Lista1_Exercícios

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Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 
 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Curitiba 
Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT 
Primeira Lista de Exercícios 
Disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear Código: MA71B 
Assunto: Matrizes e Determinantes, Sistemas de Equações Lineares, e Álgebra Vetorial. 
 Professor: Luiz Fernando Nunes 
OBS: Esta lista foi desenvolvida apenas para auxiliar os alunos a se prepararem para a 
primeira prova. Não é necessário entregá-la ao professor. 
1 Matrizes e Determinantes: 
1. Sendo A = 
2 1
3 0
2 -1










 ; B = 2 3
1 5






 ; C = 





1 0 5
 4 3 1
, encontre, se existir, a matriz X 
para cada situação a seguir: 
 a) A.X = C T 
 b) A + C T = X . B 
 c) X = C T . AT 
2. Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o 
valor de x na equação det (2.A.A T ) = 4x ? 
3. Seja a matriz quadrada A = [a
ij
] de ordem 2, tal que 











j i se 
j+i
sen 
j = i se 
.2
 cos
 = 
ji
aij . 
Calcule o determinante de A. Se det A0 ache A 1 . 
4. Dada a matriz A = 
1 2 7
0 3 1
0 5 2










, ache (A 1 ) T e (A T ) 1 . 
 Conclua que (A 1 )T = (A T ) 1 . 
5. Encontre as matrizes 






 tz
y x
 que comutam com a matriz 






1 0
1 1
, isto é, ache as 
matrizes 






 tz
y x
, tais que 






 tz
y x
.






1 0
1 1
=






1 0
1 1
.






 tz
y x
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2 
6. Encontre a matriz inversa da matriz A, utilizando operações elementares com linhas, 
sendo A = 










 831
121
210
. 
7. Dada a matriz A, resolva a equação: 
AAXA T 1
 e ache X para A = 










 8 3 1
1 2 1 
2 1 0
. 
8. Ache os valores dos seguintes determinantes: 
 a) 
3 3 0 1
0 4 0 0 
2 1 0 5 
 1 2 4 3 


 b) 
0 a b 1 
b 0 a a 
0 0 1 0 
 1 b a 0 
 
2 Sistemas de Equações Lineares: 
9. Determine o valor de m para que o sistema seja indeterminado: 
 








043
054
03
zy
mzyx
zymx
 
10. Discuta o sistema em função dos parâmetros a e b 
 








bzyx
zyx
azyx
4
123
532
 
11. Dado o sistema linear 








5 2 2 
64 
31253
wzy
wzyx
wzyx
 
 a) Discuta a solução do sistema. 
 b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 neste sistema e encontre um valor de k 
que o torne incompatível. 
12. Resolver os sistemas de equações lineares, reduzindo-os à forma escalonada. 
a) 








934
12
42
zyx
zyx
zyx
 
b) 








034
23
32
zyx
zyx
zyx
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3 
c) 








0245
02
03
zyx
zyx
zyx
 
d) 








122
32
2
zyx
zyx
zyx
 
13. Discutir os sistemas abaixo, reduzindo-o à forma escalonada. 
 a) 








23
332
1
zayx
azyx
zyx
 
b) 








2
22
44
222
4
bzyx
abazyx
azayx
 
3 Vetores: 
Seja E = (
i
 , 
j
 , k ) uma base ortonormal dextrógira. 
14. Calcule || 2
vu

4 + 
|| ², sabendo que ||
u
 || = 1 e ||
v
 || = 2, e a medida em radianos do 
ângulo entre 
v
 e 
u
 é 2
3
 . 
15. Ache 
v
 tal que ||
v
 || = 3
3
, e seja ortogonal a 
E1)3, (2, = u

 e a 
Ew )6,4,2( 

 
16. Ache um vetor unitário ortogonal a 
u
 = (1,3,1)
E
 e a 
v
 = (3,3,3)
E
 
17. A medida em radianos entre 
u
 e 
v
 é de 2
3
 . Sendo ||u || = 1 e || v || = 7, calcule: 
 ||
u

 v
 || ² e ||
vu

4
3
3
1

|| 
18. Dados 
u
 = 3
i
 2
j
 +6 k ; v =  3 i 5 j + 8 k e w = i + k , calcule: 
 a ) a área do paralelogramo construído sobre 
u
 e 
v
 ; 
 b) o volume do paralelepípedo construído sobre 
u
 , 
v
 e 
w
 ; 
 c) a altura do paralelepípedo. 
19. Calcular os valores de m para que o vetor 
u
 +
v
 seja ortogonal a 
w
  
u
 onde: 
 
u
 = (2, 1, m)
E
; 
v
 = (m+2, 5, 2)
E
 e 
w
 = (2m, 8, m)
E
 
20. Resolva o sistema 






kikjix
kjix


22
9432
)(
).( 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 4 
___________________________________________________________________________ 
Respostas: 
Matrizes e Determinantes: 
1. a) Não existe b) 












35
7
3
7
12
10
X c) 













91511
303
632
X
 
2. x = 32 
3. 
4
3
Adet
 . 













3
4
3
32
3
32
0
1A 
4. (A 1 ) T = (A T ) 1 =












3119
5231
001
. 
5. 






 x0
y x
 
6. 














1 1 5 
2 2 9
3 2 31
1A
 
7. 
 TAAX 12 
 e X = 













119 233 318
15 31 39 
30 59 80
 
8. a) -208 b) 
22 ba 
 
Sistemas de Equações Lineares: 
9. m = 2 ou m =
3
26

 
10. 








...
...
..
DPSba
IPSba
ISba
qualquere3Se
4e3Se
4e3Se
 
11. a) S.P.I. b) 
1k
 
12. a) O sistema é S.P.I. Assim, para cada 
z
, temos: 
3
57 z
x


 e 
3
5 z
y


, ou, a 
solução é a tripla 





 
z
zz
,
3
5
,
3
57
. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 5 
b) Sistema Impossível. 
c) Após o escalonamento restam 3 equações com 3 incógnitas, logo o sistema é S.P.D., 
e a solução é: x = y = z = 0. 
d) x = 4, y = 1 e z =3 
13. a) 








...2e3Se
...2Se
..3Se
DPSaa
IPSa
ISa
 
b) A discussão se divide em 3 casos: 
 Para a ≠ 4 e a ≠ 
1 
 S.P.D. 
 Para a = 4: 
b = 8 ou b = 
2 
S.P.I. 
b ≠ 8 e b ≠ 
2 
 S.I. 
 Para a =
1
 
b = 
2
 ou b = 
2
1 
S.P.I. 
b ≠
2
 e b ≠ 
2
1 
S.I. 
Vetores: 
14. 52 
15. 
)( kjiv

 3
 
16. 
)( kjiv

 2
6
1
 
17. 
4
147
 e 
8
37 , respectivamente. 
18. a ) 49 b) 7 c) 
7
1
 
19. 
6m
 ou 
3m
 
20. 
kjix

