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AULA 08

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Centro de Tecnologia - CT 
Departamento de Engenharia de Produção 
ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA 
DE PRODUÇÃO
Prof. Luciano Queiroz
Natal/RN 10/02/14
Sumário
Probabilidade
Probabilidade de um evento
 Quando falamos de probabilidade de um evento referimo-nos à frequência
relativa que se pode esperar que um evento ocorra.
 A probabilidade de um evento pode ser obtida de três formas:
 Empírica
 Teórica
 Subjetiva
Probabilidade empírica
 Probabilidade empírica ou probabilidade experimental é a frequência relativa
observada em que ocorre um evento.
 Exemplo
 Se você tem 151 M&Ms azuis e existem 692 M&Ms no saco. Qual a equação
matemática que vocês utilizariam para deduzir a porcentagem?
Probabilidade empírica
 O valor atribuído à probabilidade de um evento A como resultado de uma
experimentação pode ser encontrado por meio da fórmula:
 Probabilidade Empírica (Observada) P’(A)
 Expressão algébrica: P(A) = n(A)/n
 O método teórico para a obtenção da probabilidade de um evento utiliza um
espaço amostral.
 Um espaço amostral é uma listagem de todos os possíveis resultados do
experimento a ser considerado (indicado pela letra S maiúscula). Quando esse
método é utilizado, o espaço amostral deve conter pontos amostrais
igualmente prováveis.
Probabilidade teórica
 Sabendo que o espaço amostral para o rolar de um dado é S = {1,...,6}. Cada
resultado é igualmente provável.
 Um evento é um subconjunto do espaço amostral (representado por uma letra
maiúscula que não seja S; normalmente, A). Portanto, a probabilidade de um
evento A, P(A), é a razão entre o número de pontos que satisfazem a definição
do evento A, n(A), e o número de pontos amostrais em todo o espaço amostral,
n(S).
 Expressão algébrica: P(A) = n(A)/n(S)
Representação do espaço amostral
 Considere o rolar de um dado. Em um único rolar há seis resultados possíveis,
tornando o n(S) =6. Definia o evento A como a ocorrência de um número “até
4”.
 O evento “até 4” é satisfeito pela ocorrência de um “1, 2, 3 ou 4”, assim n(A) =
4. Sabendo que o dado é simétrico a probabilidade é igual a 4/6, ou seja, 2/3.
 O que acontece se você joga um par de dados?
Representação do espaço amostral
 A soma dos pontos deve ser
considerada.
 Uma lista das possíveis “somas”
constitui um espaço amostral S =
{2,....,12} e n(S) = 11.
 Entretanto os elementos desse
espaço amostral não são igualmente
prováveis, portanto não pode ser
usado para determinar
probabilidades teóricas.
Representação do espaço amostral
 A partir do espaço amostral de 36 pontos, é possível observar que é
inteiramente composto de pontos amostrais igualmente prováveis e a
probabilidade pode ser facilmente encontrada.
 Utilizando P(A) = n(A)/ n(S)
 P(2) = {(1,1)} = 1/36
 P(3) = {(1,2), (2,1)} = 2/36
 P(4) = {(1,3), (3,1), (2,2)} = 3/36
 P(2) + P(3) + P(4) = 6/36 = 1/6
Representação do espaço amostral
 Quando um experimento de probabilidade pode ser concebido como a
sequência de eventos, geralmente, um diagrama de árvore é forma bastante
útil de ilustrar o espaço amostral.
 Uma família com dois filhos é selecionada aleatoriamente, e nós queremos
determinar a probabilidade de ela ter um filho de cada sexo.
Representação do espaço amostral
M M, M
M S = {(M,M), (M,F)
F M, F (F,M), (F,F)}
FILHOS
M F, M
F
F F, F
n(S) = 4, quatro ramos
Representação do espaço amostral
 Como os segmentos ramificados são igualmente prováveis, presumindo-se uma
probabilidade igual de gêneros, então, os quatro ramos são igualmente
prováveis.
 Então,
 P(um de cada sexo em uma família com dois filhos) = 2/4 = 0,5
 Determine a probabilidade de haver “pelo meninos um menino” nessa família.
 Qual a probabilidade de que o terceiro filho da família seja uma menina?
Probabilidade subjetiva
 Julgamento pessoal determinado por um observador com informações
incompletas.
 Exemplo: Serviço de meteorologia que, geralmente, atribui uma probabilidade
ao evento “precipitação”. “Há 20% de chances de chover hoje”.
 O meteorologista atribui uma probabilidade ao evento com base em dados
anteriores sobre o clima que se seguiram após circunstâncias semelhantes no
passando, sabendo, durante todo o tempo, que todos os fatores que
contribuem para o clima não são conhecidos cientificamente.
Propriedade dos números
 Seja a probabilidade empírica, teórica ou subjetiva, as duas propriedades a
seguir devem ser mantidas,
 Primeiro, a probabilidade é sempre um valor numérico entre zero e um.
