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Introduc¸a˜o a` A´lgebra Vetorial Francisco Edson da Silva Simone Batista Conteu´do 1 As Grandezas Vetoriais 1 1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Grandezas Escalares versus Grandezas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Sistema de Coordenadas Cartesianas 18 2.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 Localizando pontos no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.3 Divisa˜o do plano em quadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.4 Distaˆncia entre dois pontos do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2 Localizando pontos no espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.3 Divisa˜o do espac¸o em octantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.4 Distaˆncia entre Dois Pontos do Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Vetores no Plano e no Espac¸o 51 3.1 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Vetores no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Determinando as Coordenadas de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.1 Determinando as coordenadas de um vetor no plano . . . . . . . . . 58 3.3.2 Determinando as coordenadas de um vetor no espac¸o . . . . . . . . 60 3.4 Vetor Nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5 Igualdade de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.6 Norma de Vetor: Versa˜o Alge´brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ii 3.7 Coplanariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4 Multiplicac¸a˜o de Nu´mero Real por Vetor 75 4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 Definic¸a˜o e Interpretac¸a˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3 Propriedades da Multiplicac¸a˜o de Nu´mero Real por Vetor . . . . . . . . . . 78 4.4 Versa˜o Alge´brica da Multiplicac¸a˜o de Nu´mero Real por Vetor . . . . . . . 79 4.5 Paralelismo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5 Adic¸a˜o de Vetores 92 5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2 Adic¸a˜o de Vetores: Versa˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2.1 Regra do Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.2.2 Regra do Pol´ıgono ou Regra do “Fim de um no comec¸o do outro” . 95 5.3 Propriedades da Adic¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.4 Adic¸a˜o de Vetores: Versa˜o Alge´brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.5 Aplicac¸o˜es da Adic¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.6 Resumo das Propriedades da Multiplicac¸a˜o de Nu´mero Real por Vetor e da Adic¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6 Adic¸a˜o de Ponto com Vetor 112 6.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.2 Propriedades da Adic¸a˜o de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.3 Versa˜o Alge´brica de Adic¸a˜o de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.4 Coordenadas do Ponto Me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7 Produto Escalar 122 7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.2 Produto Escalar: versa˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.3 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.4 Produto Escalar e Aˆngulo entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.5 Produto Escalar: Versa˜o Alge´brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.6 Trabalho de uma Forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.7 Projec¸a˜o Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.8 Decompondo Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 iii 7.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8 Produto Vetorial 148 8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.2 Produto Vetorial: Versa˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.3 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 8.4 Produto Vetorial e A´rea de Pol´ıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8.5 Produto Vetorial: Versa˜o Alge´brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.6 Torque de uma Forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9 Retas e Planos 167 9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.2 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.2.2 Retas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.2.3 Retas no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9.3 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 9.3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 9.3.2 Equac¸o˜es do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 9.3.3 Justificativa da Equac¸a˜o Geral do Plano . . . . . . . . . . . . . . . 184 9.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10 Posic¸a˜o Relativa: Disposic¸a˜o, Aˆngulos e Distaˆncias 189 10.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.2 Distaˆncia de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.3 Distaˆncia de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.4 Distaˆncia de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 10.5 Posic¸a˜o Relativa entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 10.5.1 Posic¸a˜o Relativa entre Retas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 196 10.5.2 Posic¸a˜o Relativa entre Retas no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . 201 10.6 Posic¸a˜o Relativa entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 10.6.1 Disposic¸a˜o entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 10.6.2 Aˆngulo entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.6.3 Distaˆncia entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 212 10.7 Posic¸a˜o Relativa entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 10.7.1 Disposic¸a˜o entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 10.7.2 Aˆngulo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 iv 10.7.3 Distaˆncia entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 10.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 v Cap´ıtulo 1 As Grandezas Vetoriais 1.1 Introduc¸a˜o Ao estudarmos a A´lgebra Vetorial queremos entender, definir e aprender o que sa˜o segmentos orientados, pontos e vetores e como representa´-los geome´trica e algebricamente, bem como queremos aprender a trabalhar e realizar as diversas operac¸o˜es matema´ticas com estes elementos matema´ticos e estudar as principais aplicac¸o˜es destas operac¸o˜es. Em nosso livro, a comec¸ar por este cap´ıtulo, vamos estudar, definir e discutir as grandezas vetoriais, entender as diferenc¸as entre elas e as grandezas escalares e aprender a realizar as principais operac¸o˜es aritme´ticas com essas grandezas vetoriais. Assim, neste cap´ıtulo inicial, aprenderemos a classificar e deferenciar dois tipos de grandezas vetoriais, os segmentos orientados e os vetores, e, nos cap´ıtulos seguintes, aprendermos a trabalhar e operar com os vetores. 1.2 Grandezas Escalares versus Grandezas Vetoriais Antes de comec¸armos a classificar os tipos de grandezas vetorias, representa´-las e a operar com elas, precisamos saber o que sa˜o essas grandezas vetoriais e perceber a diferenc¸a entre grandezas vetoriais e grandezas escalares. Algumas grandezas podem ser totalmente caracterizadas por sua intensidade ou mag- nitude associada a uma unidade. Estas grandezas sa˜o chamadas grandezas escalares. 1 sandraoliveira Realce Como exemplos deste tipo de grandeza podemos citar: 1. o comprimento de um terreno. 20m; 2. a temperatura da sala: 21oC; 3. a durac¸a˜o de uma aula: 50min; 4. a altura de uma pessoa; 5. a massa de um objeto; 6. a diferenc¸a de potencial ele´trico. Assim temos que, por definic¸a˜o, as grandezas que podem ser completamente definidas por sua magnitude sa˜o chamadas de grandezas escalares. As grandezas escalares, como vimos pelos exemplos, sa˜o onipresentes em nosso dia- a-dia. Trabalhar com grandezas escalares e´ simples e ja´ estamos bastante acostumados a trabalhar com elas. Realizar operac¸o˜es aritme´ticas envolvendo este tipo de grandeza e´ realizar operac¸o˜es aritme´ticas envolvendo nu´meros reais. Exemplo: 1. Joa˜o comprou um terreno retangular para contruir a casa de seu sonhos. Sabendo que o comprimento do terreno e´ de 20,0 m e que a largura do terreno e´ de 18,0 m, calcule a a´rea do terrreno. Resoluc¸a˜o: Sabemos que a a´rea de um retaˆngulo e´ o produto de sua largura por seu comprimento: A = h · l Portanto: A = h · l = 20, 0× 18, 0 = 360m2 Portanto, a a´rea do terreno comprado por Joa˜o para fazer a casa de seus sonhos e´ de 360 m2. 2 sandraoliveira Realce 2. O recorde mundial da maratona e´ de 2 horas 3 minutos e 28 segundos obtido por Patrick Makau na maratona de Berlin em 2011. Sabendo que o percurso total da maratorna e´ de 42.195 metros, determine a velocidade me´dia de Patrick na prova em que ele obteve este recorde. Resoluc¸a˜o: Sabemos que a velocidade me´dia de um mo´vel e´ dada por: vm = ∆s ∆t onde ∆s e´ a distaˆncia percorrida e ∆t e´ o tempo gasto para percorrer essa distaˆncia. Assim, como ∆s = 42195 m e ∆t = 7408 s, temos que a velocidade me´dia de Patrick na maratona em bateu o recorde mundial foi de: vm = ∆s ∆t = 42195 7408 ∼= 5, 70 m/s Portanto, a velocidade me´dia de Patrick na prova em que conseguiu o recorde mundial da maratona foi vm ∼= 5, 70 m/s Diversos outros problemas e exemplos envolvendo apenas grandezas escalares aparecem em nosso cotidiano e ja´ estamos acostumados a trabalhar com esse tipo de grandeza matema´tica. Por outro lado, na maioria dos problemas de F´ısica, Matema´tica e Engenharia, ale´m das grandezas escalares, temos que trabalhar com as grandezas vetoriais. Por isto pre- cisamos entender o que sa˜o esse tipo de grandeza matema´tica e aprender a trabalhar com elas. Diferente das grandezas escalares, ha´ grandezas que precisam de mais que uma inten- sidade ou magnitude para serem descritas. Estas precisam de uma intensidade (associada a uma unidade), de uma direc¸a˜o e de um sentido para serem totalmente caracterizadas. Estas grandezas sa˜o chamadas grandezas vetoriais. Para comec¸armos a entender estas grandezas, vamos a um exemplo. 