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P3 - Probabilidade e Estatística – 2012.1 Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. Professores: Reinaldo Souza & Roxana C. Contreras Problema 1 (2.0 pts) 1.1- (0.4 pt) O que vem a ser um “estimador” e uma “estimativa” de um parâmetro. 1.2- (0.4 pt) e a = (X1, X2,... Xn), n observações de uma v.a. X. Qual a condição que estas observações devem satisfazer para que ela seja considerada uma amostra aleatória. 1.3- (0.4 pt) Existe diferença entre Probabilidade e verossimilhança? Explique? 1.4- (0,8 pt) Mostre que se e são v.a. estatisticamente independentes, então . Problema 2 (3.0 pts) Sejam e v.a.'s contínuas com densidade conjunta: a) (0.6 pt) Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade. b) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . c) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . d) (0.6 pt) Encontre a densidade condicional de dado . e) (0.6 pt) e são independentes? Por que? Justifique. RESPOSTA a) (0.6 pt) Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade. 1.).,(),( 0 0 dydxyxfyxf c=16 b) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 2 ..2)( xexxf c) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 2 ..2)( yeyyf 0 ,0 para ,.... 4 1 , 22 yxeyxcyxf yx 0 ,0 para ,...4, 22 yxeyxyxf yx d) (0.6 pt) Encontre a densidade condicional de dado . 2 ..2)( yeyyYXf e) (0.6 pt) e são independentes? Por que? Justifique. Conclusão: )().(),( yfxfyxf , então, X e Y são independentes. Problema 3 ( 2.0 pts ) Você é contratado pra auditar a pesquisa sobre as intenções de voto do segundo turno da eleição presidencial de 2010. a) (1.0 pt) determine qual a melhor maneira de estimar a proporção de eleitores que votam em um determinado candidato “A” entre os dois candidatos eleitos “A” e “B” para o 2º turno. . Nesse sentido, você deve mostrar a dedução do estimador de máxima verossimilhança para tal parâmetro (proporção), mostrar todos os passos da solução. ~ binomial (n,Ɵ), n conhecido F(x) = p( |n,Ɵ) = xnx x n 1.. RESPOSTA n X MV ˆ b) (1.0 pts) A pesquisa da Datafolha divulgou uma semana antes da eleição o seguinte resultado: a proporção dos eleitores que votam no candidato “A” é de 53% com uma margem de erro de ±3 (pontos percentuais), isso significa que o intervalo de confiança é IC=[50% , 56%]. Também foi divulgado que o número de pessoas ouvidas foi de 1200 pessoas. Deduza o grau de confiança (1-α) empregado nesta pesquisa, utilizando o Teorema Central do Limite. RESPOSTA [1-α] = 1 – 0,0372 = 0,9628 = 96,28% Problema 4 ( 3.0 pts) a) (1.0 pts) Estuda-se um certo processo químico com o objetivo de tentar aumentar a produção de um certo composto. Atualmente usa-se na produção um certo tipo de catalisador “A”, mas um outro tipo de catalisador “B” é aceitável. Faz-se uma experiência com n = 16 tentativas para o catalisador “A” e n = 18 tentativas para o catalisador “B”. As médias e os desvios padrões amostrais são: Catalisador “A”: A = 88,52 SA= 1,96 Catalisador “B” B = 92,38 SB = 2,01 Pede-se: Encontre o Intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois catalisadores (μA – μB) ao nível de significância de 93%. Pelo resultado pode-se afirmar que a média do catalisador “A” é estatisticamente menor do que a média do catalisador “B”? RESPOSTA = 0,6826 [ -5,096 ; -2,624 ] Note que este intervalo não inclue o zero, isso indica que existe diferença real na produção média usando os catalisadores A e B. Ao nível de significancia de 93%, a média do catalizador A é estatisticamente menor do que a média do catalizador B. b) e a uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média “μ” e Variância “σ2”, ambas desconhecidas. e a = (3, 7, 2, 4, 4, 9, 6, 5), uma amostra aleatória de tamanho 8 desta população: Pede-se: (1.0 pt) O intervalo de confiança ao nível de significância de 98%, para “S2”. RESPOSTA S 2 = 5,14 n=8 [ 1,947 ; 29,04 ] BOA SORTE!!! 2 S.1S.1 . 11 2 B 2 A mn mn mn R IC IC FORMULÁRIO PARA PROVA Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) Função de probabilidade: Média e Variância: E(X) = p VAR(X) = p.q = p.(1-p) Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) Função de probabilidade: Média e Variância: E(X) = n.p VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) Função de probabilidade: Média e Variância: E(X) = 1/p VAR(X) = q/p2 Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) Função de probabilidade: Média e Variância: E(X) = r/p VAR(X) = r.q/p2 Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) Função de probabilidade: Média e Variância: E(X) = μ VAR(X) = μ Distribuição Exponencial - X ~ Exp(λ) Função de probabilidade: Média e Variância: E(X) = 1/λ VAR(X) = 1/λ2 1)Pr()( 1 xx ppxXxf )1( )!(! ! )1(Pr)( xnxxnx pp xnx n pp x n xXxf .pp)-(1 .)Pr()( 1-x1 pqxXxf x .. 1 1 )Pr()( rxr qp r x xXxf ! )Pr()( x e xXxf x 0 e 0 onde .exp.)( xxxf Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) Função de probabilidade: Média e Variância: E(X) = μ VAR(X) = σ2 Se X ~ N(μ,σ2) )1,0(~ N X Z Intervalos de Confiança - onde a e b são tirados da tabela qui- quadrado com (n-1) graus de liberdade R 0 onde . 2 1 )( 22 2 2 2 eexf x n zX n zX n zXIC 2/12/12/1 ; n s tX n s tX n s tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; )ˆ1(ˆ ˆ , )ˆ1(ˆ ˆ )ˆ1(ˆ ˆ 2/12/12/1 n pp zp n pp zp n pp zpIC RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ; 2 )1()1(11 22 2 1 mn SnSm mn R 1]/)1(/)1Pr[( 222 aSnbSn 1 .. a u a e dueu au au Tabelas
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