Lista11 2015 Calc1

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Ca´lculo 1 - Insper - Lista 11 1
Lista 11 - Ma´ximos e mı´nimos
Nı´vel 1
E1) Identifique e classifique os pontos cr´ıticos das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = 4x3 + 4x2 + x b) f(x) = x4 − 2x2 + 1 c) f(x) = 2x5 − 5x4 − 50x3 + 7
d) f(x) = 15x6 − 39x5 + 30x4 − 5x3 + 2 e) f(x) = −3x8 + 20x6 − 24x4 + 1
E2) Considere a func¸a˜o f , definida para todo x ∈ [2,+∞), dada pelo gra´fico a seguir:
x
y
5 60 1 2 3 4
7
8 9 10
b
Determine, se existirem:
a) o(s) ponto(s) de ma´ximo local(is) da func¸a˜o f ;
b) o(s) ponto(s) de ma´ximo global(is) da func¸a˜o f ;
c) o(s) ponto(s) de mı´nimo local(is) da func¸a˜o f ;
d) o(s) ponto(s) de mı´nimo global(is) da func¸a˜o f ;
e) o(s) ponto(s) cr´ıtico(s) da func¸a˜o f .
Para o pro´ximo item, considere a seguinte definic¸a˜o:
Um valor cr´ıtico de uma func¸a˜o f e´ qualquer nu´mero c no domı´nio da
func¸a˜o para o qual
f ′(c) = 0 ou f ′(c) na˜o existe.
f) Determine, se existir(em) o(s) valor(es) cr´ıtico(s) da func¸a˜o f .
Nı´vel 2
E3) Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o 2.5 - pa´g. 274
◮ Exerc´ıcios 29, 31 e 35
E4) A figura a seguir mostra o gra´fico de uma func¸a˜o deriva´vel f(x):
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 11 2
x
y
-2 -1 0 1 2
3
4
a) Resolva a inequac¸a˜o f ′(x) < 0.
b) Resolva a inequac¸a˜o f(x) · f ′(x) ≤ 0.
E5) Determine dois nu´meros positivos cuja soma seja 4 e tais que a soma do cubo do menor com o quadrado
do maior seja a mı´nima poss´ıvel.
Nı´vel 3
E6) Determine o raio da base de um cilindro circular reto de a´rea total 24pi cm2 para que seu volume seja
ma´ximo.
E7) Apo´s conquistar uma enorme audieˆncia no mundo digital, uma rede social comec¸ou a vender espac¸os para
anu´ncios em seu site. Seus fundadores estabeleceram um modelo que ajusta o prec¸o conforme a demanda dos
anunciantes. Este modelo e´ dado por
p(x) = k(x− a)2,
sendo p(x) o prec¸o, em reais, de um anu´ncio, x a quantidade me´dia de anu´ncios publicados por hora no site e
k e a constantes.
Observac¸a˜o: o modelo e´ va´lido apenas para 0 ≤ x ≤ a.
a) Para determinar os valores das constantes k e a, os analistas da empresa publicaram gratuitamente os
anu´ncios por uma semana. Em seguida, praticaram diferentes prec¸os e publicaram diferentes quantidades de
anu´ncios a cada hora nas duas semanas seguintes. Eles obtiveram os seguintes dados:
Quantidade me´dia de anu´ncios publicados por hora Prec¸o do anu´ncio
Semana 0 12 Gratuito
Semana 1 6 R$ 9,00
Semana 2 8 R$ 4,00
Determine as constantes k e a que fazem o modelo escolhido representar os dados da tabela acima.
b) Com base na tabela, calcule a receita me´dia por hora nas semanas 1 e 2. Em seguida, usando tambe´m
o modelo do item a, determine a func¸a˜o receita me´dia R(x).
c) Observando ca´lculos como aqueles que voceˆ fez no item b, os administradores do site perceberam que
diferentes prec¸os e quantidades de anu´ncios geram diferentes valores da receita. Com o objetivo de estabelecer
a quantidade de anu´ncios que ira˜o publicar em cada hora, os administradores do site fizeram as seguintes
perguntas aos analistas:
• Em que intervalo observa-se que um aumento da quantidade me´dia de anu´ncios publicados por hora leva
a um aumento da receita?