 0 ≤ cada P(A) ≤ 1 ou 0 ≤ cada P’(A) ≤ 1
 Segundo, a soma das probabilidades para todos os resultados de um
experimento é exatamente igual a 1.
 Σ P(A) = 1 ou Σ P’(A) = 1
Propriedade dos números
 Notas
 A probabilidade representa uma frequência relativa.
 P(A) é a razão do número de vezes que se pode esperar que um evento ocorra
dividido pelo número de experimentos. P’(A) é a razão do número de vezes que um
evento ocorreu dividido pelo número de dados.
 O numerador da razão da probabilidade deve ser um número positivo ou zero
 O denominador da razão da probabilidade deve ser um número positivo (maior do
que zero)
 A probabilidade de um evento, seja empírica, teórica ou subjetiva, será sempre um
valor numérico entre zero e um, inclusive.
Probabilidade Empírica x Probabilidade Teórica
 Notas
 A probabilidade representa uma frequência relativa.
 P(A) é a razão do número de vezes que se pode esperar que um evento ocorra
dividido pelo número de experimentos. P’(A) é a razão do número de vezes que um
evento ocorreu dividido pelo número de dados.
 O numerador da razão da probabilidade deve ser um número positivo ou zero
 O denominador da razão da probabilidade deve ser um número positivo (maior do
que zero)
 A probabilidade de um evento, seja empírica, teórica ou subjetiva, será sempre um
valor numérico entre zero e um, inclusive.
Probabilidade Empírica x Probabilidade Teórica
 Considere o rolar de um dado e defina o evento A como a ocorrência de um
“1”. Um dado comum possui seis lados com probabilidades iguais do evento A,
P(A) = 1/6. O que isso significa?
 Você espera ver um “1” em cada teste com o dado rolando seis vezes?
Explique. Se não, que resultados você espera ver? Se tivéssemos jogado o
dados várias vezes e controlar a proporção de vezes que o evento A ocorre,
observaríamos uma probabilidade empírica para o evento A. Que valor você
esperaria observar para P’(A)? Explique. Qual a relação entre as duas
probabilidades P(A) e P’(A)?
Probabilidade Empírica x Probabilidade Teórica
 Para compreender essa relação, vamos fazer um experimento que consistirá
em 30 testes. Cada teste se baseará em jogar uma moeda para cima e
registrar quantas vezes a “cara“ aconteceu.
Teste Número de 
vezes que a 
“cara” ocorreu
Frequência
relativa
Frequência 
relativa 
acumulada
10
20
30
Probabilidade Empírica x Probabilidade Teórica
 Lei dos grandes números
 Conforme o número de vezes que um experimento é repetido aumenta, a razão
entre o número de ocorrências bem sucedidas e o número de testes tende a se
aproximar da probabilidade teórica do resultado para um teste individual.
Probabilidade como chances
 As chances são uma forma de expressar probabilidades por meio do número
de formas que um evento pode ocorrer comparado ao número de formas que
ele pode não ocorrer.
 “É quatro vezes mais provável chover amanhã do que não chover”
 Se as chances a favor de um evento A são de a contra B (ou a:b), então
 As chances contra o evento A são de b contra A (ou b:a) A probabilidade do evento A é P(A) = a/(a+b)
 A probabilidade de o evento A não ocorrer é P(não A) = b/(a+b)
Probabilidade x Estatística
 Probabilidade e estatística são dois campos da matemática independentes,
porém relacionados. Diz-se que “a probabilidade é o veículo da estatística”.
 Ou seja, se não fosse pelas leis da probabilidade, a teoria da estatística não
seria possível.
 Imagine um conjuntos de fichas de pôquer. O conjunto de probabilidades
contém 20 fichas verdes, 20 fichas vermelhas e 20 fichas azuis.
 A probabilidade tentar responder a perguntas como: “Se uma ficha for retirada
desse conjunto aleatoriamente, qual a chance de ela ser azul?”
 Na estatística não sabemos qual é a combinação das fichas. Extraímos uma amostra
e, com base nas conclusões da amostra, fazemos conjecturas sobre o que
acreditamos haver no conjunto.
Probabilidade x Estatística
 Observe a diferença:
 A probabilidade indaga sobre a chance de algo específico, como retirar uma ficha
azul, ocorrer quando você conhece as possibilidades (ou seja, você conhece a
população).
 A estatística, ao contrário, pede que você extraia uma amostra, descreva essa
amostra (estatística descritiva) e, em seguida, faça inferências sobre a população
com base nas informações obtidas na amostra (estatística inferencial)
Probabilidade condicional de eventos
 É a frequência relativa em que um evento pode acontecer sob a condição de
serem conhecidas informações preexistentes adicionais sobre algum outro
evento. P (A l B) é usado para simbolizar a probabilidade de o evento A ocorrer
sob a condição de que se tenha conhecimento da existência do evento B.
