Apostila de Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE SÃO FRANCISCO 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adalberto Nobiato Crespo 2014 versão 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
SUMÁRIO 
1	
   MATRIZES ...................................................................................................................... 1	
  
1.1	
   INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 1	
  
1.2	
   MATRIZES ESPECIAIS ................................................................................................. 1	
  
1.3	
   ADIÇÃO DE MATRIZES ................................................................................................ 4	
  
1.4	
   PROPRIEDADES DA ADIÇÃO ........................................................................................ 4	
  
1.5	
   MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES .................................................................................. 5	
  
1.6	
   PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO .......................................................................... 6	
  
1.7	
   PRIMEIRA LISTA DE EXERCICIOS – MATRIZES ........................................................... 7	
  
2	
   DETERMINANTES ...................................................................................................... 10	
  
2.1	
   PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES. ..................................................................... 12	
  
3	
   INVERSÃO DE MATRIZES ........................................................................................ 16	
  
3.1	
   INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 16	
  
3.2	
   MATRIZ INVERSA ..................................................................................................... 16	
  
3.3	
   INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES ........................................... 18	
  
3.4	
   SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS – MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES ................ 18	
  
4	
   SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................................... 20	
  
4.1	
   EQUAÇÃO LINEAR .................................................................................................... 20	
  
4.2	
   SISTEMAS LINEARES. ................................................................................................ 21	
  
4.3	
   EXPRESSÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES. ......................... 22	
  
4.4	
   SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................ 23	
  
4.5	
   REGRA DE CRAMER .................................................................................................. 27	
  
4.6	
   SISTEMAS TRIANGULARES OU ESCALONADOS .......................................................... 30	
  
4.7	
   PROCESSO PARA ESCALONAR UM SISTEMA LINEAR ................................................. 32	
  
4.8	
   MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS ....................................................................... 34	
  
4.9	
   EXERCÍCIOS SOBRE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .......................................... 35	
  
5	
   VETORES ...................................................................................................................... 38	
  
5.1	
   INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 38	
  
5.2	
   OPERAÇÃO COM VETORES ........................................................................................ 42	
  
5.3	
   VETORES NO RN ........................................................................................................ 50	
  
3 
 
5.4	
   OPERAÇÃO COM VETORES NO RN ............................................................................. 51	
  
5.5	
   PRODUTO INTERNO .................................................................................................. 59	
  
5.6	
   DECOMPOSIÇÃO DE VETORES ................................................................................... 61	
  
5.7	
   PRODUTO VETORIAL ................................................................................................ 62	
  
5.8	
   PRODUTO MISTO ...................................................................................................... 63	
  
6	
   ESPAÇOS VETORIAIS ................................................................................................ 68	
  
6.1	
   SUBESPAÇOS VETORIAIS .......................................................................................... 69	
  
6.2	
   COMBINAÇÃO LINEAR .............................................................................................. 70	
  
6.3	
   DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ................................................................ 70	
  
6.4	
   BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL .......................................................... 73	
  
6.5	
   COORDENADAS DE UM VETOR .................................................................................. 75	
  
6.6	
   MUDANÇA DE BASE ................................................................................................. 75	
  
7	
   TRANSFORMAÇÕES LINEARES .............................................................................. 77	
  
7.1	
   INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 77	
  
7.2	
   TRANSFORMAÇÕES DO PLANO NO PLANO ................................................................. 80	
  
7.3	
   OPERADORES LINEARES NO ESPAÇO VETORIAL R2 .................................................. 80	
  
7.4	
   LEI DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR .................................................................... 83	
  
7.5	
   IMAGEM E NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ........................................... 83	
  
7.6	
   ESPAÇOS VETORIAIS ISOMORFOS ............................................................................. 85	
  
7.7	
   MATRIZ ASSOCIADA A UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ........................................... 86	
  
8	
   AUTOVALORES E AUTOVETORES ......................................................................... 90	
  
8.1	
   DETERMINAÇÃO DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES ............................................ 90	
  
9	
   EXERCICIOS ADICIONAIS ................................................................................................ 94	
  
9.1	
   EXERCÍCIOS SOBRE VETORES ................................................................................... 94	
  
9.2	
   EXERCÍCIOS SOBRE PRODUTO INTERNO .................................................................... 96	
  
9.3	
   EXERCÍCIOS SOBRE PRODUTO MISTO ....................................................................... 98	
  
9.4	
   EXERCÍCIOS SOBRE ESPAÇOS VETORIAIS ................................................................. 99	
  
9.5	
   EXERCÍCIOS SOBRE DEPENDÊNCIA LINEAR ............................................................ 101	
  
9.6	
   EXERCÍCIOS SOBRE BASE, DIMENSÃO, COORDENADAS E MUDANÇA DE BASE ....... 102	
  
9.7	
   EXERCÍCIOS SOBRE TRANSFORMAÇÕES LINEARES ................................................. 103
 1 
1 MATRIZES 
1.1 Introdução 
Esta secção, apresenta um conjunto de exercícios que possibilitam ao aluno, revisar conceitos básicos 
sobre matrizes. É muito importante que o aluno se detenha nas propriedades apresentadas, pois são de 
grande importância
dentro da Álgebra Linear. Algumas aplicações do estudo das matrizes são 
resolução de sistemas de equações lineares, mudança de bases de um espaço vetorial, representação e 
composição de transformações lineares. 
 
Matriz m x n à tabela com m linhas e n colunas. 
 
Elemento jia , índice i à linha na qual se encontra o elemento 
índice j à coluna na qual se encontra o elemento 
 
Exemplo.1. 
32224
513
X
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
 
 
Tabela com __ elementos. 
=12a ___; =21a ___; =33a ___; =13a ___. 
Exemplo.2. Encontre a matriz ( )
22xji
aA = tal que ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
jj
ii
A
2
22 . 
 
1.2 Matrizes Especiais 
1 - Matriz Linha [ ]51=L 
 
2 - Matriz Coluna ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
7
2
C 
 
3 - Matriz Quadrada ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
10
91
Q 
 
4 - Matriz Nula ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
00
00
N [ ]000=M 
 
Observação: Diagonal principal (i = j) 
 Diagonal secundária (soma dos índices i + j = n + 1). 
 
 2 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
P 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
33
22
11
a
a
a
P 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
31
22
13
a
a
a
P 
 
OBS.: As matrizes estão aqui exemplificadas com apenas alguns elementos somente para destacar o 
descrito. Lembre-se de que as matrizes devem conter todos os seus elementos, mesmo que 
sejam nulos. 
 
5 - Matriz Triangular Superior. 
É uma matriz quadrada onde 0=ija para i > j. 
1.2.1.1 Exemplos. 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100
270
091
A ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
10
91
B 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1000
2100
0600
3031
C 
6 - Matriz Triangular Inferior. 
É uma matriz quadrada onde 0=ija para i < j. 
Exemplos. 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
π
=
17
029
004
A ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
13
01
B 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1002
0934
0056
0001
C 
 
7 - Igualdade de Matrizes 
Elementos de mesmo índice são correspondentes. 
Exemplo.1. Determine, a, b, x, y, sabendo que: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
++
70
13
2
2
bayx
bayx
 
 
Exemplo.2. Determine os valores de “x”, “y” e “z” para que as igualdades sejam verdadeiras. 
a) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−−
232
3
zyx
zyx
 = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
2521
82
 b) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
5yx5
x3x9x2 = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+−
59
x1020
 
 
8 - Matriz Oposta 
A oposta de M é –M. 
Exemplo. Qual é a matriz oposta de 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−=
18153
25121
3172
B ? 
9 - Matriz Transposta 
Seja a matriz ( )mxnjiaA ,= . A transposta de A é determinada por ( )nxmij
t
aA ,= . 
Exemplo. Obtenha as transpostas das matrizes: 
 3 
a) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
94
71
A b) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
905
642
B c) 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
093
5
271
252
C 
 
Propriedades da Matriz Transposta 
a) ( ) ttt BABA +=+ 
b) ( ) tt AkAk .. = , Rk∈ 
c) ( ) AA tt = 
d) ( ) ttt ABBA .. = 
 
10 - Matriz Simétrica 
Toda matriz quadrada A de ordem n, tal que: AAt = 
Exemplo. As matrizes ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
94
41
A e 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
724
251
411
B são simétricas pois, 
11 - Matriz anti-simétrica 
Toda matriz quadrada A de ordem n, tal que: AAt −= 
Exemplo. As matrizes 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
053
501
310
A e 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
024
201
410
B são anti-simétricas. 
 
