AD1 Pré-Calculo Engenharia de Produção 2018 1 gabarito - CEDERJ
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AD1 Pré-Calculo Engenharia de Produção 2018 1 gabarito - CEDERJ


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Gabarito da AD 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2018/1
Questa\u2dco 1 [2,0 pontos]
Considere a expressa\u2dco abaixo e fac¸a o que se pede:
E =
\u2212y
x3 \u2212 y2x \u2212
1
x2 + xy
.
a. [1,0] Simplifique a expressa\u2dco E.
b. [1,0] Se y = 1, obtenha algum valor de x tal que
\u221a
2 \u2264 E \u2264
\u221a
5, justificando sua resposta.
Soluc¸a\u2dco:
a)
E =
\u2212y
x3 \u2212 y2x \u2212
1
x2 + xy
.
Note que x3 \u2212 y2x = x(x2 \u2212 y2) = x(x \u2212 y)(x + y), e x2 + xy = x(x + y), onde estes sa\u2dco
denominadores na expressa\u2dco E. Considerando o mmc entre estes denominadores, que e´
x(x\u2212 y)(x + y), temos
E =
\u2212y
x(x\u2212 y)(x + y) \u2212
(x\u2212 y)
x(x + y)(x\u2212 y) =
\u2212y \u2212 x + y
x(x\u2212 y)(x + y) =
=
\u2212x
x(x\u2212 y)(x + y) =
\u22121
(x\u2212 y)(x + y) =
\u22121
x2 \u2212 y2 .
b) Como, pelo item anterior, E =
\u22121
x2 \u2212 y2 , fazendo y = 1 temos E =
\u22121
x2 \u2212 1. Ale´m disso,
sabemos que
\u221a
2 \u2264 2 \u2264
\u221a
5, por exemplo. Enta\u2dco seja E = 2:
E =
\u22121
x2 \u2212 1 = 2 =\u21d2 x
2 \u2212 1 = \u22121/2 =\u21d2 x2 = 1/2,
donde x =
\u221a
2/2 ou x = \u2212\u221a2/2.
Questa\u2dco 2 [3,0 pontos] Considere a expressa\u2dco E(x) =
2\u2212 5x
|1\u2212 5x| \u2212 |x| . Fac¸a o que se pede:
a. Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
b. Encontre os valores de x tais que E(x) > 0.
c. Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
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Sugesta\u2dco: Fac¸a a tabela do estudo do sinal da expressa\u2dco E(x).
Soluc¸a\u2dco:
Dada a expressa\u2dco |1\u2212 5x| \u2212 |x|, sabemos que |1\u2212 5x| =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
1\u2212 5x, se 1\u2212 5x > 0
0, se 1\u2212 5x = 0
\u2212(1\u2212 5x), se 1\u2212 5x < 0
\u21d2 |1\u2212 5x| =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
1\u2212 5x, se x < 1
5
0, se x = 1
5
\u22121 + 5x, se x > 1
5
e |x| =
{
x, se x \u2265 0
\u2212x, se x < 0
Encontrando a expressa\u2dco |1\u2212 5x| \u2212 |x| sem uso do valor absoluto.
x < 0 0 < x < 1
5
x > 1
5
|1\u2212 5x| 1\u2212 5x 1\u2212 5x \u22121 + 5x
|x| \u2212x x x
|1\u2212 5x| \u2212 |x| 1\u2212 4x 1\u2212 6x \u22121 + 4x
Assim, |1\u2212 5x| \u2212 |x| =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
1\u2212 4x, se x < 0
1\u2212 6x, se 0 < x < 1
5
\u22121 + 4x, se x > 1
5
Observe que a expressa\u2dco do enunciado na\u2dco esta´ definida para x = 1
4
e x = 1
6
.
a. E(x) = 0 se 2\u2212 5x = 0, ou seja, para x = 2
5
.
