TCC - SIMULAÇÃO DE ENSAIOS DIDÁTICOS DE VIGAS EM CONCRETO ARMADO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
SIMULAÇÃO DE ENSAIOS DIDÁTICOS DE VIGAS EM 
CONCRETO ARMADO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS 
FINITOS 
Jean Carlos Gibbert 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cascavel 
2017 
 
 
 
Jean Carlos Gibbert 
SIMULAÇÃO DE ENSAIOS DIDÁTICOS DE VIGAS EM 
CONCRETO ARMADO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS 
FINITOS 
Trabalho apresentado ao Curso de Engenharia Civil da 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná, como parte dos 
requisitos para obtenção do título de Engenheiro Civil. 
Orientador: Prof. Me. Jorge Augusto Wissmann 
Co-orientador: Prof. Dr. Ricardo Lessa Azevedo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cascavel 
2017 
 
 
 
Jean Carlos Gibbert 
SIMULAÇÃO DE ENSAIOS DIDÁTICOS DE VIGAS EM 
CONCRETO ARMADO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS 
FINITOS 
Este trabalho de conclusão de curso foi apresentado e defendido no dia 27 de novembro de 
2017 perante banca examinadora, como requisito parcial para a obtenção do título de 
ENGENHEIRO CIVIL. 
BANCA EXAMINADORA 
Prof. Me. Jorge Augusto Wissmann 
Orientador e Presidente da Banca - Unioeste 
Prof. Dr. Alfedro Petrauski 
Unioeste 
Prof. Me. Guilherme Irineu Venson 
Unioeste 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico este trabalho aos meus pais pelo total apoio e 
companheirismo durante todo o período da graduação. 
 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
Agradeço a Universidade Estadual do Oeste do Paraná pelo seu papel fundamental no avanço 
tecnológico e econômico da sociedade através da sua excelência no ensino e formação dos 
estudantes que passam por ela. 
Agradeço ao Prof. Jorge Wissmann, orientador deste trabalho pelas ideias, paciência e 
incentivo, sem a sua dedicação no ensino que vai da sala de aula até ensaios de estruturas de 
concreto armado, este trabalho não seria possível. 
Agradeço à minha namorada, companheira e melhor amiga Catarine Campanharo Ramella 
pelo apoio, compreensão, e por tudo que fez por mim ao longo destes anos. 
Agradeço aos meus pais, Lucio Pedro Gibbert e Isoldi Braun Gibbert, por cuidarem de mim e 
me apoiarem nesta graduação de período integral e por sempre lutarem pelo melhor para os 
seus filhos. 
Agradeço ao meus amigos e colegas da universidade, em especial ao Wilson Gris Junior, por 
todo o tempo que passamos juntos, seja compartilhando conhecimento ou nas horas de lazer. 
Agradeço à amiga e orientadora Professora Andréia Büttner Ciani, pela orientação no projeto 
PICME e na monitoria de Cálculo I, sempre me incentivando no aprofundamento do estudo 
matemático, tão importante para o nosso dia-a-dia. 
Agradeço à dona Zuleide Britto pelo carinho, companhia e dedicação em fazer o possível para 
facilitar a minha passagem pela graduação, assim como para a sua neta. 
E agradeço, acima de tudo, a Deus, por estar sempre comigo e me permitir chegar aqui. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
The mind that opens to a new ideia never returns to its 
original size. 
Albert Einsten 
 
 
 
RESUMO 
GIBBERT. J. Simulação de ensaios didáticos de vigas em concreto armado pelo método 
dos elementos finitos. 2017. 100 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em 
Engenharia Civil) - Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Cascavel, 2017. 
Devido à importância de se aprofundar o conhecimento obtido em sala de aula e se obter 
verificações de dimensionamento de estruturas de concreto armado de forma mais precisa e 
rápida há a necessidade de se buscar novas tecnologias para a resolução destes problemas. O 
método dos elementos finitos busca encontrar uma solução mais aproximada para problemas 
complexos de engenharia relacionados à elasticidade e análise estrutural, reduzindo-se desta 
forma, tempo e materiais gastos com ensaios e permitindo uma maior segurança nos cálculos. 
Diante deste contexto, a simulação computacional apresenta-se como uma alternativa de 
melhor visualização dos principais aspectos analisados em ensaios didáticos com um baixo 
custo e com maior viabilidade técnica se bem modelado e calibrado. Com a crescente 
utilização de novas tecnologias o emprego de tal método computacional e a sua difusão no 
meio acadêmico torna-se um fator de extrema relevância, principalmente para estruturas de 
concreto armado, na qual os materiais apresentam características peculiares que variam 
conforme o carregamento, sendo de difícil cálculo manual. Neste trabalho foram comparados 
os resultados obtidos em três ensaios e suas respectivas simulações computacionais, 
permitindo um aperfeiçoamento na modelagem de demais estruturas. Os ensaios que foram 
estudados são os de ruptura à flexão, ruptura por falha ao cisalhamento e ruptura por torção e, 
com as simulações, concluiu-se que há maior precisão para a previsão da carga de ruptura e 
também que é possível obter uma curva de flecha vs carregamento confiável. Com o estudo 
realizado espera-se que os modelos criados sejam utilizados por demais usuários, sendo 
possível modificar os principais parâmetros de ensaio de maneira rápida e, também, que os 
acadêmicos de engenharia civil disponham de material que incrementem nos estudos de 
ensaios didáticos. 
Palavras-chave: Método dos elementos finitos. Ensaios didáticos. Vigas em concreto 
armado. ANSYS. Modelagem 3D. 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 1 : Diagramas de tensão indicativos dos estádios de cálculo. (BASTOS, 2006)..... 20 
Figura 2 : Diagramas possíveis dos domínios de deformações. (NBR 6118, 2014) ........... 21 
Figura 3 : Distribuição de tensões de compressão segundo os diagramas parábola-
retângulo e retangular simplificado. (BASTOS, 2006); ................................................... 22 
Figura 4 : Mecanismos de transferência da força cortante em viga com armadura 
transversal. ........................................................................................................................ 24 
Figura 5 : Analogia de treliça. (PINHEIRO, 2003) ............................................................ 24 
Figura 6 : Seção vazada com parede fina (SÁNCHEZ, 2001 apud BASTOS, 2006)......... 27 
Figura 7 : Treliça espacial generalizada (PINHEIROS, 2007) ........................................... 28 
Figura 8 : Discretização de uma seção transversal genérica. (NOGUEIRA et. al., 2010) .. 37 
Figura 9 : Esquema estrutural da viga analisada. (NOGUEIRA et. al., 2010).................... 38 
Figura 10 : Curva carga total x deslocamento vertical do meio do vão. (NOGUEIRA et. al., 
2010) 38 
Figura 11 : Componentes de tensão em três dimensões. ....................................................... 41 
Figura 12 : Vetor tensão atuando sobre um plano com vetor unitário normal 𝑛. ................. 41 
Figura 13 : Espaço de tensões de Haigh-Westergaard (CHEN, 1982) ................................. 44 
Figura 14 : Superfície de ruptura de Mohr-Coloumb para o estado triaxial de tensões........ 45 
Figura 15 : Superfície de ruptura de Mohr-Coloumb para o estado biaxial de tensões. ....... 46 
Figura 16 : Superfície de ruptura de Drucker-Prager para o estado biaxial de tensões. ....... 46 
Figura 17 : Critério de ruptura de Willam & Warnke no estado biaxial de tensões. 
(WILLAM; WARNKE, 1974) .........................................................................................48 
Figura 18 : Superfície de falha para o estado “triaxial” de tensões utilizada pelo software 
ANSYS no concreto. (Mechanical APDL Theory Reference, 2015) ............................... 49 
Figura 19 : Elipse de falha para a teoria da energia de distorção máxima no estado biaxial 
de tensões. (LIMA, 2008) ................................................................................................. 50 
Figura 20 : Diagrama tensão-deformação do concreto idealizado pela ABNT NBR 6118 
(2014). ............................................................................................................................ 53 
Figura 21 : Diagrama tensão-deformação do concreto para análise não linear, segundo 
Eurocode (2004). .............................................................................................................. 54 
Figura 22 : Diagrama tensão-deformação do concreto para a tração de acordo com a ABNT 
NBR 6118 (2014). ............................................................................................................ 55 
Figura 23 : Resistência no estado multiaxial de tensões do concreto de acordo com a norma 
ABNT NBR 6118 (2014). ................................................................................................ 55 
Figura 24 : Diagrama tensão-deformação para aços de acordo com a ABNT NBR 6118 
(2014). ............................................................................................................................ 57 
Figura 25 : (a) Célula de carga que aplicará força sobre uma chapa metálica, evitando 
concentração de tensões na viga. (b) Dados técnicos da célula utilizada. ........................ 58 
Figura 26 : Relógio extensômetro utilizado para leitura da flecha máxima. ........................ 59 
Figura 27 : Ilustração do ensaio de ruptura à flexão a ser realizada. .................................... 59 
Figura 28 : Ensaio de ruptura à compressão simples do concreto. ....................................... 60 
Figura 29 : Forma esperada para fissuras e ruptura da viga no ensaio de ruína à flexão. ..... 61 
Figura 30 : Apoio de segundo gênero a ser usada para a viga bi-apoiada. ........................... 62 
Figura 31 : Detalhes do ensaio de falha ao cisalhamento. .................................................... 63 
Figura 32 : Viga com os desenhos esquemáticos da armadura. ............................................ 63 
Figura 33 : Imagem do ensaio da viga com estribos apenas na região de momento fletor 
puro. ............................................................................................................................ 63 
Figura 34 : Fissuras e ruptura da viga no ensaio ao cisalhamento. ....................................... 64 
 
 
 
