EEL105 Analise Circuitos Engenharia Modulo 9 2012

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Universidade Federal de Itajubá 
Engenharia de Controle e Automação - ECA 
 
 
EEL105 - Circuitos Elétricos I 
Módulo 9 
Regime Senoidal e Método Fasorial: 
Conceitos 
 
 
Prof. Paulo César Crepaldi 
Grupo de Microeletrônica - GMICRO 
2 
 A natureza, de um modo geral, parece ter um caráter senoidal. O movimento 
de um pêndulo, a vibração de uma corda de um instrumento musical, as 
ondulações na superfície de um lago, todos apresentam um razoável caráter 
senoidal. É bastante provável que a observação desses e de outros fenômenos 
naturais tenham levado o grande matemático francês Fourier a conceber seu 
poderosíssimo método de análise (decomposição) de sinais periódicos em 
uma série infinita de sinais senoidais de frequências múltiplas inteiras de uma 
frequência fundamental. A análise de um sinal periódico por meio da série de 
Fourier é, sem dúvida, um dos motivos da popularidade das senóides (senos e 
cossenos). Uma razão matemática da grande utilidade da senóide é o fato de 
sua derivada e sua integral, que são operações utilizadas com muita 
frequência em circuitos lineares, serem ainda senóides de mesma frequência. 
É preciso lembrar, ainda, que a função cosseno pode ser escrita como uma 
função seno adiantada de 90°). Outra razão para a utilização da senóide é a 
facilidade com que ela é gerada. Nos geradores, a rotação da estrutura de 
campo (rotor) cria uma tensão senoidal na estrutura de armadura (estator). 
Nos osciladores a cristal o efeito piezo–elétrico nos dá senóides com 
freqüências bem definidas. 
Regime Senoidal 
3 
Como a função senoidal é fácil de ser gerada, sua forma de onda é usada, 
predominantemente, pela indústria de geração e distribuição de energia elétrica e 
qualquer laboratório possui um certo número de geradores de sinais senoidais que 
operam em uma faixa bastante grande de (diferentes) freqüências. Esse 
equipamento normalmente pode gerar uma tensão senoidal com uma frequência 
baixa, da ordem de 20[Hz], ou muito alta, da ordem de 2 [GHz]. 
Além disto, a resposta forçada de um circuito tem a mesma forma que a excitação 
(entrada), suas derivadas e suas integrais. Assim, uma excitação senoidal produzirá 
uma resposta forçada senoidal em todo circuito linear. Oscilações forçadas 
ocorrem sempre que um circuito elétrico é submetido a fontes que variam 
periodicamente com o tempo. 
Regime Senoidal 
A Energia Hidráulica é a energia obtida a partir da energia potencial 
de uma massa de água. A forma na qual ela se manifesta na natureza 
é nos fluxos de água, como rios e lagos e pode ser aproveitada por 
meio de um desnível ou queda d'água. Pode ser convertida na forma 
de energia mecânica (rotação de um eixo) através de turbinas 
hidráulicas ou moinhos de água. As turbinas por sua vez podem ser 
usadas como acionamento de um equipamento industrial, como um 
compressor, ou de um gerador elétrico, com a finalidade de prover 
energia elétrica para uma rede de energia. 
4 
Sinais Periódicos 
Um sinal periódico é um que varia com o tempo de modo tal que ele se 
repete continuamente. A menor parte de uma forma de onda periódica, 
que se repete continuamente, é denominada ciclo, e o tempo de 
duração de um ciclo é o período T[s] da função periódica. A recíproca 
do período, que representa o número de ciclos contidos num segundo, 
é a frequência f (no sistema internacional dada em Hertz [HZ]. 
Matematicamente, portanto, uma função periódica f(t) é aquela que 
satisfaz a condição: 
)( Ttff(t) 
 Uma função periódica f(t), de período T, satisfazendo a condição 
de que cada ciclo se compõe de dois semi–ciclos, de tal maneira 
que f(t+T/2) = –f(t) é chamada de função periódica alternada. 
5 
Exemplos de Sinais Periódicos (formas de onda) 
 Uma forma prática de verificar 
se uma dada função periódica é 
alternada consiste em adiantar 
de T/2 o segundo semi-ciclo e 
girá–lo de 180° em torno do 
eixo do tempo; se houver 
coincidência com o primeiro 
semi-ciclo, então a função 
periódica é alternada. Na Figura 
ao lado, verifica-se que as 
formas de onda quadrada e 
senoidal são alternadas. É pelo 
fato de ser a função senoidal 
uma função periódica alternada 
que os circuitos lineares 
excitados por fontes senoidais 
são chamados de circuitos de 
corrente alternada. 
6 
Função Senoidal: Características 
 A função senoidal f(t) = FMcos(ωt + Φ) está mostrada na Figura abaixo. O 
número real FM é o valor máximo (de pico) ou amplitude da função. Φ é o 
angulo de fase em relação a uma forma de onda cosseno pura FMcosωt. A 
frequência angular é ω (radianos por segundo). A Figura, na sequência, mostra 
duas funções senoidais com a mesma frequência angular, mas, com ângulos de 
fase diferentes. Diz–se que a função f2(t) está atrasada com relação a f1(t) do 
ângulo α. Da mesma maneira, diz–se que f1(t) está adiantada com relação a 
f2(t) do ângulo α. A frequência angular ω[rd/s] representa o número de períodos 
(ou o número de ciclos) contidos em 2π[rd]. 
7 
Função Senoidal: Características 
 Em Engenharia Elétrica, o ângulo de fase F é, geralmente, dado em 
graus e não em radianos, não havendo nenhum risco de confusão se o 
símbolo de grau for sempre utilizado. Assim, no lugar de escrever 
i(t)=100cos(2000πt –π/6) escrevemos i(t)=100cos(2000πt–30°). 
Duas ondas senoidais a ser comparadas em fase devem, ambas, ser 
escritas como senos, ou como cossenos; devem também ser escritas 
com amplitudes positivas e ter a mesma frequência. 
 