b. A expressa\u2dco 2 \u2212 5x muda de sinal em x = 2
5
. Logo, como 0 < 1
6
< 1
5
< 1
4
< 2
5
, temos a
seguinte tabela do estudo do sinal da expressa\u2dco E(x):
x < 0 0 < x < 1
6
1
6
< x < 1
5
1
5
< x < 1
4
1
4
< x < 2
5
x > 2
5
2\u2212 5x + + + + + + + + + + + + + + + \u2212\u2212\u2212
|1\u2212 5x| \u2212 |x| + + + + + + \u2212\u2212\u2212 \u2212\u2212\u2212 + + + + + +
E(x) =
2\u2212 5x
|1\u2212 5x| \u2212 |x| + + + + + + \u2212\u2212\u2212 \u2212\u2212\u2212 + + + \u2212\u2212\u2212
2\u2212 5x
|1\u2212 5x| \u2212 |x| > 0 em
(\u2212\u221e, 1
6
) \u222a (1
4
, 2
5
)
;
2\u2212 5x
|1\u2212 5x| \u2212 |x| = 0, para x = 2/5
2\u2212 5x
|1\u2212 5x| \u2212 |x| < 0 em
(
1
6
, 1
4
) \u222a (2
5
; +\u221e)
2\u2212 5x
|1\u2212 5x| \u2212 |x| na\u2dco esta´ definida para x =
1
6
e x = 1
4
.
Questa\u2dco 3 [3,0 pontos] Considere a equac¸a\u2dco
\u221a
1\u2212 |x\u2212 1|
x + 1
= 2.
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Fac¸a o que se pede:
a. [2,0 pontos] Determine os valores reais de x para os quais
\u221a
1\u2212 |x\u2212 1|
x + 1
existe.
b. [1,0 ponto] Resolva a equac¸a\u2dco
\u221a
1\u2212 |x\u2212 1|
x + 1
= 2. Caso na\u2dco exista soluc¸a\u2dco real, justifique.
Soluc¸a\u2dco:
a) Primeiro, o denominador x + 1 deve ser na\u2dco nulo, ou seja, x 6= \u22121. Segundo,
1\u2212 |x\u2212 1|
x + 1
\u2265 0.
Isto ocorre somente se o numerador e o denominador possu´\u131rem o mesmo sinal, caso o
numerador na\u2dco seja igual a 0. Temos enta\u2dco dois casos:
(i) Ambos te\u2c6m sinal positivo (ou o numerador e´ 0): x + 1 > 0\u21d2 x > \u22121. Ale´m disso,
1\u2212 |x\u2212 1| \u2265 0\u21d2 |x\u2212 1| \u2264 1\u21d2 \u22121 \u2264 x\u2212 1 \u2264 1\u21d2 0 \u2264 x \u2264 2.
Considerando a intersec¸a\u2dco dos requisitos, temos 0 \u2264 x \u2264 2.
(ii) Ambos te\u2c6m sinal negativo: para o denominador, x+1 < 0\u21d2 x < \u22121. Para o numerador,
1\u2212 |x\u2212 1| < 0\u21d2 |x\u2212 1| > 1,
o que nos da´ duas possibilidades:
x\u2212 1 > 1\u21d2 x > 2,
ou
x\u2212 1 < \u22121\u21d2 x < 0.
Considerando a intersec¸a\u2dco das condic¸o\u2dces, temos x < \u22121.
Portanto, unindo (i) e (ii), temos que a expressa\u2dco na raiz quadrada esta´ bem definida se
x < \u22121 ou 0 \u2264 x \u2264 2.
b) Elevando ambos os membros ao quadrado em
\u221a
1\u2212 |x\u2212 1|
x + 1
= 2, temos
1\u2212 |x\u2212 1|
x + 1
= 4\u21d2 1\u2212 |x\u2212 1| = 4(x + 1) = 4x\u2212 4.
Temos dois casos:
(1) x\u2212 1 \u2265 0 (ou x \u2265 1): a equac¸a\u2dco acima fica
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1\u2212 (x\u2212 1) = 4x\u2212 4\u21d2 2\u2212 x = 4x\u2212 4\u21d2 5x = 6\u21d2 x = 6/5.
De acordo com o item (a), esta e´ uma soluc¸a\u2dco aceita´vel ja´ que 0 < 1 < 6/5 < 2.