Figura 35 : Ilustração do ensaio de ruptura por torção a ser realizado. ................................ 65 
Figura 36 : Detalhes das dimensões geométricas da viga para o ensaio de ruína à torção. .. 65 
Figura 37 : Armadura detalhada na viga com canetão. ......................................................... 66 
Figura 38 : Ruptura por torção da viga a ser ensaiada. ......................................................... 67 
Figura 39 : Resistência à tração na condição fissurada. (ANSYS, 2015) ............................. 70 
Figura 40 : Modelo da viga para o ensaio de falha ao cisalhamento. ................................... 71 
Figura 41 : Malha prismática para o concreto no caso do ensaio de falha ao cisalhamento. 72 
Figura 42 : Malha do linear para a armadura. ....................................................................... 72 
Figura 43 : Curvas de relação carregamento x flecha. .......................................................... 75 
Figura 44 : Variação da linha neutra para cada estádio demonstrada a partir da deformação 
normal axial da viga. ........................................................................................................ 77 
Figura 45 : Curva de tensão vs tempo (acima) e curva deformação longitudinal vs tempo 
(abaixo) para as armaduras longitudinais fornecida pelo software ANSYS. ................... 78 
Figura 46 : Curvas de relação carregamento x flecha. .......................................................... 80 
Figura 47 : Variação da linha neutra para cada estádio. ....................................................... 82 
Figura 48 : Valores obtidos da curva de plastificação de Drucker-Prager. Valores acima de 
zero são considerados como danificadas, sejam por tração ou por compressão. ............. 83 
Figura 49 : Ruptura da viga por cisalhamento. ..................................................................... 83 
Figura 50 : Curva de tensão x tempo (acima) e curva deformação longitudinal x tempo 
(abaixo) para as armaduras longitudinais pelo software ANSYS. ................................... 84 
Figura 51 : Curvas de relação carregamento x flecha. .......................................................... 86 
Figura 52 : Direções da tensão principal de tração pela vista superior. ................................ 86 
Figura 53 : Direções da tensão principal de tração pela vista frontal. .................................. 87 
Figura 54 : Fissuras helicoidais de torção no ensaio. ............................................................ 87 
Figura 55 : Deformações ao longo de uma seção de torção pura e a direção da tensão 
principal de tração. ........................................................................................................... 87 
Figura 56 : Deformação equivalente no tempo 170 s, expressa em mm/mm. ...................... 88 
Figura 57 : Deformação equivalente no tempo 290 s, expressa em mm/mm. ...................... 88 
Figura 58 : Deformação equivalente no tempo 585 s, expressa em mm/mm. ...................... 89 
Figura 59 : Direção da deformação principal ocasionada por tração. ................................... 89 
Figura 60 : Valores obtidos da curva de plastificação de Drucker-Prager. Valores acima de 
zero são considerados como danificadas, sejam por tração ou por compressão. ............. 90 
Figura 61 : Ruptura da viga por torção. ................................................................................ 91 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1: (a) Viga 1: Sem armadura. (b) Viga 2: Armadura principal de 2ϕ16 mm e 
estribos de 6,3 mm. (c) Viga 3: Armadura principal de 4ϕ16 mm e estribos de 5 mm. 
(AL-JURMAA & MOHAMMMED, 2010) ..................................................................... 36 
Tabela 2: Elementos fornecidos para a simulação de sólidos tridimensionais. (ANSYS, 
2015) ............................................................................................................................ 69 
Tabela 3: Elementos fornecidos para a simulação de materiais lineares. (ANSYS, 2015) 70 
Tabela 4: Comparação entre flechas obtidas por simulações, ensaios e cálculos teóricos 
para o ensaio de flexão. .................................................................................................... 74 
Tabela 5: Comparação entre flechas obtidas por simulações, ensaios e cálculos teóricos 
para o ensaio de falha ao cisalhamento. ........................................................................... 79 
Tabela 6: Comparação entre flechas obtidas por simulações, ensaios e cálculos teóricos 
para o ensaio de torção. .................................................................................................... 85 
 
 
 
 
 
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS 
ABNT: Associação Brasileira de Normas e Técnicas 
ANSYS: Analyser System 
LEME: Laboratório de Estruturas e Materiais de Engenharia 
MEF: Método dos Elementos Finitos 
NBR: Norma Brasileira 
UNIOESTE: Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
 
 
 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
:coeficiente de Poisson 
c : deformação do concreto à compressão 
c: tensão de compressão do concreto 
cb: tensão aplicada na biela comprimida 
sk: tensão de tração característica no aço 
∅: ângulo de atrito 
Ae: área delimitada pelo perímetro da linha média 
As,90: área da armadura transversal de apenas um ramo 
As: área da armadura longitudinal principal 
As
’
: área da armadura longitudinal secundária 
Asw: área da armadura transversal (estribo) 
B: matriz de deslocamento – deformação 
bw, b: base da alma da viga 
c: coesão 
C: força de compressão na biela comprimida 
c1: distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural 
d: altura útil da viga 
E: módulo de elasticidade ou módulo de Young 
F: força 
fcd2: tensão resistente de projeto da biela comprimida de concreto 
fck: resistência característica do concreto à compressão 
fct,m: resistência à tração média do concreto 
fctk,inf: resistência à tração característica do concreto inferior 
fywk: tensão resistente característica do aço ao escoamento 
G: módulo de elasticidade transversal 
 
 
 
h: altura 
he: espessura equivalente da parede da seção vazada 
I: momento de inércia ou invariantes de tensão 
J: invariantes de tensão de segunda ordem 
k: matriz de rigidez elementar ou coeficientes 
K: matriz de rigidez global 
l: largura 
L: vão da viga 
l: vão livre entre dois apoios consecutivos 
MRk: momento resistente característico 
N: matriz de funções de deslocamento ou função de interpolação 
n: vetor unitário normal à algum plano 
P: carga (N) 
q: coeficiente, constante 
r: raio 
Rcc: força resistida pelo concreto na região de compressão 
Rl: força resistente no banzo longitudinal 
Rst: força resistida pelo aço na região de tração 
Rw: força resistente no montante transversal 
T: esforço de torção ou tensor tensão 
t: espessura da “casca” resistente 
TRd2: torção de cálculo resistente na biela de compressão 
TRk3: torção característico resistente pela armadura transversal 
TRk4: torção característico resistente pela armadura longitudinal 
TSd: torção solicitante de cálculo 
u: deslocamento 
U0: energia de deformação por unidade de volume 
 
 
 
Ud: energia de deformação causada por tensões desviatórias por unidade de volume 
ue: perímetro médio da seção vazada 
ux: deslocamento na direção x 
uy: deslocamento na direção y 
V: força cortante 
VRk: força cortante resistente característico 
x: altura da linha neutra 
αv2: coeficiente de efetividade do concreto 
γ: deformação por tensão de cisalhamento 
ε: deformação por tensão normal 
λ: constante de proporcionalidade 
τ: tensão de cisalhamento 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 17 
1.1 Objetivos .................................................................................................................... 18 
1.1.1 Objetivo Geral .................................................................................................... 18 
1.1.2 Objetivos Específicos ......................................................................................... 18 
1.2 Justificativa ................................................................................................................ 18 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................................... 20 
2.1 Vigas em Concreto Armado....................................................................................... 20 
2.1.1 Posição característico da linha neutra ................................................................. 22 
2.1.2 Resistência característica ao momento fletor ..................................................... 23 
2.1.3 Verificação das armaduras máximas e mínimas de flexão ................................. 23 
2.1.4 Mecanismos básicos de transferência da força cortante ..................................... 23 
2.1.5 Treliça Clássica de Ritter-Mörsch ...................................................................... 24 
2.1.6 Esforço cortante resistido pela biela comprimida............................................... 25 
2.1.7 Esforço cortante resistido pelo estribo................................................................ 25 
2.1.8 Analogia da treliça espacial para a torção simples e Teoria de Bredt ................ 26 
2.1.9 Resistência à compressão diagonal do concreto com esforço de torção e 
cisalhante .......................................................................................................................... 29 
2.1.10 Resistência da armadura longitudinal na torção ................................................. 29 
2.1.11 Resistência da armadura transversal na torção ................................................... 30 
2.2 Método dos Elementos Finitos .................................................................................. 30 
2.3 Comparação com ensaios realizados por outros autores ........................................... 36 
2.4 Características do concreto e do aço .......................................................................... 39 
2.4.1 Concreto ............................................................................................................. 39 
2.4.2 Aço ..................................................................................................................... 40 
2.5 Curvas de plastificação .............................................................................................. 40 
2.5.1 Invariantes de tensão .......................................................................................... 40 
2.5.2 Interpretação física e geométrica dos invariantes ............................................... 44 
2.5.3 Critérios de ruptura de Mohr-Coloumb .............................................................. 45 
2.5.4 Critério de ruptura de Drucker-Prager ................................................................ 46 
2.5.5 Critério de ruptura de Willam & Warnke ........................................................... 47 
2.5.6 Critério de ruptura utilizado nas simulações do concreto via ANSYS............... 48 
2.6 Teoria de Von Mises .................................................................................................. 49 
3 MATERIAS E MÉTODOS .............................................................................................. 52 
3.1 Dados de entrada dos materiais.................................................................................. 52 
3.1.1 Concreto ............................................................................................................. 52 
 
 
 
3.1.2 Aço ..................................................................................................................... 57 
3.2 Ensaios ....................................................................................................................... 58 
3.2.1 Ensaio de Ruptura à flexão ................................................................................. 58 
3.2.2 Ensaio de falha ao cisalhamento ......................................................................... 61 
3.2.3 Ensaio de ruína à torção...................................................................................... 64 
3.3 Software ANSYS ....................................................................................................... 67 
3.4 Modelagem Computacional ....................................................................................... 70 
4 RESULTADOS ................................................................................................................74 
4.1 Ensaio de ruptura à flexão ......................................................................................... 74 
4.1.1 Comparação de flechas ....................................................................................... 74 
4.1.2 Posição característica da linha neutra ................................................................. 75 
4.1.3 Verificação da forma de ruptura ......................................................................... 77 
4.2 Ensaio de falha ao cisalhamento ................................................................................ 79 
4.2.1 Comparação de flechas ....................................................................................... 79 
4.2.2 Posição característica da linha neutra ................................................................. 81 
4.2.3 Verificação da forma de ruptura ......................................................................... 82 
4.3 Ensaio de ruptura à torção ......................................................................................... 85 
4.3.1 Comparação de flechas ....................................................................................... 85 
4.3.2 Análise da distribuição de tensões na torção ...................................................... 86 
4.3.3 Verificação da forma de ruptura ......................................................................... 89 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................... 92 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 93 
7 APÊNDICES .................................................................................................................... 96 
17 
 
