Máximos e Mínimos Locais de Funções de Duas Variáveis

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Aula 16
Ma´ximos e Mı´nimos Locais
Seja f(x, y) uma func¸a˜o de 2 varia´veis diferencia´vel em R2 (ou num domı´nio aberto). Para
estudar a func¸a˜o f(x, y), comec¸amos por identificar os pontos de Ma´ximo local e Mı´nimo local.
Dizemos que um ponto (x0, y0) do domı´nio de f(x, y) e´ um ponto de Mı´nimo local se os valores
f(x, y) sa˜o maiores ou iguais que f(x0, y0), para todo (x, y) num disco em torno de (x0, y0). Neste
caso dizemos que o valor f(x0, y0) e´ um Mı´nimo local. Do mesmo modo definimos Ma´ximo local
trocando ‘maiores ou iguais’ por ‘menores ou iguais’.
Intuitivamente, f(x0, y0) e´ um Mı´nimo local se, em torno de (x0, y0), o gra´fico de f(x, y) esta´
acima de (x0, y0, f(x0, y0)).
Como ilustrac¸a˜o, na figura abaixo temos o gra´fico de uma func¸a˜o f(x, y) definida em R2 (pare-
cendo o morro do Pa˜o de Ac¸u´car invertido ). Neste caso existem 2 Mı´nimos locais e na˜o existem
Ma´ximos locais.
Figura 1: 3 pontos cr´ıticos: 2 pontos de mı´nimo locais e 1 ponto de sela
Em geral, na˜o dispomos do gra´fico da func¸a˜o. A identificac¸a˜o dos pontos de Ma´ximo e Mı´nimo
locais serve exatamente para termos uma ideia de como e´ o gra´fico da func¸a˜o em torno desses
pontos (tipo um parabolo´ide voltado para baixo ou voltado para cima). Acontece que identificar
estes pontos atrave´s da sua definic¸a˜o na˜o e´ pra´tico ja´ que envolve calcular todos os valores de f(x, y)
num disco em torno de um ponto (x0, y0). Note que, no exemplo da figura, estes pontos ocorrem
em Pontos Cr´ıticos, ou seja, onde o plano tangente e´ horizontal, identificados com um pontinho
vermelho. Isto e´ verdade em geral:
Teorema 1 Seja f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel em R2 (ou num domı´nio aberto). Os pontos de
ma´ximo e mı´nimo locais so´ podem ocorrer nos pontos cr´ıticos da func¸a˜o.
Na˜o demonstraremos este teorema, mas a ideia e´ bastante intuitiva: Se (x0, y0) na˜o e´ um ponto
cr´ıtico de f(x, y), isso significa que o plano tangente em (x0, y0, f(x0, y0)) na˜o e´ horizontal, isto e´,
tem uma inclinac¸a˜o. Logo se nos deslocarmos dentro do gra´fico de f(x, y), por pouco que seja,
relativamente a este ponto numa determinada direc¸a˜o, subimos, e portanto (x0, y0) na˜o e´ um ponto
de Ma´ximo local. De igual modo, se nos deslocarmos dentro do gra´fico de f(x, y), por pouco que
seja, relativamente a este ponto nessa mesma direc¸a˜o mas com sentido inverso, descemos, e portanto
(x0, y0) tambe´m na˜o e´ um ponto de Mı´nimo local. Isso mostra a afirmac¸a˜o do teorema.
1
Portanto, para achar os pontos de Ma´ximo e Mı´nimo locais deveremos achar os Pontos Cr´ıticos,
isto e´, resolver
∇f(x, y) = ~0.
Exemplo 1: Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1
Queremos achar os pontos (x, y) que anulam simultaneamente as derivadas parciais:
∇f(x, y) = ~0 ⇔

∂f
∂x = 0
∂f
∂x = 0
⇔

4x3 − 4y = 0
4y3 − 4x = 0
⇔

x3 − y = 0
y3 − x = 0
⇔

y = x3
x9 − x = 0
Comec¸amos por resolver a segunda equac¸a˜o:
x9 − x = 0 ⇔ x(x8 − 1) = 0 ⇔ x = 0 ou x8 = 1 ⇔ x = 0 ou x = ±1
Ha´ treˆs casos para x: x = 0, x = +1 e x = −1. Para cada um destes casos precisamos determinar
os seus correspondentes y’s, usando a primeira equac¸a˜o:
. x = 0 : y = x3 ⇔ y = 0
. x = +1 : y = x3 ⇔ y = +1
. x = −1 : y = x3 ⇔ y = −1
Assim temos exatamente 3 pontos cr´ıticos: (0, 0), (1, 1) e (−1,−1).
A nossa segunda tarefa e´ Classificar os Pontos Cr´ıticos: estes podem ser pontos de Mı´nimo
Local, pontos de Ma´ximo Local, ou nem um nem outro, caso em chamaremos de Pontos de Sela.
Pontos Cr´ıticos
Ma´ximos Locais Mı´nimos Locais Pontos de Sela
No exemplo da Figura 1 temos 3 Pontos Cr´ıticos sendo 2 pontos de Mı´nimo Local e 1 ponto
de Sela. Note que, neste caso, o gra´fico em torno do ponto de sela se assemelha a um parabolo´ide
hiperbo´lico, sendo que no ponto em questa˜o o plano tangente e´ horizontal e, partindo deste ponto,
se andarmos um pouco dentro do gra´fico numa certa direc¸a˜o, subimos, e, partindo do mesmo ponto,
se andarmos um pouco dentro do gra´fico numa outra direc¸a˜o, descemos.
Em geral, como classificar os Pontos Cr´ıticos? Trata-se de um problema de concavidades: se
num determinado ponto cr´ıtico, as concavidades em qualquer direc¸a˜o estiverem voltadas para cima,
trata-se de um mı´nimo local; se num determinado ponto cr´ıtico as concavidades em qualquer direc¸a˜o
estiverem voltadas para baixo, trata-se de um ma´ximo local; se num determinado ponto cr´ıtico
houver uma concavidade voltada para cima numa direc¸a˜o e houver uma concavidade voltada para
2
baixo numa outra direc¸a˜o, trata-se de um ponto de sela. Ora, tal como em Ca´lculo 1, vamos usar
as derivadas parciais de 2a ordem (caso existam) para determinar o sentido das concavidades, num
determinado ponto cr´ıtco. O problema agora e´ um pouco mais complicado porque temos infinitas
direc¸o˜es ao inve´s de uma.
Comecemos por relembrar como classificamos os pontos cr´ıticos em Ca´lculo 1, usando a segunda
derivada (Teste da 2a derivada):
. Se f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) > 0 , enta˜o f(x0) e´ mı´nimo local (concavidade voltada para cima)
. Se f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) < 0 , enta˜o f(x0) e´ ma´ximo local (concavidade voltada para
baixo).
. Se f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) = 0 , enta˜o nada se conclui sobre f(x0) usando apenas a 2a
derivada.
Para esclarecer este u´ltimo ponto, considere as func¸o˜es f(x) = −x4, g(x) = x4 e h(x) = x3.
Ambas satisfazem, f ′(0) = g′(0) = h′(0) = 0 e f ′′(0) = g′′(0) = h′′(0) = 0.
No entanto, f(0) e´ ma´ximo local, g(0) e´ mı´nimo local e h(0) e´ uma sela.
Agora em Ca´lculo 2, tambe´m usaremos as derivadas parciais de segunda ordem. Seja (x0, y0)
um ponto cr´ıtico de f(x, y) e suponha que as derivadas parciais de 2a ordem existem e sa˜o cont´ınuas
no ponto (x0, y0). Enta˜o, pelo Teorema de Clairaut temos apenas 3 derivadas parciais de 2
a ordem
no ponto (x0, y0):
∂2f
∂x2
(x0, y0),
∂2f
∂y2
(x0, y0) e
∂2f
∂x∂y
(x0, y0).
