Aula12 - Subespaços Vetoriais. Interseção e Soma de Subespaços Vetoriais.

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Aula 12 – Subespaços Vetoriais. Interseção e Soma de Subespaços Vetoriais. 
 
Definição 1: Seja um espaço vetorial real. Um subconjunto é um subespaço vetorial de se 
i) , 
ii) para todos , 
iii) para todo e para todo . 
Neste caso, o próprio , com as operações de adição e multiplicação por escalar de , restritas a , é um espaço 
vetorial. 
 
 
Exemplo 1: Se é um espaço vetorial real qualquer, então ele possui pelo menos dois subespaços vetoriais, que 
são os seus subconjuntos e , chamados subespaços triviais. 
 
 
Exemplo 2: O eixo- ( ) 
 é um subespaço vetorial de . O eixo- também é um 
subespaço de ? 
 
 
Exemplo 3: Mostre que ( ) não é um subespaço de . Interprete geometricamente. 
 
 
Exemplo 4: Sejam e números reais não-nulos. Mostre que ( ) é um subespaço 
vetorial de . O conjunto ( ) é um subespaço de ? Interprete geometricamente. 
 
 
Observação 1: Sempre que , não será um subespaço vetorial de . 
 
 
Exemplo 5: Mostre que conjunto das matrizes simétricas de ordem , 
 ( ) [
 
 
] , 
é um subespaço vetorial de ( ). E o conjunto das matrizes anti-simétricas de ordem , 
 ( ) [
 
 
] , 
é um subespaço de ( ) ? 
 
 
Exemplo 6: Considere o sistema linear homogêneo 
{
 
 
 
 
Mostre que o seu conjunto solução é um subespaço vetorial de . 
 
 
Proposição 1: Seja ( ). Então o conjunto solução do sistema linear 
 ( ) 
 
é um subespaço vetorial de ( ) 
 . (Estamos identificando a matriz ( )
 ( ) 
com o vetor ( ) 
 ). 
 
 
 
 
 
Teorema 1: Sejam um espaço vetorial real e e subespaços vetoriais de . Então a intersecção 
também é um subespaço vetorial de . 
 
 
Teorema 2: Sejam um espaço vetorial real e e subespaços vetoriais de . Então a soma 
 
também é um subespaço vetorial de . 
 
 
Exemplo 7: Na notação do exemplo 5, determine os subespaços de ( ) dados por 
 ( ) ( ) e ( ) ( ) . 
 
 
Exemplo 8: Sejam ( ) e ( ) . Mostre que e são 
subespaços de e determine e . 
 
 
Exercício 1: Seja um espaço vetorial real. Se e são subespaços de , então a união é um 
subespaço de ? 
 
 
Exercício 2: é um subespaço vetorial de ? Por quê? 
 
 
Exercício 3: Dê exemplos de subespaços vetoriais de . Dê exemplos de subespaços vetoriais de . 
 
 
Exercício 4: Em cada caso abaixo, mostre que é um subespaço vetorial de : 
a) ( ) . 
b) ( ) . 
c) ( ) ( ) , onde é uma matriz dada. 
d) ( ) ( ) . 
 
 
Exercício 5: Em cada caso abaixo, mostre que não é um subespaço vetorial de : 
a) ( ) . 
b) ( ) . 
c) ( ) ( ) . 
d) ( ) ( ) 
 . 
 
 
Exercício 6: Considere o espaço vetorial real dos polinômios de grau igual a , 
 
 
 . 
Mostre que os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de : 
a) 
 
 . 
b) ( ) ( ) 
 
 
Exercício 7: Sejam um espaço vetorial real e e subespaços de . Mostre que se a união é um 
subespaço de então ou .