝑥3 = 𝑑11 𝑑12 𝑑13 = 3 4 5
b) Matriz coluna: é toda matriz do tipo m x 1,
ou seja, possui somente uma coluna.
Exemplo:
𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]4𝑥1 =
𝑏11
𝑏21
𝑏31
𝑏41
=
10
8
−6
0
c) Matriz nula: é toda matriz que tem todos os elementos iguais a
zero.
Exemplo:
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥3 =
0 0 0
0 0 0
d) Matriz quadrada de ordem n: é toda matriz do tipo n x n, isto é,
uma matriz que tem igual o número de linhas e colunas (m = n).
Exemplo:
Matriz quadrada de terceira ordem:
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥3 =
2 0 3
−2 1 −8
50 10 3
Chama-se diagonal principal de uma matriz
quadrada de ordem n o conjunto dos
elementos que têm os dois índices iguais.
Chama-se diagonal secundária de uma
matriz quadrada de ordem n o conjunto dos
elementos que têm soma dos índices igual a
n + 1.
e) Matriz diagonal: é toda matriz quadrada em que
𝑎𝑖𝑗 = 0, se 𝑖 ≠ 𝑗, ou seja, todos os elementos que não
fazem parte da diagonal principal são iguais a zero.
Exemplos:
𝐴 =
3 0
0 2 2𝑥2
𝐵 =
−5 0 0
0 10 0
0 0 −9 3𝑥3
f) Matriz identidade (ou matriz unidade) de ordem n:
(indica-se 𝐼𝑛) é toda matriz diagonal em que 𝑎𝑖𝑗 = 1, se i = j,
ou seja, os elementos da diagonal principal são todos
iguais a um.
Exemplos:
𝐴 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1 3𝑥3
𝐵 =
1 0
0 1 2𝑥2
g) Matriz retangular: é uma matriz do tipo m x n,
com 𝑚 ≠ 𝑛. Ou seja, o número de linhas e colunas é
diferente.
Exemplos:
𝐴 =
10 −5 0
−4 8 −1 2𝑥3
𝐵 =
1 5 7 19
0
−3
5
2
0
30
−5
14 3𝑥4
h) Matriz transposta: chama-se de transposta de uma matriz A, do
tipo m x n, a matriz do tipo n x m cujas linhas coincidem
ordenadamente com as colunas da matriz A. Indica-se a matriz
transposta de A por 𝐴𝑡.
Exemplos:
𝐴 =
2 −1 5
−5 0 3
⇒ 𝐴𝑡 =
2 −5
−1 0
5 3
𝐵 =
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒
𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑤
𝑚 𝑛 𝑜 𝑝 𝑞
⟹ 𝐵𝑡 =
𝑎 𝑥 𝑚
𝑏 𝑦 𝑛
𝑐
𝑑
𝑒
𝑧
𝑡
𝑤
𝑜
𝑝
𝑞
i) Matriz simétrica: se dada uma matriz quadrada, 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛 ,
existe a igualdade 𝐴 = 𝐴𝑡, então A é simétrica. Ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖∀ 𝑖 e
𝑗 ∈ {1, 2, 3, 4, … ,𝑚}.
Exemplo:
𝐴 =
4 1 5
1 3 0
5 0 2
Observa-se que
𝐴𝑡 =
4 1 5
1 3 0
5 0 2
⇒ 𝐴 = 𝐴𝑡
Ou seja, uma matriz é simétrica quando é igual a sua transposta.
j) Matriz oposta ou antissimétrica: quando os
elementos correspondentes de duas matrizes de mesmo
tipo são números opostos, essas matrizes são
chamadas de matrizes opostas. Para indicar a matriz
oposta de uma matriz A, usamos a notação -A.
Exemplos:
𝐴 =
0 −1 3
1 0 −4
−3 4 0
⇒ −𝐴 =
0 1 −3
−1 0 4
3 −4 0
𝐵 =
3 6
0 4
⇒ −𝐵 =
−3 −6
0 −4
EXERCÍCIOS
1) Quantos elementos possui uma matriz 3 x 4? E uma
matriz quadrada de ordem 6?
2) Quais podem ser os tipos das matrizes que
possuem 4 elementos? E das que possuem 12
elementos?
3) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal
da matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)4𝑥4 onde 𝑎𝑖𝑗 = −1
𝑖 + −1 𝑗.
4) Calcule o produto dos elementos da 2ª linha
da matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)4𝑥3 onde 𝑎𝑖𝑗 =
𝑖, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗
𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
.
5) Dada a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥2 em que 𝑎𝑖𝑗 =
𝑖 + 𝑗 2 − 1 calcule o valor da expressão
𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21.
IGUALDADE ENTRE MATRIZES
Se duas matrizes, A e B, forem do mesmo tipo m x n, então os
elementos com o mesmo índice são chamados elementos
correspondentes.
Considerando as matrizes 𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
e 𝐵 =
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
,
os elementos correspondentes de A e B são:
𝑎11 e 𝑏11 , 𝑎12 e 𝑏12 , 𝑎21 e 𝑏21 , 𝑎22 e 𝑏22
Duas matrizes do mesmo tipo são iguais se, e somente se, os
elementos correspondentes de ambas forem iguais.