Estas duas primeiras derivadas parciais de 2a (se na˜o-nulas) medem o sentido da concavidade no
ponto (x0, y0) nas direc¸o˜es dos eixos de x e y, respectivamente. Em geral, elas na˜o sa˜o suficientes
para determinar o sentido da concavidade nas outras direc¸o˜es e, nesse caso, a derivada parcial de
2a ordem cruzada desempenhara´ um papel importante. Vamos agrupar as derivadas parciais de 2a
ordem numa matriz sime´trica (chamada matriz Hessiana):
∂2f
∂x2
(x0, y0)
∂2f
∂x∂y (x0, y0)
∂2f
∂x∂y (x0, y0)
∂2f
∂y2
(x0, y0)

O seu determinante (chamado Hessiano) desempenhara´ um papel crucial na classificac¸a˜o do ponto
cr´ıtico (x0, y0):
D(x0, y0) =
∣∣∣∣∣∣∣
∂2f
∂x2
(x0, y0)
∂2f
∂x∂y (x0, y0)
∂2f
∂x∂y (x0, y0)
∂2f
∂y2
(x0, y0)
∣∣∣∣∣∣∣
3
Antes de enunciarmos o Teste da 2a Derivada para func¸o˜es de 2 varia´veis na sua generalidade,
vamos considerar um caso particular para ilustrar o papel desempenhado pelas va´rias derivadas
parciais de 2a ordem.
Suponhamos que a derivada parcial de 2a ordem cruzada se anula no ponto (x0, y0),
∂2f
∂x∂y
(x0, y0) = 0,
(e que as outras derivadas parciais de 2a ordem neste ponto sa˜o na˜o-nulas.) Neste caso, as direc¸o˜es
dos eixos x e y, sa˜o as 2 direc¸o˜es principais e elas determinara˜o completamente a natureza do ponto
cr´ıtico (x0, y0), como explicaremos a seguir. Note que, neste caso a matriz Hessiana e´ diagonal e
os seus autovalores sa˜o as derivadas parciais ∂
2f
∂x2
(x0, y0) e
∂2f
∂y2
(x0, y0) (sendo os autoespac¸os corres-
pondentes o eixo do x e o eixo do y, respectivamente). O que podemos concluir se D(x0, y0) < 0 ?
Ora, neste caso,
D(x0, y0) =
∂2f
∂x2
(x0, y0) · ∂
2f
∂y2
(x0, y0),
portanto se D(x0, y0) < 0, significa que uma destas derivadas parciais de 2
a ordem e´ positiva e a
outra e´negativa, ou seja, a concavidade na direc¸a˜o do x esta´ voltada para cima e a concavidade na
direc¸a˜o do y esta´ voltada para baixo, ou a concavidade na direc¸a˜o do x esta´ voltada para baixo e a
concavidade na direc¸a˜o do y esta´ voltada para cima. Logo (x0, y0) e´ um ponto de sela.
Exemplo 2: Considere a func¸a˜o f(x, y) = x2 − y2.
(Neste caso, sabemos desenhar o gra´fico de f(x, y)! Trata-se de um parabolo´ide hiperbo´lico.)
Temos
∂f
∂x
= 2x ,
∂f
∂y
= −2y,
logo o u´nico ponto cr´ıtico e´ (x0, y0) = (0, 0).
Como
∂2f
∂x2
(0, 0) = 2 ,
∂2f
∂y2
(0, 0) = −2 , ∂
2f
∂x∂y
(0, 0) = 0,
D(0, 0) =
∣∣∣∣∣∣
2 0
0 −2
∣∣∣∣∣∣ = −4 < 0.
Logo, o ponto cr´ıtico (0, 0) e´ ponto de sela, como pode ser visto na Figura 2 .
4
Figura 2: Diferentes perfis do gra´fico z = x2 − y2, perceba que ha´ duas direc¸o˜es principais (os eixos x e y), uma em
que o recorte da func¸a˜o tem derivada segunda positiva (‘cara feliz’) enquanto a outra direc¸a˜o tem derivada segunda
negativa (‘cara triste’).