 Ao se determinar uma probabilidade condicional, algumas possibilidades serão
eliminadas assim que a condição é conhecida.
Probabilidade condicional de eventos
 Exemplos:
 Qual a probabilidade de uma pessoa que passou no vestibular da UFRN ser um
homem?
 Qual a probabilidade uma pessoa que passou no vestibular da UFRN ter entre
16 e 20 anos?
 Qual a probabilidade de se escolher um homem que passou no vestibular da
UFRN que estudou numa escola particular?
 Qual a probabilidade de uma pessoa que passou no vestibular da UFRN ser
homem de 17 anos que estudou na escola CDF Colégio e Curso?
Regras da probabilidade
 Muitas vezes, deseja-se saber a probabilidade de um evento composto, no
entanto os únicos dados disponíveis são as probabilidades de eventos simples
relacionados a eles.
 Evento composto: combinações de mais de um evento simples.
Determinação da probabilidade de “não A”
 O conceito de eventos complementares é fundamental para determinar a
probabilidade de “não A”.
 Eventos complementares:
 O complemente de um evento A, Abarra, é o conjunto de todos os pontos amostrais
em um espaço amostral que não pertence ao evento A.
 Exemplo: “sucesso” e “fracasso”.
 Lembrando das propriedades de probabilidade, temos que:
 P(A) + P(Abarra) = 1,0 para qualquer evento A
Determinação da probabilidade de “não A”
 Úteis quando a questão pede a probabilidade de “no mínimo um”. Geralmente
isso representa uma combinação de vários eventos, mas o evento
complementar “nenhum” é um resultado único.
 Exemplo: Dois dados são jogados. Qual a probabilidade de a soma ser no
mínimo 3?
 P(soma de 2) = P(A) = 1/36.
 P(soma mínima de 3) = P(Abarra) = 1 – P(A) = 1 – 1/36 = 35/36.
Determinação da probabilidade de “A OU B” 
 A Regra Geral da Adição nos ajudará a determinar.
 Regra Geral da Adição
 Consideremos A e B como dois eventos definidos em um espaço amostral S.
 Algebricamente: P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B).
 NOTAS
 O conectivo “ou” significa “um ou outro ou ambos”. Assim “A ou B” significa todos os
elementos que atendam a um dos dois eventos.
 O conectivo “e” significa “ambos”. Assim “A e B” significa todos os elementos que
satisfazem os dois eventos.
Determinação da probabilidade de “A OU B” 
 Exemplo: Cada aluno foi identificado como Grupo A, Grupo B ou Outros (não
vieram a aula), e foi feita a seguinte pergunta: “Você é a favor ou contra a
prova ser em dupla?”
 Probabilidade do aluno ser “a favor”
 Probabilidade do aluno ser do “Grupo A”
 Probabilidade do aluno ser “a favor” ou
do “grupo A”
 Probabilidade do aluno ser “a favor” e
do “grupo A”
A favor Contra Total
Grupo A 13 8 21
Grupo B 31 21 52
Outros 1 3 4
Total 45 32 77
Determinação da probabilidade de “A E B” 
 A Regra da Multiplicação vai nos ajudar a determinar.
 Regra Geral da Multiplicação
 Consideremos A e B como dois eventos definidos no espaço amostral S.
 Algebricamente, P(A e B) = P(A) x P(B l A)
 Probabilidade do aluno ser “a favor” e
do “grupo A”
A favor Contra Total
Grupo A 13 8 21
Grupo B 31 21 52
Outros 1 3 4
Total 45 32 77
Probabilidade condicional e sorteio sem 
reposição
 Ao ser solicitado que se determine P(A e B) nem sempre você obterá a resposta
correta apenas multiplicando essas duas probabilidades [P(A) e P(B)]. Uma
terceira informação será necessária: a probabilidade condicional de um dos
dois eventos ou informações que permitam determina-lo
Probabilidade condicional e sorteio sem 
reposição
 Em um jogo de parque de diversão, o jogador retira sem olhar uma bolinha de
gude colorida por vez de uma caixa contendo dias bolinhas vermelhas e
quatro azuis. A bolinha escolhida não é colocada de volta na caixa após ser
selecionada, ou seja, cada sorteio é realizado sem reposição. As bolinhas de
gude são misturadas antes de cada sorteio.
 Custa R$ 1 para jogar e, se as duas primeiras bolinhas retiradas forem vermelhas,
o jogador receberá um prêmio de R$ 2. Se as quatro primeiras bolinhas retiradas
forem azuis, o jogador receberá um prêmio de R$ 5. Caso contrário, ele não
recebe nenhum prêmio.
Probabilidade condicional e sorteio sem 
reposição
V
V VV = ganha R$ 2
A
SORTEIO
V
A
A
2/6
4/6
4/5
2/5
3/5
1/5
 P(A e B) = P(A) x P(B l A)
 P (ganhando R$2) = P(V1) x P(V2 l V1)
 P (ganhando R$ 2) = 2/6 x 1/5 = 0,067