FATORAÇÃO ALGÉBRICA E NOÇÃO DE FUNÇÃO

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FATORAÇÃO ALGÉBRICA
A fatoração surge como um recurso da Matemática para facilitar os cálculos algébricos; através dela conseguimos resolver situações mais complexas. A seguir seguem algumas técnicas para fatoração algébrica.
FATOR COMUM
Na fatoração por fator comum em evidência, utilizamos a ideia de fazer grupos de polinômios, ao fatorar escrevemos a expressão na forma de produto de expressões mais simples. 
O polinômio x² + 2x possui forma fatorada, veja:
x² + 2x .: podemos dizer que o monômio x é comum a todos os termos, então vamos colocá-lo em evidência e dividir cada termo do polinômio x² + 2x por x.
Temos: x.(x + 2)
Concluímos que x.(x + 2) é a forma fatorada do polinômio x² + 2x.
EXEMPLOS:
a) 8x³ - 2x² + 6x → Fator comum: 2x
Assim: 8x³ - 2x² + 6x  = 2x .(4x² - x + 3)
b) 6x³y³ – 9x²y + 15xy² → Fator comum: 3xy	
Portanto: 6x³y³ – 9x²y + 15xy²  = 3xy.(2x²y² – 3x + 5y)
c) 8b4 – 16b² – 24b → Fator comum: 8b
Logo; 8b4 – 16b² – 24b = 8b.(b³ – 2b – 3)
AGRUPAMENTO
Agrupamento é o método pelo qual simplificamos uma expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes. Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da técnica fator comum: termo comum em evidência. 
Observe no exemplo a seguir: 
4x² + 8x + 6xy + 12y 
Colocamos o fator comum em evidência em cada agrupamento: 4x² + 8x (Fator comum = 4x) e 
6xy + 12y (Fator comum = 6y) 
4x.(x + 2) + 6y.(x + 2) 
Colocamos novamente em evidência, pois os termos 4x e 6y possuem o termo (x+2) em comum. 
(4x + 6y).(x + 2) 
Assim: 4x² + 8x + 6xy + 12y  = (4x + 6y).(x + 2)
EXEMPLOS:
a) 2xy – 12x + 3by – 18b  = 2x.(y – 6) + 3b.(y – 6) = (2x + 3b).(y – 6) 
b) 6x²b + 42x² – y²b – 7y² = 6x².(b + 7) – y².(b + 7) = (6x² – y²).(b + 7) 
DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS (PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA)
	
