int parte exemplos

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Integração por Partes 
Proposição: Temos, 
 
 
Demonstração da proposição: 
(u.v)´= u´.v + u.v´  
 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
u = x  du = dx 
dv = cos(x)dx  v = sen(x) I = x.sen(x) + cos(x) + C 
Exemplo 2: 
 
u = x
2
 + 3x  du = (2x + 3)dx dv = sen(x)dx  v = -cos(x) 
 
 
 
 
u = 2x + 3  du = 2.dx dv = cos(x)dx  v = sen(x) 
 
 
(Tente inverter a escolha. O que acontece?) 
 
Observação 1: De modo geral, em integrais das formas 
 
onde f(x) é um polinômio, usamos a integração por partes fazendo, respectivamente, 
u = f(x)  du = f´(x).dx dv = cos(x)dx  v = sen(x) ou 
u = f(x)  du = f´(x).dx dv = sen(x)dx  v = -cos(x) 
 
Exemplo 3: 
 
u = x  du = dx dv = exdx  v = e 
Observação 2: De modo geral, em integrais da forma 
 
onde f(x) é um polinômio tomamos 
u = f(x)  du = f´(x).dx dv = axdx  v = ax/ln(a) 
 
Exemplo 4: 
 
u = ln(x)  du = dx/x dv = dx  v = x 
Exemplo 5: 
 
u = ln(x)  du = dx/x dv = dx  v = x 
 
Observação 3: De modo geral, em integrais da forma 
 
onde f(x) é uma função polinomial, tomamos 
 
dv = f(x)  v = uma primitiva de f(x) 
Exemplo 6: 
 
u = arctg(x)  du = dx/(x2 +1) dv = dx  v = x 
Exemplo 7: 
 
u = arctg(x)  du = dx/(x2 +1) dv = dx  v = x 
Exemplo 8: 
 
 dv = dx  v = x 
Exemplo 9: 
 
u = e
ax
  du = a.eax.dx 
 
 
u = e
ax
  du = a.eax.dx 
 
 
 
 
Exemplo 10: