Exercícios 1,2,3e4 Algebra linear

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Apol 1 Álgebra Linear
Questão 1/10
Dois amigos foram a uma lanchonete. Um deles comprou um sanduíche e dois sucos e pagou R$ 18,00. O outro comprou dois sanduíches e um suco, totalizando R$ 21,00.
A partir dessas informações, determine o preço de cada sanduíche e o preço de cada suco.
	
	A
	O preço do sanduíche é R$ 8,00 e o preço do suco é R$ 5,00.
Você acertou!
Denominando x o preço do sanduíche e y o preço do suco, temos o seguinte sistema:
Logo, a matriz ampliada é:
Logo, x=8 e y=5.
Portanto, o preço do sanduíche é R$ 8,00 e o preço do suco é R$ 5,00.
	
	B
	O preço do sanduíche é R$ 6,00 e o preço do suco é R$ 7,00.
	
	C
	O preço do sanduíche é R$ 8,00 e o preço do suco é R$ 6,00.
	
	D
	O preço do sanduíche é R$ 10,00 e o preço do suco é R$ 4,00.
Questão 2/10
O método dos mínimos quadrados linear consiste em encontrar a reta y=ax+b que melhor se ajusta a um conjunto de pontos dados. Como na maioria das vezes o sistema Ax=d é sobredeterminado, é possível multiplicar a equação por AT, o que resulta em AT.Ax= AT.d. Considere uma empresa de conversores de TV digital que apresenta as seguintes vendas em milhares de unidades nos quatro primeiros meses do ano:
Sabendo que ,  e que , encontre a equação da reta que melhor se ajusta aos dados.
	
	A
	y=2x+3
	
	B
	y=x+1,5
	
	C
	y=0,5x+1,5
Você acertou!
Para encontrarmos os valores de a e b, basta resolvermos o sistema
onde,
a=1/2=0,5 e b=3/2=1,5
Logo, y=0,5x+1,5
	
	D
	y=1,5x+1,5
Questão 3/10
Em uma gaveta há 25 moedas totalizando R$ 3,25. Se nessa gaveta há apenas moedas de R$ 0,10 e de R$ 0,25, quantas moedas de R$ 0,25 há nessa gaveta?
	
	A
	3
	
	B
	5
Você acertou!
Fazendo x o número de moedas de R$ 0,10 e y o número de moedas de R$ 0,25, temos:
onde,
Logo, x=20 e y=5.
	
	C
	7
	
	D
	9
Questão 4/10
Considere o sistema linear
Sobre esse sistema, podemos afirmar que:
I. É um sistema homogêneo.
II. Apresenta como solução x=2 e y=5.
III. É um sistema impossível.
IV. É um sistema possível e indeterminado.
São corretas as afirmações
	
	A
	I e II, apenas
	
	B
	III, apenas
	
	C
	IV, apenas
Você acertou!
Como a segunda equação é igual à primeira equação multiplicada por 5, temos que o sistema possui as duas equações linearmente dependentes. logo, o sistema é possível e indeterminado.
	
	D
	I, II e III, apenas
Questão 5/10
Uma indústria produz dois modelos de tapetes de borracha. O modelo A tem 1 m2 e o modelo B tem 2 m2. O total de borracha que está disponível é de 700 m2 e a produção total tem que ser de 500 unidades. 
Quantas unidades de cada modelo devem ser produzidas para que toda a borracha seja utilizada e a produção total seja atendida?
	
	A
	400 unidades do modelo A e 100 unidades do modelo B.
	
	B
	300 unidades do modelo A e 200 unidades do modelo B
Você acertou!
Denominando x quantidade de tapetes do modelo A e y a quantidade de tapetes do modelo B, temos o seguinte sistema:
Logo, a matriz ampliada é:
Logo, deverão ser produzidas 300 unidades do modelo A e 200 unidades do modelo B.
	
	C
	200 unidades do modelo A e 300 unidades do modelo B.
	
	D
	250 unidades do modelo A e 250 unidades do modelo B
Questão 6/10
Dadas as matrizes A, B e C, calcule a matriz resultante de  2A – 3B + 4C:
	
	A
	
Você acertou!
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
Questão 7/10
Considere o ponto A=(2, 5) e a matriz transformação . Fazendo BT= T.AT, ou seja, , quais são as coordenadas do ponto B?
	
	A
	B=(-7, 7)
	
	B
	B=(-3, 3)
Você acertou!
	