Graficamente, para se determinar o ângulo de fase, devemos escolher 
um ponto correspondente em cada curva senoidal. É conveniente 
escolher os pontos correspondentes no valor máximo ou no cruzamento 
com o eixo horizontal, isto é, no valor zero. A diferença angular entre os 
dois pontos é o ângulo de fase. A seguir, devemos comparar os dois 
pontos para decidir se uma onda está em fase, atrasada ou adiantada 
relativamente à outra onda. 
8 
Função Senoidal: Ângulo de fase 
 Neste caso, a tensão v(t) está atrasada em 
relação à corrente i(t) em 45°: 
i(t)=IPsen(wt) e v(t)=VPsen(wt+45°) 
v(t) 
i(t) 
 
0s 4ms 8ms 12ms 16ms 20ms 24ms 28ms 32ms 




45x
360
x
16,6ms
2ms
16,6[ms]T]60[Hf Z
α 
α 
9 
Função Senoidal: Ângulo de fase 
v(t) 
i(t) 
 
0s 4ms 8ms 12ms 16ms 20ms 24ms 28ms 32ms 




45x
360
x
16,6ms
2ms
16,6[ms]T]60[Hf Z
 Agora, a corrente i(t) está atrasada em 
relação a v(t) em 45°: 
v(t)=VPsen(wt) e i(t)=IPsen(wt+45°) 
α α 
10 
Função Senoidal: Exercícios 
1. A faixa de freqüências de áudio estende–se de 20[Hz] até 20[kHz]. Calcule a faixa do 
período e do comprimento de onda para estas áudio–frequências. 
2. Calcule o atraso de tempo para um ângulo de fase de 45° em uma frequência de 100[Hz]. 
3. Achar os períodos de: v(t)=7–4cos(400t+30°) [V], i(t)=3sen2(4t) [A] e p(t)=4cos3tsen3t 
[W] 
4. Achar as relações entre fases para os seguintes pares de senóides: 
v(t)=60sen(377t+50°)[V], i(t)=3sen(754t–10°)[A]; 
 v1(t)=6,4cos(10π t+30°)[V], e v2(t)=7,3cos(10π t–10°)[V]; 
 v(t)=42sen(400t+60°)[V], i(t)=–4sen(400t–50°)[A]; 
 v(t)=–4sen(45t+5°)[V], i(t)=7cos(45t+80°)[mA]. 
As identidades 
trigonométricas ao lado 
são importantes para 
a análise de circuitos em 
corrente alternada. 
Cuidado! 
Avalie bem 
antes de utilizar 
as identidades 
11 
Números Complexos 
  
retangularformaimaginária
realpolarforma
jθ jyxjsenθcosθrre 









Um número complexo é um par ordenado de números reais (x,y) que satisfazcertas 
regras de operação. Podem ser representados na forma polar, forma retangular ou 
na forma vetorial. A entidade j é denominada unidade imaginária e é definida 
como: j2=-1. Portanto, um número complexo terá uma parte real e uma parte 
imaginária. 
Identidade de Euler 
Forma Polar: Apropriada para multiplicar e dividir 
números complexos 
Forma Retangular: Apropriada para somar e subtrair 
números complexos 
j
σ
Eixo Imaginário
Eixo Real
(x,y)
θ
r







x
y
arctgeyxr 22
Conversão retangular → polar 
12 
Método Fasorial: Introdução 
 A integral particular de uma equação diferencial linear e invariante 
no tempo, com função forçante da forma f(t)=FPcos(ωt+Φ), pode ser 
obtida pelo emprego dos métodos matemáticos descritos nos cursos 
de cálculo. Estes métodos, entretanto, podem tornar-se trabalhosos 
mesmo para equações diferenciais de circuitos simples, e a finalidade 
principal deste módulo é a de desenvolver um procedimento que 
requeira menos esforço computacional, o chamado método fasorial. 
Em outras palavras, o método fasorial é um procedimento mais 
conciso de se obter a resposta forçada ou de regime permanente de 
um circuito excitado por fonte senoidal. Como sabemos, o 
comportamento transitório de um circuito desaparece após um tempo 
igual a aproximadamente cinco vezes sua maior constante de tempo, 
restando, apenas, o comportamento forçado ou de regime 
permanente. Em conseqüência, podemos estudar o comportamento 
permanente independentemente do comportamento transitório. 
13 
Método Fasorial: Introdução 
jω
σ
ω
t
 Na figura ao lado, a quantidade complexa Iejωt é 
representada pelo segmento linear orientado de 
módulo I, girando em sentido anti–horário, com 
velocidade angular ω[rd/s], no plano complexo 
formado pelo eixo real σ e pelo eixo imaginário 
jω. E a projeção deste segmento orientado, em 
cada instante t, sobre o eixo real do plano 
complexo, ou seja, a parte real deste “vetor 
girante”, dá a corrente instantânea i(t)=Icosωt. 
Assim, podemos dizer que a “projeção sobre o 
eixo real” ou “parte real” de Iejωt é Icoswt. 
 