(2) x\u2212 1 < 0 (ou x < 1): a equac¸a\u2dco fica
1\u2212 [\u2212(x\u2212 1)] = 4x\u2212 4\u21d2 x = 4x\u2212 4\u21d2 3x = 4\u21d2 x = 4/3.
Esta soluc¸a\u2dco contradiz o item, ja´ que estamos considerando o caso x < 1, e 4/3 > 1.
Assim, a u´nica soluc¸a\u2dco para a equac¸a\u2dco e´ x = 6/5.
Questa\u2dco 4 [2,0 pontos] Em uma certa cidade, uma regia\u2dco esta´ sendo urbanizada e os
engenheiros representam a mesma no plano cartesiano, onde os locais sa\u2dco pontos e as vias sa\u2dco
representadas por retas ou segmentos de reta. Considere uma certa rua r1 que sera´ asfaltada,
e passa pelo posto de gasolina, representado por (1, 3), e pela farma´cia, no ponto (\u22122, 1).
a. [1,0 ponto] Encontre a equac¸a\u2dco da reta que representa a rua r2 a ser constru´\u131da, que
cruzara´ r1 perpendicularmente e passara´ pelo Centro Esportivo (1, 1).Sabendo que a escola
da regia\u2dco esta´ localizada no ponto (3, 2), a rua r2 passara´ por essa escola?
b. [1,0 ponto] Na rua r2 do item (a), existe um supermercado cuja abcissa no plano e´ x0 = 2.
Suponha que a casa do Sr. Jose´ se encontra na rua r1 e tem ordenada y0 = \u22124, e que
passa um riacho entre o supermercado e a casa do Sr. Jose´. Determine o comprimento
da ponte que sera´ constru´\u131da entre a casa e o supermercado.
a) Precisamos encontrar a equac¸a\u2dco da reta r1. Seja m1 sua inclinac¸a\u2dco (coeficiente angular).
Ela passa por A = (1, 3) e por B = (\u22122, 1). Aplicando a fo´rmula
m1 =
y2 \u2212 y1
x2 \u2212 x1
a A e B, temos
m1 =
1\u2212 3
\u22122\u2212 1 =
2
3
,
e assim, a equac¸a\u2dco de s e´ y =
2x
3
+ b1, onde b1 e´ o termo independente. Como a reta
passa por A = (1, 3), podemos substituir estes valores na equac¸a\u2dco de r1 para encontrar b1:
3 =
2
3
+ b1, o que nos da´ b1 =
7
3
.
Se r2 e´ uma reta perpendicular a` reta r1, enta\u2dco sua inclinac¸a\u2dco e´ \u2212 1
m
= \u22123
2
. Aplicando a
equac¸a\u2dco do coeficiente angular citada acima para a reta r2, que passa por (1, 1), temos
y \u2212 1
x\u2212 1 = \u2212
3
2
,
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e a partir desta igualdade conclu´\u131mos que a equac¸a\u2dco da reta r2 e´
y = \u22123x
2
+
5
2
.
Ou seja, na\u2dco, a rua r2 na\u2dco passara´ pelo cinema, ja´ que (3, 2) na\u2dco satisfaz a equac¸a\u2dco encontrada
acima.
b) Se o ponto esta´ em r2 e a abcissa e´ x0 = 2, enta\u2dco sua ordenada e´ y = \u22121/2. Assim, o
supermercado e´ representado pelo ponto (2,\u22121/2). A casa do Sr. Jose´ fica na rua r1, de
equac¸a\u2dco
y =
2
3
x +
7
3
.
Se a ordenada deste ponto e´ \u22124, enta\u2dco temos
\u22124 = 2
3
x +
7
3
,
donde
\u22124\u2212 7
3
= \u221219
3
=
2
3
x.
Logo, sua abcissa e´ x = \u221219/2. O comprimento da ponte e´ a dista\u2c6ncia entre os pontos
(2,\u22121/2) e (\u221219/2,\u22124):
d(P,Q) =
\u221a
(2\u2212 (\u221219/2))2 + (\u22121/2\u2212 (\u22124))2 =
\u221a
(23/2)2 + (7/2)2
=
\u221a
529 + 49
4
=
\u221a
578
4
=
\u221a
578
2
.
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