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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia - CT Departamento de Engenharia de Produção ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Prof. Luciano Queiroz Natal/RN 10/02/14 Sumário Probabilidade Probabilidade de um evento Quando falamos de probabilidade de um evento referimo-nos à frequência relativa que se pode esperar que um evento ocorra. A probabilidade de um evento pode ser obtida de três formas: Empírica Teórica Subjetiva Probabilidade empírica Probabilidade empírica ou probabilidade experimental é a frequência relativa observada em que ocorre um evento. Exemplo Se você tem 151 M&Ms azuis e existem 692 M&Ms no saco. Qual a equação matemática que vocês utilizariam para deduzir a porcentagem? Probabilidade empírica O valor atribuído à probabilidade de um evento A como resultado de uma experimentação pode ser encontrado por meio da fórmula: Probabilidade Empírica (Observada) P’(A) Expressão algébrica: P(A) = n(A)/n O método teórico para a obtenção da probabilidade de um evento utiliza um espaço amostral. Um espaço amostral é uma listagem de todos os possíveis resultados do experimento a ser considerado (indicado pela letra S maiúscula). Quando esse método é utilizado, o espaço amostral deve conter pontos amostrais igualmente prováveis. Probabilidade teórica Sabendo que o espaço amostral para o rolar de um dado é S = {1,...,6}. Cada resultado é igualmente provável. Um evento é um subconjunto do espaço amostral (representado por uma letra maiúscula que não seja S; normalmente, A). Portanto, a probabilidade de um evento A, P(A), é a razão entre o número de pontos que satisfazem a definição do evento A, n(A), e o número de pontos amostrais em todo o espaço amostral, n(S). Expressão algébrica: P(A) = n(A)/n(S) Representação do espaço amostral Considere o rolar de um dado. Em um único rolar há seis resultados possíveis, tornando o n(S) =6. Definia o evento A como a ocorrência de um número “até 4”. O evento “até 4” é satisfeito pela ocorrência de um “1, 2, 3 ou 4”, assim n(A) = 4. Sabendo que o dado é simétrico a probabilidade é igual a 4/6, ou seja, 2/3. O que acontece se você joga um par de dados? Representação do espaço amostral A soma dos pontos deve ser considerada. Uma lista das possíveis “somas” constitui um espaço amostral S = {2,....,12} e n(S) = 11. Entretanto os elementos desse espaço amostral não são igualmente prováveis, portanto não pode ser usado para determinar probabilidades teóricas. Representação do espaço amostral A partir do espaço amostral de 36 pontos, é possível observar que é inteiramente composto de pontos amostrais igualmente prováveis e a probabilidade pode ser facilmente encontrada. Utilizando P(A) = n(A)/ n(S) P(2) = {(1,1)} = 1/36 P(3) = {(1,2), (2,1)} = 2/36 P(4) = {(1,3), (3,1), (2,2)} = 3/36 P(2) + P(3) + P(4) = 6/36 = 1/6 Representação do espaço amostral Quando um experimento de probabilidade pode ser concebido como a sequência de eventos, geralmente, um diagrama de árvore é forma bastante útil de ilustrar o espaço amostral. Uma família com dois filhos é selecionada aleatoriamente, e nós queremos determinar a probabilidade de ela ter um filho de cada sexo. Representação do espaço amostral M M, M M S = {(M,M), (M,F) F M, F (F,M), (F,F)} FILHOS M F, M F F F, F n(S) = 4, quatro ramos Representação do espaço amostral Como os segmentos ramificados são igualmente prováveis, presumindo-se uma probabilidade igual de gêneros, então, os quatro ramos são igualmente prováveis. Então, P(um de cada sexo em uma família com dois filhos) = 2/4 = 0,5 Determine a probabilidade de haver “pelo meninos um menino” nessa família. Qual a probabilidade de que o terceiro filho da família seja uma menina? Probabilidade subjetiva Julgamento pessoal determinado por um observador com informações incompletas. Exemplo: Serviço de meteorologia que, geralmente, atribui uma probabilidade ao evento “precipitação”. “Há 20% de chances de chover hoje”. O meteorologista atribui uma probabilidade ao evento com base em dados anteriores sobre o clima que se seguiram após circunstâncias semelhantes no passando, sabendo, durante todo o tempo, que todos os fatores que contribuem para o clima não são conhecidos cientificamente. Propriedade dos números Seja a probabilidade empírica, teórica ou subjetiva, as duas propriedades a seguir devem ser mantidas, Primeiro, a probabilidade é sempre um valor