Física IV Aula 6 Ondas Eletromagnéticas II

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Física IV (CET106): 
Equações de Maxwell e as Ondas 
Eletromagnéticas 
Prof. Leandro Cerqueira Santos 
CETEC-UFRB 
Equações de Maxwell 
Lorentz de Força
 Maxwell- Amperede Lei
nzFaraday/Le de Lei 
Magnetismo P/ Gauss de Lei
 Gauss de Lei













BvqEqF
dt
d
ildB
dt
d
ldE
SdB
q
SdE
E
C
B
C
S
B
S
E





000
0
int
0


• Forma integral das equações de Maxwell 
• Teorema de Gauss: 
 
 
• O fluxo do campo vetorial F através da superfície S é igual ao 
divergente de F no volume V. 
• Teorema de Stokes 
 
 
• A circulação do campo vetorial F no caminho C é igual ao “fluxo” 
do rotacional de F através da superfície S 
• Identidade: 
Equações de Maxwell 
  
SV
SdFdVF

 
CS
ldFSdF

FFF

2)()( 
• Forma diferencial das equações de Maxwell 
 
 
 
 
 
 
 
• Em que, ρint é a densidade de carga e j densidade de corrente. 
Equações de Maxwell 
 Maxwell- Amperede Lei
nzFaraday/Le de Lei 
Magnetismo P/ Gauss de Lei
 Gauss de Lei










t
E
jB
t
B
E
B
E






000
0
int
0



Equações de Maxwell 
t
E
B
t
B
E
B
E














00
0

 0
• Na ausência de fontes (vácuo): 
 
 
• As Equações de Maxwell no vácuo ficam: 
 00int  j

 
 
t
E
jB
t
B
E
B
E














000
0
int
0



• Aplicando o rotacional na lei de faraday: 
 
 
• o lado esquerdo leva ao seguinte resultado: 
 
 
 
• o lado direito leva à: 
Equações da Onda Eletromagnética 









dt
Bd
E


)(
 
2
2
00
t
E
B
dt
d
dt
Bd














  
 
E
EEE




2
2)(
 
0 

• Combinando os resultados: 
 
• explicitando as coordenadas do Laplaciano, teremos: 
 
 
• para o caso particular em que E=Ey(x,t): 
 
 
• que é uma equação de onda do tipo: 
Equações da Onda Eletromagnética 
t
E
E




 2
00
2  
2
2
002
2
2
2
2
2
t
E
z
E
y
E
x
E












 
2
2
002
2
t
E
x
E yy





 
2
2
22
2 1
t
f
vx
f





 
cv 
00
1

 
• Velocidade da onda 
eletromagnética no 
vácuo. 
• De forma semelhante, podemos mostrar que o campo magnético 
também satisfaz a equação da onda do tipo (Mostre !!!! ): 
 
 
• Uma solução para essas equações são funções do tipo (Mostre !!!! ): 
 
 
• essas soluções são chamadas de ondas harmônicas (ou planas) 
monocromáticas (depende apenas de uma frequência). 
Equações da Onda Eletromagnética 
t
B
B




 2
00
2  
)cos(),(
)cos(),(




tkxBtxB
tkxEtxE
M
M
• Observações: 
 
 
• k é o número de onda 
• ω frequência angular 
• ϕ constante de fase arbitrária 
Onda Eletromagnética 
)cos(),(
)cos(),(




tkxBtxB
tkxEtxE
M
M
• Uma onda eletromagnética harmônica, monocromática, plana propaga-
se na direção positiva do eixo y e tem seu campo elétrico vibrando na 
direção do eixo z com amplitude de 12.104 N/C, comprimento de onda 
de 6000 Å e período de 2.10-15 s. Sabendo que podemos escrever os 
campos como: 
 
 
 
 
• Escreva as funções de onda do campo elétrico (Ex, Ey, Ez) e do 
magnético (Bx, By, Bz), explicitando os valores de E0, B0, k e ω. 
 
• Faça um esboço dessa onda em um sistema de referência 
cartesiano, explicitando as direções dos Campos e do vetor 
velocidade. 
Ex.: 
?ˆ)?ˆcos(?ˆ),(
ˆ)cos(ˆ),(
tkBtxBB
jtkyEjtzEE
M
M