1 INTRODUÇÃO 
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma poderosa ferramenta para a resolução 
de uma variedade de problemas dentro da Engenharia Civil, o que fez com que muitos 
softwares fossem desenvolvidos sendo que o ANSYS é um dos mais conhecidos. Cada um 
destes programas consiste em três etapas: pré-processamento, solução e processamento do 
resultado. 
O MEF se baseia na discretização das situações a serem resolvidas, transformando 
um problema complexo na soma de diversos problemas de pequeno porte e é realizado através 
da análise matricial das estruturas estudadas. (ALVES FILHO, 2012) 
As simulações fornecidas pelo software para análise estrutural contemplam, dentre 
outros, a análise estática, o qual é usado para determinar deslocamentos, tensões, etc. em 
condições de carregamentos estáticos. 
Os ensaios didáticos são realizados para a checagem de teorias e modelos 
apresentados em sala de aula sendo de elevada importância para o aprofundamento do 
conhecimento obtido. Porém, alguns elementos não podem ser visualizados em ensaios, 
enquanto que na simulação computacional vários aspectos podem ser estudados, dentre eles a 
visualização do estado de tensões e deformações na estrutura em todos os pontos. Também, a 
análise computacional permite conceber modificações nos parâmetros de ensaio, sendo 
possível simular mais que um ensaio de uma só vez, de maneira rápida, barata, precisa e 
segura. Prevendo uma maior precisão dos resultados, as simulações a serem efetuadas levarão 
em consideração a não linearidade das propriedades dos materiais. 
A metodologia adotada foi feita de forma a permitir que potenciais leitores 
compreendam de maneira fácil e rápida como modelar uma viga tridimensional de concreto 
armado no software ANSYS. 
Após as modelagens, o estudo trará uma análise comparativa dos resultados 
apresentados na simulação computacional no software ANSYS por quatro ensaios: Ensaio de 
ruptura à flexão, ensaio de falha ao cisalhamento, ensaio de ancoragem e ensaio de ruína na 
torção. 
Com a obtenção dos resultados de ensaios, o modelo foi também calibrado e 
analisado um melhoramento nos métodos de modelagem no software empregado para que 
este apresente resultados compatíveis com os ensaios. 
18 
 
1.1 Objetivos 
1.1.1 Objetivo Geral 
Modelar vigas em concreto armado pelo método dos elementos finitos utilizando o 
software ANSYS Workbench 18.0 e comparar com resultados de três ensaios: ruptura à 
flexão, falha ao cisalhamento e ruína por torção. 
1.1.2 Objetivos Específicos 
a) Modelar vigas tridimensionais no software ANSYS; 
b) Comparar flechas entre os ensaios e simulações em elementos finitos; 
c) Comparar tensões entre os ensaios e simulações em elementos finitos; 
d) Demonstrar a variação da linha neutra nas simulações; 
e) Identificar detalhes gerais não visualizáveis em ensaios reais; 
f) Criar arquivos de vídeo das simulações no software ANSYS; 
g) Disponibilizar modelos do software ANSYS com possibilidade de alteração 
dos principais parâmetros de ensaio. 
1.2 Justificativa 
A realização de ensaios para a checagem de teorias e modelos apresentados em sala 
de aula é de elevada importância para o aprofundamento do conhecimento obtido, porém, 
alguns detalhes não podem ser visualizados em ensaios reais. Visando uma melhor análise de 
ensaios didáticos é que se justifica a necessidade de aplicar simulação computacional para a 
visualização do estado de tensões e deformações na estrutura, além de outros aspectos que 
serão tratados neste trabalho. Também, a análise computacional permite conceber 
modificações dos parâmetros de ensaio, sendo possível simular mais que um ensaio de uma só 
vez, de maneira rápida, barata e segura. 
Outro ponto que merece destaque é que o método dos elementos finitos pode ser 
utilizado para a verificação do dimensionamento de elementos estruturais de maneira mais 
precisa e detalhada em comparação com cálculos simplificados, permitindo a simulação 
através de pequenos incrementos de carga e definindo uma nova configuração geométrica da 
estrutura e aplicação da variação das propriedades dos materiais após cada um destes 
incrementos. Ou seja, o método permite uma análise não-linear do problema, tanto geométrico 
quanto físico, possuindo uma precisão maior do que os métodos de cálculo convencionais. 
19 
 
Deve-se destacar também a necessidade de os estudantes de engenharia se 
aproximarem mais dos métodos computacionais para resolução de problemas complexos já 
que nas escolas de engenharia não é obrigatório, somente optativo, o estudo dos métodos dos 
elementos finitos e nem são abordados a resolução de problemas mais complexos que podem 
vir a surgir na concepção de uma estrutura de concreto armado. 
 É neste contexto que o presente trabalho apresentará uma metodologia focada em 
vigas de concreto armado para uma mais rápida e mais fácil familiarização do leitor para com 
o software ANSYS. 
 
 
 
20 
 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
Neste capítulo serão revisados os métodos convencionais de cálculo de autores 
consagrados e prescritos na norma ABNT NBR 6118:2014, assim como teorias mais 
avançadas no campo da análise estrutural e o método dos elementos finitos supracitados. 
2.1 Vigas em Concreto Armado 
Vigas são “elementos lineares em que a flexão é preponderante”, conforme define a 
ABNT NBR 6118 (2014), item 14.4.1.1, sendo elementos lineares aqueles em que o 
comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção 
transversal. 
A viga, antes de sua ruptura, deve passar pelos três estádios do concreto. 
No estádio I, o concreto ainda resiste a tensões de tração. Este estádio é dividido em 
dois outros, conforme Bastos (2006), sendo Ia e Ib, como se pode ver na Figura 1. A diferença 
é que em Ib o concreto apresenta as primeiras fissuras à tração. 
 
Figura 1 : Diagramas de tensão indicativos dos estádios decálculo. (BASTOS, 2006) 
No estádio II, o concreto já não resiste mais à tração, apresentando fissuras na região 
tracionada. A região tracionada é desconsiderada nos cálculos, de forma que o aço resista 
solitariamente às tensões de tração. 
No estádio III, além do concreto não resistir à tração, este passa a plastificar na 
compressão, ou seja, parte do concreto comprimido passa a não respeitar a relação de Hooke e 
tem a sua resistência à compressão não aumentando conforme o carregamento aumenta, 
porém, as deformações seguem aumentando proporcionalmente ao aumento de carga. Por 
21 
 
conta dessa diminuição da resistência à compressão, a linha neutra passa a subir, aumentando 
a ductilidade do elemento. 
A posição da linha neutra no momento de ruptura da viga é importante para se 
verificar se a viga foi superdimensionada ou subdimensionada, ou, ainda, se esta foi 
dimensionada com ductilidade inferior à exigida pela norma ABNT NBR 6118 (2014). Para o 
tanto, deve-se primeiramente entender os 5 domínios de deformações, apresentados na Figura 
2. 
 
Figura 2 : Diagramas possíveis dos domínios de deformações. (NBR 6118, 2014) 
No domínio 1, a tração é não uniforme, sendo resistida em apenas parte da região do 
concreto e pela armadura. A ruptura ocorre no aço. Não há compressão. 
No domínio 2, há flexão simples e a ruptura ocorre por excesso de alongamento do 
aço. É dito que há falta de armadura, indicando um subdimensionamento se a linha neutra se 
encontrar abaixo de 0,26d, sendo d a altura útil da viga. O termo subdimensionamento não 
indica erro de cálculo, apenas indica que a quantidade de armadura é econômica. 
No domínio 3, há flexão simples e a ruptura ocorre por excesso de encurtamento do 
concreto, porém, o aço passa a escoar, o que é favorável para a segurança, pois caso houver 
uma sobrecarga na estrutura os usuários conseguirão notar a flecha do elemento estrutural e o 
surgimento de fissuras antes do seu rompimento. É dito que nesse domínio tanto o concreto 
comprimido quanto o aço tracionado são aproveitados ao máximo. Diz-se que a seção é 
normalmente armada, segundo Bastos (2006). 
22 
 
No domínio 4, há flexão simples e a ruptura ocorre por excesso de encurtamento do 
concreto sem que haja o escoamento do aço. Uma ruptura nesse domínio indica um 
sobredimensionamento, o qual pode vir a causar um desastre, uma vez que a ruptura é frágil. 
Pode ser verificada tal condição se a linha neutra se encontrava acima de 0,63d no momento 
de ruptura. 
No domínio 5, há compressão não uniforme. A seção está inteiramente comprimida e 
a ruptura ocorre por excesso de encurtamento no concreto. 
Concluindo, as vigas devem ser projetadas à flexão para os domínios 2 e 3, além de 
obedecer ao item 14.6.4.3 da NBR 6118 (2014) que limita a linha neutra em 0,45d para 
concretos de 𝑓𝑐𝑘 igual ou inferior a 50 MPa. 
2.1.1 Posição característico da linha neutra 
Considerando a viga com uma seção, área de armadura e propriedades dos materiais 
já definidos então se pode determinar a altura da linha neutra pela igualdade das forças de 
compressão e de tração na seção flexionada, como se vê na Figura 3. 
 
 
Figura 3 : Distribuição de tensões de compressão segundo os diagramas parábola-retângulo e retangular 
simplificado. (BASTOS, 2006); 
Considerando a simplificação permitida pela norma de concreto armado, 
𝑅𝐶𝐶 = 0,8x ⋅ bw ⋅ (0,85𝑓𝑐𝑘) = 𝐴𝑠 𝜎𝑠𝑘 = 𝑅𝑠𝑡 ⇒ 
 𝑥/𝑑 =
𝐴𝑠𝜎𝑠𝑘
0,68 ⋅ 𝑏𝑤𝑑 ⋅ 𝑓𝑐𝑘
 