numérico entre zero e um. 0 ≤ cada P(A) ≤ 1 ou 0 ≤ cada P’(A) ≤ 1 Segundo, a soma das probabilidades para todos os resultados de um experimento é exatamente igual a 1. Σ P(A) = 1 ou Σ P’(A) = 1 Propriedade dos números Notas A probabilidade representa uma frequência relativa. P(A) é a razão do número de vezes que se pode esperar que um evento ocorra dividido pelo número de experimentos. P’(A) é a razão do número de vezes que um evento ocorreu dividido pelo número de dados. O numerador da razão da probabilidade deve ser um número positivo ou zero O denominador da razão da probabilidade deve ser um número positivo (maior do que zero) A probabilidade de um evento, seja empírica, teórica ou subjetiva, será sempre um valor numérico entre zero e um, inclusive. Probabilidade Empírica x Probabilidade Teórica Notas A probabilidade representa uma frequência relativa. P(A) é a razão do número de vezes que se pode esperar que um evento ocorra dividido pelo número de experimentos. P’(A) é a razão do número de vezes que um evento ocorreu dividido pelo número de dados. O numerador da razão da probabilidade deve ser um número positivo ou zero O denominador da razão da probabilidade deve ser um número positivo (maior do que zero) A probabilidade de um evento, seja empírica, teórica ou subjetiva, será sempre um valor numérico entre zero e um, inclusive. Probabilidade Empírica x Probabilidade Teórica Considere o rolar de um dado e defina o evento A como a ocorrência de um “1”. Um dado comum possui seis lados com probabilidades iguais do evento A, P(A) = 1/6. O que isso significa? Você espera ver um “1” em cada teste com o dado rolando seis vezes? Explique. Se não, que resultados você espera ver? Se tivéssemos jogado o dados várias vezes e controlar a proporção de vezes que o evento A ocorre, observaríamos uma probabilidade empírica para o evento A. Que valor você esperaria observar para P’(A)? Explique. Qual a relação entre as duas probabilidades P(A) e P’(A)? Probabilidade Empírica x Probabilidade Teórica Para compreender essa relação, vamos fazer um experimento que consistirá em 30 testes. Cada teste se baseará em jogar uma moeda para cima e registrar quantas vezes a “cara“ aconteceu. Teste Número de vezes que a “cara” ocorreu Frequência relativa Frequência relativa acumulada 10 20 30 Probabilidade Empírica x Probabilidade Teórica Lei dos grandes números Conforme o número de vezes que um experimento é repetido aumenta, a razão entre o número de ocorrências bem sucedidas e o número de testes tende a se aproximar da probabilidade teórica do resultado para um teste individual. Probabilidade como chances As chances são uma forma de expressar probabilidades por meio do número de formas que um evento pode ocorrer comparado ao número de formas que ele pode não ocorrer. “É quatro vezes mais provável chover amanhã do que não chover” Se as chances a favor de um evento A são de a contra B (ou a:b), então As chances contra o evento A são de b contra A (ou b:a) A probabilidade do evento A é P(A) = a/(a+b) A probabilidade de o evento A não ocorrer é P(não A) = b/(a+b) Probabilidade x Estatística Probabilidade e estatística são dois campos da matemática independentes, porém relacionados. Diz-se que “a probabilidade é o veículo da estatística”. Ou seja, se não fosse pelas leis da probabilidade, a teoria da estatística não seria possível. Imagine um conjuntos de fichas de pôquer. O conjunto de probabilidades contém 20 fichas verdes, 20 fichas vermelhas e 20 fichas azuis. A probabilidade tentar responder a perguntas como: “Se uma ficha for retirada desse conjunto aleatoriamente, qual a chance de ela ser azul?” Na estatística não sabemos qual é a combinação das fichas. Extraímos uma amostra e, com base nas conclusões da amostra, fazemos conjecturas sobre o que acreditamos haver no conjunto. Probabilidade x Estatística Observe a diferença: A probabilidade indaga sobre a chance de algo específico, como retirar uma ficha azul, ocorrer quando você conhece as possibilidades (ou seja, você conhece a população). A estatística, ao contrário, pede que você extraia uma amostra, descreva essa amostra (estatística descritiva) e, em seguida, faça inferências sobre a população com base nas informações obtidas na amostra (estatística inferencial) Probabilidade condicional de eventos É a frequência relativa em que um evento pode acontecer sob a condição de serem conhecidas informações preexistentes adicionais