	C
	B=(3, -3)
	
	D
	B=(7, -7)
Questão 8/10
A tabela a seguir apresenta o preço de três produtos pesquisados em três diferentes lojas:
A partir dessa tabela, temos a matriz de preços:
Analisando a matriz P podemos afirmar que:
I. O preço do produto 1 na loja 2 é igual a 94.
II. O preço do produto 3 na loja 1 é igual a 72.
III. A soma dos três produtos na loja 2 é igual a 194.
IV. A soma dos preços dos três produtos na loja 1 é maior do que a soma dos três produtos na loja 3.
São verdadeiras as afirmações
	
	A
	I e III, apenas.
	
	B
	II e III, apenas.
Você acertou!
I. O preço do produto 1 na loja 2 corresponde ao elemento p12. Logo, é igual a 19. Portanto, a afirmação é falsa.
II. O preço do produto 3 na loja 1 corresponde ao elemento p31. Logo, é igual a 72. Portanto, a afirmação é verdadeira.
III. Somando os preços dos produtos na loja 2 temos 19+98+77=194. Portanto, a afirmação é verdadeira.
IV. Somando os preços dos produtos na loja 1 temos 21+94+72=187 e somando os preços dos produtos na loja 3 temos 27+93+68=188. Logo, a soma dos preços na loja 1 é menor do que a soma dos preços na loja 3. Portanto, a afirmação é falsa.
	
	C
	I, II e III, apenas.
	
	D
	I e IV, apenas.
Questão 9/10
Os preços de alguns produtos importados, em dólar, estão armazenados na matriz
Se cada dólar corresponde a R$ 4,00, qual é o preço em reais do produto cujo preço está ocupando a posição a32 da matriz?
	
	A
	120
	
	B
	164
	
	C
	194
	
	D
	208
Você acertou!
a32=52
4.a32=4.52
4.a32=208
Questão 10/10
Dadas as matrizes A, B e C (ver abaixo),  analise cada proposição dada a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois escolha a alternativa correta.
( ) A matriz A está na forma escada reduzida por linhas.
( ) A matriz B está na forma escada reduzida por linhas.
( ) A matriz C está na forma escada reduzida por linhas.
( ) as três matrizes, A, B e C, estão na forma escada reduzida por linhas.
	
	A
	V V V F
	
	B
	V F F V
	
	C
	F F V V
	
	D
	V V F F
Você acertou!
Resolução:
Somente as matrizes A e B são matrizes na forma escada reduzida por linhas, pois atendem a todas as condições de uma matriz escalonada – as colunas que contêm pivô na matriz C deveriam ter todos os demais elementos iguais a zero, o que não é o caso.
	
Apol 2 
Questão 1/10
Classifique o sistema a seguir:
	
	A
	Sistema Impossível - SI
Você acertou!
	
	B
	Sistema Possível e Determinado - SPD
	
	C
	Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 1 - SPI
	
	D
	Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 2 - SPI
Questão 2/10
Classifique o sistema a seguir:
	
	A
	Sistema Impossível - SI
	
	B
	Sistema Possível e Determinado - SPD
	
	C
	Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 1 - SPI
Você acertou!
	
	D
	Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 2 - SPI
Questão 3/10
Ao resolver corretamente um sistema de equações lineares pelo Método de Gauss-Jordan, um engenheiro encontrou a matriz “A” mostrada mais abaixo. Em relação à essa matriz “A”, analise as proposições abaixo, marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois assinale a alternativa correta:
 
Matriz “A” = 
 
(   ) O sistema é Possível e Determinado, pois seu grau de liberdade é 0;   
(   ) O sistema é Possível e Indeterminado, pois seu grau de liberdade é 1;
(   ) O sistema é Impossível, pois foi obtida uma equação falsa;
(     )  Uma solução do sistema é: (1, 2, 0)
	
	A
	V V V V
	
	B
	V F F V
	
	C
	V F F F
Você acertou!
Resolução:
i) VERDADEIRO: o grau de liberdade do sistema é igual a 0 (todas as colunas da matriz dos coeficientes possuem pivô) e pode ser classificado como SPD.
ii) FALSO: afirmativa falsa porque contraria a primeira, que é verdadeira.
iii) FALSO: afirmativa falsa porque contraria a primeira, que é verdadeira.
iv) FALSO: O terno ordenado apresentado não é uma solução para o sistema, até porque, o sistema possui duas incógnitas – portanto, suas soluções são pares ordenados (possuem duas coordenadas e não três).
	