12 - Matriz Identidade 
Matriz identidade de ordem n (indica-se por nI ) à todos os elementos da diagonal principal são iguais 
a 1 e os demais elementos são iguais a zero. 
Exemplos.1. 
 
 
a) =2I b) =3I c) =4I d) =5I 
 
 
 
Exemplo.2. 
Calcule ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 10
01
.
21
53
. 
 
 
 
 
 4 
1.3 Adição de Matrizes 
(só é possível se todas as matrizes a serem adicionadas forem do mesmo tipo mxn) 
Exemplo. Sendo 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
124
310
205
A , 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−=
18153
25121
3172
B , ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
=
1240
913
C e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
536
258
D , 
calcule: 
a) A + B 
b) A + C 
c) C + D 
 
Subtração de Matrizes 
 
A – B = A + (-B) 
Exemplo. Sendo 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
124
310
205
A e 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−=
18153
25121
3172
B , calcule A – B. 
 
1.4 Propriedades da Adição 
a) Comutativa A + B = B + A 
b) Associativa (A + B) + C = A + (B + C) 
c) Elemento neutro A + 0 = A = 0 + A 
d) Oposto A + (-A) = 0 = a = (-A) + A 
 
Exemplo. Sejam as matrizes ( )
22xji
aA = , com 22 jia ji −= e ( ) 22xjibB = , com 1+= jiji ab , 
 encontre a matriz X de modo que: 
 a) 0=+− BAX 
 b) BXA −=−− 
 
Produto de um Número Real (escalar) por uma Matriz 
 
Exemplo. Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
345
021
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
1569
1263
B , determine: 
 a) A2− 
 b) ( )BA +
2
1 
 c) B
3
1 
 
 5 
1.5 Multiplicação de Matrizes 
Dadas duas matrizes 
nmijnm aA ×=× ][ e pnjkpn bB ×=× ][ , então: pmikcCBA ×==⋅ ][ , ou seja, 
pxmpxnnxm CBA =. . 
Se ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2221
1211
aa
aa
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
232221
131211
bbb
bbb
B , então ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
232221
131211
ccc
ccc
C , onde: 
∑
=
⋅=⋅+⋅=
2
1
2211
j
jkijkikiik bababac , isto é, 
2112111111 babac ⋅+⋅= 2212121112 babac ⋅+⋅= 2312131113 babac ⋅+⋅= 
2122112121 babac ⋅+⋅= 2222122122 babac ⋅+⋅= 2322132123 babac ⋅+⋅= 
Exemplo.1. Se ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
112
131
A e 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
=
6021
1125
1304
B , calcule BAC ⋅= e ABD ⋅= . 
Exemplo.2. Determine, se existirem, os produtos: 
 a) 
2222 86
75
.
43
21
xx
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 
 
 b) 
2222 43
21
.
86
75
xx
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
 
 
 c) 
4222 4001
1232
.
43
21
xx
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ − 
 d) 
23
22 41
52
31
.
30
12
x
x ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡− 
 e) [ ] 31
13
826.
5
3
2
x
x
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
 
 
 f) 
1212 4
3
.
2
1
xx
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 
 
 g) [ ] [ ] 2121 43.21 xx 
 
 
 
 6 
1.6 Propriedades da Multiplicação 
a) Associativa (A x B) x C = A x (B x C) 
b) Distributiva à direita em relação à adição A.(B + C) = A.B + A.C 
c) Distributiva à esquerda em relação à adição (A + B).C = A.C + B.C 
d) Elemento neutro A.I = A = I.A, sendo I a matriz identidade. 
e) ( ) ( ) ( )BkABAkBAk ...... == , onde k é um escalar. 
Observaçãoes: 
1. Em geral, ABBA .. ≠ 
2. Se 0. =BA , não necessariamente, 0=A
ou 0=B 
Exemplo. Seja ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
24
12
A . Calcule 2A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
1.7 Primeira Lista de Exercicios – Matrizes 
1) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considerando a matriz 
( )jiaA = , em que jia representa quantas unidades do material j serão empregados para fabricar 
uma roupa do tipo i. 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
124
310
205
A 
a) Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo 2? 
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 
1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3. 
 
2) Determine o valor de cada incógnita para que as matrizes sejam iguais: 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 34
152
041
3
zy
x
c
ba
 
 
3) A matriz 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
z
zyxA
12
321
 admite a transposta 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
zyy
yx
x
At
63
12
21
. Nessas condições, calcule x, 
y e z. 
4) Sejam as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
x
y
A
3
21
e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
y
y
B
0
12 . Se ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=+
33
30
BA , determine a transposta de A. 
 
5) Efetue, quando possível: 
a) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
2
3
.
41
35
 
 
b) ( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
0
2
.531 c) 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
04
12
61
.
21
53
 
d) ( )230.
1
2
3
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
 e) 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
33
52
11
.
532
041
 
f) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
54
21
.
224
513
 
6) Sendo ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
12
14
A e ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
6
24
B , calcule a matriz X, tal que BXA =. . 
 
7) Uma indústria farmacêutica produz, diariamente, p unidades do medicamento X e q unidades do 
medicamento Y, ao custo unitário de r e s reais, respectivamente. Considere as matrizes 
[ ]qpM 2= e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
s
r
N
2
. A matriz produto NM . representa o custo de produção de quantos 
dias? 
 
 
 8 
8) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A 
quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz: 
 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo 
Moderno 5 20 16 7 17 
Mediterrâneo 7 18 12 9 21 
Colonial 6 25 8 5 13 
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial respectivamente, 
quantas unidades de cada material serão empregadas? 
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, 
respectivamente, $ 15, $ 8, $ 5, $ 1 e $ 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? 
c) Qual foi o custo total de material empregado? 
 
9) Uma construtora recebe encomendas para fazer arcabouços de três edifícios - escola, hospital e 
teatro – em duas cidades. As quantidades, em unidades convenientes, de cada material utilizado 
estão descritas nas matrizes a seguir: 
Cidade A Ferro Cimento Madeira Areia Mão-de-
obra 
 
Escola 15 51 25 42 63 
Hospital 17 53 21 52 73 
Teatro 18 57 27 33 85 
 
Cidade B Ferro Cimento Madeira Areia Mão-de-
obra 
 
Escola 16 50 27 41 65 
Hospital 19 53 23 45 75 
Teatro 19 58 28 55 86 
a) Se fizer as construções em ambas as cidades, quanto gastará de cada item para cada tipo de 
edificação? 
b) Se a construtora recebe a encomenda de duas escolas, dois hospitais e dois teatros, na cidade A, 
qual a quantidade de cada matéria utilizada em cada tipo de obra para atender a esse pedido? 
c) Se a construtora recebe a encomenda de cinco escolas, três hospitais e dois teatros, na cidade B, 
qual a quantidade de cada matéria utilizada para atender a esse pedido? 
d) Sabendo que os preços por unidade (específica) de ferro, cimento, madeira, areia e mão-de-obra 
são, respectivamente, $ 1.000,00, $ 800,00, $ 500,00, $ 300,00 e $ 2.000,00, calcule o custo de 
cada tipo de construção? 
e) Qual é o custo total a ser pago pela encomenda realizada pela cidade B? 
 