sobre algum outro evento. P (A l B) é usado para simbolizar a probabilidade de o evento A ocorrer sob a condição de que se tenha conhecimento da existência do evento B. Ao se determinar uma probabilidade condicional, algumas possibilidades serão eliminadas assim que a condição é conhecida. Probabilidade condicional de eventos Exemplos: Qual a probabilidade de uma pessoa que passou no vestibular da UFRN ser um homem? Qual a probabilidade uma pessoa que passou no vestibular da UFRN ter entre 16 e 20 anos? Qual a probabilidade de se escolher um homem que passou no vestibular da UFRN que estudou numa escola particular? Qual a probabilidade de uma pessoa que passou no vestibular da UFRN ser homem de 17 anos que estudou na escola CDF Colégio e Curso? Regras da probabilidade Muitas vezes, deseja-se saber a probabilidade de um evento composto, no entanto os únicos dados disponíveis são as probabilidades de eventos simples relacionados a eles. Evento composto: combinações de mais de um evento simples. Determinação da probabilidade de “não A” O conceito de eventos complementares é fundamental para determinar a probabilidade de “não A”. Eventos complementares: O complemente de um evento A, Abarra, é o conjunto de todos os pontos amostrais em um espaço amostral que não pertence ao evento A. Exemplo: “sucesso” e “fracasso”. Lembrando das propriedades de probabilidade, temos que: P(A) + P(Abarra) = 1,0 para qualquer evento A Determinação da probabilidade de “não A” Úteis quando a questão pede a probabilidade de “no mínimo um”. Geralmente isso representa uma combinação de vários eventos, mas o evento complementar “nenhum” é um resultado único. Exemplo: Dois dados são jogados. Qual a probabilidade de a soma ser no mínimo 3? P(soma de 2) = P(A) = 1/36. P(soma mínima de 3) = P(Abarra) = 1 – P(A) = 1 – 1/36 = 35/36. Determinação da probabilidade de “A OU B” A Regra Geral da Adição nos ajudará a determinar. Regra Geral da Adição Consideremos A e B como dois eventos definidos em um espaço amostral S. Algebricamente: P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B). NOTAS O conectivo “ou” significa “um ou outro ou ambos”. Assim “A ou B” significa todos os elementos que atendam a um dos dois eventos. O conectivo “e” significa “ambos”. Assim “A e B” significa todos os elementos que satisfazem os dois eventos. Determinação da probabilidade de “A OU B” Exemplo: Cada aluno foi identificado como Grupo A, Grupo B ou Outros (não vieram a aula), e foi feita a seguinte pergunta: “Você é a favor ou contra a prova ser em dupla?” Probabilidade do aluno ser “a favor” Probabilidade do aluno ser do “Grupo A” Probabilidade do aluno ser “a favor” ou do “grupo A” Probabilidade do aluno ser “a favor” e do “grupo A” A favor Contra Total Grupo A 13 8 21 Grupo B 31 21 52 Outros 1 3 4 Total 45 32 77 Determinação da probabilidade de “A E B” A Regra da Multiplicação vai nos ajudar a determinar. Regra Geral da Multiplicação Consideremos A e B como dois eventos definidos no espaço amostral S. Algebricamente, P(A e B) = P(A) x P(B l A) Probabilidade do aluno ser “a favor” e do “grupo A” A favor Contra Total Grupo A 13 8 21 Grupo B 31 21 52 Outros 1 3 4 Total 45 32 77 Probabilidade condicional e sorteio sem reposição Ao ser solicitado que se determine P(A e B) nem sempre você obterá a resposta correta apenas multiplicando essas duas probabilidades [P(A) e P(B)]. Uma terceira informação será necessária: a probabilidade condicional de um dos dois eventos ou informações que permitam determina-lo Probabilidade condicional e sorteio sem reposição Em um jogo de parque de diversão, o jogador retira sem olhar uma bolinha de gude colorida por vez de uma caixa contendo dias bolinhas vermelhas e quatro azuis. A bolinha escolhida não é colocada de volta na caixa após ser selecionada, ou seja, cada sorteio é realizado sem reposição. As bolinhas de gude são misturadas antes de cada sorteio. Custa R$ 1 para jogar e, se as duas primeiras bolinhas retiradas forem vermelhas, o jogador receberá um prêmio de R$ 2. Se as quatro primeiras bolinhas retiradas forem azuis, o jogador receberá um prêmio de R$ 5. Caso contrário, ele não recebe nenhum prêmio. Probabilidade condicional e sorteio sem reposição V V VV = ganha R$ 2 A SORTEIO V A A 2/6 4/6 4/5 2/5 3/5 1/5 P(A e B) = P(A) x P(B l A) P (ganhando R$2) = P(V1) x P(V2 l V1) P (ganhando R$ 2) = 2/6 x 1/5 = 0,067
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