Lista 3 Álgebra Grupos

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Lista 3 - Grupos
1. Em cada ı´tem julgue e justifique se temos um grupo ou na˜o.
(a) (Z−,+) (b) (Z+, ·) (c) (2Z,+) (d) (2Z+ 1, ·) (e) ({−2,−1, 0, 1, 2},+)
(f) ({−1, 1}, ·) (g) (Z, ∗), em que x ∗ y = x− y
2. Mostre que (R, ∗), em que x ∗ y = x+ y − 3 e´ um grupo abeliano.
3. Mostre que (R×R−{(0, 0)}, ∗), em que (a, b)∗ (c, d) = (ac−bd, ad+bc) e´ um grupo abeliano.
4. Mostre que (Q∗ ×Q, ∗), em que (a, b) ∗ (c, d) = (ac, bc+ d) e´ um grupo.
5. Construa a ta´bua da operac¸a˜o ∗ sobre G = {e, a}, sabendo que (G, ∗) e´ um grupo.
6. Construa a ta´bua da operac¸a˜o ∗ sobre G = {e, a, b}, sabendo que (G, ∗) e´ um grupo.
7. Construa a ta´bua de um grupo G = {e, a, b, c, d, f}, sabendo que: G e´ abeliano, o neutro de
G e´ e, a · d = b · c = f , a · c = b · b = d, a · f = b · d = e e c · d = a.
8. Sejam G um grupo e a, b, c ∈ G. Mostre que (a · b · c)−1 = c−1 · b−1 · a−1.
9. Resolva as seguintes equac¸o˜es em S3.
(a) α · β · x · β = γ (b) α · x · β · θ · x = α · β · x (c) x · δ · x = β5 · α−1
(d) (δ2016x)−1 = (αθ)2015 (e) (α · β · x · β)2 = γ−1
10. Seja G um grupo, tal que x2 = e, qualquer que seja x ∈ G. Mostre que G e´ um grupo abeliano.
11. Sejam G um grupo finito e a ∈ G. Mostre que existe um inteiro natural n ≥ 1, tal que xn = e.
12. Seja G um conjunto finito e munido de uma operac¸a˜o ∗, que e´ associativa e satisfaz as duas
leis do cancelamento. Mostre que (G, ∗) e´ um grupo.
13. Seja G um grupo abeliano e n um inteiro positivo. Mostre que (a · b)n = an · bn.
14. Seja G um grupo, tal que (a · b)2 = a2 · b2, quaisquer que sejam a, b ∈ G. Mostre que G e´
abeliano.
15. Em S3, deˆ um exemplo de dois elementos a e b, tais que (a · b)2 = a2 · b2. Em vista da questa˜o
anterior, podemos concluir que S3 e´ abeliano?
16. Em S3 treˆs elementos satisfazendo x
3 = e.
17. Seja G um grupo com treˆs elementos. Mostre que G e´ abeliano. Refazer esse exerc´ıcio para 4
e a seguir, para 5 elementos.
18. Seja G um grupo, tal que todo elemento e´ seu pro´prio inverso. Mostre que G e´ abeliano.
19. Seja G um grupo de ordem par. Mostre que G possui um elemento a 6= e, tal que a2 = e.
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