10) Dadas as matrizes 22][ xijaA = tal que 
j
ij ia = e 22][ xijbB = tal que 
i
ij jb = , determine: 
a) 1111 ba + b) ).( 221122 bba + c) 2121.ba 
11) Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
654
321
A e 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
34
03
21
B , determine 
t
BA 2+ . 
 
 
 
 
 9 
 Gabarito 
1) a) 3 b) 33 
2) a = -5; b = 1; c = 5; x = 5; y = 4 e z = -3. 
3) x = 4; y = 1 e z = 5. 
4) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
22
31tA 
5) a) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−11
21
; b) ( )17 ; c) não é possível; d) 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
230
460
690
; e) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− 223
217
; f} não é possível. 
6) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
4
5
X . 7) 2 dias. 
8) a) 
 
 
 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo 
Total 146 526 260 158 388 
8)b) 
 
 Preço 
Unitário 
Moderno 492 
Mediterrâneo 528 
Colonial 465 
8) c) $ 11.736,00. 
 
9) a) 
 
 Ferro Cimento Madeira Areia Mão-de-
obra 
 
Escola 31 101 52 83 128 
Hospital 36 106 44 97 148 
Teatro 37 115 55 88 171 
9) b) Cidade A Ferro Cimento Madeira Areia Mão-de-
obra 
 
Escola 30 102 50 84 126 
Hospital 34 106 42 104 146 
Teatro 36 114 54 66 170 
9) c) Cidade B Ferro Cimento Madeira Areia Mão-de-
obra 
 
 175 525 260 450 722 
9) d) 
Cidade A Total 
Escola 206.900 
Hospital 231.500 
Teatro 257.000 
Cidade B Total 
Escola 211.800 
Hospital 236.400 
Teatro 267.900 
9) e) $ 2.304.000,00. 
 
10) a) 2 b) 20 c) 2 
 
11) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
050
583
 
 
 10 
2 DETERMINANTES 
O determinante é um número real associado a toda matriz quadrada A=[aij] , segundo uma determinada 
lei. 
A notação para o determinante da matriz A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 3
0 5
 será Det A ou 
2 3
0 5
 
 
1 - Determinante de Primeira Ordem : 
 
[ ] 1111 aADetaA =⇒= ou a a11 11= 
 
Exemplos : 
 
 a) [ ]A = −3 , Det A= -3 
 b) [ ]B = 5 , 5 5= 
 
 
2 - Determinante de Segunda Ordem : 
 
21122211
2221
1211 aaaaADet
aa
aa
A −=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= 
Exemplos: 
 a) A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 1
5 3
, Det A= 6 – 5 = 1 
 b) 
− −
−
= − − =
3 2
1 5
15 2 17( ) 
3 - Determinante de Terceira Ordem : 
A
a a a
a a a
a a a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 
 
 
 
 
 11 
Regra de Sarrus para Cálculo de Determinante de 3a. Ordem 
Regra de Sarrus : a 11 a12 a13 a11 a12 
 a21 a22 a23 a21 a22 
 a31 a32 a33 a31 a32 
 P4 P5 P6 P1 P2 P3 
 Det A = P1 + P2 + P3 – P4 – P5 – P6 
Exemplo : 
a) A = − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
5 0 2
1 2 4
3 6 1
5 0 2 5 0 
 -1 -2 4 -1 -2 
 3 6 1 3 6 
 -12 120 0 -10 0 -12 
Det A = (- 10 + 0 - 12) - (-12 + 120 + 0) = -130 
b)
1 2 3
5 0 6
4 2 8
170−
−
= 
4 - Cofator 
 
Seja A=[aij] uma matriz quadrada de ordem n≥ 2 . Cofator de aij ∈Aé o produto de (-1) i j+ pelo 
determinante da matriz que se obtém de A, suprimindo a linha de ordem i e a coluna de ordem j . 
Notação: cij 
Exemplos: 
a) A =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 3
1 5
 1 1 .)1( ,5 5 .)1( 2112
11
11 =−−==−=
++ cc 22.)1( ,33.)1( 2222
12
21 =−=−=−=
++ cc 
 12 
b) A = −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 3 4
2 0 5
7 6 8
 c32
3 21
1 4
2 5
1 5 8 13= −
−
= − + = −+( ) . .( ) 
5 - Determinante de Ordem n≥ 2 
Teorema de Laplace. 
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n≥ 2 é a soma dos produtos dos elementos de uma 
fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. 
Nota : É mais prático considerar a fila que contém o maior número de zeros. 
Exemplos : 
a) A = −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 3 4
2 0 5
7 6 8
 Det A = 3 . C12 + 0 . C22 + 6 . C32 
c c12
1 2
321
2 5
7 8
1 51 51 13= −
−
= − − = = −+( ) . .( ) , (exemplo anterior) 
Det A= 3 . 51 + 6 . (-13) = 153 - 78 = 75 
b)
2 3 1 0
0 2 0 3
5 1 4 0
0 0 0 6
0 0 0 6 6 6 3641 42 43 44−
= + + + = =. . . . .c c c c c44 = −
−
= =+( ) . .1
2 3 1
0 2 0
5 1 4
16 64 4 
2.1 Propriedades dos Determinantes. 
Seja A e B duas matrizes quadradas de ordem n . 
1ª Propriedade 
 Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem nulos, o seu 
 determinante é zero. 
 
2ª Propriedade 
 Se 2 linhas ou 2 colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, seu 
 determinante é nulo. 
 
3ª Propriedade 
 Se uma linha ou uma coluna de uma matriz quadrada for combinação linear de outras linhas ou 
 colunas, seu determinante é nulo. 
 Exemplos: 
 13 
 
 a) 
3 5 1
0 0 0
2 1 7
0
1 3 2
0 1 4
1 3 2
0
2 4 4
1 0 2
3 5 6
0
−
= − = − − =b c) ) 
 
 L2 = 0 L1 = L3 C3 = 2.C1 
 
4ª Propriedade 
 O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante de sua transposta. 
 
Exemplo : 
A =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 1 1
1 0 3
1 5 1
 , det A = - 6 ; A t =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 1 1
1 0 5
1 3 1
, det A t = −6 
 
5ª Propriedade 
 Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna por um número real k, 
 então o determinante da nova matriz é o produto de k pelo determinante da primeira matriz. 
 Exemplos : 
 
1 1 1
1 0 3
1 5 1
6
2 1 1
2 0 3
2 5 1
12
3 3 3
1 0 3
1 5 1
18
−
− = −
−
− = −
−
− = −; ;
 
 2 C1 3.L1 
 
6ª Propriedade 
 Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, o 
 determinante da nova matriz é o oposto do determinante da primeira matriz. 
Exemplos: 
 
1 1 1
1 0 3
1 5 1
6
1 5 1
1 0 3
1 1 1
6
1 1 1
0 1 3
5 1 1
6
−
− = − −
−
=
−
− =; ;
 
 L13 C12 
 
 
7ª Propriedade 
 Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então Det (A.B)= Det A.det B 
8ª Propriedade 
 O determinante de uma matriz A triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos 
elementos da diagonal principal . 
 Exemplos : 
 14 
 A = 
1 3 4
0 6 4
0 0 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
; Det A = 18 B = 
3 0 0 0 0
4 3 0 0 0
5 7 2 0 0
2 8 6 1 0
7 4 3 7 2−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
; Det B = - 36 
9ª Propriedade 
 
