Derivada de Funções Trigonométricas e Regra da Cadeia

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Aula 9
Derivada de Funções
Trigonométricas. Regra da
Cadeia.
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Motivação para a Regra da Cadeia
Sabemos que
d
dx
[
x2
]
= 2x e
d
dx
[ex ] = ex .
Como derivar
d
dx
[
ex
2
]
?
No caso geral, como derivar
f (x) = u [v(x)]?
Regra da Cadeia
Teorema (Regra da Cadeia:)
Suponha que f = u ◦ v, v ′(x) e u′(y), y = v(x) existam. A
derivada f ′(x) também existe e satisfaz:
f ′(x) = u′(y)v ′(x).
Alternativamente, se z = u(y) = f (x), então
dz
dx
=
dz
dy
dy
dx
.
Exemplo
Se f (x) = ex
2
, então f ′(x) = ex2(2x) = 2xex2 .
Ideia da demonstração da regra da cadeia
Queremos calcular o limite
lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
u
[
v(x + h)
]− u[v(x)]
h
.
Tome y = v(x) e k = v(x + h)− v(x). Note que
lim
h→0
k = 0
pois v , sendo derivável, é contínua em x . Assim,
v(x + h) = y + k e
lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
u(y + k)− u(y)
h
= lim
h→0
(
u(y + k)− u(y)
k
)(
v(x + h)− v(x)
h
)
= u′(y)v ′(x).
Derivada da Função Seno
Teorema (Limite Fundamental)
lim
x→0
sin x
x
= 1.
Mostra-se aplicando o Teorema do Confronto na desigualdade
cos x <
sin x
x
<
1
cos x
, ∀x 6= 0, x ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
.
Para derivar a função seno, devemos calcular o limite:
d
dx
[sin x ] = lim
h→0
sin(x + h)− sin(x)
h
.
Algumas Fórmulas Úteis
sin(a+ b) = sina cosb + cosa sinb
sin(a− b) = sina cosb − cosa sinb
sin(a+ b)− sin(a− b) = 2 cosa sinb.
Identificando a+ b = x + h e a− b = x na última equação,
obtemos a = x + h2 e b =
h
2 . Assim,
d
dx
[sin x ] = lim
h→0
sin(x + h)− sin(x)
h
= lim
h→0
2 cos(x + h2) sin(
h
2)
h
= lim
h→0
cos
(
x +
h
2
)
sin(h2)(h
2
)
= cos(x).
Derivada da Função Cosseno
cos(a+ b) = cosa cosb − sina sinb
cos(a− b) = cosa cosb + sina sinb
cos(a+ b)− cos(a− b) = −2 sina sinb.
Identificando a+ b = x + h e a− b = x na última equação,
obtemos a = x + h2 e b =
h
2 . Assim,
d
dx
[cos x ] = lim
h→0
cos(x + h)− cos(x)
h
= lim
h→0
−2 sin(x + h2) sin(h2)
h
= lim
h→0
− sin
(
x +
h
2
)
sin(h2)(h
2
)
= − sin(x).
Derivada da Função Tangente
d
dx
[tan x ] =
d
dx
[
sin x
cos x
]
(regra do quociente) =
cos x ddx [sin x ]− sin x ddx [cos x ]
cos2 x
=
cos x cos x + sin x sin x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x .
Derivada das Funções Trigonométricas:
d
dx
[sin x ] = cos x ,
d
dx
[cos x ] = sin x ,
d
dx
[tan x ] = sec2 x ,
d
dx
[sec x ] = sec x tan x .
Exemplos
Exemplo
Calcule o limite
lim
x→0
sin(7x)
4x
Exemplos
Exemplo
Calcule o limite
lim
x→0
sin(7x)
4x
Resposta:
lim
x→0
sin(7x)
4x
=
7
4
.
Exemplos
Exemplo
Calcule
lim
x→0
xcotgx .
Lembre-se que
cotgx =
cos x
sin x
.
Exemplos
Exemplo
Calcule
lim
x→0
xcotgx .
Lembre-se que
cotgx =
cos x
sin x
.
Resposta:
lim
x→0
xcotgx = 1.
Exemplos
Exemplo
Derive a função
F (x) =
√
x2 + 1.
Exemplos
Exemplo
Derive a função
F (x) =
√
x2 + 1.
Resposta:
F ′(x) =
x√
x2 + 1
.
Exemplos
Exemplo
Derive as funções
y = sin(x2) e z = sin2 x .
Exemplos
Exemplo
Derive as funções
y = sin(x2) e z = sin2 x .
Resposta:
y ′ = 2x cos(x2) e z ′ = 2 sin x cos x .
Exemplos
Exemplo
Derive a função
f (x) = sin
(
cos(tan x)
)
.
Exemplos
Exemplo
Derive a função
f (x) = sin
(
cos(tan x)
)
.
Resposta:
f ′(x) = − cos ( cos(tan x)) sin(tan x) sec2 x .