(1) 
23 
 
2.1.2 Resistência característica ao momento fletor 
Levando em conta as considerações anteriores, o momento fletor resistente pode ser 
obtido por 
 𝑀𝑅𝑘 = 0,68𝑏𝑤𝑓𝑐𝑘𝑑
2
𝑥
𝑑
(1 − 0,4
𝑥
𝑑
 ) = 𝐴𝑠 𝜎𝑠𝑘𝑑 (1 − 0,4
𝐴𝑠𝜎𝑠𝑘
0,68 ⋅ 𝑏𝑤𝑑 ⋅ 𝑓𝑐𝑘
 ) 
(2) 
2.1.3 Verificação das armaduras máximas e mínimas de flexão 
A ABNT NBR 6118 (2014) estabelece que a armadura mínima longitudinal principal 
deve ser de 0,15% da área da seção e que a armadura máxima, tanto principal quanto a de 
compressão, não deve ser superior a 4% da área da seção. Assim, 
𝐴𝑠 ≥ 0,15% 𝑏𝑤ℎ, 𝑒 
 𝐴𝑠 + 𝐴𝑠
′ ≤ 4% 𝑏𝑤ℎ (3) 
2.1.4 Mecanismos básicos de transferência da força cortante 
Os mecanismos responsáveis pela transferência de força cortante são variados e 
difíceis de medir e identificar, isso porque, conforme Bastos (2006), “após o surgimento das 
fissuras inclinadas ocorre uma complexa redistribuição a qual é influenciada por vários 
fatores. Sendo assim, cada mecanismo tem uma importância relativa, de acordo com os 
pesquisadores”. 
Bastos (2006) indica outros três mecanismos, excetuando os estribos: 
a) Força cortante na zona de concreto não fissurado: Ocorre na região do banzo 
comprimido, na qual o concreto ainda não está fissurado. É indicado por 𝑉𝑐𝑧 
na Figura 4. 
b) Atrito entre agregados e superfície nas fissuras inclinadas: A transferência do 
esforço cortante ocorre na região fissurada mesmo após a fissuração, isso 
porque ainda há uma resistência de atrito das superfícies e engrenamento dos 
agregados. Está representado por 𝑉𝑎 na Figura 4. 
c) Ação de pino da armadura longitudinal: Ocorre pela resistência ao 
cisalhamento na seção das armaduras longitudinais. Está representado por 𝑉𝑑 
na Figura 4. 
24 
 
 
Figura 4 : Mecanismos de transferência da força cortante em viga com armadura transversal. 
2.1.5 Treliça Clássica de Ritter-Mörsch 
Segundo Pinheiro (2003), “o modelo clássico de treliça foi idealizado por Ritter e 
Mörsch, no início do século XX, e se baseia na analogia entre uma viga fissurada e uma 
treliça”. 
O modelo de treliça pode ser compreendido pelo fato de, após o surgimento das 
fissuras de tração, a região tracionada da viga passa a ser desconsiderada, obtendo um banzo 
inferior que é resistido apenas pela armadura longitudinal e um banzo superior comprimido, 
resistido principalmente pelo concreto, como se vê na Figura 5. 
 
Figura 5 : Analogia de treliça. (PINHEIRO, 2003) 
O banzo inferior é ligado ao banzo superior através dos estribos, os quais tem o papel 
de resistir às tensões de tração, que estão inclinados geralmente entre 30 a 45 graus com 
relação ao eixo da viga. Os estribos são denominados de diagonais tracionadas. 
25 
 
Na região central, já que há tração a uma inclinação entre 30 e 45 graus, haverá uma 
tensão de compressão na direção ortogonal à esta, sendo esta resistida pelo concreto e 
denominado de diagonal comprimida ou bielas de compressão. 
A ABNT NBR 6118 (2014) preconiza que o dimensionamento à força cortante pode 
ser feito segundo dois modelos de cálculo que pressupõem a analogia com modelo em treliça, 
de banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares (𝑉𝑐) que podem ser 
explicados pelos mecanismos básicos de transferência de esforço cortante explicados no item 
anterior. 
O modelo a ser apresentado aqui é o modelo de cálculo I, onde o ângulo das 
diagonais comprimidas é igual a 45°. 
2.1.6 Esforço cortante resistido pela biela comprimida 
Seja o esforço cortante V aplicado em alguma seção da viga, então, esta possui 
componente da direção da biela comprimida a 45° igual à 𝑉/ cos(45) . 
A distância entre uma biela comprimida e outra é, neste caso, igual à altura da treliça. 
A altura da treliça foi deduzida como 0,9d, sendo d a altura útil da viga. 
Dessa forma, considerando a inclinação de 45°, essa força de 𝑉/ cos(45) está 
aplicada em uma área de 𝑏𝑤 ⋅ (0,9𝑑)/cos (45), correspondendo à uma tensão de 
 𝜎𝑐𝑏 =
2𝑉𝑅𝑘
0,9𝑏𝑤𝑑
 (4) 
De acordo com Bastos (2006), “A NBR 6118 limita a tensão de compressão nas 
bielas ao valor 𝑓𝑐𝑘2, como definido no código MC-90 do CEB”. O valorde 𝑓𝑐𝑘2 é definido por 
 𝑓𝑐𝑘2 = 0,60 (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) 𝑓𝑐𝑘 (5) 
Assim, o valor da força cortante característica resistida pela biela comprimida é de 
 𝑉𝑅𝑘2 = 0,27 (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) 𝑏𝑤𝑑 ⋅ 𝑓𝑐𝑘 (6) 
2.1.7 Esforço cortante resistido pelo estribo 
Supondo já conhecido a área de estribo por metro de viga, então pode-se calcular o 
valor do esforço cortante característico resistente relativo à ruína por tração diagonal (𝑉𝑅𝑘3). 
Neste cálculo entra a parcela resistida pelos mecanismos complementares aos da 
treliça, denominado 𝑉𝑐. 
Esta parcela tem valor igual à 
26 
 
 𝑉𝑐𝑘 = 0,6 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓𝑏𝑤𝑑 (7) 
onde 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7 𝑓𝑐𝑡,𝑚. 
A resistência propiciada pelo estribo é dada por 
 𝑉𝑠𝑤 = (
𝐴𝑠𝑤
𝑠
) 0,9𝑑 ⋅ 𝑓𝑦𝑤𝑘 (8) 
Assim sendo, a resistência total dos estribos somados com os mecanismos 
complementares é de 
 𝑉𝑅𝑘3 = 0,6 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓𝑏𝑤𝑑 + (
𝐴𝑠𝑤
𝑠
) 0,9𝑑 ⋅ 𝑓𝑦𝑤𝑘 (9) 
2.1.8 Analogia da treliça espacial para a torção simples e Teoria de Bredt 
Possuindo origem na treliça clássica de Ritter e Mörsch, desenvolvida para explicar o 
cisalhamento, a treliça espacial foi desenvolvida por Thürlimann e Lampert a fim de explicar 
as tensões de torção na estrutura (Pinheiro, 2004). Para compreendê-la melhor deve-se 
primeiro entender a teoria de Bredt 
Dos estudos da mecânica dos materiais, sabe-se que as tensões de cisalhamento 
originadas da torção possuem valor máximo na superfície do corpo tracionado e valor nulo no 
centro. Assim, acompanhado com a maior tensão na extremidade e o fato das armaduras 
estarem concentradas nas extremidades, é considerado que apenas a “casca” da viga resiste 
aos esforços de torção. 
Considerando então, uma seção vazada qualquer exposta na Figura 6, com espessura 
𝑡 e com tensão cisalhante (𝜏) uniforme em toda a sua superfície se contrapondo ao momento 
torçor (𝑇), é calculado o valor dessa tensão cisalhante. 
27 
 
 
Figura 6 : Seção vazada com parede fina (SÁNCHEZ, 2001 apud BASTOS, 2006). 
Do equilíbrio de momentos no ponto O, da Figura 6, 
 𝑇 = ∮(𝜏 ⋅ 𝑡𝑑𝑠) ⋅ 𝑟 (10) 
A área hachurada no desenho corresponde à 𝑑𝐴𝑒 = (𝑟 ⋅ 𝑑𝑠)/2 , que, substituindo na 
equação acima, 
𝑇 = 2𝜏 ⋅ 𝑡 ∮𝑑𝐴𝑒 ⇒ 
 𝜏 =
𝑇
2𝐴𝑒𝑡
 (11) 
onde 𝐴𝑒 corresponde à área delimitada pelo perímetro da linha média. 
Voltando ao conceito da treliça espacial, já se pode ter notado que na seção da viga 
existirão os estribos, que estarão distribuídos na superfície da seção no mesmo plano deste 
representando os montantes horizontais e verticais. Existirão também as bielas comprimidas 
em cada lado da viga, inclinados a 45° e a armadura longitudinal representando os banzos 
paralelos (ver Figura 7). 
28 
 
 
Figura 7 : Treliça espacial generalizada (PINHEIROS, 2007) 
Considerando a inclinação da biela como de 45° e sendo a força na biela comprimida 
de 𝐶, o valor da força nas montantes (estribos) e na direção longitudinal são semelhantes e 
iguais à 𝑅𝑤 = 𝑅𝑙 = 𝐶𝑠𝑒𝑛(45). 
Considerando o equilíbrio de momentos no eixo da viga, então 
2𝐶𝑠𝑒𝑛(45) ⋅ 𝑙 = 𝑇 ⇒ 
 𝐶 =
𝑇
2𝑠𝑒𝑛(45) 𝑙
 (12) 
Sabe-se o valor da força de compressão na biela. A área de atuação dessa força na 
biela pode ser calculada sendo a sua base dada por 𝑦 = 𝑙 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(45) e altura igual à espessura 
𝑡. 
A tensão de compressão na biela é dada então por 
 𝜎𝑐𝑘 =
𝑇𝑘
2𝑠𝑒𝑛(45)𝑙 ⋅ 2𝑙𝑠𝑒𝑛(45)𝑡
=
𝑇𝑘
2𝑙2𝑡
≅
𝑇𝑘
2𝐴𝑒𝑡
 (13) 
29 
 
De acordo com a ABNT NBR 6118 (2014) a resistência decorrente das diagonais 
comprimidas, para uma inclinação de 45°, de concreto deve ser obtida por 
 𝑇𝑅𝑑2 = 0,50 𝛼𝑉2𝑓𝑐𝑑𝐴𝑒ℎ𝑒 (14) 
onde 
𝛼𝑉2 é o coeficiente de efetividade do concreto, dado por (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) ; 
𝐴𝑒 é a área limitada pela linha média da parede de seção vazada; 
ℎ𝑒 = 𝑡 é a espessura equivalente da parede da seção vazada. 
Substituindo 23 em 22, a tensão resistente característica na biela comprimida é de 
 𝜎𝑐𝑘 =
0,50 𝛼𝑉2𝑓𝑐𝑘𝐴𝑒ℎ𝑒
2𝐴𝑒𝑡
= 0,25𝛼𝑉2𝑓𝑐𝑘 (15) 
De acordo com a norma, ℎ𝑒 é calculado dividindo-se a área da seção de concreto 
pelo perímetro dessa seção, respeitando o limite mínimo que é 2𝑐1, sendo 𝑐1 a distância entre 
o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural. 
2.1.9 Resistência à compressão diagonal do concreto com esforço de torção e cisalhante 
Considerando que haja simultaneamente esforços cortantes e de torção na viga, a 
verificação da integridade da biela comprimida pode ser então calculada pela soma a seguir, 
sendo esta menor ou igual à unidade. 
 
𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2
+
𝑇𝑆𝑑
𝑇𝑅𝑑2
≤ 1 (16) 
2.1.10 Resistência da armadura longitudinal na torção 
Conforme a Figura 7 provou-se que 𝑅𝑤 = 𝑅𝑙 = 𝐶𝑠𝑒𝑛(45). 
Assim, 
 𝑅𝑙 =
𝑇
2𝑙
 (17) 
Considerando o total das armaduras longitudinais, então 
 4𝑅𝑙 =
2𝑇
𝑙
= 𝐴𝑠𝑙 ⋅ 𝑓𝑦𝑤𝑘. (18) 
Assim, o esforço torçor resistente por conta da armadura longitudinal pode ser 
calculado por 
 𝑇𝑅𝑘4 =
𝐴𝑠𝑙 ⋅ 𝑓𝑦𝑤𝑘 ⋅ 𝑙
2
 (19) 
Sendo, ainda, essa armadura distribuída no perímetro médio da seção vazada, de 
comprimento total 4𝑙, então, 
30 
 
 𝑇𝑅𝑘4 =
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
⋅ (4𝑙) ⋅ 𝑓𝑦𝑤𝑘 ⋅ 𝑙
2
≅ (
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
) ⋅ 2𝐴𝑒 ⋅ 𝑓𝑦𝑤𝑘 
(20) 
2.1.11 Resistência da armadura transversal na torção 
Conforme a Figura 7 provou-se que 𝑅𝑤 = 𝑅𝑙 = 𝐶𝑠𝑒𝑛(45). 
Sendo 𝑠 o espaçamento dos estribos e 𝑙 o comprimento da influência das barras 
transversais da treliça que representam os estribos, tem-se 
𝑅𝑤𝑘 =
𝑇𝑅𝑘
2𝑙
= 𝐴𝑠,90𝑓𝑦𝑤𝑘 ⋅
𝑙
𝑠
⇒ 
 𝑇𝑅𝑘3 = 2𝐴𝑠,90𝑓𝑦𝑤𝑘 ⋅
𝑙2
𝑠
≅ 2 (
𝐴𝑠,90
𝑠
) 𝑓𝑦𝑤𝑘 ⋅ 𝐴𝑒 (21) 
com 𝐴𝑠,90 sendo a área de um ramo de estribo vertical ou horizontal. 
2.2 Método dos Elementos Finitos 
Em matemática, o Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma técnica numérica 
usada para se encontrar soluções aproximadas de equações diferenciais de fronteira 
complexas. É como se fossem juntar vários pequenos segmentos a fim de formar uma figura o 
mais próximo possível de um círculo. (SOUZA, 2012) 
Segundo Kunzler (2013), “O método dos elementos finitos consiste em dividir uma 
estrutura em partes não superpostas, de dimensões e quantidade finitas, chamados de 
elementos finitos”. 
Na busca de se encontrar uma solução mais aproximada para problemas complexos 
de engenharia relacionados a elasticidade e análise estrutural foi que, em 1940, Hrennikoff e 
Courant, publicaram os primeiros estudos relacionados à análise por elementos finitos. Porém, 
foi em 1960 que o método passou a ser mais difundido, merecendo destaque os estudos de 
Clought sobre problemas de elasticidade plana. Neste início, o método foi aplicado “para 
problemas planos de tensões, utilizando elementos triangulares e retangulares”. (SOUZA, 
2012) 
A aplicação de elementos finitos só alavancou mesmo com a difusão da tecnologia 
para a população fora do ambiente acadêmico, quando a invenção de computadores de menor 
tamanho, mais acessíveis e de melhor processamento viabilizou o seu uso para um maior 
universo de pessoas. O avanço da tecnologia permitiu também o uso de malhas mais 
31 
 
refinadas, o qual influência nos resultados obtidos pelo método obtendo uma maior precisão. 
(SOUZA, 2002) 
Giacchini (2012) explica a essência dos elementos finitos ao resolver o problema de 
Dirichlet homogêneo uni e bidimensional utilizando apenas elementos triangulares. Segundo 
este autor, “a ideia central do MEF é discretizar o domínio, representando-o, ainda que de 
forma aproximada, por uma reunião de um número finito de elementos”.De acordo com Huebner (1994), apud Sánchez (2001), o método dos elementos 
finitos se divide em três etapas: pré-processamento, solução e pós-processamento. 
a) Pré-processamento: É a descrição do problema que será simulado. Nesta etapa 
é construído o modelo, definindo sua forma geométrica, condições de 
contorno, carregamentos, propriedades dos materiais, divisão dos elementos, 
escolha da forma de aproximação numérica, aplicação de não linearidade ao 
sistema, graus de liberdade dos elementos, precisão da resposta, critérios de 
convergência, tempo de processamento, entre outros. É subdividida em: 
̶ Discretização do problema: A geometria é subdividida em finitos 
elementos, denominado de malha. As malhas podem ser de diversas 
formas geométricas, dentre elas hexagonais, tetraédricas ou prismáticas 
para geometria em três dimensões e triângulos ou quadriláteros para 
geometria em duas dimensões. Os elementos formados são unidos por 
pontos denominados de nós. 
̶ Seleção das funções de interpolação: Para cada diferente tipo de 
elemento escolhido na etapa acima há uma série de funções de 
interpolações recomendadas para a escolha do manipulador da 
simulação. Segundo Sanchez (2001), “geralmente, a forma adotada para 
as funções de interpolação é a polinomial, pela simplicidade de 
manipulação matemática”, porém, outras funções podem se adaptar 
melhor para outros tipos de variáveis (deslocamento de nós, tensões, 
temperatura, corrente elétrica,...) ou exigência de resultado com maior 
precisão. 
b) Solução (Solver): É a etapa na qual será realizado as interações numéricas do 
problema descrito na etapa anterior. É subdividida em: 
̶ Obtenção da matriz rigidez elementar: É uma matriz constituída de 
coeficientes, que podem variar de interação a interação, conforme muda 
a geometria do sistema ou as propriedades do material. Os coeficientes 
32 
 
podem ser obtidos pelos dois últimos fatores citados anteriormente, 
através do uso do princípio da mínima energia potencial. A matriz de 
rigidez elementar [k] correlaciona o vetor força nodal {F} e o vetor 
deslocamento nodal {u} através da simples multiplicação matricial 
{F}=[k]{u}, sendo este um sistema de número de equações igual ao 
número de graus de liberdade do nó. 
̶ Montagem das equações algébricas para todo o domínio: É a formação 
da matriz de rigidez global para o modelo a partir das matrizes de 
rigidez elementares. Os deslocamentos de um nó devem ser os mesmos 
para todos os elementos adjacentes. 
̶ Cálculo das deformações e tensões elementares a partir dos 
deslocamentos nodais: É o cálculo do resultado final, o qual pode ser a 
deformação total, tensão em determinado eixo, entre outros. 
c) Pós-processamento: É a apresentação dos resultados. Fornece os dados 
requisitados pelo manipulador da simulação. Neste trabalho, os principais 
dados a serem solicitados são as tensões principais, tensão unidirecional, 
variação da tensão com o acréscimo de cargas, deformação uniaxial, flecha 
total, tensão de cisalhamento, abertura de fissuras, entre outros. 
A seguir será demostrado como encontrar uma matriz de rigidez de forma a 
correlacionar a tensão atuante com o deslocamento em algum ponto. 
Seja uma figura qualquer bidimensional, a sua discretização pode ser feita da 
maneira mais simples por subdividir a sua área em vários triângulos como elementos e os seus 
vértices como nós. 
Sejam os vértices de um desses triângulos denominados de 𝐴 (𝑎𝑥; 𝑎𝑦), 𝐵(𝑏𝑥; 𝑏𝑦) e 
𝐶 (𝑐𝑥; 𝑐𝑦), então, deve haver uma matriz que correlacione um deslocamento (𝑢) de um ponto 
qualquer dentro desse triângulo com a sua posição inicial (𝑃𝑥, 𝑃𝑦). Aqui entram diversas 
fórmulas de correlação, porém, será apresentada uma igualdade linear. Assim, 
 𝑢𝑥 = 𝑞1 + 𝑞2𝑃𝑥 + 𝑞3𝑃𝑦 (22) 
 𝑢𝑦 = 𝑞4 + 𝑞5𝑃𝑥 + 𝑞6𝑃𝑦 (23) 
onde 
𝑢𝑥, 𝑢𝑦 é o deslocamento na direção x ou y; 
𝑞 são coeficientes; 
𝑃𝑥, 𝑃𝑦 é a coordenada no ponto qualquer P na direção x ou y. 
33 
 
É conhecida a coordenada de três pontos desta região, os nós A, B e C, daí se obtém 
dois sistema de três equações e três constantes não conhecidas em cada, podendo ser possível 
encontrar o valor das constantes 𝑞1 até 𝑞6. Ao conhecer as constantes, se obtém uma relação 
de interpolação entre a localização de qualquer ponto dentro da região e o seu respectivo 
deslocamento após determinada interação através da equação 24. 
{𝑢} = {
𝑢𝑥
𝑢𝑦
} = [𝑁(𝑥, 𝑦)] ⋅
{
 
 
 
 
𝑢𝑎𝑥
𝑢𝑎𝑦
𝑢𝑏𝑥
𝑢𝑏𝑦
𝑢𝑐𝑥
𝑢𝑐𝑦}
 
 
 
 
⇒ 
 {𝑢}𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 = [𝑁] ⋅ {𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 (24) 
Essa igualdade significa que, conhecendo os deslocamentos nos nós do elemento 
({𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙) é possível interpolar o deslocamento ({𝑢}𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙) em qualquer ponto localizado 
dentro deste elemento. 
É importante notar que o vetor {u} possui apenas dois elementos pelo fato de se 
considerar aqui apenas dois graus de liberdade em cada nó, translação na vertical e na 
horizontal. Em consequência disso, a matriz de funções de deslocamento [𝑁] é da ordem 2x6. 
“A matriz [𝑁(𝑥)] permite passar dos deslocamentos nodais para os deslocamentos 
dentro do elemento. Define, portanto, a forma pela qual se estabelece a interpolação do campo 
de deslocamentos, e é chamada de função de forma do elemento finito.” (ALVES FILHO, 
2012) 
Utilizando a teoria das deformações, o deslocamento pode ser correlacionado por 
deformação através de uma correlação linear como abaixo. 
{𝜀} = [𝐿] ⋅ {𝑢}𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 ⇒ 
{
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦
} =
{
 
 
 
 
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦 }
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥
0
0
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥]
 
 
 
 
 
 
⋅ {𝑢}𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 = [𝐿] ⋅ {𝑢}𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙. 
Substituindo [𝐿] ⋅ [𝑁] = [𝐵] chega-se à equação 25. 
34 
 
 {𝜀} = [𝐵] ⋅
{
 
 
 
 
𝑢𝑎𝑥
𝑢𝑎𝑦
𝑢𝑏𝑥
𝑢𝑏𝑦
𝑢𝑐𝑥
𝑢𝑐𝑦}
 
 
 
 
 (25) 
Da teoria da elasticidade, aplicando a lei de Hooke para o caso unidimensional e 
estado plano de tensões, têm-se que 
 {
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦
} =
{
 
 
 
 (
1
𝐸
) [𝜎𝑥 − 𝜈𝜎𝑦]
(
1
𝐸
) [𝜎𝑦 − 𝜈𝜎𝑥]
(
1
𝐺
) 𝜏𝑥𝑦 }
 
 
 
 
 (26) 
Conhecendo que 𝐺 = 
𝐸
2(1+𝜈)
 e isolando as tensões do sistema, se obtêm a igualdade 
6. 
 