 O determinante da matriz A o determinante da matriz inversa de A têm a seguinte relação: 
 
A
A
det
1det 1 =− 
Exercícios: 
1. Calcule os determinantes: 
 a)
−
−
5 4
7 2
 b) 
x y
y x
 c) 
x y y
x x y
− −
+
 
 d)
1 2 3
5 9 4
0 8 7
 e) 
3 4 2
1 5 1
2 3 4
 f) 
4 3 2
4 2 3
2 1 0
 
g) 
1 2 3 4
2 0 0 5
6 0 3 0
1 0 0 4−
 h) 
1 0 2 1
3 4 1 3
2 1 3 1
0 4 3 2
−
−
−
 i)
2 1 0 0
1 0 1 1
2 4 3 2
0 0 1 1
−
−
−
 
 2. Resolva as equações abaixo : 
a)
2 3 2
0 1
2 3
2
−
−
=x
x
 b)
2 2
3 2
3
2 1 0
4 1 3
2
x
x x
−
−
= 
3. Explique porque nulidade dos determinantes : 
 a)
−
−
−
2 3 5
1 0 2
4 6 10
 b)
2 0 4
1 0 5
3 0 6
− c)
−
−
−
4 1 2
2 0 1
6 2 3
 
 15 
 d)
1 3 4 3
0 1 1 1
2 5 5 5
1 0 0 0
− − −
 e) 
−
−
−
2 5 4
0 1 1
0 1 1
 
4.1. Sendo 
a b
c d
k calcule
c d
a b
=
− −
,
4 4
 
4.2. Sendo 
m n
p q k calcule
m p
n q= − −,
2 2
3 3
 
4.3. Sendo 
x y
a b
c d
1
1
1
=d , calcular: a)
x y
c d
a b
1
1
1
 b)
x y
c d
a b
1
1
1
 
4.4. Sendo 
a b c
d e f
g h i
calcular= 5 , : a)
2
2
2
a b c
d e f
g h i
 b) 
a b c
d e f
g h i
3
3
2 6 2
 
 c) 
2 2 2
3 3 3
a b c
d e f
g h i− − −
 d) 
3
3
3
b a c
e d f
h g i
 e)
a b c
g h i
d e f− − −
 f) 
a b c
d e f
a g b h c i2 2 2+ + +
 
Respostas : 
1. a) -18 b) x² - y² c) 2x² - y² d) 81 
 e) 29 f) 6 g) 78 h)12 i) 25 
2. a) x = 2 ou x = 1 b) x = 0 ou x = -1/6 
3. a) L3 = 2L1 b) C2 = 0 c) C1 = -2C3 d) C2 = C4 e)L3 = - L2 
4.1) 4k 4.2) –6k 4.3) a) -d b) d 
4.4) a) 10 b) 30 c) –30 d) -15 e) 5 f) 5 
 16 
3 INVERSÃO DE MATRIZES 
3.1 Introdução 
No início desta secção, o aluno encontrará alguns exercícios que possibilitam revisar o cálculo de 
determinantes, importante para a identificação de uma matriz inversível. O estudo de matriz inversa 
tem várias aplicações na Álgebra Linear, como por exemplo, na mudança de base de um espaço 
vetorial e resolução de equações matriciais. 
 
E1) Calcule os determinantes: 
 a) 2− b) 
31
12
−
 c) 
423
145
021
−
 d) 
300
640
311 −
 e) 
20101
01003
0064
0001
−
−
 
E2) Resolva as equações: 
 
 a) 
x10
0x1
154
−
−
−
 = 0 b) 
x2
9x2 = 
x213
132
x321
+
−
 c) 
351
034
00x2
 = 
xsenxcos
xcosxsen− 
 
3.2 Matriz Inversa 
 Uma matriz quadrada A é inversível se existir uma matriz quadrada B tal que AB = BA = I. 
 A matriz B é chamada matriz inversa de A e é representada por
A −1 . 
 
3.2.1.1 Exemplo: 
1 - Ache a inversa da matriz ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
41
32
A 
 
⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
10
01
41
32
dc
ba
⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
++
10
01
44
3232
dbca
dbca
 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
04
132
ca
ca
⇒
5
4
=a e 
5
1
−=c e 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
14
032
db
db
⇒
5
3
−=b e 
5
2
=d 
Logo 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=−
5
2
5
1
5
3
5
4
1A 
Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo: ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
10
01
41
32
dc
ba
 
Exemplo. Determine, se existir, a inversa de: 
 17 
 a) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
35
12
 b) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
45
23
 c) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
31
52
 d) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
32
64
 
 
 
Exercicio: Use a definição acima para calcular a inversa da matriz A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
dc
ba 
 Sugestão: Resolva os sistemas pela regra de Cramer. 
 
 
DISPOSITIVO PRÁTICO 
Se A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
dc
ba e det A ≠ 0 , então A −1 = 
Adet
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
ac
bd 
 
 
0AdetA 1 ≠⇔∃ − 
 
E4) Calcule as inversas das matrizes A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
12
23 e B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
72
51 . 
 
Propriedades da Matriz Inversa 
a) (A −1 ) −1 = A 
b) I n
−1 = I n 
c) (αA) −1 = (1/α)A −1 , α≠ 0 
d) (AB) −1= B −1A −1 
 
 Operações Elementares de Uma Matriz 
 
L ji - Permutação das linhas de ordem i e j. 
kL i - Multiplicação da linha de ordem i por k≠ 0. 
L i + kL j - Substituição da linha de ordem i pela sua soma com a linha de ordem j multiplicada por 
k≠ 0. 
 
Exercício: Complete corretamente as matrizes: 
 
 A= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
31
52 L 12 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
........
........ L 2 - 2L 1 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
........
........ - L 2 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
........
........ L 1- 3L 2 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
10
01 
 
Nota: Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito de operações 
elementares, na matriz I 
 
 18 
Exercício Aplique a seqüência L 12 , L 2 - 2L 1 , - L 2 , L 1- 3L 2 na matriz ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
10
01 . 
 
 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
10
01 L 12 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
........
........ L 2 - 2L 1 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
........
........ - L 2 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
........
........ L 1- 3L 2 
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥=B 
 
 
Exercício: Calcule AB e BA considerando A e B matrizes dos exercícios E5 e E6. O que se pode 
 concluir ? 
 
3.3 Inversão de Matriz por Operações Elementares 
A mesma seqüência de operações elementares que transforma uma matriz A em I n , transforma I n em 
A −1 . 
 [ A I n ] seqüência de operações elementares [ I n A
−1 ] 
 
Exercício: Determine a matriz inversa, caso exista, de cada uma das matrizes dadas: 
 A = 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
352
141
010
 , B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
53
21 , C = 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1201
0301
0010
0120
 e D = 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
304
202
011
 
 
Exercício: Mostre que t11t )A()A( −− = . 
 
