ELMG_Exer_Resolvidos_01[1]

Prévia do material em texto

ELMG – Eletromagnetismo – Exercícios Resolvidos 01
Exercício 01: O vetor é definido pela sua intensidade, a sua direção e seu sentido. Em 
muitas situações a sua orientação é definida por dois pontos. Nestas condições: (a) 
Calcule o vetor unitário que liga um ponto genérico do plano z = -3 ao ponto (x1, y1, z1) e 
ainda (b) determine a distância, sendo x1 = 2 (m); y1 = -1 (m) e z1 = 4 (m).
RESOLUÇÃO:
Para o plano z = -3, o ponto genérico P(x, y, -3) e outro ponto Q(x1, y1, z1).
O vetor unitário vale: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 212121
111
3
.3..
++−+−
++−+−
=
zyyxx
azayyaxx
a zyx


b) x1 = 2(m); y1 = -1(m) e z1 = 4(m)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 49123412 22222 +−−+−=++−−+−= yxyxd
Exercício 02: Em muitos problemas de eletromagnetismo, a sua resolução depende do 
conhecimento das propriedades dos produtos de vetores. Vamos testar os seus 
conhecimentos adquiridos em Geometria Analítica e Álgebra Linear, aprendido no módulo 
2. Sendo zyx aaaA
 .5.3.2 ++−= , zyx aaaB
 .4.3 −+= e zyx aaaC

+−= .2.4 , determine: (a) o 
módulo de BA

.3+ ; (b) um vetor unitário na direção de CB

−
; (c) A componente de C

 na 
direção do vetor B

; (d) O ângulo agudo entre A

 e C

.
RESOLUÇÃO:
a) ( ) ( ) zyxzyxzyx aaaaaaaaaBA  .7.12.4.3.3.5.3.2.3 −+=−++++−=+
928,131947121.3 222 ==++=+ BA

b) 222 553
.5.5.3
.5.5.3
++
−+−
=
−
−
=⇒−+−=−
zyx
BCzyx
aaa
CB
CBaaaaCB




zyx
zyx
BC aaa
aaa
a 

 .6509,0.6509,0.3906,0
59
.5.5.3
−+−=
−+−
=
c) 26
.4.3
431
.4.3
222
zyxzyx
B
aaaaaa
B
Ba



 −+
=
++
−+
==
26
6
26
464.Pr −=−−==
B
BCCoj
Ba 



zyx
zyx
BaB aaa
aaa
aCojC
B



 .9231,0.6924,0.2308,0
26
.4.3
.
26
6.Pr +−−=


 −+
−==
d) 2112438532;9568. 222222 =++==++=−=+−−= CeACA

º42,71
21.38
9arccos
21.38
9
.
.
cos ==⇒== θθ
CA
CA


Exercício 03: Em uma região do espaço são conhecidos três pontos A(-1, 6, 2) (m), B(2, 4, 
-3)(m) e C(4, 1, -5) que definem um triângulo e um plano. Sabendo-se que a área de um 
triângulo é a metade da área de um paralelogramo, pede-se determinar: (a) a área do 
triângulo ABC; (b) um vetor unitário normal ao plano definido pelos pontos A, B e C.
RESOLUÇÃO:
zyxzyx aaaACveaaaABu
 .7.5.5.5.2.3 −−=−=−−=−=
zyx
zyx
aaa
aaa
vxu 

 .5.4.11
755
523 −−−=
−−
−−=
a) )(364,6
2
162
2
5411
2
2
222
u
vxu
A ==++==∆

b) 
( )
zyx
zyx
n aaa
aaa
vxu
vxua 



 .3928,0.3143,0.8642,0(
162
.5.4.11
++±=
++±
== )
Exercício 04: Em uma região do espaço são colocadas três cargas elétricas Q1, Q2 e Q3 
respectivamente nos pontos A(-2, -1, 3), B(1, -2, 5) e C(-1, 4, 2). A força aplicada em cada 
uma das cargas é dada pela soma vetorial da aplicação da Lei experimental de Charles 
Coulomb (1750), que matematicamente é dada por: RR aR
QQF 