 {
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
} =
𝐸
1 − 𝜈2
[
1 𝜈 0
𝜈 1 0
0 0
1 − 𝜈
2
] {
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦
} (27) 
A matriz 
[𝑘] =
𝐸
1 − 𝜈2
[
1 𝜈 0
𝜈 1 0
0 0
1 − 𝜈
2
] 
é denominada de matriz de rigidez do elemento triangular 2D. Se fosse considerada a 
interação desse elemento com os demais elementos triangulares seria possível obter a matriz 
[𝐾], de ordem maior, denominada matriz de rigidez global. Essa matriz de rigidez global é 
usada para calcular o estado de tensões em todos os pontos do objeto em análise e varia, de 
interação por interação, conforme o corpo vai se deformando ou as propriedades dos materiais 
envolvidos vão se modificando. 
Por fim, nota-se que conhecidos os deslocamentos nos nós do triângulo é possível, 
através dos cálculos apresentados acima, encontrar as tensões e deformações em algum ponto 
qualquer na região do triângulo. 
Isso ajuda a compreender melhor o método dos elementos finitos, pois torna 
compreensível que ao se discretizar um objeto em vários elementos menores é possível 
encontrar os deslocamentos dos nós que unem estes elementos simulando como se fosse uma 
35 
 
treliça em 3D e, por fim, converter os deslocamentos nos nós para deformações e tensões em 
pontos de interesse. 
A aplicação do princípio dos trabalhos virtuais constitui uma formaalternativa de 
determinar a rigidez dos elementos e da estrutural. As forças externas aplicadas no elemento 
em seus nós produzem nele deslocamentos nodais. O trabalho de uma força permite 
contabilizar a energia transferia pela ação dessa força. A condição de equivalência estabelece 
que a energia introduzida na forma de trabalho das forças externas ao elemento seja 
armazenada na forma de energia interna de deformação. Seguindo a ideia de conservação de 
energia, todo trabalho externo aplicado deve se igualar à energia armazenada em todos os 
elementos do sistema. (ALVES FILHO, 2012) 
Para um pequeno elemento de volume e no estado plano de tensões, a energia de 
deformação (𝑈0) pode ser dada pela equação 28. 
𝑈0 =
1
2
(𝜎𝑥𝜀𝑥 + 𝜎𝑦𝜀𝑦 + 𝜏𝑥𝑦𝛾𝑥𝑦) ⇒ 
 𝑈0 =
1
2
({𝜀}𝑇 ⋅ {𝜎}) 
(28) 
Dessa forma, considerando uma matriz força 𝐹 aplicada externamente nos nós da 
região em estudo, pode-se estimar a matriz de rigidez global pelo método da equivalência de 
energias externas e internas. 
∫ 𝑈0𝑑𝑉
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
= {𝐹} ⋅ {𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 ⇒ 
1
2
∫ {𝜀}𝑇 ⋅ {𝜎} ⋅ 𝑑𝑉
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
= {𝐹} ⋅ {𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 ⇒ 
1
2
∫ {𝜀}𝑇 ⋅ [𝑘]{𝜀} ⋅ 𝑑𝑉
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
= {𝐹} ⋅ {𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 ⇒ 
1
2
∫ ([𝐵]{𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙)
𝑇[𝑘][𝐵]{𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 ⋅ 𝑑𝑉
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
= {𝐹} ⋅ {𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 ⇒ 
1
2
{𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙
𝑇 ∫ [𝐵]𝑇 ⋅ [𝑘] ⋅ [𝐵]𝑑𝑉{𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
= {𝐹} ⋅ {𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 ⇒ 
[
1
2
∫ [𝐵]𝑇 ⋅ [𝑘] ⋅ [𝐵]𝑑𝑉
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
] ⋅ {𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = {𝐹} ⇒ 
36 
 
 [𝐾] ⋅ {𝑢}𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = {𝐹} (29) 
Assim sendo, conforme definição exposta na equação 25, a matriz de rigidez global 
pode ser deduzida por 
 [𝐾]𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = [
1
2
∫ [𝐵]𝑒
𝑇
⋅ [𝑘]𝑒 ⋅ [𝐵]𝑒𝑑𝑉
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
] (30) 
A denotação índice ‘e’ adotado é para representar que as matrizes variam de acordo 
com o elemento escolhido. 
2.3 Comparação com ensaios realizados por outros autores 
Al-Jurmaa & Mohammed (2010) simularam via ANSYS três vigas de concreto 
reforçado com fibras, sendo a primeira sem armadura e as duas últimas armadas, como 
detalhado na tabela 1. A forma de ruptura analisada foi por cisalhamento. Na análise foi 
levado em consideração não linearidades dos materiais e influência da fissuração. Para o 
concreto foi utilizado o elemento SOLID65 e para as barras o elemento LINK8. 
Tabela 1: (a) Viga 1: Sem armadura. (b) Viga 2: Armadura principal de 
2ϕ16 mm e estribos de 6,3 mm. (c) Viga 3: Armadura principal de 4ϕ16 mm 
e estribos de 5 mm. (AL-JURMAA & MOHAMMMED, 2010) 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
37 
 
Para o concreto foi determinado a resistência à compressão através de ensaio 
uniaxial, obtendo-se a média dos ensaios com valor de 34,4 MPa. Demais valores para este 
material foram estimados. 
A resistência característica do aço foi de 440 MPa. 
Segundo o autor, para se obter resultados mais satisfatórios, foi utilizado elementos 
prismáticos para o concreto. 
A flecha para o último carregamento foi analisada com ensaios experimentais, 
chegando a precisões acima de 81.5%. 
A curva carga-flecha se mostrou com algumas diferenças que são, segundo o autor, 
devidas aos efeitos de retração à secagem, imperfeições geométricas das armaduras ou da 
viga, não consideração de microfissuras pelo programa de elementos finitos e a consideração 
de perfeita ancoragem na simulação. 
Nogueira et. al. (2010) simulou uma viga ensaiada experimentalmente por Martinelli 
& Takeya (1974) utilizando dois modelos. O primeiro modelo de falha é o tradicionalmente 
usado para o concreto, de Willam-Warnke, e o segundo modelo é denominado como modelo 
de dano de Mazars, sendo este aplicado em uma formulação de elementos de barra 
unidimensionais a qual podem ser acopladas as hipóteses clássicas de Euller-Bernoulli ou de 
Timoshenko. 
Este modelo de dano considera a degradação da rigidez do concreto de modo que 
todas as suas propriedades elásticas são penalizadas isotropicamente assim que o material 
atinge a plastificação. Na Figura 8 se observa a influência do modelo de dano nas tensões 
resistidas pelo concreto já parcialmente plastificado. 
 
Figura 8 : Discretização de uma seção transversal genérica. (NOGUEIRA et. al., 2010) 
38 
 
Na Figura 9 estão os detalhes referentes à viga analisada pelos autores. A resistência 
à compressão do concreto foi de 39,2 MPa e a tensão de escoamento do aço de 511 MPa. 
 
Figura 9 : Esquema estrutural da viga analisada. (NOGUEIRA et. al., 2010) 
 Segundo os autores, o modelo de dano se mostrou interessante para o início da 
simulação, quando ocorre o começo da fissuração, pelo fato da mudança de rigidez do 
concreto não sofrer uma mudança brusca. Já no final da simulação, maior precisão foi obtida 
pela simulação clássica do ANSYS que leva em consideração a transferência de cisalhamento 
e outras peculiaridades do concreto. Essa conclusão pode ser verificada na Figura 10. 
Outro ponto de destaque foi ao tempo de simulação, o qual ainda deixa a desejar para 
a obtenção de bons resultados. 
Na Figura 10 está representado a curva carregamento vs flecha da viga analisada. 
 