Exercício: Resolva as equações matriciais na variável X, sabendo-se que A, B, C e X são matrizes 
 inversíveis: 
 
 a) AX = B b) AXB = C c) X −1AB −1 = C d) (AX −1 ) t = B e) AXB = BA f) A t X t = B 
 
Resposta: a) X=A-1B b) X=A-1CB-1 c) X= AB-1C-1 d) X=(Bt)-1A e) X=A-1BAB-1 f) X=BtA-1 
 
 
3.4 Segunda Lista de Exercícios – Matriz Inversa e Determinantes 
1) Determine, se existir, a inversa de: 
a) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
12
37
 b) 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −−
128
23
4
 c) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
52
156
 
2) Calcule o valor dos determinantes: 
a) 
034
111
022
 b) 
610
240
350
− c) 
231
112
135
−
−− 
 
 19 
d) 
240
112
301
−
 e) 
111
942
831
 
 
3) Resolva as equações: 
a) 0
75
2
=
+xx
 b) 0
5
=
x
xx
 
 
4) Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
42
31
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
13
21
B , calcular o determinante da matriz (A . B). 
5) Dadas as matrizes abaixo, calcule o valor de x de modo que det A = det B. 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
x
A
1
15
 e 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
112
21
12
x
x
B 
6) Encontre os valores reais de x, na equação 14
22
031
10
00
310
012
=
−
+−
x
x
x
x
. 
 
GABARITO 
1) a) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
72
31
 b) não é inversível c) 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
10
1
30
1
4
1
12
1
 
2) a) 2 b) 0 c) 41 d) 18 e) 0 
3) a) 5 3) b) { }5,0 
4) 14 5) { }3,1− 6) 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
3
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
O estudo de sistemas de equações lineares é de fundamental importância na Álgebra Linear. 
Resolvendo sistemas de equações lineares podemos determinar: a dependência ou independência 
linear de vetores, o subespaço vetorial gerado por um conjunto de vetores, a matriz que representa 
uma transformação linear em bases dadas e vetores próprios de um operador linear. No final dessa 
secção, apresentaremos o método de Castilhos que pode ser utilizado na resolução de sistemas de 
equações lineares. 
 
4.1 Equação Linear 
Toda equação da forma bxa...xaxa nn =+++ 2211 é denominada equação linear, em que: 
 na,..,a,a 21 são coeficientes 
 nx,...,x,x 21 são as incógnitas 
 b é um termo independente 
Exemplos: 
 a) 532 321 =+− xxx é uma equação linear de três incógnitas. 
 b) 1−=+−+ tzyx é uma equação linear de quatro incógnitas. 
Observações: 
1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação linear 
homogênea. Por exemplo: 05 =+ yx . 
2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma 21
2
1 x.x,x etc., isto é, cada termo da equação 
tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1. 
As equações 323 2
2
1 −=+ xx e 24 =+ zy.x não são lineares. 
3º) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a sequencia de números reais ou ênupla 
( )n,...,, ααα 21 , que, colocados respectivamente no lugar de nx,...,x,x 21 , tornam verdadeira a 
igualdade dada. 
4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea 03 =+ yx é a dupla ( )00, . 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1: Dada a equação linear 24 =+− zyx , encontrar uma de suas soluções. 
 Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z. 
 
0
2
=
=
y
x
 ⇒ 
6
2042
−=
=+−
z
z.
 
Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (x, y, z) = (2, 0, -6). 
 21 
 
Exemplo 2: Dada a equação 523 =− yx , determinar α para que a dupla (-1, α) seja solução da equação. 
Resolução: ( )α,1− ⇒ 
α=
−=
y
x 1
 ⇒ 
( )
482
523
521.3
−=⇔=−
=−−
=−−
αα
α
α
 
Resposta: α = – 4 
4.2 Sistemas lineares. 
Denomina-se
sistema linear de m equações nas n incógnitas nxxx ,...,, 21 todo sistema da forma: 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
nn bbbaaa '2'1'11211 ,...,,,,...,,→ são números reais. 
Se o conjunto ordenado de números reais ( )n'2'1' ,...,, ααα satisfizer a todas as equações do sistema, será 
denominado solução do sistema linear. 
 
Observações: 
1ª) Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, 021 ==== n'' b...bb , 
o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo: 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=++
=−+
0325
04
02
zyx
zyx
zyx
 
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0. 
Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir 
outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-
trivial. 
2ª) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas 
equivalentes. Veja o exemplo: 
( ){ }21
42
53
1 −=⇒
⎩
⎨
⎧
=−
−=+
,S
yx
yx
:S 
( ){ }21
1
3
2
2
3
2 −=⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
+−
=+
,S
yx
yx
:S 
 22 
 Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes. 
 
4.3 Expressão Matricial de um Sistema de Equações Lineares. 
Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema de equações 
lineares. 
Seja o sistema linear: 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
bxa...xaxa
...
...
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
 
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma: 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
............
...
...
21
22221
11211
 . 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nx
x
x
...
...
2
1
 = 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nb
b
b
...
...
2
1
 
 ↑ ↑ ↑ 
 
 
 
 
Observe que se você efetuar a multiplicação das matrizes indicadas irá obter o sistema dado. 
Se a matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas for quadrada, o seu determinante é dito 
determinante do sistema. 
Exemplo3: 
 Seja o sistema: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
−=+−
=−+
827
1634
052
321
321
321
xxx
xxx
xxx
. 
 O sistema pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma: 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
8
1
0
.
217
634
152
3
2
1
x
x
x
 ou seja A X = B 
Matriz A constituída 
pelos coeficientes 
das incógnitas 
Matriz B coluna 
constituída pelos 
termos independentes 
Matriz X coluna 
constituída pelas 
incógnitas 
 23 
 onde: 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
8
1
0
 B X ;
217
634
152
3
2
1
e
x
x
x
A 
 
Exercícios sobre Expressão Matricial 
 
1. Expresse matricialmente os sistemas: 
a) 
⎩
⎨
⎧
=−
=+
03
52
yx
yx
 
b) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−
=+
−=++
253
0
12
cba
ca
cba
 
2. A expressão matricial de um sistema S é: ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
7
4
13
52
b
a
. . 
 Determine as equações de S. 
4.4 Solução de um Sistema de Equações Lineares 
Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma: 
 
 
Considere o sistema de uma equação e uma incógnita: a.x = b 
Existem três possibilidades: 
i) a ≠ 0. Neste caso a equação tem uma única solução: 
a
bx = 
ii) a = 0 e b = 0 ⇒ 0.x = 0. Qualquer número real será solução da equação. 
 24 
iii) a = 0 e b ≠ 0 ⇒ 0.x = b. Não existe solução para esta equação. 
 
Exemplo 1: 
⎩
⎨
⎧
=−
=+
63
52
yx
yx
 
O conjunto de pontos (x,y) ∈ RxR que satisfaz cada equação deste sistema representa uma reta no 
plano. 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+−
=
−=
3
6
25
xy
xy
 
 
Deste modo, temos uma única solução. 
 
A matriz ampliada do sistema é ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 631
512
 
Transformando-a em matriz linha reduzida a forma 
escada: 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 631
512
 L1 ↔ L2 à ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
512
631
 –2L1+ L2 = L2 à ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
770
631
 
 
L2/7à L2 -à ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
110
631
 3L2 + L1 à L1 à ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−110
301
 à x = 3 y = –1 
 
Observação: Posto da matriz dos coeficientes = posto da matriz ampliada = 2 
 
Exemplo 2: 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
1536
52
yx
yx
 
 
As duas retas são coincidentes: 
 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1536
512
 ⎯⎯⎯⎯ →⎯ =+− 221.3 LlL ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
000
512
 ⎯⎯⎯ →⎯ = 11 2/ LL ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
000
2/52/11
 
Portanto, o sistema acima é equivalente ao sistema 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
000
2
5
2
1
yx
yx
 
Onde a 2ª equação pode ser ignorada pois não estabelece nenhuma condição sobre x ou y. 
 
