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Álgebra Vetorial - Parte 1

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Física A
Vetores
Prof. Nelson Studart1o./2004
DF/UFSCar
Grandezas Escalares e 
Vetoriais na Física*
As tensoriais vamos abordar mais à frente
massa m
tempo t
força Fforça F
aceleração aaceleração a
velocidade vvelocidade v
deslocamento r oudistância s
VetoriaisEscalares
rr
A=A
Uma Visão Geométrica
Multiplicação 
por um escalar
Adição
( ) ( ) ( )a bA ab A b aA= =
+ +A B = B A
Lei do paralelogramo
Lei associativa da adição
( ) ( )+ + + +A B C = A B C
Um navio navega 60 milhas numa direção de 30o nordeste, 30 milhas 
para leste num ângulo de 30o noroeste. Onde está o navio em relação a 
seu ponto de partida?
30o
120o
60
30
40
S
N
LO1cm = 22,5 mi
R = 4 cm 
= 90 mi θ=46ο
Teorema de Pitágoras
Um piloto amador tenta dirigir um avião no rumo norte com uma 
velocidade de 120 km/h, mas existem fortes rajadas de vento vindas 
do leste a 80 km/h. Qual é a velocidade resultante do avião?
vs va asv v v= +r r r
2 2 2 2
o
(120) (80) 144km/h
80tg 0,67 34
120
vs va as
as
va
v v v
v
v
θ θ
= + = + =
= = = → =
Produto escalar cosAB θ⋅ =A B
( )⋅ + = ⋅ + ⋅A B C A B A C
2A⋅ =A A 0 se⋅ = ⊥A B Α B
Uma Visão Analítica
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0⋅ = ⋅ = ⋅ =i j j k k i
ˆ ˆ ˆ
x y zA A A= + +A i j k
Se ; ;x x y y z zA B A B A B= → = = =A B
Movimento dos projéteis
21ˆ ˆ( )
2x
t v t gt= +r i j
ˆ ˆ
x yA A= + +A i j
cosxA A θ= senyA A θ=
2 2 1y y
x y
x x
A A
A A A tg tg
A A
θ θ −  = + = =   
Encontre o módulo e a direção do vetor ˆ ˆ5 12= +C i j
Operações
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )x x y y z zA B A B A B+ = + + + + +A B i j k
ˆ ˆ ˆ
x y zc cA cA cA= + +A i j k
Calcule a soma dos seguintes vetores
ˆ ˆ3 6= −A i j ˆ ˆ5 9= − +B i j ˆ ˆ4 10= +C i j ˆ ˆ9= − +D i j
Produto escalar
ˆ ˆ ˆ
x y zB B B= + +B i j kˆ ˆ ˆx y zA A A= + +A i j k
x x y y z zA B A B A B⋅ = + +A B
Produto vetorial
sen ABsenθ θ× = =A B A B
× = − ×A B B A
Produto vetorial dos vetores unitários
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0× = × = × =i i j j k k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ; ;× = × = × =i j k j k i k i j
( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆy z z y z x x z x y y xA B A B A B A B A B A B× = − + − + −A B i j k
BzByBx
AzAyAx
kji
× =A B
Produto vetorial como um determinante