	D
	F V V F
Questão 4/10
Após resolver um sistema de equações lineares pelo Métodode Gauss-Jordan, você encontrou a matriz “W”, apresentada mais abaixo. Em relação à essa matriz “W”, analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois assinale a alternativa correta:
 
Matriz “W” = 
(   ) O sistema é Possível e Determinado, pois seu grau de liberdade é 0;
(   ) O sistema é Possível e Indeterminado, pois seu grau de liberdade é 1;
(   ) O sistema é Impossível, pois foi obtida uma equação falsa;    
(   ) A matriz encontrada não está no formato escada reduzido por linhas.
	
	A
	V F V V
	
	B
	V F F V
	
	C
	F F V F
Você acertou!
Resolução:
o sistema é Impossível, já que foi obtida uma equação falsa (terceira linha da matriz).
	
	D
	F V V F
Questão 5/10
Analise as afirmativas em relação à equações lineares e a seguir, marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois assinale a alternativa correta:
(   ) Ao se obter a matriz escada reduzida por linhas correspondente a um sistema de equações lineares, pode-se classificar este sistema apenas pela análise do seu grau de liberdade.
(   ) Depois de aplicado o Método de Gauss-Jordan em um sistema de equações lineares impossível, necessariamente terá sido obtida pelo menos uma equação falsa.
(   ) Um sistema de equações lineares homogêneo com igual quantidade de equações e de incógnitas pode ser classificado apenas pela análise do determinante da sua matriz dos coeficientes.
(   ) Um sistema de equações lineares homogêneo pode ser impossível, mas tal situação acontece raramente.
	
	A
	V V F V
	
	B
	V F F V
	
	C
	V F F F
	
	D
	F V V F
Você acertou!
Resolução:
i) FALSO: além do grau de liberdade é preciso avaliar se há uma (ou mais) equações falsas, o que resultaria em um sistema impossível.
ii) VERDADEIRO: é porque isto acontece que se pode classificar os sistemas impossíveis usando o Método de Gauss-Jordan.
iii) VERDADEIRO: neste caso, pode-se determinar se o sistema é SPD ou SPI apenas pela análise do determinante da matriz dos coeficientes: se for nulo, o sistema é SPI, se for diferente de zero, o sistema é SPD.
iv) FALSO: um sistema de equações lineares homogêneo é sempre possível.
Questão 6/10
Analise as proposições a seguir que abordam o assunto “sistemas lineares” e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, a seguir assinale a alternativa correta:
(   ) Um sistema de equações lineares homogêneo sempre possui solução.
(   ) Um sistema de equações lineares homogêneo com igual quantidade de incógnitas e de equações pode ser classificado pela análise do determinante da sua matriz dos coeficientes.
(   ) Um sistema de equações lineares com grau de liberdade igual a 2 e que não possua equações falsas pode ser classificado como SPI, isto é, Sistema Possível e Indeterminado.
(   ) Em um sistema de equações lineares o grau de liberdade indica quantas são as soluções existentes, isto é, se o grau de liberdade é igual a 2, o sistema terá somente duas soluções.
(   ) Um sistema de equações lineares com mais incógnitas do que equações nunca será SPD, isto é, nunca será um Sistema Possível e Determinado.
	
	A
	V V F V V
	
	B
	V V V F V
Você acertou!
Resolução:
a) VERDADEIRO: um sistema de equações lineares homogêneo sempre possui pelo menos a solução trivial (todas as incógnitas com valor nulo).
b) VERDADEIRO: neste caso, pode-se determinar se o sistema é SPD ou SPI apenas pela análise do determinante da matriz dos coeficientes: se for nulo, o sistema é SPI, se for diferente de zero, o sistema é SPD.
c) VERDADEIRO: este é o critério utilizado para se classificar um sistema depois de aplicado o Método de Gauss-Jordan.
d) FALSO: um sistema de equações lineares pode não possuir solução, possuir apenas uma solução ou uma quantidade ilimitada de soluções – não ocorrerá de, por exemplo, possuir apenas duas soluções. O grau de liberdade indica quantas são as variáveis livres do sistema (as incógnitas que podem assumir um valor qualquer para serem determinadas soluções do sistema).
e) VERDADEIRO: para ser SPD o sistema teria de, necessariamente, ter grau de liberdade igual a zero, mas, neste caso, o grau de liberdade sempre será positivo – depois de escalonada a matriz ampliada do sistema, sempre haverá pelo menos uma coluna da matriz dos coeficientes sem pivô.
	