O conjunto de soluções deste sistema será dado atribuindo-se valores arbitrários para uma das 
incógnitas (no caso y) e tomando a outra (x) em função da primeira. 
x = 
2
5 – 
2
1 y 
5 
2,5 
–2 
6 
y = 5 – 2x 
y = (– 6 + x)/3 
5 
2,5 
x 
y 
 25 
Assim, para y = λ, temos: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
λ
λ
y
x
2
1
2
5
 
Atribuindo diversos valores para λ obtemos várias soluções para o sistema. Por exemplo: 
λ = 0 à 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
0
2
5
y
x
 λ = 1 
⎩
⎨
⎧
=
=
1
2
y
x
 , etc. 
Obs.: posto da matriz dos coeficientes = posto da matriz amplificada = 1 
Nulidade da matriz dos coeficientes = 2 – 1 = 1 
Grau de liberdade do sistema = 1: o sistema apresenta uma variável livre. 
 
Exemplo 3: 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
1036
52
yx
yx
 à retas paralelas 
 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=
xy
xy
2
3
10
25
 
 
Portanto, não possuem nenhum ponto em comum. 
Logo, o sistema não tem solução. 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1036
512
 –3L1+L2 = L2 à ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 500
512
 L2/-5 = L2 e L1/2 = L1 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
100
2/52/11
 
Portanto, o sistema inicial é equivalente a 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
100
2
5
2
1
yx
yx
 
Não existe nenhum valor de x ou y que satisfaça a 2ª equação. Assim, o sistema inicial não tem 
solução. 
Obs.: posto da matriz dos coeficientes = 1 
Posto da matriz ampliada = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
 26 
CASO GERAL 
 
Considere o sistema de m equações lineares com n incógnitas: 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
....
2211
22222121
11212111
aij, bi ∈ R (ou C) 
Este sistema poderá ter: 
 
i) Solução única (possível e determinado) Ex:
⎩
⎨
⎧
=−
=+
63
52
yx
yx
 Solução = {(3, –1)} 
ii) Infinitas soluções (possível e indeterminado) 
Ex: 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
1536
52
yx
yx
Solução = 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
λ
λ
y
x
2
1
2
5
 , λ ∈ R. 
iii) Nenhuma solução (impossível ou incompatível) 
Ex: 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
1036
52
yx
yx
 a segunda equação será do tipo: 0x + 0y = c 
 
Observação: Lembramos que: dado um sistema como na definição acima, temos duas matrizes a ele 
associado: 
C = 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
21
22221
1...1211
 A = 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
...
...............
...
...
21
222221
111211
 
 Matriz dos Coeficientes Matriz Ampliada 
 
Teorema: 
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz 
ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes; 
ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única; 
iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n – p incógnitas, e as outras p 
incógnitas serão dadas em função destas. Neste caso, dizemos que o grau de liberdade do sistema é 
(n – p). 
Em cada exemplo, é dada a matriz-linha reduzida a forma escada da matriz ampliada. Usamos a 
notação 
pc = posto da matriz dos coeficientes e 
pa = posto da matriz ampliada. Se pc = pa denotamos simplesmente por p. 
 
 
 
 27 
Exemplos: 
1) ( ){ }3,6,10
284
3532
52
−−=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−−
−=−+
=+−
S
zyx
zyx
zyx
 
 
2) ( ){ }3,4,1
93
102
122
−=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=−
=+−
S
z
zy
zyx
 
 
3) ( ){ }ℜ∈−+−=
⎩
⎨
⎧
=+
=++
αααα /,15,332
15
284
S
zy
zyx
 
 
4) 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
ℜ∈⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−−−=
⎩
⎨
⎧
=++
=+++
βαβα
βαβα ,/,
2
5,
2
3
52
4
S
wzy
wzyx
 
 
5) 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
ℜ∈⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−−
=−−
=++
ααα /,,
3
10,
3
35
25333
202
15
S
zyx
zyx
zyx
 
 
6) ( ){ }1,5,7
1423
93
3
−−=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−+
=++−
−=++
S
zyx
zyx
zyx
 
 
7) φ=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−−−
−=−+−
=−−
S
zyx
zyx
zyx
933
53
102
 
 
 
4.5 Regra de Cramer 
A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear. 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
bxa..xaxa
...
...
bxa..xaxa
bxa..xaxa
2211
22222121
11212111
 :sistema o Seja 
Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incógnitas: 
 28 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
mnmm
n
n
a...aa
...
...
...
a...aa
a...aa
A
21
22221
11211
 
Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtém a partir da matriz A, substituindo-se a coluna dos 
coeficientes de x1 pela coluna dos termos independentes. 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
mnmn
n
n
x
aab
aab
aab
A
...
...
...
...
...
...
2
2222
1121
1 Pela regra de Cramer, temos : Adet
Adetx x11 = 
De maneira análoga podemos determinar os valores das demais incógnitas: 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
mnnm
n
n
x
a...ba
...
...
...
a...ba
a...ba
A
1
2221
1111
2 Adet
Adetx x22 =⇔ 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nmm
xn
b...aa
...
...
...
b...aa
b...aa
A
21
22221
11211
 
Adet
Adetx xnn =⇔ 
Generalizando, num sistema linear o valor da incógnita x1 é dado pela expressão: 
Adet
Adetx ii = → 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
 tes.independen termosdos coluna pela 
 xde escoeficient dos colunas as 
 se-dosubstituinA de obtida matriz a é A
sistema. do incompleta matriz a éA 
 i
i 
Exemplo para um sistema com 3 equações e 3 incógnitas: 
Seja o sistema temos a matriz 
 
As matrizes constituídas pelos coeficientes das incógnitas são: 
 
 
 
 29 
Assim, temos as soluções: 
 
Vejamos alguns exemplos. 
Exemplo 4: Resolver o sistema 
⎩
⎨
⎧
−=+
=−
25
72
yx
yx
. 
 11
51
12
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
= AdetA 33
52
17
11 =⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
= AdetA 
 11
21
72
22 −=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
= AdetA 3
11
331 ===
Adet
Adetx 1
11
112 −=−==
Adet
Adety 
Resposta: ( ){ }13−= ,S 
Exemplo 5: Resolver o sistema 
⎩
⎨
⎧
=−−
=+
2
5
yx
yx
. 
 0
11
11
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
= AdetA 7
12
15
−=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
= xx AdetA 
 7
21
51
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
= yy AdetA 0
7−
==
Adet
Adetx x impossível 
0
7
==
Adet
Adet
y y impossível 
 Resposta: φ=S 
Exemplo 6: Resolver o sistema
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=+−
=−+
1
10543
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
. 
 1º) Cálculo do determinante da matriz incompleta. 
 126543104
111
543
121
−=−−−−+−=⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
= AdetA 
 2º) Cálculo do determinante das incógnitas. 
 24200410100
111
5410
120
11 −=−+−−+=⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
= AdetA 
 1205103010
111
5103
101
22 =+−+−+=⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
= AdetA 
 30 
 061000204
111
1043
021
33 =−−+++−=⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−= AdetA 
 3º) Cálculo das incógnitas. 
 2
12
241
1 =−
−
==
Adet
Adetx 1
12
122
2 −=−
==
Adet
Adetx 0
12
03
3 =−
==
Adet
Adetx 
 Resposta: ( ){ }0 ,1 ,2 −=S Sistema Possível e Determinado. 
 