Lembrar que a representação de um número, 
complexo (identidade de Euler) é dada por: 

 tjsentcosIIe
jsenθcosθrre
tj
imaginária
real
jθ
www 








 
14 
Método Fasorial: Introdução 
w
s
jw
t
A notação fasorial simplifica a 
resolução de problemas 
envolvendo funções senoidais no 
tempo. Ao utilizá-la, torna-se 
possível transformar as equações 
diferenciais, que representam um 
circuito elétrico, em equações 
algébricas. Resolver equações 
algébricas é muito mais simples 
do que resolver equações 
diferenciais. 
(Eixo imaginário) 
15 
Método Fasorial: Introdução 
16 
Método Fasorial: Introdução 
De uma forma geral, então, para o valor instantâneo de uma corrente senoidal 
i(t)=Icos(ωt+θ) teríamos: 










imagináriareal
jθtjθ)tj( θ)tjsen(θ)tcos(IeIeIe wwww
Entretanto, se vamos usar esta representação repetidamente, cansaremos de escrever 
“parte real” e “vezes ejωt ”. De forma equivalente, as instruções para “girar no 
sentido anti–horário com velocidade angular ω e projetar sobre o eixo real” se 
tornarão aborrecidas. Concordemos, então, que estas operações fiquem 
subentendidas, mesmo que não escritas. Em outras palavras, para representar uma 
corrente instantânea senoidal, escreveremos somente a quantidade complexa (Iejθ) 
que multiplicada por ejωt terá uma parte real igual a corrente instantânea. Esta 
quantidade complexa será indicada por İ (letra maiúscula com um ponto). A estas 
quantidades, denominamos fasores. Portanto, existem fasores de tensão, força, 
velocidade, etc. 
 
Normalmente, nos referimos ao valor instantâneo como pertencente ao “Domínio do 
Tempo” e a equação complexa como pertencente ao “Domínio da Frequência” 
17 
Método Fasorial: Introdução 
 Assim, a expressão por exemplo, é uma representação simbólica, 
fasorial ou operacional da corrente instantânea i(t). E deve ser interpretada como 
significando que, para obtermos a corrente instantânea, devemos multiplicar 
20ej30°por ejωt e tomar a parte real do produto para obter que i(t)=20cos(ωt+30°). 
03020I 
Um fasor é uma quantidade complexa (escrita na forma polar) que 
multiplicada por ejωt, e tomada a parte real do produto obtido, 
fornece o valor instantâneo de uma grandeza senoidal que ele 
representa. 
Ache os fasores representativos das seguintes funções: 
a) v(t)=20cos(ωt+10°) [V] 
b) i(t)=10sen(ωt–60°) [A] 
c) v(t)=5cosωt-5senωt [V] 
Usando fasores, coloque na forma v(t)=Vcos(ωt+θ) a expressão: 
v(t)=100cos(ωt+20°)–80sen(ωt–30°)+120cos(ωt+110°) [V] 
tjeIdeRealParteti w)(
18 
Método Fasorial: Teorema 
 A soma algébrica de um número qualquer de senóides de mesma frequência 
angular ω, e de um número qualquer de suas derivadas de quaisquer ordens, é 
também uma senóide de mesma frequência angular ω (Lembre–se de que a 
derivada e a integral de uma senóide também são senóides). A representação 
fasorial de senóides é usada, principalmente, na determinação da solução particular 
de equações diferenciais lineares com coeficientes reais e constantes, quando a 
excitação é senoidal. Em outras palavras, quando a equação diferencial é da forma: 
θ)tIcos(i(t)a
dt
di(t)
a
dt
i(t)d
a
dt
i(t)d
a 011n
1n
1nn
n
n  

 w
 Na verdade, de acordo com o Teorema descrito, se substituirmos i(t) por uma 
senóide de pulsação ω, então o primeiro membro da equação será também uma 
senóide de pulsação ω. Mas isto é exatamente o que o segundo membro da equação 
requer. Então, o único problema, realmente, é calcular a amplitude e o ângulo de 
fase da senóide que representa i(t), e que é a solução particular da equação 
diferencial. Para fazer isto nós usamos fasores, pois eles expressam exatamente 
amplitudes e ângulos de fase, e o método é, então, denominado método fasorial. 
19 
Método Fasorial: Definição e Lemas 
 Portanto, método fasorial é aquele que se utiliza de fasores para obter a 
solução particular de equações diferenciais lineares com coeficientes 
reais e constantes, com funções forçantes (segundos membros) 
senoidais. 
Ele nada mais é do que uma forma alternativa, e extremamente poderosa, 
além de compacta, do chamado método dos coeficientes indeterminados. O 
método fasorial está ancorado no Teorema do slide anterior e nos quatro 
lemas seguintes. 
 
1: “Aditividade e Homogeneidade (Operação Linear)” 
Por simplicidade, vamos representar “tomar a parte real” por PR[...] 
As correntes i1(t) e i2(t) são representadas por fasores. 
   
   
     tj22tj11tj22tj11
tj
2
)θt(j
22
tj
1
)θt(j
11
eIPRKeIPRKeIKeIKPR
eIPReIPR(t)i
eIPReIPR(t)i
wwww
ww
ww








2
1
20 
Método Fasorial: Lemas 
2: “Derivação no domínio do tempo corresponde a uma multiplicação por jω 
no domínio da frequência” 
Se i(t) é representada pelo fasor İ, então di(t)/dt é representada por jωİ. 
   
   tj
tjtj
tjtj
)eI(jPR
dt
eId
PR
dt
eIdPR
eIPRIePRti
w
ww
ww
w 









  )()(
3: “Integração no domínio do tempo corresponde a uma divisão por jω no 
domínio da frequência.” 
Se i(t) é representada pelo fasor İ, então ∫i(t)dt é representada por İ/jω. 
   
