Aplicacao_Derivadas

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Aplicações da Derivação 
Prof. Ronaldo Portela 
Aplicações de Derivação 
• Máximos e Mínimos de uma função; 
Problemas de Otimização; 
– Exemplo: Qual é a forma de uma lata que minimiza o custo 
de manufatura? 
– Exemplo: Qual é a aceleração máxima de um ônibus 
espacial? 
 
– Esses problemas podem ser reduzidos a encontrar os 
valores máximo ou mínimo de uma função. 
• Cálculo de Limites pela regra de L’Hopital. 
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Máximo e Mínimo Absoluto 
• Uma função ƒ tem máximo absoluto (ou máximo 
global) em c se f (c) ≥ f (x) para todo x em D, onde D 
é o domínio de ƒ. 
• O número ƒ(c) é chamado valor máximo de ƒ em D. 
 
• Analogamente, ƒ tem um mínimo absoluto em c se 
f(c) ≤ f(x) para todo x em D, e o número ƒ(c) é 
denominado valor mínimo de ƒ em D. 
• Os valores máximo e mínimo de ƒ são chamados 
valores extremos de ƒ. 
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Máximo e Mínimo Relativo 
• Uma função f tem um máximo local (ou máximo 
relativo) em c se f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas 
proximidades de c. 
 
– Isso significa que f(c) ≥ f(x) para todo x em algum intervalo 
aberto contendo c. 
– Analogamente, f tem um mínimo local em c se f(c) ≤ f(x) 
quando x estiver próximo de c. 
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Máximo e Mínimo 
• Qual a diferença entre: 
 
- Máximo global e máximo relativo? 
 
- Mínimo global e mínimo relativo? 
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Máximo e Mínimo 
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Máximo e Mínimo 
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Máximo e Mínimo 
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Máximo e Mínimo 
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Teorema de Fermat 
• Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f’ (c) 
existir, então f’ (c) = 0. (a recíproca não é verdade). 
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Teorema de Fermat 
• Definição: Um número crítico de uma função f é um 
número c no domínio de f onde f ’(c) = 0 ou f ’(c) não 
existe. 
 
• Exemplo: Encontre os números críticos de 
f (x) = x3/5(4 - x). 
 
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Método do Intervalo Fechado 
• Para encontrar os valores máximo e mínimo 
absolutos de uma função contínua f em um 
intervalo fechado [a, b]: 
1. Encontre os valores de f nos números críticos de f em 
(a, b). 
2. Encontre os valores de f nas extremidades do 
intervalo. 
3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo 
absoluto, ao passo que o menor desses valores é o 
valor mínimo absoluto. 
 
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Método do Intervalo Fechado 
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Problemas de Otimização 
• Exemplo: O telescópio espacial Hubble foi colocado 
em órbita em 24 abril de 1990 pelo ônibus espacial 
Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus 
durante essa missão, do lançamento em t = 0 até a 
ejeção do foguete auxiliar em t = 126 s, é dado por: 
 
v(t) = 0,001302t3 – 0,09029t2 + 23,61t – 3,083 (m/s) 
 
• Usando esse modelo, estime os valores máximo e 
mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o 
lançamento e a ejeção do foguete auxiliar. 
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Referências Bibliográficas 
• LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria 
Analítica. Volume 1. 3ª edição. São Paulo, Harbra, 
1994. 
 
• STEWART, J. Cálculo. Volume 1. 5ª edição. São 
Paulo, Thomsom Learning. 2006. 
 
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