Continuemos considerando o caso particular em que
∂2f
∂x∂y
(x0, y0) = 0.
O que podemos concluir se D(x0, y0) > 0 ? Ora, neste caso,
D(x0, y0) =
∂2f
∂x2
(x0, y0) · ∂
2f
∂y2
(x0, y0),
portanto se D(x0, y0) > 0, isto significa que as duas derivadas parciais de 2
a ordem acima teˆm o
mesmo sinal, ou seja, as concavidades nas direc¸o˜es dos eixos x e y ou esta˜o ambas voltadas para
cima ou esta˜o ambas voltadas para baixo. Como, neste caso, as direc¸o˜es dos eixos x e y sa˜o as 2
direc¸o˜es principais (autoespac¸os da matriz Hessiana) isto implica que o mesmo se passa em todas
as outras direc¸o˜es. Ou seja, ou as concavidades esta˜o voltadas para cima em todas as direc¸o˜es,
ou as concavidades esta˜o voltadas para baixo em todas as direc¸o˜es. No primeiro caso trata-se
de um ponto de mı´nimo local e so segundo caso trata-se de um ma´ximo local. Como saber em
que caso estamos? Esta e´ a parte mais fa´cil! Como todas as concavidades em qualquer direc¸a˜o
teˆm o mesmo sentido, basta analisar o que se passa numa direc¸a˜o espec´ıfica. Ora, por exemplo,
o sinal de ∂
2f
∂x2
(x0, y0) da´ o sentido da concavidade na direc¸a˜o do eixo x. Logo, se
∂2f
∂x2
(x0, y0) > 0
enta˜o a concavidade na direc¸a˜o do eixo x esta´ voltada para cima e portanto todas as concavidades
esta˜o voltadas para cima, em qualquer direc¸a˜o (porque, por hipo´tese, D(x0, y0) > 0), e portanto
(x0, y0) e´ um ponto de mı´nimo local. Ja´ se
∂2f
∂x2
(x0, y0) < 0 enta˜o a concavidade na direc¸a˜o do eixo
x esta´ voltada para baixo e portanto todas as concavidades esta˜o voltadas para baixo, em qual-
quer direc¸a˜o (porque, por hipo´tese, D(x0, y0) > 0), e portanto (x0, y0) e´ um ponto de ma´ximo local.
Exemplo 2: Considere a func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2.
(Neste caso, sabemos desenhar o gra´fico de f(x, y)!)
Temos
∂f
∂x
= 2x ,
∂f
∂y
= 2y,
5
logo o u´nico ponto cr´ıtico e´ (x0, y0) = (0, 0).
Como
∂2f
∂x2
(0, 0) = 2 ,
∂2f
∂y2
(0, 0) = 2 ,
∂2f
∂x∂y
(0, 0) = 0,
D(0, 0) =
∣∣∣∣∣∣
2 0
0 2
∣∣∣∣∣∣ = 4 > 0.
Como ∂
2f
∂x2
(0, 0) = 2 > 0, o ponto cr´ıtico (0, 0) e´ ponto de mı´nimo local (como ja´ sab´ıamos neste
caso, por sabermos tratar-se de um parabolo´ide el´ıtico ‘voltado para cima’)
O que significa quando ∂
2f
∂x∂y (x0, y0) 6= 0 ? Por exemplo, se rodarmos o parabolo´ide hiperbo´lico
do Exemplo 2 um aˆngulo 0 < θ < 90◦ em torno do eixo do z, o ponto (0, 0) continuara´ sendo um
ponto cr´ıtico e a sua natureza se mantera´, um ponto de sela. No entanto, as 2 direc¸o˜es principais
deixara˜o de ser os eixos do x e y, sera˜o estes eixos rotacionados de um aˆngulo θ ! A matriz Hessiana
deixara´ de ser diagonal e estas 2 direc¸o˜es principais sera˜o os seus autoespacos, sendo os autovalores
correspondentes uma medida das concavidades nestas direc¸o˜es: se um autovalor e´ positivo enta˜o a
concavidade esta´ voltada para cima na direc¸a˜o correspondente a esse autoespac¸o; se um autovalor e´
negativo enta˜o a concavidade esta´ voltada para baixo na direc¸a˜o correspondente a esse autoespac¸o.