3 sandraoliveira Realce Exemplo: Os irma˜os Pedro e Paulo estavam passeando de carro quando este enguic¸ou. Os irma˜os combinaram de empurrar o carro, cada um, com uma forc¸a de 200N para leva´-lo ate´ o acostamento e, ao descerem do carro, empurraram-no conforme figura abaixo. O problema dos irma˜os na˜o foi resolvido! Pois forc¸a e´ uma grandeza vetorial, precisamos especificar: intensidade, direc¸a˜o e sentido. Especicificar somente a intensidade, como fizeram os irma˜os, na˜o e´ sufi- ciente. A seguir, os irma˜os combinaram de cada um aplicar a forc¸a de 200N na direc¸a˜o hori- zontal no sentido da esquerda para direita. Assim seus esforc¸os ficaram organizados como mostra a figura abaixo: O problema foi resolvido! 4 Como pudemos perceber pelo exemplo acima, para especificar completamente uma grandeza vetorial precisamos explicitar: � a intensidade ou o tamanho ou o comprimento ou a magnitude ou a norma; � a direc¸a˜o; e � o sentido. Neste livro usamos, indiferentemente, as palavras intensidade, tamanho, comprimento, magnitude e norma para nos referirmos a` mesma grandeza: o tamanho de um vetor. Podemos citar va´rias grandezas vetorias presentes em nosso dia-a-dia. Vejamos alguns exemplos simples. Exemplos: 1. A forc¸a exercida sobre um corpo e´ uma grandeza vetorial. Sobre uma bola pendurada no teto atua uma forc¸a de 2N , na direc¸a˜o vertical, de baixo para cima. 2. O deslocamento de um corpo e´ uma grandeza vetorial. O livro da figura foi deslocado 75 cm sobre a mesa, na direc¸a˜o horizontal e no sentido da esquerda para direita. 5 sandraoliveira Realce 3. A velocidade de um carro e´ uma grandeza vetorial. O carro da figura esta´ a 50 quiloˆmetros por hora, na direc¸a˜o que forma 30◦ com a horizontal no sentido de baixo para cima. Apo´s entendermos, nesta sec¸a˜o, o que sa˜o grandezas vetoriais e observarmos a sua onipresenc¸a em nosso cotidiano, precisamos classificar e estudar os tipos de grandezas vetoriais. Na verdade, vamos estudar e trabalhar com dois tipos de grandezas vetoriais: segmentos orientados; e vetores. Nosso objetivo principal neste livro e´ aprender a trabalhar com os vetores, mas na˜o vemos sentido em atingir este objetivo sem entendermos, tambe´m, o que sa˜o segmentos orientados e quais as diferenc¸as entre vetores e segmentos orientados. Assim, nas pro´ximas sec¸o˜es deste cap´ıtulos vamos estudar os conceitos de segmentos orientados e de vetores. Explicitamente, vamos definir segmento orientado para, a partir deste conceito, definir vetor. 1.3 Segmentos Orientados Segmento orientado e´ um segmento de reta ou um pedac¸o de reta com um sentido fixado. Um segmento de reta liga dois pontos do plano ou do espac¸o tridimensional. 6 sandraoliveira Realce Um segmento orientado pode ser definido e define dois pontos: o ponto de in´ıcio do segmento que chameremos de ponto inicial e o ponto de te´rmino do segmento que chamaremos de ponto final. O segmento orientado que tem o ponto A como ponto inicial e o ponto B como ponto final sera´ denotado por: −→ AB. Um segmento orientadotem direc¸a˜o, sentido e magnitude, mas ele na˜o e´ totalmente determinado por estas suas caracterist´ıcas pois dois segmentos orientados com mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento que tem, por exemplo, pontos iniciais diferentes sa˜o segmentos orientados diferentes. Um segmento orientado e´ totalmente determinado por seu ponto inicial e seu ponto final. Dois segmentos orientados com mesmo ponto inicial e ponto final sa˜o o mesmo segmento orientado. O ponto inicial e o ponto final de um segmento orientado determinam a direc¸a˜o, o sentido e o comprimento deste segmento orientado. Tome por exemplo o segmento orientado −→ AB mostrado na figura abaixo. Este segmento orientado tem: � Direc¸a˜o: a direc¸a˜o da reta que passa pelos pontos A e B; � Sentido: do ponto A para o ponto B; � Norma: o comprimento do segmento de reta AB (medido em cm, mm, m ou outra unidade qualquer de comprimento). 7 sandraoliveira Realce sandraoliveira Realce Observac¸o˜es: 1. O segmento orientado −→ AB e´ diferente do segmento orientado −→ BA. Eles tem a mesma direc¸a˜o, e o mesmo comprimento, mas tem sentidos diferentes. Dizemos que−→ AB e −→ BA tem sentidos opostos ou que sa˜o vetores opostos. 2. Sera´ u´til considerarmos segmentos que tem ponto inicial igual ao ponto final. Dize- mos que estes segmentos orientados sa˜o ‘degenerados’, pois, na verdade eles na˜o sa˜o segmentos orientados. Os segmentos orientados que tem ponto inicial igual ao ponto final sera˜o denominados de segmentos orientados nulos. Exemplos:−→ AA, −→ OO, −−→ BB. No conjunto dos segmentos orientados vamos definir uma relac¸a˜o. Dizemos que dois segmentos orientados se relacionam se eles tem a mesma direc¸a˜o, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Se o segmento orientado −→ AB se relaciona com o segmento orientado−−→ GH escrevemos −→ AB ∼ −−→GH. Esta relac¸a˜o tem propriedades bastante interessantes. Dados os segmentos orientados −→ AB, −−→ CD e −→ EF , temos as seguintes propriedades: 1. −→ AB ∼ −→AB. Propriedade Reflexiva. 2. Se −→ AB ∼ −−→CD enta˜o −−→CD ∼ −→AB Propriedade Sime´trica. 3. Se −→ AB ∼ −−→CD e −−→CD ∼ −→EF , enta˜o −→AB ∼ −→EF . Propriedade Transitiva. Quando uma relac¸a˜o tem as propriedades reflexiva, sime´trica e transitiva dizemos que esta relac¸a˜o e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. A relac¸a˜o entre segmentos orientados, definida acima e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. Esta relac¸a˜o de equivaleˆncia ‘divide’ ou par- ticiona o conjunto dos segmentos orientados em subconjuntos que sa˜o chamados classes de equivaleˆncia ou classes de equipoleˆncia. Esta ‘divisa˜o’ e´ uma ‘boa’ divisa˜o pois, cada segmento orientado pertence a uma, e somente uma, classe de equivaleˆncia. As relac¸o˜es de equivaleˆncia foram apresentadas aqui apenas como uma curiosidade para maiores detalhes voceˆ pode consultar um livro de mais avanc¸ado de A´lgebra. 8 1.4 Vetores Um vetor e´ o conjunto de todos os segmentos orientados do espac¸o que tem mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento. Neste caso, cada segmento orientado e´ chamado de representante do vetor. Chamamos de espac¸o vetorial e denotamos por V o conjunto de todos os vetores no plano ou no espac¸o tridimensional. Em geral, usaremos letras minu´sculas, do nosso alfabeto, com uma seta em cima para designar um vetor. Por exemplo, as grandezas a seguir sa˜o vetores: −→v , −→u e −→w . Alguns autores usam letras minu´sculas, do nosso alfabeto, em negrito para designar vetores. Nesse caso ter´ıamos como exemplo de representac¸a˜o de vetores v, u e w. Em nosso livro, na˜o vamos usar notac¸a˜o de vetores em negrito por entendermos que causa causa confusa˜o e problemas ao estudante tentar representar vetores usando essa notac¸a˜o ao escrever ‘a` ma˜o’ em cadernos de anotac¸o˜es, testes e provas. O conceito de vetor e´, em algum sentido, parecido e algumas vezes ate´ confundido com o conceito de segmento orientado. Mas, existem diferenc¸as. As principais diferenc¸as entre segmentos orientados e vetores esta˜o listadas a seguir: i. Um segmento orientado tem lugar fixo no plano ou no espac¸o. Enquanto um vetor na˜o tem lugar fixo no plano ou no espac¸o. ii. Um segmento orientado na˜o e´ totalmente caracterizado por sua direc¸a˜o, seu sentido e seu comprimento. Ja´ um vetor e´ totalmente caracterizado por sua direc¸a˜o, seu sentido e seu comprimento. iii. Um segmento orientado esta´ totalmente caracterizado por seu ponto inicial e por seu ponto final. E um vetor na˜o tem ponto inicial fixo ou ponto final fixo no espac¸o. iv. Um segmento orientado na˜o ‘anda’ no espac¸o, o segmento orientado esta´ fixado no espac¸o, tem um ponto inicial A e um ponto final B fixos no plano ou no espac¸o. E um vetor ‘anda’ no espac¸o, ou seja, fixado um vetor e dado um ponto A existe um representante deste vetor que tem ponto inicial em A, e dado um ponto B existe um representante deste vetor que tem ponto inicial em B . 