inferencia estatística

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Métodos Estatísticos
Nara Reges F. P. Pereira
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Engenharia de Produção
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Inferência Estatística
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Distribuições Amostrais
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Distribuição Amostral da Média
Seja X a variável de uma população que tenha parâmetros média
populacional µ = E(X ) e variância populacional σ2 = Var(X )
conhecidos.
Vamos retirar todas as possíveis AAS de tamanho n dessa população,
e para cada uma calcular a média X¯ .
Consideremos a distribuição amostral e estudemos suas
propriedades.
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Distribuição Amostral da Média
Example
A população {1,3,5,5,7} tem média µ = 4,2 e variância σ2 = 4,16.
Vimos que a distribuição amostral da média para amostras de
tamanho 2 é dada por
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Distribuição Amostral da Média
Sendo assim, a esperança da variável X¯ é
E(X¯) =
∑
i
x¯pi = 1× 125 + 2×
2
25 + 3×
5
25 + 4×
6
25 + 5×
6
25
+6× 425 + 7×
1
25 = 4,2.
e
Var(X¯ ) =
∑
i
(xi − E(X¯ ))2pi = 2,08.
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Distribuição Amostral da Média
Theorem
Seja X uma v.a. com média µ e variância σ2, e seja (X1, ...,Xn) uma
AAS de X. Então,
E(X¯ ) = µ e Var(X¯) = σ
2
n
.
Example
Para a população {1,3,5,5,7} observe o histograma das distribuições
de X¯ para n = 1,2 e 3.
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Distribuição Amostral da Média
Example
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Distribuição Amostral da Média
Theorem (TLC)
Para amostras aleatórias simples (X1, ...,Xn), retiradas de uma
população com média µ e variância σ2 finita, a distribuição amostral
da média X¯ aproxima-se, para n grande, de uma distribuição normal,
com média µ e variância σ2/n.
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Distribuição Amostral da Média
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Distribuição Amostral da Média
Corolário: Se (X1, ...,Xn) for uma AAS da população X , com média µ
e variância σ2 finita, então
Z = X¯ − µ
σ/
√
n
∼ N(0,1)
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Distribuição Amostral da Média
Example
Seja X a v.a. que representa o peso real de pacotes de café enchidos
automaticamente por uma máquina. Supomos que X ∼ N(500,100).
Colhendo-se uma amostra de n = 100 pacotes e pesando-os, temos
que X¯ terá uma distribuição normal com média 500 e variância
100/100 = 1.
Qual a probabilidade de que a média de 100 pacotes esteja entre 498
e 502 gramas?
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Distribuição Amostral da Média
Example
Seja X a v.a. que representa o peso real de pacotes de café enchidos
automaticamente por uma máquina. Supomos que X ∼ N(500,100).
Colhendo-se uma amostra de n = 100 pacotes e pesando-os, temos
que X¯ terá uma distribuição normal com média 500 e variância
100/100 = 1.
Qual a probabilidade de que a média de 100 pacotes esteja entre 498
e 502 gramas?
P(498 < X¯ < 502) = P
(
498− 500
1 <
X¯ − µ
σ/
√
n
<
502− 500
1
)
= P(−2 < Z < 2) = Φ(2)− Φ(−2) = Φ(2)− [1− Φ(2)]
= 2Φ(2)− 1 = 2× 0,9772− 1 = 0,9544
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Distribuição Amostral de uma Proporção
Seja X uma v.a. definida da seguinte maneira:
X =
{
1, se o indivíduo for portador da característica,
0, se o indivíduo não for portador da característica.
onde a proporção de elementos protadores de certa característica é p.
Logo,
µ = E(X ) =
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Distribuição Amostral de uma Proporção
Seja X uma v.a. definida da seguinte maneira:
X =
{
1, se o indivíduo for portador da característica,
0, se o indivíduo não for portador da característica.
onde a proporção de elementos protadores de certa característica é p.
Logo,
µ = E(X ) = p e σ2 = Var(X ) =
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Distribuição Amostral de uma Proporção
Seja X uma v.a. definida da seguinte maneira:
X =
{
1, se o indivíduo for portador da característica,
0, se o indivíduo não for portador da característica.
onde a proporção de elementos protadores de certa característica é p.
Logo,
µ = E(X ) = p e σ2 = Var(X ) = p(1− p).
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Distribuição Amostral de uma Proporção
Seja Yn o total de indivíduos portadores da característica em uma
AAS retirada da população. Então,
Yn ∼ b(n,p).
A proporção de indivíduos portadores da característica na amostra é
pˆ =
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Distribuição Amostral de uma Proporção
Seja Yn o total de indivíduos portadores da característica em uma
AAS retirada da população. Então,
Yn ∼ b(n,p).
A proporção de indivíduos portadores da característica na amostra é
pˆ = Yn
n
.
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Distribuição Amostral de uma Proporção
Temos que
Yn = X1 + ...+ Xn,
ou
Yn = nX¯ .
Pelo TLC X¯ tem distribuição aproximadamente normal com média p e
variância p(1−p)n , ou seja,
X¯ ∼ N
(
p, p(1− p)
n
)
.
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Distribuição Amostral de uma População
Como X¯ é a própria variável pˆ, temos que, para n grande podemos
considerar a distribuição amostral de pˆ como aproximadamente
normal:
pˆ ∼ N
(
p, p(1− p)
n
)
.
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Distribuição Amostral de uma População
Example
Suponha que p = 30% dos estudantes de uma escola sejam
mulheres. Colhemos uma AAS de n = 10 estudantes e calculamos
pˆ = proporção de mulheres na amostra. Qual a probabilidade de que
pˆ difira de p em menos de 0,01?
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Distribuição Amostral de uma População
Example
Suponha que p = 30% dos estudantes de uma escola sejam
mulheres. Colhemos uma AAS de n = 10 estudantes e calculamos
pˆ = proporção de mulheres na amostra. Qual a probabilidade de que
pˆ difira de p em menos de 0,01? Primeiro vamos calcular a variância
Var(pˆ) = p(1− p)
n
=
(0,3)(0,7)
10 = 0,021.
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Distribuição Amostral de uma População
Example
Assim,
P(|pˆ − p| < 0,01) = P(−0,01 < pˆ − p < 0,01)
= P
( −0,01√
0,021
< Z < −0,01√
0,021
)
= P(−0,07 < Z < 0,07) = Φ(0,07)− Φ(−0,07)
Φ(0,07)− [1− Φ(0,07)] = 2Φ(0,07)− 1
2× 0,5279− 1 = 0,0558.
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FIM!
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