CALCULO I UFPE 2ª CHAMADA 2012 PROVA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - A´REA II
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 - 2012.2
Exerc´ıcio de 2a Chamada - 17/04/2013
Justifique as suas afirmac¸o˜es!
1. Calcule as seguintes integrais:
a) (1,0 ponto)
∫ +∞
1
2−x dx b) (1,0 ponto)
∫ √
x + 4
x
dx
2. (1,5 ponto) Esboce a regia˜o do plano R limitada pelas curvas y = x3 e x = y2.
Calcule o valor da a´rea da regia˜o R.
3. Considere a curva plana C dada pela equac¸a˜o x4 + y tg(x3)− 2y2 cos(x) + 2y3 = x.
a) (1,0 ponto) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva C no ponto P = (0, 1).
b) (1,0 ponto) Determine a equac¸a˜o da reta normal a` curva C no ponto Q = (0, 0).
4. Calcule os seguintes limites:
a) (0,75 ponto)
lim
x→0
x− sen(x)
tg(x)− x b) (0,75 ponto)
lim
x→+∞
2−xx3
5. Considere a func¸a˜o f(x) =
|x|
x + 1
+
|x|
x− 1 , com x 6= ±1, onde |x| =
{
x, se x ≥ 0 ,
−x, se x < 0 .
a) (0,6 ponto) Determine os pontos cr´ıticos e os intervalos de crescimento e decresci-
mento de f(x), bem como seus pontos de ma´ximo e mı´nimo locais e globais (caso
existam).
b) (0,7 ponto) Determine os intervalos onde o gra´fico de f(x) tem concavidade
voltada para cima ou para baixo, bem como seus pontos de inflexa˜o (caso exis-
tam).
c) (0,7 ponto) Determine retas ass´ıntotas verticais ou horizontais ao gra´fico de
f(x).
d) (1,0 ponto) Esboce o gra´fico de f(x), utilizando as informac¸o˜es dos itens ante-
riores.