9 sandraoliveira Realce sandraoliveira Realce Exemplos 1. Um segmento orientado com: • Direc¸a˜o: horizontal, • Sentido: orientado da esquerda para direita • Comprimento: 1 cm, • Pontos inicial e final: in´ıcio no ponto A e te´rmino no ponto B. NA˜O E´ IGUAL A um segmento orientado com: • Direc¸a˜o: horizontal, • Sentido: orientado da esquerda para direita • Comprimento: 1 cm, • Pontos inicial e final: in´ıcio no ponto C e te´rmino no ponto D (A 6= C e B 6= D). Assim: 10 2. Um segmento orientado com: • Direc¸a˜o: horizontal, • Sentido: orientado da esquerda para direita • Comprimento: 1cm, • Pontos inicial e final: in´ıcio no ponto A e te´rmino no ponto B. REPRESENTA O MESMO VETOR Que um segmento orientado com: • Direc¸a˜o: horizontal, • Sentido: orientado da esquerda para direita • Comprimento: 1cm, • Pontos inicial e final: in´ıcio no ponto C e te´rmino no ponto D (A 6= C e B 6= D). Assim: 11 Do exposto ate´ o momento, podemos apresentar o seguinte conceito para vetor. Vetor: e´ o conjunto de todos segmentos orientados de mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento. E com a relac¸a˜o de equivaleˆncia que definimos no conjunto dos segmentos orientados, na sec¸a˜o anterior, podemos completar a definic¸a˜o de vetor definindo um vetor como uma classe de equivaleˆncia ou classe de equipoleˆncia. Esta e´ uma definic¸a˜o, matematicamente, mais precisa. Com esta definic¸a˜o, vetor, por ser uma classe de equivaleˆncia, ja´ tem va´rias propriedades. Mas, para um primeiro curso de graduac¸a˜o podemos ficar com a definic¸a˜o de vetor como conjunto de segmentos orientados com mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento. Exemplos 1. Na figura abaixo contida no plano (IR2) temos 30 segmentos orientados. Quantos vetores temos na figura? Resposta: Destacando com cores diferentes os diferentes vetores (ver figura a seguir) vemos que ha´ 5 vetores na figura. 12 2. Na figura abaixo contida no espac¸o tridimensional (IR3) temos 20 segmentos orienta- dos. Quantos vetores temos na figura? (Obs.: Apesar de ser uma figura no espac¸o, para facilitar a visualizac¸a˜o, os vetores na˜o foram desenhados em profundidade.) Resposta: Novamente, marcamos os vetores diferentes com cores diferentes (ver figura a seguir). Desta forma percebemos que ha´ 4 vetores na figura. 13 3. Na figura abaixo temos um cubo, onde marcamos 12 segmentos orientados. Quantos vetores temos? Resposta: Marcando os vetores diferentes com cores diferentes (ver figura a seguir), percebemos que ha´ 7 vetores na figura. 14 Vamos querer fazer operac¸o˜es com vetores, assim vamos estudar e estruturar melhor o conjunto V de todos os vetores no espac¸o. 1. Se −→v e´ um vetor, ou seja, −→v ∈ V enta˜o −→ve´ um conjunto de segmentos orientados. Cada elemento de V e´ um conjunto. V e´ um conjunto de conjuntos. 2. Se−→v e´ um vetor, enta˜o−→v e´ um conjunto de segmentos orientados, todos com mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo tamanho. Cada elemento de −→v e´ denominado representante de −→v . Muitas vezes, inclusive nas operac¸o˜es entre vetores, usaremos representantes dos ve- tores. Dado um vetor −→v e fixado um ponto A no espac¸o, existe um representante de −→v que tem in´ıcio em A. Fixado outro ponto B, temos outro representante de −→v que tem in´ıcio em B. Por isso, algumas vezes dizemos que vetor ‘anda’ no espac¸o. Dado um vetor, −→v ∈ V definimos: � Direc¸a˜o: A direc¸a˜o do vetor−→v e´ a direc¸a˜o de um, ou seja, de qualquer representante deste vetor. � Sentido: O sentido do vetor −→v e´ o sentido de um dos representantes deste vetor. � Norma: A norma ou mo´dulo de −→v e´ o comprimento ou tamanho de um dos representantes deste vetor. A notac¸a˜o que vamos usar para norma do vetor −→v e´ |−→v |. Exemplo: Considere o cubo da figura abaixo com ve´rtices ABCDEFGH. i) Os segmentos orientados −→ AB, −−→ DC, −→ EF, −−→ HG sa˜o alguns dos representantes de um vetor que denotaremos por −→u . ii) Os segmentos orientados −→ BA, −−→ CD, −→ FE, −−→ GH sa˜o alguns dos representantes de um vetor que denotaremos por −→w . iii) Os segmentos orientados −→ AE, −→ CG, −−→ DH, −−→ BF sa˜o alguns dos representantes de um vetor que denotaremos por −→ t . iv) Os segmentos orientados −−→ EC, −→ GA na˜o sa˜o representantes de um u´nico vetor, eles representam vetores distintos. Tambe´m na˜o confundir os segmentos orientados −−→ HB e −−→ FD. Estes vetores sa˜o destacados nos cubos da figura abaixo. 15 1.5 Exerc´ıcios 1. Com sua palavras, diga quais as principais diferenc¸as entre: a) grandezas escalares e grandezas vetoriais; b) segmentos orientados e vetores. 16 2. Considere o segmento orientado −→ AB. Como voceˆ definiria sua: a) magnitude; b) direc¸a˜o; c) sentido. 3. Considere o cubo da figura a seguir. a) Se −−→ GH representa o vetor −→v , que outros segmentos orientados podem ser marcados no cubo e representam o vetor −→v ? b) Se −−→ DA representa o vetor −→w , que outros segmentos orientados podem ser mar- cados no cubo e representam o vetor −→w ? c) Se −−→ EG representa o vetor −→u , que outros segmentos orientados podem ser mar- cados no cubo e representam o vetor −→u ? d) Se −−→ ED representa o vetor −→r , que outros segmentos orientados podem ser mar- cados no cubo e representam o vetor −→r ? e) Se −−→ BH representa o vetor −→s , que outros segmentos orientados podem ser marcados no cubo e representam o vetor −→s ? ∗ ∗ ∗ 17 Cap´ıtulo 2 Sistema de Coordenadas Cartesianas No cap´ıtulo anterior comec¸amos a estudar os vetores e a entender sua definic¸a˜o matema´tica, bem como aprendemos as diferenc¸as entre vetores e segmentos orientados e o que e´ espac¸o vetorial. Pore´m, para que nos pro´ximos cap´ıtulos possamos realizar operac¸o˜es aritme´ticas envolvendo vetores, precisamos aprender a localizar e representar os vetores e outros elementos da A´lgebra Vetorial no plano e no espac¸o. Por isto, neste cap´ıtulo, vamos apresentar aos estudantes a noc¸a˜o de sistemas de coordenadas cartesianas no plano e no espac¸o e veremos como localizar pontos e a calcular a distaˆncia entre eles, tanto no plano quanto no espac¸o. Devemos lembrar que existem va´rios outros sistemas de coordenadas, mas o sistema cartesiano e´ o mais usado e neste livro vamos nos ater exclusivamente a este tipo de sistema de coordenadas. 2.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano Para localizar pontos, vetores, retas e outros elementos no plano usaremos a noc¸a˜o de Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano. Este sistema de coordenadas tambe´m e´ chamado de Sistema de Coordenadas Retangulares, pois os eixos formam aˆngulos de 90◦ entre si. 18 2.1.1 Definic¸a˜o Para definir o sistema de coordenadas cartesianas no plano: 1. Fixamos um ponto no plano que sera´ chamado de origem e sera´ denotado por O. 2. Escolhemos duas retas do plano (que denotaremos por x e y) perpendiculares, que passem pela origem O. Chamaremos estas retas de eixos: eixo x e eixo y. Em geral, escolhemos uma reta horizontal, que chamamos de eixo x e uma reta vertical que chamamos de eixo y. 3. Para cada um dos eixos fixamos um sentido que sera´ considerado positivo. Em geral, da esquerda para a direita para o eixo x e de baixo para cima, para o eixo y. 4. Para cada um dos eixos definimos uma escala, associando assim cada ponto do eixo a um nu´mero real. Associamos a origem O ao nu´mero zero 0. A partir da origem, no sentido positivo do eixo associamos, de forma crescente, os nu´meros reais positivos. E a partir da origem no sentido negativo (sentido oposto ao positivo) associamos, de forma decrescente, os nu´meros reais negativos. Os procedimentos descritos acima nos da˜o o sistema de eixos coordenados onde a origem e´ a intersecc¸a˜o dos eixos. Este sistema de coordenadas esta´ esquematizado na figura a seguir. Neste texto escolhemos sempre escalas iguais para o eixo x e y. As escalas dos eixos podem ser diferentes. Quando escolhemos escalas diferentes para os eixos muitas das fo´rmulas usadas tambe´m sera˜o diferentes. 19 2.1.2 Localizando pontos no plano Definido o sistema de coordenadas que vamos utilizar precisamos aprender a localizar objetos e elementos da A´lgebra Vetorial neste sistema de coordenadas e definir o que sera˜o as coordenadas desses elementos. Vamos considerar, inicialmente, um ponto e aprender a localiza´-lo e a determinar suas coordenadas em nosso sistemas de coordenadas cartesianas no plano. Fixado um ponto A do plano, chamaremos de: � y′ a reta paralela ao eixo y que passa por A, � Ax o ponto de intersecc¸a˜o entre esta reta e o eixo x. A coordenada xA (componente do ponto A em relac¸a˜o ao eixo x) e´ o nu´mero associado ao ponto Ax. Ela e´ chamada de abscissa do ponto A. Analogamente, fixado um ponto A do plano, chamaremos de: � x′ a reta paralela ao eixo x que passa por A, � Ay o ponto de intersecc¸a˜o entre esta reta e o eixo y. 20 A coordenada yA (componente do ponto A em relac¸a˜o ao eixo y) e´ o nu´mero associado ao ponto Ay. Ela e´ chamada de ordenada do ponto A. Assim, cada ponto A do plano sera´ associado a um par de nu´meros reais xA e yA. Chamamos (xA, yA) ∈ IR2 de coordenadas ou componentes cartesianas do ponto A no plano. Chamamos xA ∈ IR de abscissa do ponto A. E yA ∈ IR de ordenada do ponto A. O ponto A sera´ representado por A = (xA, yA). Alguns autores representam o ponto A e suas coordenadas com a notac¸a˜o A(xA, yA). Notac¸a˜o que na˜o sera´ usada nesse livro, mas que citamos para que os estudantes esteja cientes se, por ventura, depararem-se com ela em outros textos. Apo´s apresentadas estas noc¸o˜es sobre sistemas de coordenadas cartesianas no plano vamos aprender, com os exemplos a seguir, a localizar pontos e regio˜es de pontos no plano cartesiano. 21 Exemplos: 1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, representemos os pontos: a) A = (0, 3); b) B = (−2,−4); c) C = (0, 2); d) D = (3,−5); e) E = (1, 6); f) F = (−4, 0); g) G = (−1, 1); h) O = (0, 0); i) H = ( 0,−1 3 ) . Na figura a seguir e´ mostrada a localizac¸a˜o destes pontos no sistema de coordenadas cartesianas no plano. 