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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo DISCIPLINA: CÁLCULO II UNIDADE 2: (Parte 1) 2.1 Integração de Funções Racionais de Seno e Cosseno Quando temos uma integral da forma: ∫ 𝑅 (𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥, isto é o integrando de uma função racional de 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e cos 𝑥 , a integral dada pode ser reduzida a uma integral de uma função racional de uma nova variável 𝑡. Para isso, fazemos a substituição: 𝑡 = 𝑡𝑔 𝑥 2 , −𝜋 < 𝑥 < 𝜋 e assim podemos utilizar as fórmulas: 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 2𝑡 1+𝑡² ; cos 𝑥 = 1−𝑡² 1+𝑡² e 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑡 1+𝑡² Demonstração: Consideramos o triângulo retângulo Onde: - 𝑡 é o cateto oposto - 1 é o cateto adjacente - √𝑡2 + 1 é a hipotenusa obtida por Pitágoras. Consideramos também as identidades trigonométricas: Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo { 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃. cos 𝜃 ( I ) cos 2𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (𝐼𝐼) Sendo 2𝜃 = 𝑥 ⇒ 𝜃 = 𝑥 2 , temos que: Da identidade ( I ) fazemos: 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 . cos 𝑥 2 E do triângulo retângulo: 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 2 ) = 𝑡 √1+𝑡² e cos ( 𝑥 2 ) = 1 √1+𝑡² ⸫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 2. 𝑡 √1+𝑡² . 1 √1+𝑡² = 2𝑡 (√1+𝑡²)² ⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 2𝑡 1+𝑡² Utilizando agora a identidade ( II ), temos: cos 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2 ( 𝑥 2 ) − 𝑠𝑒𝑛2 ( 𝑥 2 ) e assim, 𝑐𝑜𝑠2 ( 𝑥 2 ) = ( 1 √1 + 𝑡² ) ² 𝑠𝑒𝑛2 ( 𝑥 2 ) = ( 𝑡 √1 + 𝑡² ) ² cos 𝑥 = ( 1 √1 + 𝑡² ) ² − ( 𝑡 √1 + 𝑡² ) ² 1 1 + 𝑡² − 𝑡² 1 + 𝑡² = 1 − 𝑡² 1 + 𝑡² Para obter 𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑡 1+𝑡² , fazemos: 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑡𝑔 𝑥 2 ) ⇒ 𝑥 2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 ⇒ 𝑥 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡. Derivando, temos: 𝑑𝑥 = 2. 1 1 + 𝑥² 𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑡 1 + 𝑡² Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo Exemplo 1: Calcular I = ∫ 𝑑𝑥 3+5 cos 𝑥 Fazendo: I = ∫ 2𝑑𝑡 1+𝑡² 3+5.( 1−𝑡² 1+𝑡² ) = ∫ 2𝑑𝑡 1+𝑡² 3.(1+𝑡2)+5.(1−𝑡2) 1+𝑡² = ∫ 2 𝑑𝑡 1+𝑡² 3+3𝑡2+5−5𝑡² 1+𝑡² = ∫ 2 𝑑𝑡 8−2 𝑡² = ∫ 𝑑𝑡 4−𝑡² Resolvendo esta integral pelo método das frações parciais, vem: 1 4 − 𝑡² = 𝐴1 (2 − 𝑡) + 𝐴2 (2 + 𝑡) 1 4 − 𝑡² = 𝐴1(2 + 𝑡) + 𝐴2(2 − 𝑡) (2 − 𝑡). (2 + 𝑡) Se 𝑡 = 2: 1 = 4𝐴1 ⇒ 𝐴1 = 1 4 Se 𝑡 = −2: 1 = −4𝐴2 ⇒ 𝐴2= − 1 4 ∫ 𝑑𝑡 4 − 𝑡² = 1 4 ∫ 1 2 − 𝑡 − 1 4 ∫ 1 2 + 𝑡 𝑑𝑡 = − 1 4 𝑙𝑛|2 − 𝑡| + 1 4 𝑙𝑛|2 + 𝑡| + 𝐶 Finalmente, substituindo 𝑡 = 𝑡𝑔 ( 𝑥 2 ), obtemos: 𝐼 = 1 4 𝑙𝑛 |2 − 𝑡𝑔 𝑥 2 | + 1 4 𝑙𝑛 |2 + 𝑡𝑔 𝑥 2 | + 𝐶 Exercício proposto 1 - ∫ 𝑑𝑥 1+𝑠𝑒𝑛 𝑥+cos 𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑡 1+𝑡² 1+ 2𝑡 1+𝑡² + 1−𝑡² 1+𝑡² = ∫ 2 𝑑𝑡 1+𝑡² 1+𝑡2+2 𝑡+1−𝑡² 1+𝑡² = ∫ 2 𝑑𝑡 1+𝑡² 2+2 𝑡 1+𝑡² = ∫ 2 𝑑𝑡 2+2𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 1+𝑡 = 𝑙𝑛|𝑡 + 1| + 𝐶 = 𝑙𝑛 |𝑡𝑔 ( 𝑥 2 ) + 1| + 𝐶 2- ∫ 𝑑𝑥 1−cos 𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑡 1+𝑡² 1− 1−𝑡² 1+𝑡² = ∫ 2 𝑑𝑡 1+𝑡² 1+𝑡2−1+𝑡² 1+𝑡² = ∫ 2 𝑑𝑡 2 𝑡² = ∫ 𝑑𝑡 𝑡² = ∫ 𝑡−2 𝑑𝑡 = 𝑡−1 −1 + 𝐶 = − 1 𝑡 + 𝐶 = − 1 𝑡𝑔 ( 𝑥 2 ) + 𝐶
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