Exemplo
Determine x e y, sabendo-se que
𝑥 + 𝑦
3𝑥 − 𝑦
=
9
−1
.
EXERCÍCIOS
1) Encontre os valores de x, y e z para que as matrizes 𝐴 =
2𝑥 + 𝑦 1
4𝑥 − 𝑦 0
e 𝐵 =
6 𝑧
18 0
sejam iguais.
2) Calcule o valor dos elementos desconhecidos:
a)
2𝑎 − 1 −20
3𝑏 − 6 𝑐 + 𝑑
=
11 4𝑐
𝑏 + 2 1
b)
2𝑎 − 𝑏 3𝑐 + 2𝑑
𝑎 − 𝑏 𝑐 − 𝑑
=
13 12
5 4
3) Obtenha a matriz transposta de 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)1𝑥4 com 𝑏𝑖𝑗 =
𝑖+𝑗
2
.
OPERAÇÕES COM MATRIZES
 Adição e subtração de matrizes
Considere 𝐴 =
7 −1
2 9
e 𝐵 =
1 1
5 −2
. Somando os elementos
correspondentes, obtemos uma matriz que é a soma das matrizes A e B.
Indicando essa soma por A + B, temos:
𝐴 + 𝐵 =
7 −1
2 9
+
1 1
5 −2
=
7 + 1 −1 + 1
2 + 5 9 + −2
=
8 0
7 7
Subtraindo, dos elementos da matriz A, os elementos correspondentes
da matriz B, obtemos a diferença entre essas matrizes. Indicando essa
diferença por A – B, temos:
𝐴 − 𝐵 =
7 −1
2 9
−
1 1
5 −2
=
7 − 1 −1 − 1
2 − 5 9 − −2
=
6 −2
−3 11
OBSERVAÇÕES
 A adição e a subtração de matrizes só são
possíveis se elas forem matrizes do mesmo tipo;
 A adição de uma matriz com sua oposta resulta na
matriz nula.
EXERCÍCIOS
1) Determine x e y de modo que se tenha:
2𝑥 8
7 3
+
𝑦 −3
3 2𝑥 + 3𝑦
=
−2 5
10 −3
2) Dadas as matrizes 𝐴 =
1 2 3
2 −1 1
e 𝐵 =
4 −2 2
5 2 0
,
a) calcule A + B, (𝐴 + 𝐵)𝑡 e 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 e verifique que 𝐴 + 𝐵 𝑡 =
𝐴𝑡 + 𝐵𝑡;
b) calcule A – B, 𝐴 − 𝐵 𝑡 e 𝐴𝑡 − 𝐵𝑡 e verifique que 𝐴 − 𝐵 𝑡 =
𝐴𝑡 − 𝐵𝑡.
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL
POR UMA MATRIZ
Considere a matriz 𝐴 =
2 −5 11
−3 3 1
. Multiplicando
os elementos dessa matriz pelo número 6 obtemos uma
matriz que é o produto do número 6 pela matriz A.
Indicamos esse produto por 6A.
6𝐴 = 6 .
2 −5 11
−3 3 1
=
12 −30 66
−18 18 6
EXEMPLOS
1) Vamos calcular a matriz X na equação 3𝑋 − 𝐴 + 2𝐵 = 0, sabendo-se
que:
𝐴 =
8 −5
−6 1
; 𝐵 =
1
1
2
3 4
; 0 =
0 0
0 0
.
2) Encontre a matriz 𝑋 = 2𝐴 − 4𝐵, sabendo-se que:
𝐴 =
6 7
−7 −6
e 𝐵 =
−3 4
−4 3
.
3) Encontre a matriz X na equação 2𝑋 + 𝐴 − 3𝐵 = 0, sabendo-se que:
𝐴 =
3 −2
4 1
; 𝐵 =
4
1
4
7 −3
e 0 =
0 0
0 0
.
MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES
Dadas as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑝, chama-
se produto AB a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑝 em que cada
elemento 𝑐𝑖𝑗 é obtido multiplicando-se os elementos da
linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B
e somando-se os produtos obtidos.
OBSERVAÇÕES
 A definição garante que existe AB se, e somente se, a
quantidade de colunas de A for igual à quantidade de
linhas de B.
 A matriz 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 possui a quantidade de linhas de A e
a quantidade de colunas de B.
𝐴𝑚𝑥𝑛 . 𝐵𝑛𝑥𝑝 = 𝐶𝑚𝑥𝑝
iguais
m x p
EXEMPLO
Considere as matrizes:
𝐴 =
1 4 7
2 −5 9 2𝑥3
; 𝐵 =
2 −1
1 7
0 9 3𝑥2
.
Calcule, caso exista:
a) A . B
b) B . A
MATRIZ INVERSA
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A é dita
inversível(ou invertível) se existir uma matriz B tal
que
𝐴 . 𝐵 = 𝐼𝑛
B é a inversa de A, indicada por 𝐴−1.
EXEMPLOS
1) Vamos verificar se a matriz 𝐴 =
3 2
1 1
possui
inversa.
2) Determine, caso exista, a inversa da matriz
−3 −6
1 2
.