Exercícios sobre Regra de Cramer 
 
1. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer. 
a) 
⎩
⎨
⎧
−=−
=+
432
52
yx
yx
 Resp: {(1,2)} b) 
⎩
⎨
⎧
=+
=−
93
143
yx
yx
 Resp: {(3,2)} 
2. Calcule os valores de x, y e z nos sistemas: 
a) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=+−
=−+
3233
932
22
zyx
zyx
zyx
 Resp: {(1,2,3)} b) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−−
=−−
=−+
03
05
010
zy
zx
yx
 Resp: {(6,4,1)} 
 
3. Resolva as equações matriciais: 
a) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− 13
9
31
12
y
x
. Resp: ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
5
2
 b) 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− 8
2
2
115
632
741
z
y
x
. Resp: 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−1
2
1
 
4.6 Sistemas Triangulares ou Escalonados 
 
Considerando um sistemas genérico m x n, dizemos que ele é triangular ou esta na forma escalonada 
quando os coeficientes aij, com i > j , são todos nulos. Ou seja a matriz estendida está na forma 
triangular. 
Exemplo 11: 
a) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
=+−
84
123
752
z
zy
zyx
 b)
⎩
⎨
⎧
−=+
=++
454
11723
zy
zyx
 c) 
⎩
⎨
⎧
=+
=+++
1054
92
tz
tzyx
 
Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados. 
Exemplo 12: 
 31 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=−
−=+−
105
024
623
z
zy
zyx
 
 Sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações
= número de incógnitas) 
 Da 3ª equação tiramos z = 2 
 Da 2ª equação, fazendo z = 2, tiramos y = 1 
 Fazendo y =1 e z = 2 na 1ª equação tiramos x = -2 
 Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S={(-2,1,2)}. 
Exemplo 13: 
 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=+
=+−
=−+−
90
325
642
1329
w
wz
wzy
wzyx
 Sistema 4 x 4 na forma triangular ou escalonado. 
 A 4ª equação permite dizer que o sistema é impossível, logo S = ∅ . 
Exemplo 14: 
 
⎩
⎨
⎧
=−
=++
063
0
zy
zyx
 
 Sistema 2 x 3 já escalonado (número de equações menor que o número de incógnitas) 
Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas que equações e pelo menos um coeficiente não 
nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado. A variável que não aparece no começo das 
equações é chamada variável livre. Nesse exemplo z é a variável livre. Fazemos z = k, com k ∈R, para 
descobrir a solução geral do sistema. 
Da 2ª equação, temos kyzy 2063 =⇒=− . 
Usando z = k e y = 2k, temos kxkkx 302 −=⇒=++ . 
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (-3k, 2k, k). 
 
Exemplo 15: 
 
⎩
⎨
⎧
=+
=−+−
132
22
tz
tzyx
 
 Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem 2 equações e 4 
 incógnitas) e duas são variáveis livres (y e t). 
 Fazemos ReRcom,tey ∈β∈αβ=α= . 
 Substituindo nas equações: 
 32 
 
4
3523524
4231242
2
312
2
31312132
+β+α
=⇒+β+α=⇒
⇒+β+β+−α=⇒=β−
β−
+α−
β−
=⇒β−=⇒=β+
xx
xx
zzz
 
 Solução geral: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ β
β−
α
+β+α ,,,
2
31
4
352 
 
Exercícios: 
Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados: 
a) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=−
=+−
62
12
032
z
zy
zyx
 b) 
⎩
⎨
⎧
=−
=+−
0
223
zy
zyx
 c) 
⎩
⎨
⎧
=−
=+−+
0
22
dc
dcba
 
4.7 Processo para Escalonar um Sistema Linear 
 
Para escalonar um sistema linear pode utilizar as transformações elementares sobre as linhas do 
sistema. 
Transformações Elementares 
1º Trocar a posição de duas equações do sistema. 
Exemplo 16: 
 
⎩
⎨
⎧
=−
=+
⇒
⎩
⎨
⎧
=+
=−
623
14
14
623
yx
yx
yx
yx
 
2º Multiplicar todos os termos de uma equação por um número real diferente de zero: 
Exemplo 17: 1022653 =+−⇒=+− zyxzyx 
3º Adicionar duas equações do sistema. 
 Exemplo 18: 
 
( )
⎩
⎨
⎧
=−
=+−
⇒
⎩
⎨
⎧
+↵=+−
−⋅=+−
43
742
25953
3742
zy
zyx
zyx
zyx
 
 Exemplo 19: 
 33 
 
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
=+
=++
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+↵=−
−⋅=+
=++
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=−
=++
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+↵−=+−−
↓+↵=++
⋅−⋅=++
3216
135
72
73
3135
72
135
73
72
8253
2172
3272
z
zy
zyx
zy
zy
zyx
zy
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
 
O sistema obtido está escalonado e é equivalente ao sistema dado. Podemos agora resolver: 
 
17232
31325
2
16
32
−=⇒=+⋅+
=⇒=⋅+
==
xx
yy
z
 
Sistema possível e determinado, com S = {(-1,3,2)} 
 
 Exemplo 20: 
( ) ( )
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
−=+−
=−+
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+↵=−+
↓+↵=+−
−⋅−⋅=−+
)inarlime(zyx
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
0000
847
32
6242
13
2332
 
⎩
⎨
⎧
−=+−
=−+
847
32
zy
zyx
 
Sistema possível e indeterminado (escalonado e 2 x 3). Variável livre: z. 
7
48
847
α+
=
⇒−=α+−⇒α=
y
yz
 
7
53
7
482 α−=⇒=α−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ α+⋅+ xx 
Solução geral: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ α
α+α− ,,
7
48
7
5 
 
Nota: Se no processo de escalonamento obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e 
o termo independente diferente de zero, esta equação é suficiente para afirmar que o 
sistema é impossível., isto é, S = ∅ . 
 
 
 34 
4.8 Método de Eliminação de Gauss 
Dado o sistema Sn , a matriz estendida é: 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
B


21
222221
111211
...
...
 
O método de Gauss consiste em transformar a matriz B em uma matriz triangular superior, da seguinte 
forma: 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
n
n
n
b
ba
baa
baaa
1000
100
10
1
33
2223
111312





, 
onde os índices superiores indicam o número de modificações realizadas em cada linha. 
Aplica-se o processo retroativo para se obter a solução desejada. 
 
Exempo21: Resolver o sistema pelo método de Eliminação 
 de Gauss. 
Solução: 
→
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
→
−=
−=
=
→
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
→
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
5,7525,75,680
5,4262,3988,20
75,119,094,21
25
2
36/
3212525
394032
63710636
3212525
63710636
394032
133
122
11
LLL
LLL
LL
→
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
→
+=
−=
→
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
→
315,39315,3900
106,1106,010
75,119,094,21
88,2
)5,68/(
5,4262,3988,20
75,7525,75,680
75,119,094,21
233
22
LLL
LL
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
→=→
1100
106,1106,010
75,119,094,21
315,39/33 LL 
 
Pelo Processo Retroativo temos: 
 x3 = 1 
 x2 = - 1,106 + 0,106 = -1 
 x1 = -1,75 - 0,19 + 2,94 = 1 Resp.: = (1 -1 1)t 
 
 
 
 
 
 35 
4.9 Exercícios sobre Sistemas de Equações Lineares 
1. Dada a equação linear 72 =− yx , verifique se os pares abaixo são soluções: 
a) (2, -3) b) (2, 7) c) (5, 3) 
 
2. Verifique se as triplas ordenadas abaixo são soluções da equação 142 =++ zyx . 
a) (-1, 3, -1) b) (0, -4, -1) c) (1, 1, 1) 
 
3. Determine m de modo que o par (m, 2m + 1) seja solução da equação 4113 =− yx . 
4. Verifique se (1, 1, 1) é solução do sistema: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=+−
=−+
81152
8327
55
zyx
zyx
zyx
 
5. (UE-RJ) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras por 
apenas 2 pessoas, num total de 38 fregueses. Qual o número de mesas ocupadas por apenas 2 
pessoas? 
 
