Equacoes Exatas

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Centro Universitário Univates 
Disciplina: Cálculo III Semestre: 2011/A 
Professoras: Adriana Belmonte Bergmann 
Marli Teresinha Quartieri 
 
2. Equações Exatas 
Para equações de primeira ordem, existem vários métodos de 
integração aplicáveis a diversas classes de problemas. As mais 
importantes entre essas são as equações lineares (que veremos logo 
adiante) e as separáveis (já discutidas anteriormente). Vamos 
considerar, agora, uma classe de equações conhecidas como equações 
exatas, para as quais existe também um método bem definido de 
solução. Mantenha em mente, no entanto, que essas equações de 
primeira ordem que podem ser resolvidas por métodos de integração 
elementares são bastante especiais, a maior parte das equações de 
primeira ordem não pode ser resolvida desse modo. 
Considere as equações de primeira ordem que podem ser 
escritas na forma: 
𝑀 𝑥,𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (2.1) 
Essa forma particular é bastante sugestiva, pois nos lembra de uma família de 
curvas, ou seja, se acontecer de existir uma função 𝑓(𝑥,𝑦) tal que 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑒 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁 , (2.2) 
podemos reescrever a equação diferencial como 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦 = 0 . (2.3) 
É claro que a única forma de tal equação ser satisfeita é se 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
≡ 0 𝑒 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
≡ 0 . 
E isso obriga a função f a ser identicamente constante. Em outras palavras, 
𝑓(𝑥,𝑦) ≡ 𝑐. 
 Essa última equação descreve uma família de curvas: para cada 
valor fixado de c, a equação expressa y implicitamente como uma função 
de x e, portanto, fornece uma curva. Mais a frente, aprendemos muito 
considerando um conjunto de soluções de uma equação diferencial como 
uma família de curvas variando suavemente no plano. 
 O método de solução que acabamos de delinear é chamado de 
método das equações exatas. Ele depende criticamente de sermos capazes 
de dizer quando uma equação na forma (2.1) pode ser escrita na forma 
(2.3). Isso, por sua vez, coloca a questão de quando a equação (2.2) será 
válida. 
 Felizmente, aprendemos em cálculo uma resposta completa a essa 
questão. Vamos revisar os pontos-chaves. Observe primeiro que, se 
acontecer de 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑒 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁 , (2.4) 
Então vemos (por diferenciação) que 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕𝑀
𝜕𝑦
 𝑒 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 
Já que as derivadas parciais mistas de uma função suave podem ser 
tomadas em qualquer ordem, encontramos que uma condição necessária 
para que a condição (2.4) seja satisfeita é 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 (2.5) 
 Chamamos a condição (2.5) de condição de exatidão. Isso nos 
fornece um teste útil para quando o método das equações exatas será 
aplicável. 
 
Exemplo 1 - Use o método das equações exatas para resolver 
𝑒𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑒𝑦 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0. 
Solução 
Inicialmente, aplicamos o teste para exatidão: 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
 𝑒𝑦 = 𝑒𝑦 =
𝜕
𝜕𝑥
 𝑥𝑒𝑦 + 2𝑦 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
. 
Verificando isso, podemos continuar e determinar f: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 = 𝑒𝑦 
logo 
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥𝑒𝑦 + ∅(𝑦). 
Mas então 
𝜕
𝜕𝑦
𝑓 𝑥,𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
 𝑥𝑒𝑦 + ∅ 𝑦 = 𝑥𝑒𝑦 + ∅′ 𝑦 . 
E esta última expressão deve ser igual a 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑦 + 2𝑦 . Assim 
∅′ 𝑦 = 2y 
ou 
∅ 𝑦 = 𝑦2 + 𝑑 . 
 
Juntando tudo concluímos que 
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥𝑒𝑦 + 𝑦2 + 𝑑. 
Não podemos esquecer o passo final. A solução da equação 
diferencial é 
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑐 
ou 
𝑥𝑒𝑦 + 𝑦2 = 𝑐. 
Desta vez, devemos nos contentar com uma solução expressa 
implicitamente, pois não pé possível isolar 𝑦 e escrevê-lo em termos de 𝑥. 
 
Exemplo 2 - Use o método das equações exatas para resolver a equação 
diferencial 
𝑦2 𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 
Solução 
Inicialmente testamos a condição de exatidão: 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 2𝑦 ≠ −2𝑥 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 . 
A condição de exatidão não é satisfeita. Como resultado, essa 
equação diferencial ordinária não pode ser resolvida pelo método das 
equações exatas. 
 