• Em que intervalo ocorre o contra´rio, ou seja, um aumento da quantidade de anu´ncios leva a uma dimi-
nuic¸a˜o da receita?
Determine esses intervalos e, com base neles, fac¸a uma recomendac¸a˜o aos administradores que atenda ao
objetivo deles. Deˆ a sua resposta na forma de um texto.
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 11 3
E8) A produtividade de uma laranjeira depende da a´rea que ela tem para se desenvolver. Um agricultor estima
que, numa determinada a´rea, a produc¸a˜o me´dia por pe´ (p) e´ dada em func¸a˜o do nu´mero de a´rvores plantadas
(x) pelo gra´fico a seguir, formado pela unia˜o de um segmento de reta horizontal com um arco de para´bola de
ve´rtice no ponto (100; 400).
b
b
x
p
100 200
100
400
a) Escreva, para x ∈ [0; 200], a lei que representa p em func¸a˜o de x.
b) Escreva, para x ∈ [0; 200], o nu´mero total de laranjas (P ) que sera˜o produzidas pelo agricultor nesta a´rea
em func¸a˜o de x.
c) Qual o nu´mero total de a´rvores que devem ser plantadas nesta a´rea para que a produc¸a˜o P seja a maior
poss´ıvel?
Respostas
Nı´vel 1
E1) a) x = − 1
2
(ponto de ma´ximo), x = − 1
6
(ponto de mı´nimo)
b) x = −1 (ponto de mı´nimo), x = 0 (ponto de ma´ximo), x = 1 (ponto de mı´nimo)
c) x = −3 (ponto de ma´ximo), x = 0 (ponto de inflexa˜o), x = 5 (ponto de mı´nimo)
d) x = 0 (ponto de inflexa˜o), x = 1
6
(ponto de mı´nimo), x = 1 (ponto de inflexa˜o)
e) x = −2 (ponto de ma´ximo), x = −1 (ponto de mı´nimo), x = 0 (ponto de ma´ximo), x = 1 (ponto de mı´nimo),
x = 2 (ponto de ma´ximo)
E2) a) 2 e 5 b) na˜o existem pontos de ma´ximo globais c) 4 e 7 d) 7
e)* 4 e 7
*Observac¸a˜o: os pontos cr´ıticos sa˜o os valores c do domı´nio da func¸a˜o para os quais f ′(c) = 0. Portanto, para que c seja
um ponto cr´ıtico, e´ necessa´rio que a func¸a˜o seja deriva´vel em c.
f) 2, 4, 5 e 7
Nı´vel 2
E4) a) S = {x ∈ R | x < 3 e x 6= 0} b) S = {x ∈ R | x ≤ 0 ou 3 ≤ x ≤ 4}
E5) 4
3
e 8
3
Nı´vel 3
E6) 2 cm
E7) a) a = 12 e k = 1
4
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 11 4
b) Semana 1: R$ 54,00; Semana 2: R$ 32,00; R(x) = x
3
4
− 6x2 + 36x
c) Ate´ 4 anu´ncios por hora, em me´dia, a receita cresce. Entre 4 e 12 anu´ncios, em me´dia, a receita cai. Logo, os
administradores do site devem estabelecer uma me´dia de 4 anu´ncios por hora, obtendo, assim, a ma´xima receita poss´ıvel.
E8) a) p(x) =
{
400, se 0 ≤ x ≤ 100
−0, 03x2 + 6x+ 100, se 100 ≤ x ≤ 200
.
b) P (x) =
{
400x, se 0 ≤ x ≤ 100
−0, 03x3 + 6x2 + 100x, se 100 ≤ x ≤ 200
.
c) Aproximadamente 141 a´rvores.