    















tjtjtjtjtj
e
j
I
PReIPRdteIPR
eIPRIePRti
www
ww
w


)()(
21 
Método Fasorial: Lemas 
4: “Identidade Fasorial” 
Sejam os fasores İ1 e İ2 e ω a frequência angular. Sob estas condições, o 
estabelecimento de: 
 
 
 
 
 
 
implica que İ1 = İ2 para qualquer t. 
   
   
    21tj2tj1
tj
2
tj
22
tj
1
tj
11
IIeIPReIPR
eIPReIPR(t)i
eIPReIPR(t)i








ww
ww
ww
)(
)(
Achar a solução particular das equações diferenciais usando o método fasorial: 
22 
Relações Fasoriais para R, L e C 
O uso de números complexos para resolver problemas em circuitos de corrente 
alternada foi apresentado pela primeira vez por Charles Proteus Steinmetz em um 
artigo de 1893. A notação fasorial simplifica a resolução de problemas envolvendo 
funções senoidais no tempo. Ao utilizar notação fasorial torna-se possível 
transformar as equações diferenciais que representam um circuito elétrico em 
equações algébricas. Resolver equações algébricas é muito mais simples do que 
resolver equações diferenciais. 
Charles Proteus Steinmetz (April 9, 1865 – October 26, 
1923) was a German-American mathematician and 
electrical engineer. He fostered the development of 
alternating current that made possible the expansion of 
the electric power industry in the United States, 
formulating mathematical theories for engineers. He made 
ground-breaking discoveries in the understanding of 
hysteresis that enabled engineers to design better electric 
motors for use in industry. 
“No man really becomes a fool until he stops asking questions” 
23 
Diagrama Fasorial 
A soma algébrica de funções senoidais de mesma frequência angular ω pode ser 
feita somando–se algebricamente seus fasores correspondentes. Considerando–se, 
entretanto, que fasores são números complexos que podem ser representados por 
segmentos orientados no plano complexo (σ, jω), então os fasores de tensão de 
elementos ligados em série e os fasores de corrente de elementos conectados em 
paralelo podem, também, ser somados vetorialmente, dando origem, assim, aos 
chamados diagramas fasoriais. Num diagrama fasorial, os fasores são 
representados como setas dirigidas a partir da origem do plano complexo com 
comprimentos correspondentes aos módulos dos fasores e dispostos em ângulos 
com o eixo real que são os ângulos de fase dos respectivos fasores. Os diagramas 
fasoriais são muito apropriados para se comparar os ângulos de fase entre tensões, 
entre correntes e entre tensões e correntes alternadas senoidais de mesma 
frequência, ou seja: para verificar se uma dada onda senoidal está em fase, adiantada 
ou atrasada de outra onda senoidal de mesma frequência. Num diagrama fasorial, 
quando somamos vetorialmente as tensões fasoriais de elementos ligados em série, 
indiretamente, estamos aplicando, no domínio da frequência, a lei das tensões de 
Kirchhoff; da mesma forma, estamos aplicando indiretamente a lei das correntes de 
Kirchhoff, no domínio da frequência, quando somamos vetorialmente as correntes 
fasoriais de elementos ligados em paralelo. 
24 
Diagrama Fasorial 
 Na construção de um diagrama fasorial, qualquer fasor pode ser escolhido como 
referência, ao qual é atribuído o ângulo de fase de valor zero (zero grau), ou seja, 
o fasor de referência está sempre na horizontal (sobre o eixo real σ do plano 
complexo). Em geral, os fasores de tensão e os fasores de corrente têm, cada um, a 
sua própria escala de amplitudes, mas uma escala angular comum. Por exemplo, um 
fasor de tensão de 1[cm] de comprimento pode representar 100[V], enquanto um 
fasor de corrente de 1[cm] de comprimento pode indicar 10[mA]. É útil pensar na 
seta que representa o fasor no diagrama fasorial como sendo a fotografia tirada em 
ωt=0, de uma seta rotativa, que gira no sentido anti–horário com velocidade angular 
ω[rd/s], cuja projeção no eixo real é o valor instantâneo. Diagramas fasoriais, em 
geral, são muito simples de construir e a maioria das análises do regime permanente 
senoidal de circuitos terá maior significado se um desses diagramas for incluído. 
Um fasor é descrito de maneira única por seu comprimento e seu ângulo com 
relação ao eixo real positivo e pode ser desenhado em qualquer lugar (região) do 
plano complexo. Além disso, muitas vezes, pode não ser conveniente mostrar todos 
os fasores saindo da origem. 
25 
Diagrama de Composição Fasorial 
 Um outro diagrama, chamado de diagrama de composição fasorial, é mais 
conveniente para a adição e a subtração gráficas. Neste tipo de diagrama a soma e a 
subtração de fasores são efetuadas da mesma forma que para vetores. Para a soma, 
as setas dos fasores são colocadas cada uma começando no final da outra e o fasor 
da soma (resultante) é encontrado traçando–se uma seta do início da primeira seta à 
ponta da última. Se um fasor tiver que ser subtraído, sua seta será primeiro invertida 
(girada de 180°) e depois efetuada a soma com o(s) outro(s) fasor(es). 
jω
σ
1V

2V
 21 VV  
jω
σ
1V

2V

21 VV
 
26 
Relações Fasoriais (Resistor) 
 Sabemos que é possível executar transformações (usando fasores) do domínio do 
tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Então podemos estender este 
método de análise para cada um três elementos passivos (R, L e C) quando em 
operação de regime senoidal. 
   