Figura 10 : Curva carga total x deslocamento vertical do meio do vão. (NOGUEIRA et. al., 2010) 
39 
 
2.4 Características do concreto e do aço 
Para que se possa simular estruturas de concreto armado deve-se primeiro buscar 
conhecer as principais características destes materiais, que no caso são o concreto e o aço. 
Também deve-se procurar entender como se dá o trabalho conjunto destes dois materiais. 
“O trabalho conjunto do concreto e do aço é possível porque os coeficientes de 
dilatação térmica dos dois materiais são praticamente iguais”. (BASTOS, 2006) 
2.4.1 Concreto 
O concreto é um material que possui elevada resistência aos esforços de compressão, 
porém apresenta baixa capacidade de resistir aos esforços de tração. Para suprir essa 
necessidade utilizam-se armaduras, geralmente de aço, material este, que possui alta 
resistência à tração, formando assim o elemento composto concreto armado (BASTOS, 2006). 
Segundo o mesmo autor, o concreto é um material composto, constituído por 
cimento, água, agregado miúdo (areia) e agregado graúdo (brita), sendo mais comum a brita 1 
e pode conter adições e aditivos químicos, com a finalidade de melhorar ou modificar suas 
propriedades básicas. 
De acordo com a NBR 6118 (2014) o concreto estrutural deve atender três requisitos 
de qualidade, sendo elas: 
a) Capacidade resistente: relacionado à segurança à ruptura. 
b) Desempenho em serviço: a capacidade de a estrutura manter-se em condições 
de utilização por toda sua vida útil. 
c) Durabilidade: a estrutura deve suportar as ações ambientais previstas em 
projeto. 
A resistência à compressão simples do concreto é a sua “característica mecânica mais 
importante”, segundo Pinheiro (2004). Uma vez em posse deste dado, as demais 
características podem serem inferidos a partir de equações de correlação. 
O valor dado para a resistência característica do concreto (𝑓𝑐𝑘) é um valor obtido 
após uma análise estatística dentre os resultados obtidos dos ensaios do concreto, sendo este 
sempre um valor abaixo da média da resistência dos corpos de prova, assegurando 
estatisticamente que não haja pontos na estrutura com resistência inferior ao definido para 
projeto. 
Segundo Pimenta (2003), sob estados triaxiais de tensão, a pressão de confinamento 
provoca um aumento da tensão de ruptura e a ocorrência de um certo grau de ductilidade. No 
40 
 
caso de tensões hidrostáticas elevadas, a possibilidade de ocorrência de fissuras diminui e a 
ruptura ocorre poresmagamento. O fato de a resistência axial aumentar sensivelmente com o 
aumento da pressão o fenômeno de confinamento deve ser levado em consideração. 
A resistência à tração do concreto pode apresentar valores variados dependendo da 
forma de ensaio. Por isso, usam-se valores diferentes para a resistência à tação direta, 
resistência à tração indireta (compressão diametral) e resistência à tração na flexão, isso se 
deve principalmente pela ocorrência de confinamento do concreto, na qual há a ocorrência de 
tensões em outras direções, alterando a tensão de ruptura, como será visto adiante na curva de 
plastificação de Von Mises. 
2.4.2 Aço 
De acordo com Pinheiro (2004) o aço é uma mistura composta principalmente de 
ferro e de pequenas quantidades de carbono, apresentando alta resistência à compressão e 
também à tração, além de ductilidade, isto é, alta capacidade de deformação sem se romper. 
As barras e fios de aço são comercialmente vendidos de acordo com sua classe de 
resistência em kN/cm², sendo estas de CA-25, CA-50 e CA-60. 
Quando o carregamento solicitante ultrapassa as tensões resistentes do concreto este 
passa a apresentar um processo de fissuração. Para que a integridade de elementos estruturais 
não seja comprometida, passa a ser necessário o emprego de armadura de aço que serão 
responsáveis por absorver os esforços de tração que não podem mais ser resistidos pelo 
concreto fissurado. (FUSCO, 2013) 
2.5 Curvas de plastificação 
Além da fissuração e do esmagamento do concreto, o programa ANSYS também 
simula a plasticidade do concreto. A superfície de falha mais empregada para este material é a 
de Drucker-Pager, sendo que a plasticidade ocorre antes da fissuração ou esmagamento. 
Para entender melhor este critério de ruptura deve-se primeiro apresentar os 
conceitos de invariantes. 
2.5.1 Invariantes de tensão 
Seja um estado de tensões qualquer em um ponto representado pelo tensor tensão de 
Cauchy da Figura 11, então: 
41 
 
 𝜎𝑖𝑗 = [
𝜎1 𝜏12 𝜏13
𝜏12 𝜎2 𝜏23
𝜏13 𝜏23 𝜎3
] (31) 
 
Figura 11 : Componentes de tensão em três dimensões. 
Os vetores 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3 são os vetores unitários em cada uma das direções desse ponto. 
 {
𝑒1
𝑒2
𝑒3
} [
𝜎1 𝜏12 𝜏13
𝜏12 𝜎2 𝜏23
𝜏13 𝜏23 𝜎3
] = [
𝜎1 𝜏12 𝜏13
𝜏12 𝜎2 𝜏23
𝜏13 𝜏23 𝜎3
] (32) 
Um vetor tensão atuando em uma direção qualquer de um ponto, conforme Figura 
12, pode ser obtido multiplicando o vetor tensão em cada um dos planos ortogonais pelo vetor 
unitário normal ao plano n. É como se fosse encontrar as componentes de cada um dos 
vetores de tensão na direção do plano normal à este vetor tensão que se está querendo 
determinar. 
 
Figura 12 : Vetor tensão atuando sobre um plano com vetor unitário normal 𝑛. 
42 
 
 
 
Considerando o plano com vetor normal 𝑛 na qual o tensor tensão seja paralelo à este 
vetor, então, este pode ser expresso como um múltiplo de 𝑛. 
{�⃗� }3𝑥1 ⋅ [
𝜎1 𝜏12 𝜏13
𝜏12 𝜎2 𝜏23
𝜏13 𝜏23 𝜎3
]
3𝑥3
= {𝑇(𝑛)}
3𝑥1
 (33) 
 {�⃗� }3𝑥1 ⋅ 𝜆 = {𝑇
(𝑛)}
3𝑥1
 (34) 
sendo 𝜆 uma constante de proporcionalidade. 
É interessante notar que quando o vetor tensão está paralelo ao vetor normal ao plano 
trata-se do vetor tensão principal, na qual as tensões cisalhantes são nulas e as tensões 
normais são máximas em intensidade. 
 
{
�⃗� 1
�⃗� 2
�⃗� 3
}
3𝑥3
= 𝜆 [
𝑛11 𝑛12 𝑛13
𝑛21 𝜎22 𝑛23
𝑛31 𝑛32 𝑛33
]
3𝑥3
⇒ 
{
�⃗� 1
�⃗� 2
�⃗� 3
}
3𝑥3
− 𝜆{
�⃗� 1
�⃗� 2
�⃗� 3
}
3𝑥3
= 0 ⇒ 
{
�⃗� 1
�⃗� 2
�⃗� 3
}
3𝑥3
{
�⃗� 1
�⃗� 2
�⃗� 3
}
3𝑥3
− 𝜆{
�⃗� 1
�⃗� 2
�⃗� 3
}
3𝑥3
= 0 ⇒ 
{
�⃗� 1
�⃗� 2
�⃗� 3
}
3𝑥3
− 𝜆𝐼3𝑥3 = 0 ⇒ 
 [
𝜎1 − 𝜆 𝜏12 𝜏13
𝜏12 𝜎2 − 𝜆 𝜏23
𝜏13 𝜏23 𝜎3 − 𝜆
] = 0 (35) 
O determinante dessa matriz deve resultar em um valor nulo. Assim, 
 −𝜆3 + 𝐼1𝜆
2 − 𝐼2𝜆 + 𝐼3 = 0 (36) 
onde 𝐼1, 𝐼2 e 𝐼3 são denominados primeiro, segundo e terceiro invariantes de tensão, 
respectivamente. 
 𝐼1 = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 (37) 
 𝐼2 = 𝜎1𝜎2 + 𝜎1𝜎3 + 𝜎2𝜎3 − 𝜏12
2 − 𝜏13
2 − 𝜏23
2 (38) 
43 
 
 𝐼3 = 𝜎1𝜎2𝜎3 + 2𝜏12𝜏13𝜏23 − 𝜏12
2 𝜎3 − 𝜏13
2 𝜎2 − 𝜏23
2 𝜎1. (39) 
Os coeficientes denominados invariantes de tensão são valores que não variam com a 
rotação dos eixos ortogonais no ponto, portanto, independente da direção em que se analisam 
as tensões, esses coeficientes devem permanecer constantes. Tal informação é muito útil para 
se obter as tensões principais em um determinado ponto. Por exemplo, considerando um 
ponto submetido ao tensor tensão dado abaixo, em kN/m², 
𝜎 = [
5 0 4
0 0 0
4 0 5
] 
então, 
𝐼1 = 10 𝑘𝑁/𝑚² 
𝐼2 = 9 𝑘𝑁
2/𝑚4 
𝐼3 = 0 𝑘𝑁
3/𝑚6; 
Assim, sabendo que no estado de tensões principais não há esforço cisalhante, 
𝐼1 = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 = −10 
𝐼2 = 𝜎1𝜎2 + 𝜎1𝜎3 + 𝜎2𝜎3 = 9 
𝐼3 = 𝜎1𝜎2𝜎3 = 0 
têm-se uma equação de terceiro grau para se determinar as tensões principais, 
𝜎3 − 10𝜎2 + 9𝜎 + 0 = 0 
cuja solução é 
𝜎1 = 9 𝑘𝑁/𝑚²; 
𝜎2 = 1 𝑘𝑁/𝑚²; 
𝜎3 = 0 𝑘𝑁/𝑚²; 
Uma maneira alternativa de representar o estado de tensões em um ponto é pela soma 
de dois tensores, um com tensões puramente hidrostáticas e um com tensões desviatórias. 
O estado de tensões puramente hidrostático é tido como o estado na qual não haverá 
distorções no elemento, apenas variação de volume. Para que isso ocorra, as tensões em 
qualquer direção devem ser iguais. Considerando que 𝜎1, 𝜎2 e 𝜎3 sejam as tensões principais 
neste ponto, então, o tensor hidrostático pode ser representado por 
 𝜎ℎ𝑖𝑑 =
[
 
 
 
 
 
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎1
3
0 0
0
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎1
3
0
0 0
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎1
3 ]
 
 
 
 
 
 (40) 
Assim, o tensor de tensões puramente desviatórias pode ser dado por 
44 
 
 𝜎𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 = 𝜎 − 𝜎ℎ𝑖𝑑 (41) 
Ao se determinar as invariantes de tensões para as tensões que realmente causam 
distorções (𝜎𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜) determinam-se as denominadas invariantes de tensões de segunda 
ordem. 
𝐽1 = 0 (42) 
𝐽2 =
1
6
[(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎1 − 𝜎3)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2] (43) 
𝐽3 =
2
27
𝐼1
3 −
1
3
𝐼1𝐼2 + 𝐼3. (44) 
2.5.2 Interpretação física e geométrica dos invariantes 
De acordo com Carrazedo (2002) “o critério de ruptura deve ser independente do 
sistema de coordenadas adotado para representar o estado de tensão [...]. Uma maneira mais 
simples de representar o critério de ruptura é através dos invariantes de tensão 𝐼1, 𝐽2 e 𝐽3.”. 
Neste caso, segundo o mesmo autor, o primeiro invariante representa o estado 
hidrostático, na qual haverá apenas variação de volume. Já as outras duas invariantes 
representariam o estado de cisalhamento puro. 
 A interpretação geométrica pode ser dada em um espaço tridimensional em que as 
coordenadas são as tensões principais. Na Figura 13 é representado este espaço, que é 
denominado Espaço de Tensões de Haigh-Westergaard. (CARRAZEDO, 2002) 
 