	C
	V V F V F
	
	D
	F F V F F
Questão 7/10
Analise as alternativas e assinale a alternativa verdadeira:
	
	A
	É possível e indeterminado (SPI) o sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é:                
	
	B
	É possível e indeterminado (SPI) o sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é: 
	
	C
	É igual a 1 o grau de liberdade do sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é:
	
	D
	É possível e indeterminado (SPI) o sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é:
Você acertou!
Resolução:
a) FALSO: o sistema é possível e determinado (SPD), já que o grau de liberdade é igual a 0 e não há equação falsa.
b) FALSO: o sistema é impossível (SI), já que apresenta duas equações falsas.
c) FALSO: o grau de liberdade é igual a 2 (há duas colunas sem pivô na matriz dos coeficientes).
d) VERDADEIRO: o grau de liberdade é igual a 2 (há duas colunas sem pivô na matriz dos coeficientes) e não há equação falsa, portanto, o sistema pode ser classificado como SPI.
Questão 8/10
Analise as proposições a seguir e marque V paras as verdadeiras e F para as falsas, depois assinale a alternativa correta:
( ) O conjunto R², de todos os vetores (x,y), é um espaço vetorial.
( ) O conjunto R³, de todos os vetores (x,y,z), é um espaço vetorial.
( ) O conjunto R², de todos os vetores (x,y), é um subespaço vetorial de R³, isto é, do conjunto de todos os vetores (x,y,z).
( ) O conjunto R², de todos os vetores (x,y), é um subespaço vetorial de R³, isto é, do conjunto de todos os vetores (x,y,z), mas não é um espaço vetorial.   
	
	A
	V V V V
	
	B
	V F F V
	
	C
	V F F F
	
	D
	V V V F
Você acertou!
Resposta:
Como R² está contido em R³ e ambos são espaços vetoriais, sendo R² um subespaço vetorial de R³, pode-se afirmar que a alternativa d é a única alternativa incorreta.
Questão 9/10
Seja “V” um espaço vetorial, segundo a definição apresentada nesta disciplina e os seguintes axiomas, sendo u, v e w pertencentes a V e k um escalar real:
i    u + v = v + u
ii   Existe um elemento 0 pertencente a V tal que  0 + u = u + 0 = u, para todo u pertencente a V.
iii  Se u e v pertencem a V, o produto vetorial entre u e v, denotado por uxv, também pertencente a V.
iv  Dado um escalar k e um objeto u qualquer de V, ku pertence a V.
 
Neste caso, “V” deve atender obrigatoriamente a:
	
	A
	somente aos axiomas i e iv, enunciados acima.
	
	B
	somente aos axiomas ii, iii e iv enunciados acima.
	
	C
	somente aos axiomas ii e iii enunciados acima.
	
	D
	somente aos axiomas i, ii, iv enunciados acima.
Você acertou!
Resolução:
Como os axiomas enunciados em i, ii e iv fazem parte da definição de espaço vetorial (estão dentro o conjunto de dez axiomas listados na definição), V deve obrigatoriamente atendê-los – diferentemente do axioma enunciado em iii que não participa da definição de espaços vetoriais e, portanto, pode ou não ser atendido por V.
Questão 10/10
Seja “V” um espaço vetorial, segundo a definição apresentada nesta disciplina e os seguintes axiomas, sendo u, v e w pertencentes a V e k e l escalares reais:
i     u + (v + w) = (u + v) + w
ii    Para cada u pertencente a V há um objeto –u também pertencente a V tal que u + (–u) = (–u) + u = 0.
iii   k(u + v) = (ku + kv)
iv   (k + l)u = ku + lu
v    K(lu) = (kl)u
Neste caso, “V” deve atender obrigatoriamente a:
	
	A
	somente aos axiomas i, iii, iv e v enunciados acima.
	
	B
	somente aos axiomas ii, iii e v enunciados acima.
	
	C
	somente aos axiomas i, ii, iii e iv enunciados acima.
	
	D
	todos os axiomas enunciadosacima.
Você acertou!
Resolução:
Como todos os axiomas listados acima participam da definição de espaço vetorial (isto é, estão listados entre os dez axiomas da definição), todos os axiomas enunciados acima devem ser atendidos pelo espaço vetorial V.
Apol 3
Questão 1/10
Dado um conjunto “V”, deseja-se verificar se “V” é ou não um espaço vetorial. Qual alternativa a seguir descreve como esta verificação pode ser feita, levando-se em conta a definição de espaço vetorial.
	