22 2. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano IR2, represente as estruturas geome´tricas descritas algebricamente abaixo: a) Todos os pontos do plano com abcissa igual a zero, ou seja, x = 0. Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo y, destacadona figura a seguir. b) Todos os pontos do plano com ordenada igual a zero, ou seja, y = 0. Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo x, destacado na figura a seguir. c) Todos os pontos do plano com abcissa igual a um, ou seja, x = 1. Resposta: Estes pontos correspondem a` reta paralela ao eixo y e destacada na figura a seguir. 23 d) Todos os pontos do plano com abcissa igual a` ordenada, ou seja, x = y. Resposta: Estes pontos correspondem a` reta destacada na figura a seguir. e) Todos os pontos do plano que distam 1u.c. do ponto P = (−2, 1). Resposta: Estes pontos correspondem a` circunfereˆncia de raio 1 e centrada no ponto P = (−2, 1). f) Todos os pontos do plano que distam 1u.c. do ponto P = (−2, 1) e distam 3u.c. do ponto Q = (−1,−2). Resposta: Estes pontos obedecem, simultaneamente, a` equac¸a˜o das duas cir- cunfereˆncias especificadas. Portanto, sa˜o as intersecc¸o˜es entre as duas circun- fereˆncias que sa˜o os dois pontos marcados na figura a seguir. 24 g) Todos os pontos do plano que satisfazem as inequac¸o˜es x ≤ −3, y ≥ 0 e distam no ma´ximo 4u.c. da origem O = (0, 0). Resposta: A regia˜o explicitada esta´ marcada na figura a seguir. Note que os pontos da fronteira da regia˜o fazem parte da a´rea marcada. Se tive´ssemos no enunciado pontos x < −3, y > 0 e que distam menos de 4u.c. da origem, a fronteira da regia˜o estaria tracejada na figura e na˜o faria parte da regia˜o marcada. 2.1.3 Divisa˜o do plano em quadrantes Quando fixamos um sistema de coordenadas no plano IR2 dividimos o plano em quatro quadrantes, cujos limites podem ser definidos, matematicamente, da seguinte maneira. � Primeiro Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x > 0 e y > 0}. � Segundo Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x < 0 e y > 0}. � Terceiro Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x < 0 e y < 0}. � Quarto Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x > 0 e y < 0}. Estes quadrantes esta˜o destacados e nomeados na figura a seguir. 25 2.1.4 Distaˆncia entre dois pontos do plano Tendo aprendido a localizar pontos no plano cartesiano, faz-se necessa´rio aprendermos a calcular a distaˆncia entre dois pontos quaisquer deste plano. Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano IR2, vamos deduzir a fo´rmula matema´tica para a distaˆncia entre dois pontos. Sejam A = (xA, yA) e B = (xB, yb) dois pontos do plano. 26 Sejam: � s a reta que passa pelos pontos A e B; � r a reta que passa por B e e´ paralela ao eixo y; � t a reta que passa por A e e´ paralela ao eixo x; � C = (xC , yC) o ponto de intersecc¸a˜o entre as retas r e t. As retas r, s e t e o ponto C esta˜o marcados na figura a seguir. Assim, podemos aplicar o Teorema de Pita´goras no triaˆngulo retaˆngulo ABC para determinar a distaˆncia entre A e B. Usando d(A,B) para indicar a distaˆncia entre os pontos A e B temos: [ d(A,B) ]2 = |xB − xA|2 + |yB − yA|2 Ou seja, d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 (2.1) 27 Exemplos 1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, determine a distaˆncia entre os pontos A e B: a) A = (0, 0) e B = (1, 1). Resoluc¸a˜o: Usando que: d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 obtemos, imediatamente que: d(A,B) = √ (1− 0)2 + (1− 0)2 = √ 1 + 1 d(A,B) = √ 2 u.c. b) A = (0, 0) e B = (−1,−1). Resoluc¸a˜o: Analogamente ao item (a), temos que d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 d(A,B) = √ (−1− 0)2 + (−1− 0)2 = √ 1 + 1 d(A,B) = √ 2 u.c. c) A = (1, 0) e B = (3,−1). Resoluc¸a˜o: Para os pontos A e B deste item temos: d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 d(A,B) = √ (3− 1)2 + (−1− 0)2 = √ 4 + 1 d(A,B) = √ 5 u.c. d) A = (1,−1) e B = (−3,−1). Resoluc¸a˜o: d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 d(A,B) = √ (−3− 1)2 + (−1− (−1))2 = √ (−4)2 + 02 d(A,B) = √ 16 = 4 u.c. 28 e) A = (1,−3) e B = (−3,−1). Resoluc¸a˜o: d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 d(A,B) = √ (−3− 1)2 + (−1− (−3))2 = √ (−4)2 + (−1 + 3)2 d(A,B) = √ 16 + 4 = √ 20 d(A,B) = 2 √ 5 u.c. 2. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, para cada afirmac¸a˜o abaixo, esboce uma figura e apresente uma equac¸a˜o para representa´-la. a) A distaˆncia entre o ponto (x, y) e o ponto (2, 1) e´ de 3u.c.. Resoluc¸a˜o: O ponto (x, y) corresponde a todos os pontos do plano que distam 3 u.c. do ponto (1, 2). Sa˜o os pontos da circunfereˆncia representada na figura. Como d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 3 = √ (1− x)2 + (2− y)2 Assim, vemos que todos os pontos da circunfereˆncia obedecem a` equac¸a˜o: (1− x)2 + (2− y)2 = 9 ou (x− 1)2 + (y − 2)2 = 9 29 b) A distaˆncia entre o ponto (x, y) e o ponto (10,−5) e´ de 15u.c.. Resoluc¸a˜o: O ponto (x, y) corresponde a todos os pontos do plano que distam 15 u.c. do ponto (10,−5). Sa˜o os pontos da circunfereˆncia representada na figura. Como d(AB) = 15 = √ (10− x)2 + (−5− y)2 Mas (−5− y)2 = (5 + y)2 Assim, os pontos da circunfereˆncia obedecem a` equac¸a˜o: (10− x)2 + (5 + y)2 = 225 ou (x− 10)2 + (y + 5)2 = 225 c) A distaˆncia entre o ponto (x, y) e o ponto (xc, yc) e´ de R unidades de compri- mento. Resoluc¸a˜o: Esta circunfereˆncia geral esta´ esquematizada na figura abaixo. 30 Para os pontos desta circunfereˆncia, temos que: (xc − x)2 + (yc − y)2 = R2 ou (x− xc)2 + (y − yc)2 = R2 que e´ a equac¸a˜o geral de uma circunfereˆncia de raior R centrada no ponto Pc = (xc, yc). 3. Dadas as equac¸o˜es de circunfereˆncia abaixo, determine as coordenadas do centro da circunfereˆncia e o seu raio. a) (x− 3)2 + (y + 2)2 = 16 Resoluc¸a˜o: Comparando a equac¸a˜o acima com a equac¸a˜o geral da circun- fereˆncia temos que o centro da circunfereˆncia e´ o ponto Pc = (3,−2) e raio R = 4u.c.. b) (x+ 1)2 + (3− y)2 = 25 Resoluc¸a˜o: A equac¸a˜o acima pode ser reescrita na forma: (x+ 1)2 + (y − 3)2 = 25 Neste caso, temos que o centro da circunfereˆncia e´ o ponto Pc = (−1, 3) e raio R = 5u.c.. 31 c) x2 + 4x+ y2 = 0 Resoluc¸a˜o: Os termos na varia´vel x da equac¸a˜o acima podem ser reescritos, a partir da operac¸a˜o completar quadrados, como sendo: x2 + 4x = x2 + 4x+ 4− 4 = (x+ 2)2 − 4 Portanto, a equac¸a˜o da circunfereˆncia acima, pode ser escrita como: (x+ 2)2 − 4 + y2 = 0⇒ (x+ 2)2 + y2 = 4 Assim, o centro da circunfereˆncia e´ o ponto Pc = (−2, 0) e o raio da circun- fereˆncia e´ R = 2u.c.. 4. Calcule o per´ımetro do triaˆngulo com ve´rtices nos pontos A = (1, 1), B = (2, 0) e C = (0, 2). Resoluc¸a˜o: Podemos usar a distaˆncia entre pontos para calcular o per´ımetro de pol´ıgonos que tenham ve´rtices em pontos conhecidos. Assim, o per´ımetro do triaˆngulo com ve´rtices A, B e C sera´ dado por: p = d(AB) + d(BC) + d(CA) Calculando as distaˆncias em separado: d(AB) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 = √ (2− 1)2 + (0− 1)2 = √ 2 d(BC) = √ (xC − xB)2 + (yC − yB)2 = √ (0− 2)2 + (2− 0)2 = 2 √ 2 d(CA) = √ (xA − xC)2 + (yA − yC)2 = √ (1− 0)2 + (1− 2)2 = √ 2 O que nos fornece para o per´ımetro do triaˆngulo: p = d(AB) + d(BC) + d(CA) = √ 2 + 2 √ 2 + √ 2 p = 4 √ 2 u.c. O per´ımetro de outros pol´ıgonos com ve´rtices em pontos conhecidos pode ser cal- culado pelo mesmo procedimento. 32 2.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Espac¸o 2.2.1 Definic¸a˜o Para localizar pontos no espac¸o IR3 vamos estender a noc¸a˜o de sistema de coordenadas cartesianas do plano, discutida e apresentada na sec¸a˜o anterior, para o espac¸o. O procedimento para definic¸a˜o do sistema de coordenadas no espac¸o e´ ana´logo ao procedimento para definir o sistema de coordenadas cartesianas no plano. Assim, vamos: 1. Fixar um ponto no plano que sera´ a origem O. 2. Escolher treˆs retas do espac¸o, perpendiculares duas a duas, que passem por O, que sera˜o oseixos x, y e z. 3. Para cada um dos eixos x, y e z fixamos um sentido que sera´ considerado positivo. 4. Para cada um dos eixos x, y e z definimos uma escala. 33 O sistema de coordenadas cartesiana no espac¸o IR3 definido pelo procedimento descrito acima esta´ esquematizado na figura a seguir. 2.2.2 Localizando pontos no espac¸o Definido o sistema de coordenadas que vamos utilizar para representar o espac¸o, pre- cisamos aprender a localizar objetos e elementos da A´lgebra Vetorial neste sistema de coordenadas e definir o que sera˜o as coordenadas desses elementos. Vamos considerar, inicialmente, um ponto e aprender a localiza´-lo e a determinar suas coordenadas em nosso sistemas de coordenadas cartesianas no espac¸o. Como todos os outros elementos sa˜o formados e/ou definidos por pontos, poderemos localizar outros elementos a partir da localizac¸a˜o de seus pontos. Fixado um ponto A do espac¸o, chamaremos de: � x′ a reta paralela ao eixo x que passa por A, � y′ a reta paralela ao eixo y que passa por A, � z′ a reta paralela ao eixo z que passa por A, � Ax o ponto de intersecc¸a˜o entre a reta x′ e o plano yz 34 � Ay o ponto de intersecc¸a˜o entre a reta y′ e o plano xz � Az o ponto de intersecc¸a˜o entre a reta z′ e o plano xy As coordenadas do ponto A no espac¸o tridimensional sera˜o os nu´meros xA, yA e zA. O ponto A e suas coordenadas, as retas x′, y′ e z′ e os pontos Ax, Ay e Az esta˜o marcados na figura abaixo. Para o ponto A = (xA, yA, zA) ∈ IR3, temos que: • xA e´ chamada abscissa do ponto A, • yA e´ chamada ordenada do ponto A, • zA e´ chamada cota do ponto A. Exemplos 1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o tridimensional, represen- tamos os pontos: a) A = (0, 3, 1), b) B = (−2,−4,−1), c) C = (0, 2, 0), 35 d) D = (3,−5, 4), e) E = (1, 6,−1), f) F = (−4, 0, 2), g) G = (−1,−1, 1), h) O = (0, 0, 0). Resposta: Estes pontos esta˜o marcados nos gra´ficos da figura a seguir. 