(Lembre de A´lgebra Linear que uma matriz sime´trica com entradas reais tem autovalores reais
e e´ diagonaliza´vel.) Analiticamente, essa rotac¸a˜o muda a representac¸a˜o da func¸a˜o f(x, y) nas
coordenadas cartesianas: aparecem termos cruzados envolvendo x · y e, por isso, a derivada parcial
de 2a ordem cruzada deixa de se anular.
No entanto, o racioc´ınio que fize´mos anteriormente continua valendo: o determinante D(x0, y0)
continua sendo o produto dos autovalores, que correspondem a`s concavidades nas direc¸o˜es dos au-
toespac¸os, as 2 direc¸o˜es principais.
Exemplo 3: Considere a func¸a˜o f(x, y) = (x+y)2−y2. Ou seja, f(x, y) = x2+2xy. Calculemos
as derivadas parciais de ordem 1 e 2:
∂f
∂x
= 2x+ 2y ,
∂f
∂y
= 2x.
∂2f
∂x2
= 2 ,
∂2f
∂y2
= 0 ,
∂2f
∂x∂y
= 2.
Portanto, os pontos cr´ıticos ocorrem quando o gradiente se anula:
~∇f(x, y) = (2x,−2y) = (0, 0) ⇐⇒ (x, y) = (0, 0)
Ja´ o determinante da matriz hessiana neste ponto cr´ıtico e´:
D(0, 0) =
∣∣∣∣∣∣
2 2
2 0
∣∣∣∣∣∣ = −4 < 0.
6
Logo, o ponto (x, y) = (0, 0) e´ ponto de sela, como pode ser visto na Figura 3
Figura 3: Diferentes perfis da func¸a˜o z = x2 + 2xy, perceba que uma das duas direc¸o˜es principais mudou.
Com o que foi dito ate´ agora, devera´ ficar claro o seguinte:
Teorema 2 (Teste da segunda derivada) Seja f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel em R2 (ou num
domı´nio aberto). Seja (x0, y0) um ponto cr´ıtico de f(x, y) e suponha que f(x, y) tem derivadas par-
ciais de segunda ordem cont´ınuas em (x0, y0). Enta˜o, podem acontecer treˆs casos:
. D(x0, y0) > 0
∂2f
∂x2
(x0, y0) > 0 =⇒ f(x0, y0) e´ mı´nimo local.
∂2f
∂x2
(x0, y0) < 0 =⇒ f(x0, y0) e´ ma´ximo local.
. D(x0, y0) < 0 =⇒ (x0, y0) e´ ponto de sela.
. D(x0, y0) = 0 Nesse caso, nada se conclui neste teste.
Exemplo 4: Classifique os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1.
Ja´ t´ınhamos visto, no Exemplo 1, que temos exatamente 3 pontos cr´ıticos: (0, 0), (1, 1) e (−1,−1).
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Relembre que
∂f
∂x
= 4x3 − 4y e ∂f
∂y
= 4y3 − 4x.
Agora, calculemos as derivadas parciais de segunda ordem:
∂2f
∂x2
= 12x2,
∂2f
∂y2
= 12y2 e
∂2f
∂x∂y
= −4.
Logo
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣∣
12x2 − 4
− 4 12y2
∣∣∣∣∣∣∣
Calculando em cada ponto cr´ıtico e usando o Teste da 2a Derivada obtemos:
D(0, 0) =
∣∣∣∣∣∣∣
0 − 4
− 4 0
∣∣∣∣∣∣∣ = −16 < 0 =⇒ (0, 0) e´ ponto de sela.