Figura 13 : Espaço de tensões de Haigh-Westergaard (CHEN, 1982) 
45 
 
O eixo hidrostático corresponde ao estado em que todas as tensões principais são 
iguais. Os planos perpendiculares ao eixo hidrostático são os planos desviatórios. O estado de 
tensões representado pelo vetor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ pode ser decomposto em duas componentes, uma 
hidrostática e outra desviatória, indicados na figura por 𝜉 𝑒 𝜌, respectivamente. Ou seja, pode-
se dizer que quanto mais afastado do eixo hidrostático, maiores serão as distorções no ponto 
em relação à deformação volumétrica. 
2.5.3 Critérios de ruptura de Mohr-Coloumb 
Este critério é geralmenteusado para modelar concreto, solos ou outros materiais 
granulares. 
O critério de ruptura de Mohr-Coloumb é definido a partir de dois parâmetros, o 
ângulo interno das partículas e a coesão. A equação correlaciona a tensão de cisalhamento de 
ruptura com a tensão de ruptura. 
 |𝜏| = 𝑐 + 𝜎 𝑡𝑔(∅) (45) 
Considerando o espaço com os eixos sendo as tensões principais, constrói-se as 
superfícies de ruptura apresentadas nas Figuras 14 e 15. 
 
 
Figura 14 : Superfície de ruptura de Mohr-Coloumb para o estado triaxial de tensões. 
46 
 
 
Figura 15 : Superfície de ruptura de Mohr-Coloumb para o estado biaxial de tensões. 
Segundo Carrazedo (2002), a superfície de ruptura de Morh-Coloumb tem cantos que 
causam dificuldades na obtenção de soluções numéricas. 
2.5.4 Critério de ruptura de Drucker-Prager 
O critério de Drucker-Prager é expresso, em termos de invariantes, por: 
 𝐼1𝑘1 +√𝐽2 + 𝑘2 = 0 (46) 
onde 𝑘1 e 𝑘2 são constantes determinadas a partir do conhecimento de dois estados de tensões 
de ruptura do material. 
Pode-se observar da Figura 16 que ocorre uma suavização da superfície de ruptura, 
facilitando a simulação numérica. 
 
Figura 16 : Superfície de ruptura de Drucker-Prager para o estado biaxial de tensões. 
47 
 
Supondo o corpo de prova cilíndrico do teste à compressão que será feito para 
determinar o 𝑓𝑐𝑘 médio do concreto, então, pode-se determinar dois pontos de ruptura do 
material: 
 𝜎1 = 𝜎𝑐 𝑒 𝜎2 = 𝜎3 = 0; 
 𝜎3 = 𝜎𝑡 𝑒 𝜎1 = 𝜎2 = 0. 
Agora, transformando isso em deformações do material, têm-se: 
𝜀1 = −𝜀𝑐 𝑒 𝜀2 = 𝜀3 = 𝑣𝜀𝑐; 
 𝜀3 = 𝜀𝑡 𝑒 𝜀1 = 𝜀2 = −𝑣𝜀𝑡. 
Aplicando na equação 46, considerando as invariantes de deformações, chega-se à 
um sistema de duas equações lineares: 
−𝜀𝑐(1 − 2𝑣)𝑘1 +√
𝜀𝑐2(1 + 𝑣)2
3
 + 𝑘2 = 0 
𝜀𝑡(1 − 2𝑣)𝑘1 +√
𝜀𝑡
2(1 + 𝑣)2
3
 + 𝑘2 = 0. 
A solução para o sistema é a seguinte: 
 𝑘1 =
(𝜀𝑐 − 𝜀𝑡)(1 + 𝑣)
√3(𝜀𝑐 + 𝜀𝑡)(1 − 2𝑣)
 (47) 
 
 𝑘2 = −
2𝜀𝑡𝜀𝑐(1 + 𝑣)
√3(𝜀𝑐 + 𝜀𝑡)
. (48) 
2.5.5 Critério de ruptura de Willam & Warnke 
O critério de ruptura utilizado pelo programa ANSYS para analisar o concreto é o de 
Willam & Warnke quando o material está submetido à compressão em todos os planos 
principais. 
A sua equação de ruptura está em função da primeira invariante 𝐼1, o qual comporta 
apenas a variação volumétrica e as duas invariantes de segunda ordem 𝐽2 e 𝐽3, os quais 
indicam distorção do elemento. Além das invariantes, parâmetros da resistência à compressão 
e à tração do concreto e outros parâmetros de ruptura são utilizados na formulação do critério. 
Na Figura 17 as linhas contínuas e tracejadas são curvas definidas pela fórmula de 
ruptura de Willam & Warnke a partir de diferentes parâmetros e os pontos são dados de dois 
experimentos diferentes realizados. 
 
48 
 
 
Figura 17 : Critério de ruptura de Willam & Warnke no estado biaxial de tensões. 
(WILLAM; WARNKE, 1974) 
Kunzler (2013) cita como vantagens ao usar o modelo de Willam e Warnke para 
modelar o concreto: 
a) Boa precisão quando comparado com dados experimentais; 
b) Fácil identificação dos parâmetros para testes; 
c) Superfície suave, sem variações bruscas da tangente à superfície; 
d) Convexidade. 
2.5.6 Critério de ruptura utilizado nas simulações do concreto via ANSYS 
No software ANSYS, a curva de ruptura utilizada é parcialmente de Willam & 
Wrankie e de Mohr-Coloumb. A Figura 18 representa a curva utilizada pelo software. 
49 
 
 
Figura 18 : Superfície de falha para o estado “triaxial” de tensões utilizada pelo software ANSYS no 
concreto. (Mechanical APDL Theory Reference, 2015) 
Nota-se na Figura 18, que quando há uma tensão ocorrendo também no eixo terciário 
(𝜎𝑧𝑝), esta pode aumentar ou diminuir a tensão de ruptura do concreto na compressão, 
alterando a superfície de ruptura no estado biaxial de tensões. 
2.6 Teoria de Von Mises 
Também denominada de teoria da energia de distorção máxima, nesta teoria, 
considera-se que o escoamento ocorre quando a energia associada à mudança de forma de um 
corpo sob carregamento multiaxial será igual à energia de distorção em um corpo quando o 
escoamento ocorre na tensão de escoamento uniaxial (LIMA, 2008). A sua curva de 
plastificação possui forma de elipse e está demonstrada na Figura 19. 
50 
 
 
Figura 19 : Elipse de falha para a teoria da energia de distorção máxima no estado biaxial de tensões. (LIMA, 
2008) 
Segundo a teoria de Von Mises, um corpo não irá se plastificar a partir de 
deformações volumétricas, levando isso em consideração, apenas as tensões que causam 
distorção no elemento são usados nos seus cálculos. 
Sendo a densidade de energia de deformação devido ao carregamento multiaxial 
dado por 
 𝑈0 =
1
2𝐸
[𝜎1
2 + 𝜎2
2 + 𝜎3
2 − 2𝜈(𝜎1𝜎2 + 𝜎1𝜎3 + 𝜎2𝜎3)] (49) 
e substituindo estas tensões principais pelas tensões de distorção principais, chega-se à 
𝑈𝑑 =
1 + 𝜈
6𝐸
[(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎1 − 𝜎3)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2] ⇒ 
 𝑈𝑑 =
1
12𝐺
[(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎1 − 𝜎3)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2] (50) 
Considerando o caso do ensaio de um corpo de prova no qual há apenas tração 
uniaxial e, este se rompe ao atingir a tensão de 𝜎𝑦, então a sua energia de ruptura foi de 
 𝑈𝑑,𝑢𝑛𝑖𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 =
𝜎𝑦
2
6𝐺
 (51) 
Sendo assim, igualando para os dois estados de tensões, 
2𝜎𝑦
2 = (𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎1 − 𝜎3)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2 ⇒ 
 𝜎𝑦 = √3𝐽2 (52) 
No software ANSYS existe a possibilidade de visualizar as tensões no objeto 
analisado a partir da tensão equivalente apresentado na equação 50, o qual, nada mais é que a 
tensão de Von Mises calculada a partir das tensões principais em cada ponto. 
Apesar da teoria ter sido apresentada para indicar um critério de ruptura de materiais, 
este não serve para a superfície de ruptura do concreto, uma vez que o concreto apresenta 
tensões resistentes diferentes para compressão e para a tração. 
51 
 
Aqui, a teoria de Von Mises será usada apenas para simplificar a visualização do 
estado de tensões em um ponto, sendo possível comparar esta tensão equivalente com a tensão 
resistente à compressão e à tração do concreto, verificando a ocorrência da sua ruptura ou não. 
 
52 
 
3 MATERIAS E MÉTODOS 
Por se tratar de uma calibração de simulação computacional é essencial que haja 
ensaios e referências para a obtenção dos dados de entrada e experimentos para a comparação 
dos resultados. O principal dado de entrada que foi obtido através de ensaios é a resistência à 
compressão do concreto, uma vez que os demais dados podem ser inferidos através de 
equações obtidos por normas. Os experimentos utilizados para comparação são realizados 
para fins didáticos em aulas das disciplinas de concreto armado, são eles o ensaio de ruptura 
por flexão, falha ao cisalhamento e ruptura por torção e, através dos dados dos ensaios, foi 
feita uma análise comparativa entre resultados de ensaio, cálculos teóricos e simulações 
computacionais. 
Para a modelagem dos experimentos foi utilizado o software ANSYS, o qual se 
baseia no método dos elementos finitos. 
3.1 Dados de entrada dos materiais 
O concreto armado é um material compósito. Para que se possa simular estruturas de 
concreto armado deve-se primeiro buscar conhecer as principais características destes 
materiais, que no caso são o concreto e o aço. Também se deve procurar entender como se dá 
o trabalho conjunto destes dois materiais. 
A seguir constam os principais parâmetros a serem utilizados nas simulações por 
computador e como estes são obtidos. 
3.1.1 Concreto 
a) Massa específica