	A
	De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se os dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada genericamente.
Você acertou!
alternativa “a”
	
	B
	De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se os dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada globalmente.
	
	C
	De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se alguns dos dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada genericamente.
	
	D
	De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se alguns dos dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada globalmente.
Questão 2/10
Analise as proposições abaixo, marcando V para as verdadeiras e F para as falsas em relação ao conjunto A = {(4,7);(1,3);(1,1)} , depois assinale a alternativa correta:
(   ) A é linearmente dependente.
(   ) A gera todo o espaço R².
(   ) A é uma base de R².
(   ) O vetor v = (3,5) é escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de A.
	
	A
	V F F F
	
	B
	V F V V
	
	C
	V V F F
Você acertou!
Resolução:
Item i) Verdadeiro: é linearmente dependente todo conjunto de vetores de R² que contenha mais do que dois vetores.
Item ii) Verdadeiro: o conjunto A é gerador de R².
Item iii) Falso: A não é uma base de R², já que o conjunto A é linearmente dependente.
Item iv) Falso: já que A é linearmente dependente, há inúmeras combinações lineares possíveis dos vetores de A que resultam em v.
	
	D
	F F V V
Questão 3/10
Analise se o conjunto R² com a operação usual de adição, mas com a operação de produto por escalar definida como a seguir, é ou não um espaço vetorial:
Produto escalar: k.(x,y) = (k.x,0)
Após essa análise, escolha a alternativa que apresenta a resposta correta:
	
	A
	R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que é verdade quando y for não-nulo.
	
	B
	R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que não é verdade quando y for nulo.
	
	C
	R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que não é verdade quando y for não-nulo.
Você acertou!
alternativa “c”
	
	D
	R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que é verdade quando y for não-nulo.
Questão 4/10
Dados os sistemas de equações lineares S1 e S2 a seguir, avalie as proposições e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale a alternativa correta:
 
(   ) O conjunto das soluções de S1 é um subespaço vetorial de R³.
(   ) O conjunto das soluções de S2 é um subespaço vetorial de R³.
(   ) S1 é um sistema de equações lineares homogêneo.
(   ) S2 é um sistema de equações lineares homogêneo.
	
	A
	V F V F
	
	B
	V V F F
	
	C
	F V F V 
Você acertou!
S1 é um sistema não-homogêneo e o conjunto de suas soluções não é um espaço vetorial de R³.
S2 é um sistema homogêneo e o conjunto de suas soluções é um espaço vetorial de R³.
Sendo assim, são verdadeiras apenas as proposições 2 e 4.
	
	D
	F F V V
Questão 5/10
Analise as 4 alternativas a seguir e marque a que apresenta uma explicação errada em relação à espaço vetorial:
	
	A
	O conjunto de todas as matrizes reais de duas linhas e uma coluna, M2x1, é um subespaço vetorial do conjunto de todas as matrizes reais de “m” linhas e “1” coluna, Mmx1, sendo “m” um número inteiro maior do que 2.
	
	B
	O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial real.
	
	C
	O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um subespaço vetorial do conjunto de todos os polinômios reais de grau 4.
	
	D
	O conjunto de todos os polinômios reais de grau 2 é um espaço vetorial, mas o mesmo não se pode dizer do conjunto de todos os polinômios reais de grau 3.
Você acertou!
Resolução:
A alternativa “d” é falsa, pois, o conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial.
Questão 6/10
Analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale alternativa correta:
(   ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e polinômios de primeiro grau, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode ser entendida como (2 + 3x) + (1 + 4x) = 3 + 7x.
(   ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e matrizes com duas linhas e uma coluna, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode ser entendida como: 
(   ) A expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) evidencia o fato de que o vetor (3, 7) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (2, 3) e (1, 4).
	
	A
	V F V
	
	B
	F F V
	
	C
	V V F
	
	D
	V V V
Você acertou!
Todas as proposições estão corretas...
Questão 7/10
Dada a expressão c1.u + c2.v = w , analise as afirmativas a seguir e depois assinale a alternativa correta:
a) Se existirem c1 e c2 reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w é uma combinação linear de u e de v.
b) Se não existirem c1 e c2 reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w não é uma combinação linear de u e de v.
c) Se w for uma combinação linear de u e de v, existem c1 e c2 reais tais que a expressão dada é verdadeira.
	