D(1, 1) =
∣∣∣∣∣∣∣
12 − 4
− 4 12
∣∣∣∣∣∣∣ = 122−16 > 0 e
∂2f
∂x2
(1, 1) = 12 > 0 =⇒ (1, 1) e´ ponto de mı´nimo local.
D(−1,−1) =
∣∣∣∣∣∣∣
12 − 4
− 4 12
∣∣∣∣∣∣∣ = 122−16 > 0 e
∂2f
∂x2
(1, 1) = 12 > 0 =⇒ (−1,−1) e´ ponto de mı´nimo local.
Obs.: O gra´fico de f(x, y) e´ semelhante ao gra´fico da Figura 1, com a diferenc¸a de que os mı´nimos
locais esta˜o na mesma altura.
Exemplo 5: Encontre e classifique os pontos cr´ıticos de f(x, y) = x4 − y4.
E´ fa´cil ver que (0, 0) e´ o u´nico ponto cr´ıtico. Neste caso, o Teste da 2a Derivada na˜o se aplica pois
D(0, 0) = 0 (verifique!). Enta˜o teremos de classificar o ponto cr´ıtico de outra maneira, comparando
os valores de f(x, y) com f(0, 0) = 0 para (x, y) pro´ximo de (0, 0). Ao longo do eixo do x (exceto a
origem) temos f(x, 0) = x4 > 0 = f(0, 0). Por outro lado, ao longo do eixo do y (exceto a origem)
temos f(0, y) = −y4 < 0 = f(0, 0). Portanto, arbitrariamente pro´ximo da origem existem valores
positivos e valores negativos, logo (0, 0) e´ um ponto de sela. O gra´fico de f(x, y) e´ parecido com o
parabolo´ide hiperbo´lico, sendo mais plano perto da origem.
Exemplo 6: Seja f(x, y) = ax2 − xy + y2 onde a ∈ R− {14}.
Verifique que (0, 0) e´ ponto cr´ıtico de f(x, y). Determine os valores de a de modoa que (0, 0)
seja um mı´nimo local.
∇f(x, y) = ~0 ⇔
{
∂f
∂x = 0
∂f
∂y = 0
⇔
{
2ax− y = 0
−x+ 2y = 0 ⇔ (x, y) = (0, 0).
Logo (0, 0) e´ o u´nico ponto cr´ıtico. Vamos agora usar o Teste da 2a Derivada para classificar o
ponto cr´ıtico.
∂2f
∂x2
= 2a,
∂2f
∂y2
= 2,
∂2f
∂x∂y
= −1.
8
Logo
D(0, 0) =
∣∣∣∣ 2a −1−1 2
∣∣∣∣ = 4a− 1.
Para (0, 0) na˜o ser ponto de sela, deveremos ter 4a − 1 > 0 ⇔ a > 14 . Neste caso, como
∂2f
∂y2
(0, 0) = 2 > 0, temos que automaticamente (0, 0) e´ ponto de mı´nimo local. (Alternativamente,
poder´ıamos ter verificado que, para a > 14 ,
∂2f
∂x2
(0, 0) = 2a > 0.)
Exerc´ıcio 1: Considere a func¸a˜o do Exemplo 6 com a = 14 . Verifique que (0, 0) e´ ponto cr´ıtico
e classifique-o.
Exerc´ıcio 2: Seja f(x, y) uma func¸a˜o de classe C2 em R2 (derivadas parciais de 2a ordem
cont´ınuas) e seja (x0, y0) um ponto cr´ıtico. Sendo (a, b) um vetor na˜o-nulo, defina a func¸a˜o de 1
varia´vel
h(t) = f(x0 + at, y0 + bt).
(a) Mostre que h′(0) = 0 e
h′′(0) = a2
∂2f
∂x2
(x0, y0) + 2ab
∂2f
∂x∂y
(x0, y0) + b
2∂
2f
∂y2
(x0, y0).
(b) Escreva a identidade acima na forma matricial, usando a matriz Hessiana de f(x, y) no ponto
(x0, y0), e deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica.
9