   
R
I
V
eθ
RIVeRIeVIRV
eIPReIPRti
eVPReVPRtv
tItietVtv
tRitv
P
P
PP
j
P
j
P
tjtj
P
tjtj
P
PP










ww

ww
ww



)(
)(
)(
)(
)cos()()cos()(
)()(
 Para este elemento passivo, tensão e corrente estão em fase como já foi 
demonstrado em módulos anteriores. Lembrando, novamente, que estar em fase 
significa que não há possibilidade de se armazenar energia, apenas dissipá-la por 
efeito Joule. 
v(t)i(t)
R +
_
Obrigatoriamente 
27 
Relações Fasoriais (Resistor) 
 Para o circuito apresentado, resolva utilizando fasores e monte o diagrama fasorial. 
Considerar R1=4[Ω], R2=6[Ω] e v(t)=15sen(ωt+30°). 
[A]1,5e
10
V
RR
V
I
[V]9eV0,6
10
V6
RR
RV
V
[V]6eV0,4
10
V4
RR
RV
V
15eVeVv(t)
[V])60t15cos(v(t)
)9030t15cos(v(t)
)90sen(xcosx
[V])30t15sen(v(t)
j60
21
j60
21
2
2
j60
21
1
1
j60tj


























 w
w
w
w
[A])60t1,5cos(i(t)
[V])60t9cos((t)v
[V])60t6cos((t)v
2
1



w
w
w
 No domínio do tempo: 
R1
v(t)
+
_
i(t)
+
_
R2
+
_
v1(t)
v2(t)
28 
Relações Fasoriais (Resistor) 
 No domínio do tempo (para uma frequência de 60[Hz]) teríamos: 
-10ms -5ms -10ms 0ms 10ms 20ms 25ms 
-10V 
-5V 
0V 
5V 
10V 
-1.5A 
-1.0A 
-0.5A 
0A 
0.5A 
1.0A 
1.5A 
30° 
 Observe que nesta representação, os sinais de tensão e corrente estão sendo 
avaliados em relação a uma onda senoidal. Portanto, existe um ângulo de fase (α) 
relativo de 30° sendo que estes sinais estão adiantados, ou seja, α deve ser 
computado como um valor positivo. 
29 
Relações Fasoriais (Resistor) 
 No domínio do tempo teríamos: 
-10ms -5ms -10ms 0ms 10ms 20ms 25ms 
-10V 
-5V 
0V 
5V 
10V 
-1.5A 
-1.0A 
-0.5A 
0A 
0.5A 
1.0A 
1.5A 
60° 
 Observe que nesta representação, os sinais de tensão e corrente estão sendo 
avaliados em relação a uma onda co-senoidal.Portanto, existe um ângulo de fase 
(α) relativo de 60° sendo que estes sinais estão atrasados, ou seja, α deve ser 
computado como um valor negativo. 
30 
Relações Fasoriais (Resistor) 
O diagrama fasorial resultante seria: 
Observar que consideramos a origem no eixo real sendo, negativos, os 
ângulos que “caminham” em sentido horário. 
jw
s
1V

2V

V  21 VV
-60°
I
w
“Adianta” a fase
“Atrasa” a fase
31 
Relações Fasoriais (Indutor) 
   
   
     
 ][L
I
V
e90
)90(LIV
LIjVILjV
eILjPR
dt
eIdPR
LeVPR
eIPReIPRti
eVPReVPRtv
tItietVtv
dt
tdi
Ltv
LXP
P
PP
PP
tj
tj
tj
tjtj
P
tjtj
P
PP
L
L
w
w
ww
w
ww
w
w
w
ww
ww
















)(
)(
)(
)(
)cos()()cos()(
)(
)(
 Para este elemento 
passivo a tensão está 
adiantada de 90° em 
relação à corrente. 
Armazena energia na 
forma de um campo 
magnético e a relação 
entre os valores de pico 
da tensão e corrente é a 
reatância indutiva (XL). 
iL(t)
+
vL(t)
_
L
Obrigatoriamente 
i(t)=iL(t)=iR(t)
+
vL(t)
_
L=100mH
+
vR(t)
_
R=100Ω
10sen(ωt+45°)
 
ZjXRLjR
I
V
ILjRV
ILjIRV
dt
tdi
LtRitv
KVLtvtvtv
Impedância
L
L
LR










w
w
w
)(
)()(
)()()(
 A quantidade complexa R+jXL é denominada impedância 
complexa do circuito elétrico ou, simplesmente, impedância do 
circuito. Possui a dimensão de Ohm e varia de acordo com a 
frequência de operação. 
Relações Fasoriais: Conceito de Impedância 
 Considere o circuito RL série. 
32 
Relações Fasoriais: Conceito de Impedância 
jω
σ
Z
.
90°
θ
 0RR
 90XjX
LL

w
w
w










ZZ
R
L
arctgL)(RZ
LjRZ
Z
22





Importante: 
 Se R >> XL temos uma situação em que predomina a parte real 
(Resistiva) e o ângulo θ tende para 0°. Se XL >> R predomina a parte 
imaginária (Indutiva) e o ângulo θ tende para 90°. 
O fasor impedância (Z) é útil em circuitos série, pois a impedância 
total será a soma das impedâncias parciais (soma vetorial!). 
33 
Relações Fasoriais: Conceito de Admitância e Susceptância 
O inverso da entidade complexa impedância é a Admitância. É 
representada pelo fasor Y sendo valido, portanto, a relação Y=1/Z. 
Para um circuito puramente indutivo temos a parte real (resistiva) 
igual a zero, então: 
Importante: 
O fasor Admitância (Y) é útil em circuitos paralelo, pois a admitância 
total será a soma das admitâncias parciais (soma vetorial!). 
 