A fatoração pela diferença de dois quadrados só poderá ser usada quando: 
A expressão algébrica for um binômio(expresão formada por dois monômios). 
Os dois monômios sejam quadrados. 
A operação entre eles for de subtração(diferença). 
São exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo: 
a2 – 1 ; 
 ; 16x2 – 36y2 .
OBS.:
Para escrever a forma fatorada dessas expressões algébricas, devemos seguir alguns passos, observe o esquema abaixo para a fatoração da expressão 16x2 – 25 pela diferença de dois quadrados.
Assim, a forma fatorada da expressão algébrica 16x2 – 25 é (4x – 5).(4x + 5) .
EXEMPLOS:
a) A expressão algébrica x2 – 64 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente x e 8, então a sua forma fatorada é (x – 8).(x + 8).
b) Dada a expressão algébrica 25x2 – 81, a raiz dos termos 25x2 e 81 é respectivamente 5x e 9. Então, a forma fatorada é (5x – 9).(5x + 9).
c) Dada a expressão algébrica 4x2 – 81y2, a raiz dos termos 4x2 e 81y2 é respectivamente 2x e 9y. Então, a forma fatorada é (2x – 9y).(2x + 9y).
TRINÔMIO DO QUADRADO PERFEIRO
Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve apresentar as seguintes características:
Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
 Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.
Vejamos um exemplo:
O trinômio 16x2 + 8x + 1 é um quadrado perfeito, pois:
Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 16x2 + 8x + 1 é quadrado perfeito. Assim, a forma fatorada do trinômio é 16x2 + 8x + 1 é (4x + 1)2, pois é a soma das raízes ao quadrado.
EXEMPLOS:
a) Dado o trinômio m2 – m.n + n2 , devemos tirar as raízes dos termos m2 e n2 , as raízes serão m e n, o dobro dessas raízes será 2. m . n que é diferente do termo m.n (termo central), então esse trinômio não é quadrado perfeito.
b) Dado o trinômio 4x2 – 8xy + y2, devemos tirar as raízes dos termos 4x2 e y2 , as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.
c) Dado o trinômio 1 + 9a2 – 6a, devemos, antes de usar as regras do quadrado perfeito, colocar o trinômio em ordem decrescente de expoentes: 9a2 – 6a + 1.
Agora, tiramos a raiz dos termos 9a2 e 1, que são respectivamente 3a e 1. O dobro dessas raízes é 2 . 3a . 1 = 6a, que é igual ao termo do meio (6a), então concluímos que o trinômio é quadrado perfeito e sua forma fatorada é (3a – 1)2.
EXERCÍCIOS PARA SALA
1) O valor da expressão 
 é:
a) 1003.
b) 2003.
c) 2015.
d) 2016.
e) 2017.
2) Para x ≠ 5, a simplificação da expressão 
 é dada por
a) -2.
b) 2.
c) -5.
d) 5.
e) 25.
3) Das alternativas abaixo, uma é FALSA. Identifique-a.
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b)a2 – b2 = (a – b).(a + b)
c)a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2)
d)a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
e)a3 + b3 = (a + b).(a2 – 2ab + b2)
4) Sendo a2 + b2 = x e a.b = y, então (a + b)2 é igual a:
a) x2
b) x + y
c) x – 2y
d) x2 + 2y
e) x + 2y
NOÇÃO DE FUNÇÃO
O conceito de função é um dos mais importantes da matemática, tendo destaque não apenas na maioria das teorias nela desenvolvida, mas também no nosso quotidiano. Por isso, vamos apresentar esse conceito primeiro informalmente, para depois formalizá-lo. Suponha que a tabela de preços a seguir corresponda às passagens do Metrô em determinada cidade:
Observe que essa tabela fixa uma dependência entre o número de passagens e o preço a pagar. Se chamarmos de x o número de passagens e de y o preço a pagar, esses duas grandezas estarão relacionadas de tal forma que para cada valor de x existe um único valor de y, dado pela expressão y = 50x. Dizemos, então, que y é função de x.
DEFINIÇÃO
Dados dois conjuntos A e B, chama-se função de A em B qualquer relação entre tais conjuntos que faça corresponder , a cada elemento de A um único elemento de B.
Indica-se a função de A em B com a notação, f: A → B.
A chama-se domínio da função e se indica D (f) = A.
B chama-se contradomínio da função e se indica CD (f) = B.	
Se x é um elemento de A e y é o seu correspondente em B, dizemos que y é a imagem de x obtida pela função f, indica-se y = f (x).
A é o domínio da função : D(f) = A
B é o contradomínio da função : CD(f) = B
Im(f) é o conjunto imagem da função.
EXEMPLO:
Considere o conjunto A formado pelos elementos {–1, 0, 2, 3, 4} e o conjunto B pelos elementos {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}. Os elementos do conjunto A se relacionam com os elementos de B segundo a função f: A → B (função de A em B) definida pela lei de formação f(x) = 2x + 1. Vamos construir o diagrama de flechas para essa função e determinar seu conjunto imagem.
Observe:
f(–1) = 2 * (–1) + 1 = –2 + 1 = –1
f(0) = 2 * 0 + 1 = 0 + 1 = 1
f(2) = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5
f(3) = 2 * 3 + 1 = 6 + 1 = 7
f(4) = 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9 
Construindo o diagrama de flechas, temos:	
Note que nessa relação(função), temos que o domínio é dado pelo conjunto A, o contradomínio representado pelo conjunto B e a imagem pelos elementos de B que possuem relação com os elementos do conjunto A através da lei f(x) = 2x + 1. Portanto:
D(f) = A = {–1, 0, 2, 3, 4}
CD(f) = B = {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}
Im(f) = {–1, 1, 5, 7, 9}
EXERCÍCIOS PARA SALA
1) Considere as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta.
a) V – V – V
b) F – F – V
c) F – V – V	
d) V – F – V
e) F – F - F
2) Um taxista cobra um valor fixo de R$ 4,20 mais R$ 0,30 por quilômetro rodado. Considerando x o número de quilometros rodados, a função que determina o valor de uma corrida e o valor que uma pessoa irá pagar por ter usado os serviços do taxista após rodar 20 km são respectictivamente:
a) f(x) = 0,30x + 4,20 e R$ 10,20
b) f(x) = 0,30x + 4,20 e R$ 7,20
a) f(x) = 0,70x + 14,20 e R$ 10,20
a) f(x) = x + 4,20 e R$ 12,00
a) f(x) = 0,30x - 4,20 e R$ 12,20	
3) Julgue o item a seguir como verdadeiro ou falso:
Se a função f é dada por: 
, então o valor de 
 é 
 
	
_1549187505.unknown_1549187507.unknown
_1549187509.unknown
_1549187510.unknown
_1549187508.unknown
_1549187506.unknown
_1549187504.unknown