	A
	Nenhuma das afirmativas acima está correta.
	
	B
	Somente a afirmativa “a” acima está correta.
	
	C
	Somente as afirmativas “a e c” acima estão corretas.
	
	D
	Todas as afirmativas acima estão corretas.
Você acertou!
As três afirmativas estão corretas
Questão 8/10
Considere o sistema de equações lineares gerado pela combinação linear: c1.(1,2)+ c2.(0,1) + c3.(2,3) = (0,0). Classifique o tipo de sistema em relação as soluções.
	
	A
	Sistema Homogêneo, somente com a solução trivial.
	
	B
	Sistema Impossível.
	
	C
	Sistema Possível e Determinado.
	
	D
	Sistema Possível e Indeterminado.
Você acertou!
Resolução:
O sistema de equações lineares dado pela equação
c1.(1,2) + c2.(0,1) + c3.(2,3) = (0,0)
certamente possui soluções, pois será homogêneo e, além disso, possui inúmeras soluções – observe que o sistema gerado pela equação (abaixo), quando reduzido por linhas à forma escada, terá no máximo dois pivôs e, então, será certamente SPI:
Questão 9/10
Analise os conjuntos descritos nas alternativas abaixo e marque a alternativaque apresente a resposta correta em relação à reta gerada:
	
	A
	Dado S = {(1,2)} tem-se ger(S) = R².
	
	B
	Dado S = {(1,2);(2,4)} tem-se ger(S) = R².
	
	C
	Dado S = {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)} tem-se ger(S) = R³.
Você acertou!
Somente a alternativa c está correta: os conjuntos das alternativas a e b geram apenas uma reta em R² e o conjunto da alternativa d gera uma reta em R³.
	
	D
	Dado S = {(1,2,3);(2,4,6);(3,6,9)} tem-se ger(S) = R³.
Questão 10/10
Analise os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta:
	
	A
	A = {(1,2)} é linearmente dependente.
	
	B
	B = {(1,2),(2,4)} é linearmente independente.
	
	C
	C = {(1,2);(0,0)} é linearmente independente.
	
	D
	D = {(1,2);(0,3);(5,1)} é linearmente dependente.
Você acertou!
Resolução:
De acordo com a definição de conjunto linearmente dependente e de conjunto linearmente independente, está correta somente a alternativa d.
Apol 4
Questão 1/10
Marque a alternativa correta quanto ao conjunto A = {(1,0,2);(0,1,1)}:
	
	A
	A é linearmente independente.                    
Você acertou!
Resolução:
Como A é linearmente independente e não gera R³ e, além disso, não faz sentido falar em base de R², são falsas as alternativas b, c, d.
	
	B
	ger(A) = R³.
	
	C
	A não é base de R³, mas é uma base de R².
	
	D
	A é base de R³, mas não é uma base de R².
Questão 2/10
Considere a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0). Analise as alternativas e responda a correta em relação à como é possível classificá-la?
	
	A
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém-se que é linear.
Você acertou!
Resolução:
Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
 
Verificação de T(u + v) = T(u)+ T(v):
Dados u = (a,b,c) e v = (d,e,f), tem-se:
T(u + v) = T(a+d,b+e,c+f) = (a+d,0,0).
T(u)+ T(v) = T(a,b,c) + T(d,e,f) = (a,0,0) + (d,0,0) = (a+d,0,0).
 
Portanto, a primeira condição se verificar.
 
Verificação de k.T(u) = T(k.u):
Dados u = (a,b,c) e k real, tem-se:
k.T(u) = k.T(a,b,c) = k.(a,0,0) = (ka,0,0).
T(k.u) = T(ka,kb,kc) = (ka,0,0).
sendo assim, como a segunda condição também se verifica, T é uma transformação linear (neste caso, um operador linear de R³).
	
	B
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0)  obtém-se que não é linear.
	
	C
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém-se que é linear.
	
	D
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou  k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém-se que não é linear.
Questão 3/10
Em relação ao conjunto {(1,2,3),(0,1,2),(2,5,7)} pode-se afirmar:
	
	A
	não é uma base de R³.
	
	B
	é uma base de R³. 
	
	C
	é um conjunto linearmente dependente.
	