 
 
 Fatores Integrantes 
Se a equação diferencial 𝑀 𝑥,𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 não for exata, 
pode ser possível transformá-la em exata multiplicando-a por um fator 
apropriado 𝜇(𝑥, 𝑦), chamado de um fator integrante para a equação 
diferencial. Por exemplo, se a equação diferencial 
2𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0 , (não é uma equação exata) 
for multiplicada pelo fator integrante 𝜇 𝑥,𝑦 = 𝑥 , a equação 
resultante 
2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 (equação exata) 
é exata e o lado esquerdo é a diferencial total de 𝑥2𝑦 . Analogamente, 
se a equação 
𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0 , (não é uma equação exata) 
for multiplicada pelo fator integrante 𝜇 𝑥,𝑦 =
1
𝑦2
 , a equação 
resultante 
1
𝑦
 𝑑𝑥 −
𝑥
𝑦2
 𝑑𝑦 = 0 (equação exata) 
é exata. 
 
Exemplo 3 – Resolva 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 ln(𝑥)𝑑𝑦 = 0 , usando 𝜇 𝑥,𝑦 =
1
𝑥
 
em (0,∞). 
 Solução 
 Sejam 𝑀 𝑥,𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑒 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ln(𝑥). 
Daí, 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 1 𝑒 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 1 + ln(𝑥). A equação não é exata. Porém, se 
multiplicarmos a equação por 𝜇 𝑥, 𝑦 =
1
𝑥
 , obtemos 
 1 +
𝑦
𝑥
 𝑑𝑥 + ln 𝑥 𝑑𝑦 = 0 . 
Segue-se desta última forma que escrevemos as identificações: 
𝑀 𝑥,𝑦 = 1 +
𝑦
𝑥
 𝑒 𝑁 𝑥,𝑦 = ln(𝑥) → 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
1
𝑥
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 . 
Portanto, a segunda equação diferencial é exata. Logo, 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 1 +
𝑦
𝑥
= 𝑀(𝑥,𝑦) 
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥 + 𝑦 ln 𝑥 + 𝑔(𝑦) 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 0 + ln 𝑥 + 𝑔′ 𝑦 = ln 𝑥 
assim, 𝑔′ 𝑦 = 0 𝑒 𝑔 𝑦 = 𝑐 . 
Então, 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥 + 𝑦 ln 𝑥 + 𝑐 . Verifica-se facilmente que 
𝑥 + 𝑦 ln 𝑥 + 𝑐 = 0 
é uma solução para ambas as equações em (0,∞). 
 
 
Exercícios 
I) Verificar se as equações diferenciais são exatas. Em caso afirmativo, 
determinar a solução geral ou particular, conforme o caso: 
 
1. 3𝑦4 − 1 𝑑𝑥 + 12𝑥𝑦3 𝑑𝑦 = 0 com 𝑦 1 = 2 
2. (2𝑥 sen(𝑦))𝑑𝑥 + (𝑥2 cos 𝑦 − 1)𝑑𝑦 = 0 com 𝑦 0 = 2 
3. 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0 
4. 2𝑥2 + 3𝑦2 𝑦′ + 4𝑥𝑦 + 2𝑥 = 0 com 𝑥 3 = −2 
5. 3𝑦2 + 𝑥 𝑑𝑦 = − 
1
𝑥
+ 𝑦 𝑑𝑥 
6. (cos 𝑦 + 𝑦 cos(𝑥))𝑑𝑥 + (sen 𝑥 − 𝑥 sen(𝑦))𝑑𝑦 = 0 
7. 𝑒𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 3 + 𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 𝑑𝑦 = 0 
8. 𝑥4 + 3𝑦2 − 𝑥 𝑑𝑦 + 4𝑥3𝑦 − 15𝑥2 − 𝑦 𝑑𝑥 = 0 com 𝑥 1 = 4 
9. (2𝑥𝑦3 + 𝑦 cos 𝑥 )
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= −3𝑥2𝑦2 − sen(𝑥) 
10. (𝑥 ln 𝑦 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 ln 𝑥 + 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 
11. 
3𝑦2−𝑥2
𝑦5
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑥
2𝑦4
= 0 com 𝑦 1 = 1 
12. (𝑦 cos 𝑦 + 𝑥3)𝑑𝑦 + 3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 0 
 
 
I) Usar o fator integrante 𝜇(𝑥,𝑦) dado para encontrar a solução da 
equação diferencial. 
1. 3𝑦2 + 5𝑥2𝑦 𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦 + 2𝑥3 𝑑𝑦 = 0 , 𝜇 𝑥,𝑦 = 𝑥2𝑦 
2. 𝑥2 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 𝑦2 𝑑𝑥 , 𝜇 𝑥,𝑦 =
1
𝑥2𝑦
 
3. 2𝑥𝑦4 − 2𝑥3 𝑑𝑦 + 𝑥2𝑦 − 𝑦5 𝑑𝑥 = 0 , 𝜇 𝑥,𝑦 = 𝑥−2𝑦−3 
4. 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 1 𝑑𝑥 + 𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0 , 𝜇 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