 
L
L
L2
L
2
L
jB
X
j
Z
1
Y
indutivopuramente0Rp
jXR
XR
1
Z
1
Y
jXRZ











)(/
O inverso da reatância indutiva é 
denominado Susceptância Indutiva. É 
representada por BL e tem dimensão de 
siemens [S]. 
Em termos fasoriais, tem-se de um 
vetor simétrico ao vetor jωL. 
34 
Relações Fasoriais: exemplo 
Para R=100[Ω], L=100[mH], v(t)=10sen(ωt+45°) e f=100[Hz] (slide 30): 
j1,19[V]5,18V
j8,25[V]1,90V
j7,07[V]7,07V
[V]135,327784,79062,8IjXV
[V]778,477784,70100IRV
[mA]7784,7
32118
4510
Z
V
I
][32118j62,8100jXRZ
]62,8[0,1100π2X
[V]4510V)9045t10cos(v(t)
)90cos(xsenx)45t10sen(v(t)
L
R
LL
R
L
L
x
x
xxx

























w
w
Fasor Impedância 
35 
jω
σ
Z
.
0100
9062,8
32118
32°
jω
σ
Z
.
0100
9062,8
32118
32°
Alguns autores 
referem-se a esta 
composição fasorial 
como Triângulo de 
Impedância. 
Relações Fasoriais: exemplo 
jω
σ
ω
V
.
VR
.
VL
.
I
.
-45°
-77°
13°
32°
Observar: 
A soma vetorial entre os 
fasores VR e VL; 
 A defasagem nula entre 
os fasores VR e I 
(resistência); 
 A defasagem de 90° 
entre os fasores VL e I 
(reatância indutiva); 
 A defasagem de 32° 
entre os fasores V e I 
(impedância); 
 Fasor V adiantado em 
relação ao fasor I (circuito 
indutivo); 
36 
Relações Fasoriais: exemplo 
jω
σ
ω
-32°
58°
V
.
VR
.
VL
.
I
.
Importante: 
Algumas literaturas sugerem a colocação do fasor que representa a 
fonte de sinal na origem. Assim, fica o diagrama fasorial mais simples 
de ser montado. Veja que a defasagem entre os fasores V e I é próprio 
ângulo do fasor impedância Z (32°). 
37 
Relações Fasoriais: exemplo 
respostas no domínio do tempo 
0s 4ms 8ms 12ms 16ms 20ms 24ms 
-10V 
-5V 
0V 
5V 
10V 
v(t)=10sen(ωt+45°)=10cos(ωt-45°)[V] 
α=-45° 
A tensão de entrada v(t), comparada com uma onda coseno pura, 
indicando o ângulo de fase de 45° em atraso. O fasor que a representa é 
10∟-45°. 
38 
Relações Fasoriais: exemplo 
respostas no domínio do tempo 
A tensão de entrada v(t), comparada com i(t). A defasagem de 32°, em 
atraso para a corrente (circuito indutivo), corresponde ao ângulo do 
fasor Impedância (Z=118∟32°). 
 
0s 4ms 8ms 12ms 16ms 20ms 24ms 
-10V 
-5V 
0V 
5V 
10V 
-100mA 
-50mA 
0A 
50mA 
100mA 
i(t)=84,7cos(ωt-77°)[mA] 
v(t)=10sen(ωt+45°)=10cos(ωt-45°)[V] 
α=-32° 
39 
Relações Fasoriais: exemplo 
respostas no domínio do tempo 
Tensão e corrente, no resistor, em fase. 
iR(t)=84,7cos(ωt-77°)[mA] vR(t)=8,47cos(ωt-77°)[V] 
 
0s 4ms 8ms 12ms 16ms 20ms 24ms 
-10V 
-5V 
0V 
5V 
10V 
-50mA 
0A 
50mA 
-90mA 
90mA 
40 
Relações Fasoriais: exemplo 
respostas no domínio do tempo 
Tensão e corrente, no indutor, com defasagem de 90°, em atraso, para a 
corrente. 
iL(t)=84,7cos(ωt-77°)[mA] vL(t)=5,32cos(ωt+13°)[V] 
 
0s 4ms 8ms 12ms 16ms 20ms 24ms 
-8.0V 
-4.0V 
0V 
4.0V 
8.0V 
-50mA 
0A 
50mA 
-90mA 
90mA 
α=-90° 
41 
42 
Relações Fasoriais (Capacitor) 
   
   
     
[S]C
V
I
e90
)90(CVI
CVjIVCjI
eVCjPR
dt
eVdPR
CeIPR
eIPReIPRti
eVPReVPRtv
tItietVtv
dt
tdv
Cti
CX
P
P
PP
PP
tj
tj
tj
tjtj
P
tjtj
P
PP
C
C

w
w
w
ww
ww
w
w
ww
w
ww
















)(
)(
)(
)(
)cos()()cos()(
)(
)(
 Para este elemento 
passivo a corrente está 
adiantada de 90° em 
relação à tensão. 
Armazena energia na 
forma de um campo 
elétrico e a relação entre 
os valores de pico da 
tensão e corrente é o 
inverso da reatância 
capacitiva (XC). 
iC(t)
+
vC(t)
_
C
Obrigatoriamente 
Y
X
1
jGCj
R
1
V
I
VCj
R
1
I
VCj
R
V
I
dt
tdv
C
R
tv
ti
KCLtititi
Admitância
C
C
CR



