	D
	é um conjunto linearmente independente, mas não é base de R³.
Questão 4/10
Considere o conjunto S = {(1,2),(0,1)} que é uma base de R². Encontre as coordenadas de v = (23,18) em relação a esta base.
	
	A
	(v)s = (23; 28)
	
	B
	(v)s = (-23; 28)
	
	C
	(v)s = (23; -28)
Você acertou!
	
	D
	(v)s = (-23; -28)
Questão 5/10
Dada a expressão   c1.u + c2.v = w, em que u, v e w são vetores de R², avalie as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale a aletrnativa correta: 
(   ) Se {u,v} for uma base de R², então a equação sempre terá solução única para qualquer w de R².
(   ) Se houver algum w para o qual a equação não tenha solução, então {u,v} não gera R².
(   ) Se a equação tiver solução para qualquer w de R², então {u,v} é uma base de R².
	
	A
	V V F
Você acertou!
Resolução:
i) VERDADEIRO: se {u,v} for base de R², todo w de R² pode ser escrito de maneira única como combinação linear de u e v.
ii) VERDADEIRO: pela definição de conjunto gerado, para {u,v} gerar todo R² a equação deve ter solução para qualquer w de R².
iii) FALSO: neste caso, pode-se afirmar que {u,v} gera R², mas não que {u,v} é uma base de R², já que não se sabe se {u,v} é linearmente independente (condição necessária para que o conjunto seja uma base de R²).
	
	B
	V F V
	
	C
	F F V
	
	D
	V V V
Questão 6/10
Verifique se o conjunto {(1,2);(0,1);(2,3)} é linearmente dependente ou independente e interprete o significado da classificação encontrada para este conjunto.
	
	A
	conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SPI.         
Você acertou!
	
	B
	conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SI
	
	C
	conjunto é LI pois o sistema gerado pela equação é SPI.
	
	D
	conjunto é LI pois o sistema gerado pela equação é SPD
Questão 7/10
Qual o procedimento para verificar se uma transformação é linear? E qual o resultado obtido para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1) ?.
Analise as alternativas a seguir e assinale a correta:
	
	A
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que é linear.
	
	B
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que não é linear.
Você acertou!
Resolução:
Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
 
Verificação de T(u + v) = T(u)+ T(v):
Dados u = (a,b) e v = (c,d), tem-se:
T(u + v) = T(a+c,b+d) = (a+c,b+d,a+c+1)
T(u)+ T(v) = T(a,b) + T(c,d) = (a,b,a+1) + (c,d,c+1) = (a+c,b+d,a+c+2).
 
Como T(u + v) não é igual a T(u)+ T(v), T não é uma transformação linear.
	
	C
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou  k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que é linear.
	
	D
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que não é linear.
Questão 8/10
Seja T a transformação linear de matriz canônica igual a     . 
Então, está correta a alternativa:
	
	A
	T é uma transformação de R³ em R².
	
	B
	T é um operador linear de R³.
	
	C
	T(3,4) = (3,10,13). 
Você acertou!
	
	D
	T(3,10,13) = (3,4).
Questão 9/10
Considerando a transformação linear T(x,y) = (x,–y), determine Nuc(T) e Im(T).
	
	A
	Nuc(T) = {(0, 0)} e Im(T) = {(1, -3)}
	
	B
	Nuc(T) = {(1, -3)} e Im(T) = {(0, 0)}
	
	C
	Nuc(T) = {(0, 0)} e Im(T) = R2
Você acertou!
Resolução:
T é uma transformação linear de R² em R², portanto, é um operador linear de R².
O vetor (1,3) aplicado em T resulta no vetor (1,–3).
De fato, T(u)= (4,5) implica que se tenha u = (4,–5), já que T(u) = T(x,y) = (4,5) implica nas equações x = 4 e –y = 5 (ou ainda, y =–5).
Com isso: Nuc(T) = {(0,0)}, já que somente o vetor (0,0) tem por resultado da aplicação de T o vetor (0,0); e Im(T) = R², pois todo vetor de R² é imagem por T.
	
	D
	Nuc(T) = {(1, 0)} e Im(T) = R³
Questão 10/10
Seja B = {(4,5),(2,1)} e v = (10,20), determine as coordenadas (a, b) de v em relação a B:
	
	A
	a=-5 e b = 5
	
	B
	a=5 e b=-5
	
	C
	a=5 e b=5
	
	D
	a=-5 e b=-5