.
...4
.
2
21
εpi
= . A força resultante no 
ponto A é dada por: zyxA aaaF
 .5.10.10 +−−= (N). Nesta situação, determine: (a) um vetor 
unitário direcional de A dirigido para C em coordenadas cartesianas; (b) um vetor direcional 
de B dirigido para A em coordenadas cartesianas; (c) A projeção do vetor direcional de C 
dirigido para B sobre o vetor direcional de C dirigido para A.
RESOUÇÃO:
A(-2, -1, 3), B(1, -2, 5) e C(-1, 4, 2)
a) A → C zyxAC aaaACv
 .1.5.1 −+=−=⇒ → zyx
AC
AC
v aaav
v
a
AC



 .
27
1.
27
5.
27
1
−+==
b) B → A zyxBA aaaBAv
 .2.1.3 −+−=−=⇒
c) 

=⇒+−−=−=
−−=−=
⇒=
27.1.5.1
.3.6.2
.Pr
CAzyxACCA
zyxCB
CA
CA
CB
v
v vaaavv
aaaCBv
v
v
voj CB
CA






( ) 811,4
27
25
27
3302
27
).1.5.1(
..3.6.2Pr ==−+−=
+−−
−−=
zyx
zyx
v
v
aaa
aaaoj CB
CA



Exercício 05: As informações sobre as posições entre os vetores de campos podem 
representar uma grandeza escalar muito interessante no estudo do eletromagnetismo, com 
estas informações em mente, (a) determine o ângulo entre zyxx aaaA
 .4.7. −− e 
zyx aaa
 .3.5.4 ++ sendo Ax = 10. Qual deve ser o valor de Ax de modo que o ângulo seja (b) 
90º; (c) 62,1º?
RESOLUÇÃO:
zyxx aaaAu
 .4.7. −−= e zyx aaav
 .3.5.4 −+=
a) ( ) ( ) 7123540.3.5.4..4.7.10.10 −=−−=++−−=⇒= zyxzyxx aaaaaavuA 
503541654710 222222 =++==++= veu 
058,85
50.165
7arccos
.
.
arccos ===
vu
vu


θ
b) θ = 90º 75,11
4
471235.40. ==⇒−−==⇒ xx AAvu

c) θ = 62,1º 47.4. −=⇒ xAvu

º1,62cos.50.6547.4cos... 2 +=−⇒= xx AAvuvu θ

( ) 652047,14.2089,12047,14.2089,1
º1,62cos.50
47.4
65 222 +=−⇒−=
−
=+ xxx
x
x AAA
A
A
Desenvolvendo: 65773570,201.344437,34.461465,1 22 +=+− xxx AAA
077357,136.344437,34.461465,0 2 =+− xx AA
Resolvendo a equação de 2º grau, obtemos: 
2219,4
2030,70
eAx =
Fazendo a verificação, as duas soluções satisfazem as condições do problema
Exercício 06: Por dois pontos distintos podemos definir um vetor com sua intensidade, 
direção e sentido. Para o cálculo da área de um paralelogramo, necessitamos de pelo 
menos três pontos distintos e com conhecimento da definição do paralelogramo, podemos 
resolver esta questão: sejam os vetores que interligam a origem dos pontos A(4, 7, -5) (m) 
e B(2, -3, -6) (m). Estes dois vetores determinam dois lados de um paralelogramo. (a) 
Especifique as coordenadas no ponto C coincidente com quarto vértice, sendo AB uma das 
diagonais. (b) Determine a área do paralelogramo formado. (c) Ache os quatro ângulos 
internos deste paralelogramo..
RESOLUÇÃO: 
Da figura: zyxzyx aaaOBveaaaOAu
 .6.3.2.5.7.4 −−=−=−+=−=
a) )11,4,6(.11.4.6 −⇒−+=+ Caaavu zyx

b) zyx
zyx
aaa
aaa
vxu 

 .26.14.57
632
574 −+−=
−−
−=
)(195,64261457 2222 uvxuArea =++== 
c) 763290574;1730218. 222222 =++==++==+−= veuvu 
º17,75
7.90
17arccos
.
.arccos ===
vu
vu


α 
º83,104º180 =−=== αφγβα e