w
w
w
)()(
)(
)()()(
 A quantidade complexa G+j(1/XC) é denominada admitância complexa do 
circuito elétrico ou, simplesmente, admitância do circuito. Possui a 
dimensão de siemens [S] e varia de acordo com a frequência de operação. 
Relações Fasoriais (Capacitor) 
 Considere o circuito RC paralelo. 
43 
iC(t)
+
v(t)
_
C=10mF
R=100Ω
0,1sen(ωt-35°)
iR(t)Relações Fasoriais: exemplo 
Para R=100[Ω], C=1[mF], i(t)=0,1sen(ωt-35°) e f=100[Hz]: 
j48,9[mA]20,7I
j3,3[mA]7,8I
j81,9[mA]57,3I
[mA]1132532384,7900,00628V
X
1
jI
[mA]238,47
][0100
[V]238,47
R
V
I
[V]238,47
320,0118
550,1
Y
I
V
[S]320,0118j0,006280,01
X
1
j
R
1
Y
6,28[mS]10.10100π2
X
1
[V]550,1I)9035t0,1cos(i(t)
cos(x))90sen(x)35t0,1sen(i(t)
C
R
C
C
R
C
6
C
x
xxx




























,

w
w
Fasor Admitância 
44 
jω
σ
Y
.
00,01
900,00628
320,0118
32°
Relações Fasoriais: exemplo 
Observar: 
A soma vetorial entre os 
fasores IR e IC; 
 A defasagem nula entre 
os fasores IR e V 
(resistência); 
 A defasagem de 90° 
entre os fasores IC e V 
(reatância capacitiva); 
 A defasagem de 32° 
entre os fasores I e V 
(admitância); 
 Fasor I adiantado em 
relação ao fasor V (circuito 
capacitivo); 
45 
jω
σ
ωV
.IC
.
IR
.
I
.
23°
32°
55°
Relações Fasoriais: exemplo 
jω
σ
ω
-32°
58°
V
.
IR
.
IC
.
I
.
Importante: 
Algumas literaturas sugerem a colocação do fasor que representa a 
fonte de sinal na origem. Assim, fica o diagrama fasorial mais simples 
de ser montado. Veja que a defasagem entre os fasores I e V é próprio 
ângulo do fasor admitância Y (32°). 
46 
R +
_
i(t) v(t)
j0R0Z
I
V
Z 


 
Relações Fasoriais: Resumo 
 Consideremos um fasor de tensão V, geral, e o fasor corrente resultante I. O fasor 
corrente I pode estar adiantado, atrasado ou em fase com o fasor V, porém, em 
nenhuma hipótese, o ângulo entre eles pode exceder 90°. Consequentemente, 
existem três casos a se considerar: 
 
1- Os fasores V e I estão em fase 
A impedância é uma resistência pura e a admitância é uma condutância pura 
jω
σ
ω
V
.
I
. 
G +
_
i(t) v(t)
j0G0Y
V
I
Y 


 
47 
G
1
R 
Relações Fasoriais: Resumo 
 2- O fasor I está atrasado de um ângulo θ em relação ao fasor V 
A impedância contém uma resistência (parte real) e uma reatância indutiva 
(parte imaginária) em série 
A admitância contém uma condutância (parte real) e uma Susceptância 
indutiva (parte imaginária) em paralelo 
jω
σ
ω
V
.
I
.

R
+
_
i(t)
v(t) jXL
G
+
_
i(t)
v(t) -jBL
48 
L
jXRZ
)(I
V
Z 


 

L
jBG)(Y
V
)(I
Y 


 

L
L
B
1
Xe
G
1
R 
Relações Fasoriais: Resumo 
 3- O fasor I está avançado de um ângulo θ em relação ao fasor V 
A impedância contém uma resistência (parte real) e uma reatância capacitiva 
(parte imaginária) em série 
A admitância contém uma condutância (parte real) e uma susceptância 
capacitiva (parte imaginária) em paralelo 
jω
σ
ω
V
.
I
. 
R
+
_
i(t)
v(t) -jXC
G
+
_
i(t)
v(t) jBC
49 
C
jXR)(Z
)(I
V
Z 


 

C
jBGY
V
)(I
Y 


 

L
L
B
1
Xe
G
1
R 
Relações Fasoriais: Resumo 
 A conversão do fasor Impedância (Z) para o fasor Admitância (Y) e vice-
versa torna-se simples com o emprego da forma polar já que Z=1/Y ou 
Y=1/Z. Entretanto, existem ocasiões em que haverá a necessidade de se 
trabalhar com as relações entre as componentes na forma retangular. 
2222
22
BG
B
Xe
BG
G
R
BG
jBG
jBG
1
jXR
Y
1
Z










 

2222
22
XR
X
Be
XR
R
G
XR
jXR
jXR
1
jBG
Z
1
Y










 