36 2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o tridimensional IR3 represente as estruturas geome´tricas descritas algebricamente abaixo: a) Todos os pontos com abcissa igual a zero, ou seja, x = 0. Resposta: A regia˜o destada na figura a seguir representa todos os pontos que obedecem a esta condic¸a˜o, ou seja, os pontos do plano yz sa˜o os pontos do espac¸o com abcissa nula. b) Todos os pontos com ordenada igual a zero, ou seja, y = 0. Resposta: Os pontos com y = 0 sa˜o os pontos do plano xy. Este plano esta´ destacado na figura abaixo. 37 c) Todos os pontos com abcissa igual a zero e com ordenada igual a zero, ou seja,{ x = 0 y = 0 . Resposta: Sa˜o os pontos que esta˜o sobre o eixo z, que esta´ destacado na figura a seguir. d) Todos os pontos com abcissa igual a ordenada, ou seja, x = y. Resposta: Sa˜o os pontos que pertencem ao plano que e´ paralelo ao eixo z e que faz um aˆngulo de 45o com o eixo x e tambe´m com o eixo y. Este plano esta´ esquematizado na figura a seguir. 38 e) Todos os pontos que distam 4u.c. do ponto P = (−3, 6, 3). Resposta: Estes pontos esta˜o na superf´ıcie esfe´rica de raio R = 4 u.c. e centrada no ponto P = (−3, 6, 3). Esta esfera e´ mostrada na figura a seguir. f) Todos os pontos que distam 4u.c. do ponto P = (−3, 6, 3) e tem cota igual a zero z = 0. Resposta: Sa˜o os pontos da intersecc¸a˜o entre a superf´ıcie esfe´rica de raio R = 4 u.c. e centrada no ponto P = (−3, 6, 3) e o plano xy, ou seja,sa˜o os pontos da circunfereˆncia destacada na figura a seguir. 39 g) Todos os pontos que distam 4u.c. do ponto P = (−3, 6, 3) e tem cota igual a menos um (z = −1). Resposta: Ha´ um u´nico ponto que pertence a` superficie esfe´rica de raio R = 4 u.c. e tem z = −1, que e´ o ponto S = (−3, 6,−1) destacado na figura abaixo. 3. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas, apresente uma equac¸a˜o, ou um conjunto de equac¸o˜es que caracterizem as estruturas geome´tricas: a) Os pontos do eixo x. Resposta: y = 0 e z = 0, ou seja, { y = 0 z = 0 . b) Os pontos do eixo y. Resposta: x = 0 e z = 0, ou seja, { x = 0 z = 0 . c) Os pontos do eixo z. Resposta: x = 0 e y = 0, ou seja, { x = 0 y = 0 . d) Os pontos do plano xy (ou plano Oxy). Resposta: z = 0. e) Os pontos do plano xz. Resposta: y = 0. f) Os pontos do plano yz. Resposta: x = 0. g) Os pontos do plano perpendicular ao eixo x no ponto x = 2. Resposta: x = 2. 40 2.2.3 Divisa˜o do espac¸o em octantes Quando fixamos um sistema de coordenadas no espac¸o IR3, estamos dividindo o espac¸o tridimensional em oito octantes. Esses octantes esta˜o matematicamente caracterizados de acordo com a divisa˜o a seguir. � Primeiro Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y > 0 e z > 0} � Segundo Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y < 0 e z > 0} � Terceiro Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y < 0 e z > 0} � Quarto Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y > 0 e z > 0} � Quinto Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y > 0 e z < 0} � Sexto Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y < 0 e z < 0} � Se´timo Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y < 0 e z < 0} � Oitavo Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y > 0 e z < 0} Na figura abaixo temos esquematizada uma representac¸a˜o gra´fica destes octantes. 41 2.2.4 Distaˆncia entre Dois Pontos do Espac¸o Agora que sabemos localizar pontos no espac¸o, precisamos aprender a calcular a distaˆncia entre dois pontos quaisquer presentes neste espac¸o e com coordenadas expressas em termos de coordendas cartesianas. A expressa˜o matema´tica para a distaˆncia entre dois pontos no espac¸o e´ uma extensa˜o natural da expressa˜o para a distaˆncia entre dois pontos no plano. Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o tridimensional IR3 e dados os pontos A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yb, zB), a distaˆncia entre A e B e´ dada por: d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 (2.2) Dadas as coordenadas de dois pontos quaisquer no espac¸o podemos usar a expressa˜o dada pela equac¸a˜o (2.2) para calcular a distaˆncia entre esses pontos. Vamos treinar um pouco fazendo os exemplos a seguir. Exemplos 1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o, determine a distaˆncia entre os pontos A e B: a) A = (0, 0, 0) e B = (1, 1, 1). Resoluc¸a˜o: Usando a expressa˜o para a distaˆncia entre pontos no espac¸o (equac¸a˜o (2.2)), temos que: d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 d(A,B) = √ (1− 0)2 + (1− 0)2 + (1− 0)2 = √ 3 u.c. b) A = (0, 0, 0) e B = (−1,−1,−1). Resoluc¸a˜o: Pela equac¸a˜o (2.2) temos que: d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 d(A,B) = √ (−1− 0)2 + (−1− 0)2 + (−1− 0)2 = √ 1 + 1 + 1 d(A,B) = √ 3 u.c. c) A = (1, 0,−2) e B = (3,−1,−3). Resoluc¸a˜o:Pela equac¸a˜o (2.2) temos que: d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 d(A,B) = √ (3− 1)2 + (−1− 0)2 + (−3− (−2))2 d(A,B) = √ 4 + 1 + 1 = √ 6 u.c. 42 d) A = (1, 0, 0) e B = (−3, 0, 0). Resoluc¸a˜o: Da equac¸a˜o (2.2) temos que: d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 d(A,B) = √ (−3− 1)2 + (0− 0)2 + (0− 0)2 = √ 16 + 0 + 0 d(A,B) = 4 u.c. e) A = (1,−3,−2) e B = (3,−1, 2). Resoluc¸a˜o: Da equac¸a˜o (2.2) temos que: d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 d(A,B) = √ (3− 1)2 + (−1− (−3))2 + (2− (−2))2 d(A,B) = √ 4 + 4 + 16 = √ 24 = 2 √ 6 u.c. d(A,B) = d(A,B) = 2 √ 6 u.c. 2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o, apresente uma equac¸a˜o que represente a afirmac¸a˜o: a) A distaˆncia entre o ponto (x, y, z) e o ponto (1, 2, 3) e´ de 10u.c.. Resoluc¸a˜o: O ponto P = (x, y, z) e´ um ponto qualquer do espac¸o, assim fixando em 10 u.c. a distaˆncia de um ponto qualquerdo espac¸o ate´ o ponto de coordenadas Q = (1, 2, 3), estamos fazendo de Q o centro de uma esfera de raio R = 10 u.c. e escrevendo a espressa˜o para a distaˆncia entre P e Q podemos escrever a equac¸a˜o de todos os pontos que esta˜o sobre a superf´ıcie da esfera, ou seja, estamos escrevendo a equac¸a˜o da superf´ıcie esfe´rica de raio R = 10 u.c. centrada em Q = (1, 2, 3). Vejamos: d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 10 = √ (1− x)2 + (2− y)2 + (3− z)2 (1− x)2 + (2− y)2 + (3− z)2 = 100 ou (x− 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 100 43 b) A distaˆncia entre o ponto (x, y, z) e o ponto (−1, 2,−3) e´ de 5u.c.. Resoluc¸a˜o: Analogamente ao item (a) temos que: d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 5 = √ (−1− x)2 + (2− y)2 + (−3− z)2 (x+ 1)2 + (2− y)2 + (z + 3)2 = 25 ou (x+ 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 25 que e´ a equac¸a˜o dos pontos da superf´ıcie esfe´rica de raio R = 5 u.c. e centrada em Q = (−1, 2− 3). c) A distaˆncia entre o ponto (x, y, z) e o ponto (xc, yc, zc) e´ de Ru.c.. Resoluc¸a˜o: Neste caso podemos obter a equac¸a˜o de uma superf´ıcie esfe´rica geral de raio R e centrada no ponto Q = (xc, yc, zc). d(A,B) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 R = √ (xc − x)2 + (yc − y)2 + (zc − z)2 (xc − x)2 + (yc − y)2 + (zc − z)2 = R2 ou (x− xc)2 + (y − yc)2 + (z − zc)2 = R2 A equac¸a˜o acima e´ a equac¸a˜o geral de uma esfera de raio R centrada no ponto Pc = (xc, yc, zc). 3. Dadas as equac¸o˜es de esferas abaixo, diga quais sa˜o o raio e o centro de cada esfera. a) (2− x)2 + y2 + (z + 1)2 = 3 Resoluc¸a˜o: Comparando a equac¸a˜o acima com a equac¸a˜o geral de uma esfera, temos que o centro da esfera e´ o ponto Pc = (2, 0,−1) e o raio da esfera vale R = √ 3u.c.. b) x2 + y2 + z2 − 4x+ 2y = 0 Resoluc¸a˜o: Usando a operac¸a˜o completar quadrados, podemos escrever: x2 − 4x = x2 − 4x+ 4− 4 = (x− 2)2 − 4 e tambe´m: y2 + 2x = x2 + 2x+ 1− 1 = (y + 1)2 − 1 44 Portanto, a equac¸a˜o da esfera toma a forma: x2 + y2 + z2 − 4x+ 2y = 0⇒ (x− 2)2 − 4 + (y + 1)2 − 1 + z2 = 0 (x− 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 5 O que nos da´ para o centro da esfera o ponto Pc = (2,−1, 0) e para o raio R = √ 5u.c.. 4. Determine o per´ımetro do triaˆngulo de ve´rtices A = (1, 0, 1), B = (2, 3, 1) e C = (−1, 3, 0); Resoluc¸a˜o: O per´ımetro do triaˆngulo com ve´rtices A, B e C e´ dado por: p = d(AB) + d(BC) + d(CA) Calculando as distaˆncias em separado: d(AB) = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 ++(zB − zA)2 = √ (2− 1)2 + (3− 0)2 + (1− 1)2 = √ 10 d(BC) = √ (xC − xB)2 + (yC − yB)2 + (zC − zB)2 = √ (−1− 2)2 + (3− 3)2 + (0− 1)2 = √ 10 d(CA) = √ (xA − xC)2 + (yA − yC)2 + (zA − zC)2 = √ (1− (−1))2 + (0− 3)2 + (1− (−1))2 = √ 17 O que nos fornece para o per´ımetro do triaˆngulo: p = d(AB) + d(BC) + d(CA) = √ 10 + √ 10 + √ 14 p = ( 2 √ 10 + √ 17 ) u.c. 45 2.3 Exerc´ıcios 1. Dados os pontos A = (1, 0), B = (−1, 2), C = (3, 3), D = (−2,−3), E = (1, 1) e F = (−2, 1). Localize-os em um plano cartesiano. 2. Considere o plano cartesiano da figura a seguir onde esta˜o marcados os pontos A, B, C, D, E, F e G. E escreva as coordenadas desse pontos. 3. Fornec¸a uma descric¸a˜o geome´trica dos conjuntos de pontos no plano cujas coorde- nadas satisfazem as seguintes equac¸o˜es: a) x = 2 ; b) x = 2 e y = −3 ; c) y = −3 ; d) x2 + y2 = 3 ; e) 3x2 + 3y2 + 6x = 9 ; 4. Fornec¸a uma descric¸a˜o geome´trica dos conjuntos de pontos no plano cujas coorde- nadas satisfazem as seguintes inequac¸o˜es e/ou conjunto de inequac¸o˜es ou equac¸o˜es: a) x ≤ 2 ; b) x ≤ 2 e y ≥ −3 ; c) x ≤ 4 e y = −3 ; d) x2 + y2 = 16, x ≤ 3 e y ≥ 4 ; e) (x− 1)2 + (y + 2)2 ≥ 4 e (x− 1)2 + (y − 1)2 ≤ 9 ; 46 f) x2 + y2 − 2x+ 4y − 11 ≤ 0 e x ≥ 1 . 5. Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = (−2, 1, 2), C = (1, 2, 3), D = (3, 2, 1), E = (−2,−1, 0) e F = (0,−2, 1), localize-os em um sistema de coordenadas cartesinas no espac¸o.[Dica: Para facilitar a visualizac¸a˜o voceˆ pode localizar dois ou treˆs pontos em cada sitema cartesiano.] 6. Fornec¸a uma descric¸a˜o geome´trica dos conjuntos de pontos no espac¸o cujas coorde- nadas satisfazem as seguintes igualdades: a) x = 2 ; b) x = 4 e y = −3 ; c) x = 4, y = 0 e z = −2 ; d) x2 + (y + 3)2 = 16 ; e) (x− 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 36 e x = −2 ; f) z2 + x2 + y2 + 8x− 6y + 21 = 0 ; g) x2 + y2 − 2x+ 2y − 14 = 0 e z = 2 ; h) x2 + y2 − 6x+ 9 = 0 . 7. Fornec¸a uma descric¸a˜o geome´trica dos conjuntos de pontos no espac¸o cujas coorde- nadas satisfazem as seguintes conjuntos de inequac¸o˜es e equac¸o˜es: a) x ≤ 2 ; b) x ≤ 4 e y = −3 ; c) x2 + y2 = 16, x ≤ 3 e y ≥ 4 ; d) x = 2y ; e) x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 3 ; f) x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 10 e z = 1 ; g) x2 + y2 ≤ 4 e z = 2 ; h) x2 + (y + 1)2 = 4 e 0 ≤ x ≤ 3 ; i) x2 + y2 + z2 < 25, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 1 . 8. Descreva o conjunto de pontos do plano atrave´s de equac¸o˜es: a) A reta perpendicular ao eixo y em (0, 2) ; 47 b) A reta paralela ao eixo y que passa pelo ponto (1,−3) ; c) A circunfereˆncia de raio 4 centrado em (−1,+3) ; d) Os pontos do plano equidistantes do ponto (2,−1) e do ponto (1, 1) que per- tencem a reta y = x . 9. Descreva o conjunto de pontos do espac¸o atrave´s de equac¸o˜es: a) O plano perpendicular ao eixo x em (0, 1, 2) ; b) O plano pelo ponto (1, 0, 0) paralelo ao plano xy ; c) O plano pelo ponto (−1, 2, 4) paralelo ao plano yz ; d) O c´ırculo de raio 1 centrado em (−1, 1, 2) pertencente a um plano paralelo ao plano xz ; e) A reta pelo ponto 1 (1, 2,−5) paralela ao eixo z ; f) O conjunto de pontos no espac¸o equidistantes da origem e do ponto (0, 2, 0) ; g) O c´ırculo no qual o plano que passa pelo ponto (1, 1, 3) perpendicular ao eixo z encontra a esfera de raio 5 centrada na origem. 10. Descreva o conjunto de pontos do espac¸o atrave´s de equac¸o˜es e/ou inequac¸o˜es: a) A fatia do plano limitada pelas retas x = −2 e x = 1 ; b) A fatia limitada pelas retas y = −2 e y = 1 ; c) Os pontos do plano pertencente ao exterior da circunfereˆncia de raio 16 cen- trada em (-1,2) e ao exterior da circunfereˆncia de raio 4 centrada em (2,-1) acima da reta y = 2x ; d) Os pontos do plano pertencente ao interior da circunfereˆncia de raio 16 centrada em (-1,2) e ao interior da circunfereˆncia de raio 4 centrada em (2,-1) e acima da reta y = −x . 11. Descreva o conjunto de pontos do espac¸o atrave´s de equac¸o˜es e/ou inequac¸o˜es: a) A fatia do espac¸o limitada pelos planos z = 0 e z = 2 (inclusive z = 2); b) O semi-espac¸o formado pelos pontos sobre o plano xy e abaixo dele; c) O interior da esfera de raio 5 centrada em (1, 3,−1) (inclusive); 12. Encontre a distaˆncia entre os pontos A e B: a) A = (1, 2) e B = (0, 1) ; 48 b) A = (3, 5) e B = (0, 0) ; c) A = (1, 2, 0) e B = (0, 1, 0) ; d) A = (3, 5,−8) e B = (0, 0, 0) ; e) A = (3, 5,−8) e B = (x, y, z) . 13. Encontre o centro e o raio das circunfereˆncias: a) (x+ 2)2 + (y + 3)2 = 5 ; b) ( x+ √ 2 )2 + ( z + 3 2 )2 = 17 ; c) x2 + y2 + 6x− 5y − 2 = 0 ; d) 9x2 + 6x+ 9y2 − 36y + 1 = 0 . 14. Encontre o centro e o raio das esferas: a) (x− 3)2 + (y + 2)2 + z2 = 25 ; b) ( x+ √ 3 )2 + ( y − 1 4 )2 + ( z − √ 2 2 )2 = 7 ; c) x2 + y2 + z2 − 6y + 8z = 0 ; a) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 2y − 2z = 9 . 15. Encontre o per´ımetro do triaˆngulo com ve´rtices nos pontos A, B e C: a) A = (−2, 1), B = (2, 2) e C = (0, 1) ; b) A = (−2, 1, 0), B = (2, 2,−3) e C = (0, 1, 0) ; c) A = (−2, 1, 0), B = (2, 2,−3) e C pertence ao eixo z e ao plano 2x+3y+z = 4 ; 16. Mostre que o pontoM = (3, 1) e´ equidistante dos pontos P1 = (2,−1) e P2 = (4, 3) . 17. Mostre que o ponto M = (3, 1, 2) e´ equidistaˆnte dos pontos P1 = (2,−1, 3) e P2 = (4, 3, 1) . 18. Encontre a fo´rmulada distaˆncia do ponto P = (x, y, z) ao eixo y 19. Determine o per´ımetro do quadrilate´ro com ve´rtices nos pontos a) A = (1, 0, 1), B = (−2, 1, 2), C = (1, 2, 3) e D = (3, 2, 1); b) A = (1, 1, 1), B = (−1,−1,−3), C = (3, 2, 1) e D = (4, 0,−1). 49 ∗ ∗ ∗ 50 Cap´ıtulo 3 Vetores no Plano e no Espac¸o Dando seguimento aos nossos estudos sobre vetores, vamos aprender neste cap´ıtulo a localizar vetores no plano e no espac¸o descritos por um sistema de coordenadas cartesianas, a escrever as coordenadas de um vetor a partir das coordenadas dos pontos inicial e final de um segmento orientado que representa este vetor e vamos tambe´m apresentar, nas forma geome´trica e alge´brica, as noc¸o˜es de vetor nulo, igualdade entre vetores, norma de vetor e coplanariedade.. A noc¸a˜o de vetores paralelos, que tambe´m e´ extremamente importante e necessa´ria aos nossos estudos de vetores, sera´ apresentada no pro´ximo cap´ıtulo que e´ sobre a multi- plicac¸a˜o de nu´mero real por vetor, pois assim poderemos apresentar uma definic¸a˜o matem- aticamente completa. Antes de comec¸armos, efetivamente, o conteu´do deste cap´ıtulo, cabe uma importante observac¸a˜o que devera´ ser considerada em todo o restante do livro. Quando na˜o houver nenhum comenta´rio em contra´rio, vamos sempre con- siderar que esta´ fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano ou no espac¸o. 3.1 Vetores no Plano Ao fixarmos um sistema de coordenadas no plano ou no espac¸o nossas estruturas geome´tricas ‘ganham’ representac¸o˜es alge´bricas. Por exemplo, um ponto no plano agora e´ representado por uma dupla de nu´meros reais, uma reta sera´ representada por uma equac¸a˜o, um c´ırculo por uma inequac¸a˜o. Dentro deste esquema, queremos saber como ficam nossos vetores quando fixamos um sistema de coordenadas no plano. Um vetor −→v , sera´ representado por uma dupla de nu´meros reais, que chamaremos 51 de coordenadas. As coordenadas do vetor −→v sera˜o as coordenadas do ponto final do representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O = (0, 0) do sistema de coordenadas. Na figura a seguir e´ mostrado o vetor −→v que tem como coordenadas as coordenadas do ponto P = (xP , yP ) Ou seja, fixado um sistema de coordenadas no plano IR2, um vetor sera´ representado, algebricamente, pelas coordenadas do ponto final de seu representante que tem ponto inicial na origem O = (0, 0). Exemplos 1. Consideremos um vetor −→v que tenha: i) Direc¸a˜o: horizontal, ii) Sentido: da esquerda para direita, iii) Norma: 3 u.c. Este vetor tem um representante com ponto inicial na origem O = (0, 0) e ponto final em C = (3, 0), como mostrado na figura abaixo. 52 Assim, as coordenadas deste vetor −→v sera˜o: −→v = (3, 0). 2. Sejam A, B, C e D pontos do plano com coordenadas: A = (1, 1), B = (3, 4), C = (4, 3), D = (2, 0). ABCD e´ o paralelogramo representado na figura abaixo. i) Como podemos observar no primeiro plano cartesiano da figura seguinte, o segmento orientado −→ AB e o segmento orientado −−→ DC representam o mesmo vetor −→v . Desen- hando o representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O, observamos que as coordenadas do vetor −→v sa˜o as coordenadas do ponto P = (2, 3). Este representante do vetor −→v esta´ desenhado no segundo plano cartesiano da figura a seguir. 53 Pela figura, vemos que P = (2, 3) e, consequentemente, temos −→v = (2, 3). ii) O segmento orientado −−→ BC e o segmento orientado −−→ DA representam vetores (−→u e −→w ), que tem a mesma direc¸a˜o e a mesma magnitude, mas sentidos opostos (neste caso sa˜o chamados vetores opostos). Podemos observar isto no primeiro plano cartesiano mostrado na figura a seguir. Desenhando, no segundo plano cartesiano da figura, os representantes destes vetores, que tem ponto inicial na origem e observamos que as coordenadas do vetor −→u sa˜o (1,−1) e do vetor −→w sa˜o (−1, 1), ou seja, −→u = (1,−1) e −→w = (−1, 1). 54 Queremos fazer uma importante observac¸a˜o nesse momento do texto. Ao trabalharmos com vetores no plano, em alguns livros, principalmente nos de F´ısica, usa-se para representar um vetor, por exemplo, −→v = (2,−3), a notac¸a˜o −→v = 2−→i − 3−→j , onde −→ i e´ o vetor unita´rio (ou vetor com norma igual a um) com a direc¸a˜o e o sentido do eixo coordenado x, ou seja, −→ i = (1, 0); e o −→ j e´ o vetor unita´rio com direc¸a˜o e sentido do eixo y positivo, isto e´, −→ j = (0, 1). As duas notac¸o˜es para vetores −→v = (2,−3) e −→v = 2−→i − 3−→j sa˜o completamente equivalentes e, mesmo dando prefereˆncia a` primeira em nosso livro, voltaremos a trabalhar com a segunda em alguns dos pro´ximos cap´ıtulos, principalmente apo´s estudarmos a soma de vetores quando a segunda notac¸a˜o ganhara´ um significado mais completo. 