 Dado um fasor Impedância igual a 3+j4, encontrar o fasor Admitância na forma polar e na 
forma retangular. 50 
B
1
Xe
G
1
R 
Atenção 
Relações Fasoriais: Resumo 
 Diagrama fasorial para Impedâncias (Resistências + Reatâncias) e Admitâncias 
(Condutâncias + Susceptâncias): 
51 
jω
σ
ω
jXL
R
-jXC
R+jXL
R-jXC
jω
σ
ω
jBC
G
-jBL
G+jBC
G-jBL
 Obervar que: 
Resistência pura → R+j0 = R∟0° e Condutância pura → G+j0 = G∟0° 
Indutância Pura → 0+jXL = XL∟90° (Impedância) 
Capacitância Pura → 0-jXC
 = XC∟-90° (Impedância) 
Diagrama Fasorial: Circuito RLC 
 Para o circuito RLC ilustrado, montar o diagrama fasorial para v(t)=10sen(ωt+67°) 
52 
i(t)
+
vL(t)
_
L=100mH
+
vR(t)
_R=100Ω
v(t)
+
vC(t)
_
C=10mF
+
_
][43,9139Z
]j96,2[100Z
j159j62,8100Z
fC2
1
jfLj2100Z
jXjXRZ CL














jω
σ
J62,8
100
-j159
R+j62,8
R+j62,8-j159
-43,9°
Z
.
53 
Vj3,839,17VVV
j10,6[V]4,06V
j4,20[V]1,61V
j2,57[V]6,72V
[V]69,111,420,90,07290159IjXV
[V]110,94,520,90,0729062,8IjXV
[V]20,97,220,90,0720100IRV
[mA]20,972
43,9139
2310
Z
V
I
j3,99,2V
2310)23t10cos(v(t)
)9067t10cos()67t10sen(v(t)
CLR
C
L
R
CC
LL
R
x
x
x

























w
ww
Diagrama Fasorial: Circuito RLC 
54 
Diagrama Fasorial: Circuito RLC 
jω
σ
RV

LV

CV

I
V
20,9°
110,9°
-69,1°
-23°
ω
Observar: 
A soma vetorial entre os 
fasores VL, VR e VC = V; 
 A defasagem nula entre os 
fasores IR e VR (resistência); 
 A defasagem de 90° entre 
os fasores I e VC (reatância 
capativa); 
A defasagem de 90° entre os 
fasores VL e I (reatância 
indutiva); 
 A defasagem de 43,9° entre 
os fasores V e I (impedância); 
 A defasagem de 180° entre 
os fasores VL e VC 
 Fasor I adiantado em 
relação ao fasor V (circuito 
capacitivo); 
55 
Exercícios 
1. Um circuito série, com R=10[Ω] e L=20[mH], tem uma corrente i(t)=2cos500t[A]. Obter 
a tensão total v(t) e o ângulo φ pelo qual a corrente se atrasa em relação a tensão. 
2. Achar os dois elementos de um circuito série, dado que a corrente e a tensão total são 
i(t)=10cos(5000t–23,13°)[A] e v(t)=50cos(5000t+30°)[V]. 
3. Qual deve ser a indutância de uma bobina para que ela tenha uma reatância de 942 [Ω] a 
uma frequência de 60[kHz]? 
4. A bobina de um rádio transmissor tem uma indutância de 300[µH]. Para que frequência 
ela terá uma reatância indutiva de 3768[Ω]? 
5. Uma bobina de choque (ou de reatância), de resistência desprezível, serve para limitar a 
corrente através dela em 50[mA] ao ser aplicada aos seus terminais uma tensão senoidal de 
25[V] em 400[kHz]. Calcule a sua indutância. 
6. Um circuito série, com R=2[Ω] e C=200[pF], tem uma tensão senoidal aplicada com uma 
frequência de 99,47[MHz]. Se a tensão máxima através da capacitância é de 24[V], qual é a 
tensão máxima através da combinação em série. 
7. Um capacitor retira 6[mA] quando ligado a uma linha de 110[V] (eficazes) e 60[Hz]. 
Qual a corrente que seria solicitada se tanto a frequência quanto a capacitância fossem 
duplicadas? 
8. Um capacitor é introduzido num circuito para se obter uma corrente adiantada de 5[A]. Se 
a tensão (eficaz) for de 110[V] em 60[Hz], qual o valor da capacitância? 
9. Considere um circuito RLC série e paralelo. Avalie em que situação a impedância e a 
admitância são números reais puros (sem parte imaginária). 
56 
Exercícios 
10. Determinar as tensões e correntes indicadas usando o método fasorial:i(t)
20mH
5Ωv(t)
100mF+
_
v(t)=100sen(1000t+50°)
10Ω
iC(t)
iR(t)=15cos(5000t-30°)
11. No circuito, i(t)=12,5cos(3000t–55°)[A] e v(t)=353,5cos(3000t–10°)[V]. Determinar os 
valores de R e C. 
i(t)
10mH
v(t)
C
+ -R
12. Três elementos de um circuito série solicitam uma corrente i(t)=10cos(400t+70º)[A], em 
resposta a uma tensão aplicada v(t)=50cos(400t+15º)[V]. Se um dos elementos é um indutor 
de 16[mH], quais são os outros dois elementos? 
57 
Exercícios 
13. Um capacitor está em série com uma bobina que tem 1,5[H] de indutância e 5[Ω] de 
resistência. Achar a capacitância que torna a combinação puramente resistiva em 60[Hz]. 
14. Um resistor de 200[Ω], um indutor de 150[mH] e um capacitor de 2[µF] estão em série. 
Achar a impedância total na forma polar para f=400[Hz]. Traçar também o diagrama da 
impedância e o triângulo da impedância. 
15. Determine, para o circuitos abaixo, os equivalentes de Thévenin e Norton “vistos” dos 
terminais A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. Para os circuitos ilustrados no próximo slide: 
 escrever as equações dos nós; 
 escolher as correntes de malha e escrever as equações; 
 fazer o respectivo grafo; 
 escrever equações dos nós e as equações das corrente de malha na forma matricial; 
 resolver e comparar os resultados. 
10cos(377t+45°)
40
50
L=10mH
L=20mH
A
B
55,87,4
5
j5
j3
A
B
2
-j4
58 
Exercícios 
500
5
j5
j3 2
-j4
-j2