3.2 Vetores no Espac¸o A extensa˜o direta do estudo de vetores no plano e´ o estudo de vetores no espac¸o tridimensional. Assim, precisamos estudar a representac¸a˜o alge´brica dos vetores no espac¸o tridimensioal. Ou seja, queremos saber como ficam nossos vetores quando fixamos um sistema de coordenadas no espac¸o tridimensional. Um vetor −→v , sera´ representado por uma tripla de nu´meros reais, que chamaremos de coordenadas. As coordenadas do vetor −→v sera˜o as coordenadas do ponto final do representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) do sistema de coordenadas. Ou seja, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o IR3, um vetor sera´ representado, algebricamente, pelas coordenadas do ponto final de seu representante que tem ponto inicial na origem O = (0, 0, 0). Na figura a seguir temos a representac¸a˜o gra´fica de um exemplo gene´rico de um vetor −→v = (xP , yP , zP ) 55 Exemplo: 1) Considere um vetor −→v com: � Direc¸a˜o: paralelo ao eixo z, � Sentido: da baixo para cima, � Norma: 4 u.c. Esse vetor tem um representante com ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) e ponto final em C = (0, 0, 4), como podemos observar na figura seguinte. Assim, o vetor −→v sera´ representado por −→v = (0, 0, 4). 2. Sejam A, B, C, D, E, F , G e H pontos do plano com coordenadas: A = (1, 1, 0), B = (3, 4, 0), C = (4, 3, 0), D = (2, 0, 0), E = (1, 1, 1), F = (3, 4, 1), G = (4, 3, 1) e H = (2, 0, 1). Estes pontos definem o paralelep´ıpedo mostrado na figura seguinte. Ou seja, ABCDEFGH e´ um paralelep´ıpedo. 56 Pela figura, vemos que o segmento orientado −→ AB e o segmento orientado −−→ DC rep- resentam o mesmo vetor −→v . a) Desenhe o representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O e observe que as coordenadas do vetor −→v sa˜o as coordenadas do ponto P = (2, 3, 0). Resposta: Tomando o representante de −→v que tem como ponto inicial a origem do sistema de coordenadas, obtemos o vetor representado na figura abaixo. b) O segmento orientado −−→ EG e o segmento orientado −→ CA representam vetores ( −→u e −→w ), que tem a mesma direc¸a˜o, sentidos opostos e mesma norma (neste caso sa˜o chamados vetores opostos). 57 Desenhe o representante destes vetores, que tem ponto inicial na origem e observe que as coordenadas do vetor −→u sa˜o −→u = (3, 2, 0) e do vetor −→w sa˜o −→w = (−3,−2, 0). Resposta: Tomando os representantes de −→u e −→w que tem como pontos inici- ais a origem do sistema de coordenadas, obtemos os vetores representados no segundo plano cartesiano da figura abaixo, onde no primeiro plano cartesiano temos a reapresentac¸a˜o do paralelep´ıpedo ADCDEFGH. Devemos observar que, do mesmo jeito que para vetores no plano, pode-se usar que, por exemplo, −→v = (2,−1, 3) = 2−→i − −→j + 3−→k , onde −→i = (1, 0, 0), −→j = (0, 1, 0) e−→ k = (0, 0, 1). Essa notac¸a˜o ganha sentido apo´s definirmos a adic¸a˜o de vetores em sua forma alge´brica, por istovamos manteˆ-la em suspenso ate´ o cap´ıtulo de adic¸a˜o de vetores. 3.3 Determinando as Coordenadas de um Vetor Dados os pontos inicial e final de um segmento orientado (no plano ou no espac¸o) devemos saber determinar as coordenadas do vetor que tem neste segmento orientado um de seus representantes. As coordenadas deste vetor sa˜o obtidas a partir das coordenadas dos pontos inicial e final do seguimento orientado. Vejamos como. 3.3.1 Determinando as coordenadas de um vetor no plano Fixado um sistema de coordenadas no plano ou no espac¸o poderemos calcular as coor- denads de um vetor subtraindo as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto 58 final. 59 Ou seja, no plano: dado o vetor −→v = (v1, v2) se −→AB e´ um representante deste vetor, com A = (xA, yA) e B = (xB, yB), temos: −→v = (v1, v2) = (xB − xA, yB − yA). Como pode ser observado na figura a seguir: Vamos a um exemplo para fixar melhor. Exemplo: Sejam A = (2, 3), B = (5,−2) dois pontos do plano, quais as coorde- nadas do vetor −→v que tem −→AB como um de seus representantes? Resoluc¸a˜o: As coordenadas de −→v sa˜o determinadas por: −→v = B − A = (5,−2)− (2, 3) = (5− 2,−2− 3) = (3,−5). 3.3.2 Determinando as coordenadas de um vetor no espac¸o Por extensa˜o, para vetores no espac¸o podemos definir as coordenadas do vetor da mesma forma. Assim, dado o vetor −→v = (v1, v2, v3) se −→AB e´ um representante deste vetor, com A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB), temos: −→v = (v1, v2, v3) = (xB − xA, yB − yA, zB − zA). Muitas vezes, por abuso de linguagem, escrevemos “O vetor −→ AB” ou escrevemos que ~= −→ AB. Pode-se tambe´m usar a notac¸a˜o de Grassmann para vetores: −→v = B − A. Vamos a um exemplo. 60 Exemplo: Sejam A = (2, 3,−1), B = (5,−2,−5) dois pontos do espac¸o, quais as coordenadas do vetor −→v que tem −→AB como um de seus representantes? Resoluc¸a˜o: −→v = B − A = (5,−2,−5)− (2, 3,−1) = ( 5− 2,−2− 3,−1− (−5) ) −→v = (3,−5, 4). 3.4 Vetor Nulo A partir do pro´ximo cap´ıtulo estudaremos as operac¸o˜es envolvendo vetores. Queremos que estas operac¸o˜es sejam fechadas. Ou seja, queremos, por exemplo, que: a soma de dois vetores sempre resulte em um vetor; a multiplicac¸a˜o de um nu´mero real por um vetor sempre resulte em um vetor. Para isto, precisamos definir o vetor nulo ou vetor zero. Pois, queremos que a multiplicac¸a˜o entre o nu´mero real 0 pelo vetor −→v , resulte em um vetor. Chamamos de vetor nulo e indicamos por −→ 0 , o vetor que tem as seguintes carac- ter´ısticas: B Direc¸a˜o: O vetor que tem todas as direc¸o˜es. Obs: Sera´ interessante e importante definir a direc¸a˜o do vetor nulo como todas as direc¸o˜es para podermos dizer que o vetor nulo e´ paralelo a todos os vetores. B Sentido: O vetor nulo tem todos os sentidos. B Norma: O vetor nulo tem norma nula, ou seja, o vetor nulo tem norma igual a zero, ou ainda, |−→0 | = 0. Os segmentos orientados que representam o vetor nulo tem comprimento nulo. Por- tanto, sa˜o os segmentos orientados que tem ponto inicial igual ao ponto final. Por exemplo, o segmento orientado −→ AA e´ um representante do vetor nulo. Fixado um sistema de coordenadas no plano, por definic¸a˜o as coordenadas do vetor nulo sa˜o as coordenadas do ponto final de um representante do vetor nulo que tem ponto inicial na origem O = (0, 0) do sistema de coordendas. As coordenadas do vetor nulo sa˜o as coordenadas do ponto final do segmento orientado−→ OO. Ou seja, sa˜o as coordenadas do ponto O = (0, 0). Assim, temos que o vetor nulo no plano e´ dada por −→ O = (0, 0) 61 Analogamente temos que, para o caso de um sistema de coordenadas cartesiana no espac¸o, por definic¸a˜o as coordenadas do vetor nulo sa˜o as coordenadas do ponto final de um representante do vetor nulo que tem ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) do sistema de coordendas. Ou seja, o vetor nulo no espac¸o e´ dado por: −→ O = (0, 0, 0) Devemos sempre lembrar que NA˜O podemos escrever −→ 0 = 0. Podemos e devemos escrever que, para o plano −→ 0 = (0, 0) e para o espac¸o −→ 0 = (0, 0, 0). 3.5 Igualdade de Vetores Outro conceito importante e necessa´rio que precisamos ter em mente antes de comec¸armos a estudar as operac¸o˜es envolvendo vetores e´ a igualdade entre vetores. Vamos apresentar esta importante definic¸a˜o em suas verso˜es geome´trica e alge´brica. a) Versa˜o geome´trica da igualdade entre vetores. Dois vetores −→v e −→w sa˜o iguais se, e somente se, eles tem: 1. A mesma direc¸a˜o, 2. O mesmo sentido, 3. A mesma norma. b) Versa˜o alge´brica da igualdade entre vetores. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, temos: B No plano: Os vetores −→v = (v1, v2) e −→w = (w1, w2) sa˜o iguais se, e somente se, v1 = w1 e v2 = w2. B No espac¸o tridimensional: Os vetores −→v = (v1, v2, v3) e −→w = (w1, w2, w3) sa˜o iguais se, e somente se, v1 = w1, v2 = w2 e v3 = w3. 62 Observac¸o˜es: 1. Dados dois vetores paralelos (−→v ,−→w ∈ V tal que −→v ‖ −→w ): B Se o vetor −→v tem sentido diferente do sentido do vetor −→w , dizemos que −→v e −→w tem sentidos opostos. B Se o vetor −→v tem sentido igual que o vetor −→w , dizemos que −→v e −→w temmesmo sentido. 2. Dados dois vetores paralelos e com mesma norma: (−→v ,−→w ∈ V tal que −→v ‖ −→w e |−→v | = |−→w |), B Se o vetor −→v , tem sentido diferente ao sentido do vetor −→w , dizemos que −→v e −→w sa˜o vetores opostos. B Se o vetor −→v , tem mesmo sentido de −→w , dizemos que −→v e −→w sa˜o o mesmo vetor. 3.6 Norma de Vetor: Versa˜o Alge´brica Dado um vetor qualquer sua norma, por definic¸a˜o, e´ o comprimento de qualquer representante deste vetor. Ou seja, e´ a distaˆncia entre o ponto final e o ponto inicial de um representante qualquer deste vetor. Desta forma, podemos determinar a norma de um vetor a partir de suas coordenadas ou das coordenadas de seus pontos inicial e final. a) No plano. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, temos que se, −→v = (a, b) enta˜o a norma do vetor −→v no plano e´ dada por: | −→v | = | (a, b) | = √ a2 + b2 Se o vetor −→v tem o segmento orientado −→AB como representante, a norma do vetor −→v no plano e´ calculada a partir da distaˆncia entre os pontos A e B, ou seja, e´ dada por: | −→v | = | −→AB | = | (xB − xA, yB − yA ) | | −→v | = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 63 b) No espac¸o. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o, temos que se o vetor −→v = (a, b, c) enta˜o a norma do vetor −→v no espac¸o e´ dada por: | −→v | = | (a, b, c) | = √ a2 + b2 + c2 Se o vetor −→v tem o segmento orientado −→AB como representante, com A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB), a norma do vetor −→v no espac¸o e´ a distaˆncia entre os pontos A e B e, portanto, dada por: | −→v | = | −→AB | = | (xB − xA, yB − yA, zB − zA ) | | −→v | = √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 . Uma importante definic¸a˜o relacionada a` norma de um vetor e´ o conceito de versor. Se −→v tem norma 1 (|−→v | = 1), enta˜o chamamos −→v de versor. Ou seja, versor e´ um vetor com norma igual a um ou vetor unita´rio. Exemplos 1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, sendo −→v = (1,−1),−→w = (1 2 ,−1 2 ) ,−→u = ( 1√ 2 , 1√ 2 ) e −→ t = (−4 5 , 3 5 ) calcule: a) |−→v | Resposta: |−→v | = |(1,−1)| =√(1)2 + (−1)2 = √2 b) |−→w | Resposta: |−→w | = ∣∣(1 2 ,−1 2 )∣∣ =√(1 2 )2 + (−1 2 )2 = √ 1 2 = 1√ 2 u.c. c) |−→u | Resposta: |−→u | = ∣∣∣( 1√ 2 , 1√ 2 )∣∣∣ =√( 1√ 2 )2 + ( 1√ 2 )2 = 1 u.c. −→u = ( 1√ 2 , 1√ 2 ) e´ um versor. d) ∣∣∣−→t ∣∣∣ Resposta: ∣∣∣−→t ∣∣∣ = ∣∣(−45 , 35)∣∣ =√(−45)2 + (35)2 =√1625 + 925 = 1−→ t = (−4 5 , 3 5 ) e´ um versor. 2. Supondo fixado um sistemade coordenadas cartesianas no espac¸o tridimensional, sendo −→v = (1,−1, 1),−→w = (1 3 ,−1 3 , 1 3 ) ,−→u = ( 1√ 3 , 1√ 3 , 1√ 3 ) , calcule: a) |−→v | Resposta: |−→v | = |(1,−1, 1)| =√(1)2 + (−1)2 + (1)2 = √3 64 b) |−→w | Resposta: |−→w | = ∣∣(1 3 ,−1 3 , 1 3 )∣∣ = √(1 3 )2 + (−1 3 )2 + ( 1 3 )2 = √ 1 9 + 1 9 + 1 9 =√ 1 3 = 1√ 3 u.c. c) |−→u | Resposta: |−→u | = ∣∣∣( 1√ 3 , 1√ 3 , 1√ 3 )∣∣∣ =√( 1√ 3 )2 + ( 1√ 3 )2 + ( 1√ 3 )2 = 1 −→u = ( 1√ 3 , 1√ 3 , 1√ 3 ) e´ um versor. 3.7 Coplanariedade Ao estudarmos conjuntos com va´rios vetores precisaremos, em alguns casos, deter- minar se estes vetores sa˜o coplanares entre si. Por isto, nesta sec¸a˜o, vamos definir a coplanariedade de vetores e estuda´-la em sua forma geome´trica e alge´brica. Dados n vetores: −→v1 ,−→v2 , . . . ,−→vn , dizemos que estes vetores sa˜o coplanares se existe um plano no espac¸o que conte´m representantes de todos estes vetores. Da definic¸a˜o, podemos concluir que quando estudamos vetores representados no plano IR2, todos os vetores representados sa˜o coplanares. Este fato e´ descrito pelo seguinte lema. Lema 3.1: Dois vetores sa˜o sempre coplanares. Demonstrac¸a˜o: Dados dois vetores −→v1 e −→v2 , seja A um ponto no espac¸o, tomemos um representante do vetor −→v1 que tem ponto inicial A e seja B o ponto final do segmento orientado que representa o vetor −→v1 . Tomemos agora um representante do vetor −→v2 que com ponto inicial em B e deno- taremos por C o ponto final do representante do vetor −→v2 . • Se os pontos A, B e C sa˜o na˜o colineares (na˜o alinhados) enta˜o estes pontos determinam um plano α. Este plano conte´m os representantes −→ AB e −−→ BC dos vetores −→v1 e −→v2 , respectivamente. • Se os pontos A, B e C sa˜o colineares (alinhados) enta˜o existem va´rios (in- finitos) planos que conte´m os representantes −→ AB e −−→ BC dos vetores −→v1 e −→v2 , respectivamente. Assim, conclu´ımos que existe (pelo menos) um plano que conte´m representantes dos vetores −→v1 e −→v2 . 65 Exemplo: Verifique se os vetores em destaque na figura sa˜o coplanares ou na˜o. a) Resposta: SIM, pois dois vetores sa˜o sempre coplanares. Os vetores deste exemplo esta˜o no plano da folha do livro. b) Resposta: SIM, pois dois vetores sa˜o sempre coplanares. Os vetores deste exemplo esta˜o no plano da folha do livro. 66 Para termos a noc¸a˜o de vetores na˜o coplanares precisamos estar em treˆs dimenso˜es. Dados treˆs vetores no espac¸o, −→v , −→w e −→u , para verificarmos, geometricamente, se estes vetores sa˜o coplanares devemos proceder da seguinte forma: 1. Colocamos um representante de −→v e de −→w que tenham origem em um mesmo ponto. 2. Verificamos qual e´ o plano que conte´m estes vetores. 3. Colocamos o representante de −→u que tem o mesmo ponto inicial dos representantes de −→v e de −→w e verificamos a disposic¸a˜o de −→u em relac¸a˜o ao plano que conte´m −→v e −→w . 4. Se o representante de −→u tambe´m estiver contido no plano, os treˆs vetores sa˜o coplanares. Se o representante de −→u na˜o estiver contido no plano, os vetores na˜o sa˜o coplanares. A verificac¸a˜o descrita pelo procedimento acima adve´m diretamente da definic¸a˜o de coplanariedade. Exemplo: Verifique se os vetores em destaque na figura sa˜o coplanares ou na˜o. a) Resposta: SIM, pois o vetor que tem como representante o segmento orien- tado −→ AB tambe´m tem como representante o segmento orietado −→ EF que esta´ no plano definido pelos segmentos −−→ EC e −−→ DF . 67 b) Resposta: NA˜O. Pois, como podemos observar, o vetor que tem −→ CG como representante e´ o mesmo que tem −→ AE como representante. Este vetor, junto com o vetor que tem −→ AB esta˜o contidos num plano que na˜o conte´m nenhum representante de −−→ FD. Dizemos que o vetor representado pelo segmento orientado −−→ FD ‘fura’ o plano definido por −→ AE e −→ AB Como observamos no exemplo acima, a noc¸a˜o de coplanariedade precisa ser estudada no espac¸o tridimensional. Para definirmos a versa˜o alge´brica de coplanariedade vamos considerar dados os ve- tores, com suas coordenadas em um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o IR3, −→v = (v1, v2, v3), −→w = (w1, w2, w3) e −→u = (u1, u2, u3), temos que: • Se −→v ,−→w e −→u sa˜o coplanares, enta˜o∣∣∣∣∣∣∣ v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 u2 u3 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0 • Se −→v ,−→w e −→u sa˜o na˜o coplanares, enta˜o∣∣∣∣∣∣∣ v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 u2 u3 ∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0 68 Assim, para determinarmos se treˆs vetores sa˜o coplanares devemos calcular o deter- minante 3× 3 de suas coordenadas. Ha´ diversas maneiras pra´ticas de se calcular um determinante 3× 3. Apresentaremos, a seguir, uma destas formas poss´ıveis de fazer a conta dada por:∣∣∣∣∣∣∣ v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 u2 u3 ∣∣∣∣∣∣∣ = 1. Acrescentamos duas coluna a` direita, repetindo a segunda e terceira coluna: ∣∣∣∣∣∣∣ v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 u2 u3 ∣∣∣∣∣∣∣ v1 v2 w1 w2 u1 u2 2. Multiplicamos os nu´meros de cada uma das treˆs diagonais (indicadas pelas flechas) e somamos os resultados, obtendo S1. 3. Multiplicamos os nu´meros de cada uma das treˆs diagonais inversas (indicadas pelas flechas) e somamos os resultados, obtendo S2. 4. O resultado da conta e´ ∣∣∣∣∣∣∣ v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 u2 u3 ∣∣∣∣∣∣∣ = S1 − S2 69 Exemplos 1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, determine se os vetores sa˜o coplanares: a) −→v = (1,−2, 3) e −→w = (−4, 3, 9) Resposta: Dois vetores sa˜o sempre coplanares, portanto os vetores −→v = (1,−2, 3) e −→w = (−4, 3, 9) sa˜o coplanares. b) −→v = (1,−2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (1, 0,−2) Resposta: Como: Os vetores −→v = (1,−2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (1, 0,−2) na˜o sa˜o coplanares. c) −→v = (1, 2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (−1, 0, 23) Resposta: Calculando o determinante: Vemos que os vetores −→v = (1, 2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (−1, 0, 23) sa˜o coplanares. Para o caso de termos mais de treˆs vetores, por exemplo quatro, devemos verificar algebricamente se os treˆs primeiros sa˜o coplanares e: (i) em caso negativo concluimos que o grupo de vetores na˜o e´ coplanar; (ii) em caso positivo, verificamos se o quarto vetor e´ coplanar aos outros treˆs fazendo a conta para este vetor e para dois dos outros vetores. 70 Pelo estudo de vetores no espac¸o e lembrando da coplanariedade entre vetores, pode- mos ver que: i) Dado um vetor, sempre existe um plano que conte´m este vetor. ii) Dado dois vetores, sempre existe um plano que conte´m estes vetores. iii) Dados treˆs vetores, nem sempre existe um plano que conte´m estes vetores. Exemplo: 1. Fixado um sistema de coordenadas, na˜o existe um plano que conte´m os vetores:−→ i = (1, 0, 0), −→ j = (0, 1, 0) e −→ k = (0, 0, 1). “Pense no plano que conte´m dois destes vetores, observe que o terceiro vetor ‘fura’ este plano.” Dada a justificativa geome´trica, podemos fazer a verificac¸a˜o alge´brica calculando o determinante com as coordenadas do vetores −→ i , −→ j e −→ k . Assim: Assim ∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣ = 1 + 0 + 0− (0 + 0 + 0) = 1 6= 0 Portanto, os vetores −→ i , −→ j e −→ k na˜o sa˜o coplanares. 71 3.8 Exerc´ıcios 1. Considere os pontos A = (1, 1), B = (2, 3), C = (−2,−1) e D = (−1, 0). Determine as coordenadas dos vetores: a) −→ AB; b) −→ AC; c) −−→ AD; d) −−→ BC; e) −−→ CD; f) −−→ DA; g) −−→ BD; h) −−→ DC. 2. Considere os pontos A = (1,−1, 1), B = (1, 2, 3), C = (3, 2, 1) e D = (0, 1, 0). Determine as coordenadas dos vetores: a) −→ AB; b) −→ AC; c) −−→ AD; d) −−→ BC; e) −−→ CD; f)
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