6. Resolva os sistemas abaixo usando o método de escalonamento: 
a) 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
053
02
yx
yx
 b)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=−+
075
032
0
zyx
zyx
zyx
 c) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−−
=−+
=−+
03
04
023
zyx
zyx
zyx
 d) 
⎩
⎨
⎧
=−
=−+
0
03
yx
zyx
 
e) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=−
=−+−
1
0
16
w
yx
wzyx
 f) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+−
=−−
=+−
582
232
12
zyx
zyx
zyx
 g) 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=+
=−
=+
=−
122
32
24
1
yx
xy
wx
zx
 h)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−+
=−
=−
73
3
2
wzyx
wx
wx
 
 
7. (FUVEST) João diz a Pedro: se você me der 1/5 do dinheiro que possui eu ficarei com uma quantia 
igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6.000,00 do meu dinheiro nós 
ficaremos com quantias iguais. Quanto dinheiro possui cada um? 
 
8. (UNICAMP) Em um restaurante, todas as pessoas de um grupo pediram um mesmo prato principal 
e uma mesma sobremesa. Com o prato principal o grupo gastou R$56,00 e com a sobremesa 
R$35,00; cada sobremesa custou R$3,00 a menos do que o prato principal. 
a) Encontre o número de pessoas neste grupo. 
b) Qual o preço do prato principal? 
 
9. O sistema abaixo é escalonado. Para que valores
de m o sistema admite somente a solução nula ou 
trivial? 
( )⎩
⎨
⎧
=+
=−
01
03
ym
yx
 
10. Seja o sistema 
⎩
⎨
⎧
=+
=−
02
02
myx
yx
. Escalone-o e determine m para que o sistema admita: 
a) solução nula: 
b) soluções não-nulas. 
 36 
 
11. Resolva os sistemas pelo método que achar mais conveniente. 
a) 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
523
04
yx
yx
 b) 
⎩
⎨
⎧
−=+−
=−
33
22
yx
yx
 c) 
⎩
⎨
⎧
−=+−
=−
1
645
yx
yx
 d) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
−=+
=+−
724
132
13
zyx
zx
zyx
 e) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
−=−+
=++
0232
1
1
zyx
zyx
zyx
 
12. Discuta, em função de m, os seguintes sistemas: 
a) 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
62
3
myx
yx
 b) 
⎩
⎨
⎧
=−
=+
236
2
yx
mmyx
 c)
⎩
⎨
⎧
=−
=+
yxmy
mxyx
2
2
 d)
( )⎩
⎨
⎧
=+−
=−
421
1
myxm
ymx
 
e) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=−
=+
2
2
yx
myx
ymx
 f)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=++
=−+
2
0
4
yx
zmyx
zymx
 g) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=++
=−+−
−=+
54
2
2
mzyx
mzyx
ymx
 
13. Nos exercícios abaixo encontre condições para as constantes a, b, c e d, de forma que estes sistemas 
sejam consistentes. 
a) 
⎩
⎨
⎧
=−
=−
byx
ayx
23
46
 b) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−
=+−
=+−
czyx
bzyx
azyx
333
854
52
 c) 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=++−
=−++−
=+++−
=++−
dwzyx
cwzyx
bwzyx
awzyx
334
223
52
23
 
14. Em cada item abaixo determine se o sistema homogêneo tem uma solução não trivial. 
a) 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=+
=++
=+−+
03
02
0345
032
w
wz
wzy
wzyx
 b)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=+
=−
=+++
07
0
02
045
w
wz
wz
wzyx
 
 
15) Um comerciante compra no exterior vidros de vitaminas de dois tipos. Cada vidro do tipo I custa 
10 dólares e, do tipo II, 15 dólares. Se ele fez uma compra de 35 vidros, gastando 400 dólares, quantos 
vidros de cada tipo comprou? 
 
Gabarito 
1) a) O par (2, –3) é solução b) O par (2, 7) não é solução c) O par (5, 3) é solução 
 
2) a) a tripla (-1, 3, -1) é solução b) (0, -4, -1) não é solução. c) (1, 1, 1) não é solução 
 
3) (m = –15/19) 
 
4) Como a terna (1, 1, 1) é solução para todas as equações, a terna é solução do sistema. 
 
5) Há 5 mesas ocupadas por duas pessoas. 
 
6) Resolva os sistemas abaixo: Resolução por escalonamento. 
 37 
a) S = {(0, 0)}; b) S = {(4α, -3α, α), com α ∈ R}; c) S = {(0, 0, 0)}; d) S = {(
2
3α , 
2
3α , α), com α ∈ R} 
 
e) S = {(1 + α, α, 
6
1
− , - 1), com α ∈ R}; f) S = Ø; g) S = {(
24
19,
6
13,
3
2,
6
7
−− )}; h) S = Ø 
 
7) João tem R$ 42 000 e Pedro, R$ 30 000.; 
 
8) Há 7 pessoas no grupo que está no restaurante e o preço do prato principal é 8 reais. 
 
9) m deve ser diferente de -1. 
 
10) a) m ≠ - 4; b) o sistema admite solução não nula quando m = - 4. Nesse caso o sistema será possível 
e indeterminado (SPI) 
 
11) a) {(2, -1/2)} b) S = {( 
5
3 , 
5
4
− )} c) S = {(2, – 11)} d) S = {(1, 1, –1)} e) S = {(2, –2, 1)} 
 
15) O comerciante comprou 25 vidros do tipo I e 10 vidros do tipo II. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
5 VETORES 
 
5.1 Introdução 
 
Noção Intuitiva de vetores. 
 
Existem grandezas, chamadas escalares, que são caracterizadas por um número (unidade): 50M2 de 
área, 4m de comprimento, 7Kg de massa. Outras, no entanto, requerem mais que isso. Por exemplo, 
para caracterizarmos uma força ou uma velocidade, precisamos dar a direção, a intensidade (ou 
módulo) e o sentido: 
 
 
Uma força de 4 N Uma velocidade de 5m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60º 
4 
F 
5 
4 
3 
 39 
Tais grandezas são chamadas vetoriais. Nos exemplos acima as flechas nos dão ideia exata das 
grandezas mencionadas. 
 
Vetores são seguimentos de reta orientados que têm uma direção um sentido e um comprimento. 
 
 
 
 
Definição 1: Um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos do espaço. A é dito origem, 
B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma (A,A) são 
ditos nulos. Observe que se A ≠ B, (A,B) é diferente de (B, A). 
 
 
Definição 2 : Comprimento 
 Dizemos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) têm o mesmo comprimento se os 
segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo comprimento. Podemos dizer ainda que, 
fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento podemos fixar um número real 
(positivo ou nulo),que é a sua medida em relação àquela unidade. 
NOTAÇÃO : AB à comprimento do segmento AB. 
possui: 
 
 40 
 
Direção: 
 Dados dois segmentos orientados não nulos AB e CD, dizemos que eles têm a mesma 
direção se AB e CD são paralelas ou coincidentes 
 
 
 
Sentido: 
Se os segmentos orientados AB e CD têm o mesmo sentido caso os segmentos AC e BD 
tenham interseção vazia. Caso AB ∩ CD ≠ ø, dizemos que AB e CD têm o mesmo sentido. 
 
 41 
 
Mesma direção e mesmo sentido Mesma direção e sentidos opostos 
 
 
Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm a mesma direção, ou seja, 
forem paralelos. Dois segmentos opostos têm sentidos contrários. 
 
mesmo sentido Sentidos opostos 
 
 
 
 
 
A C 
B D 
A D 
B C 
 42 
 
 
5.2 Operação com Vetores 
 
 
 
 
 
 
 43 
 
 
 
 
 
 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.......... 
A 
 45 
 
 
...... 
 
 
 
 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 50 
5.3 Vetores no Rn 
 
 
 
 considerar uma 
quádrupla 
 
 
 
 
 51 
 
 
 
 
 
5.4 Operação com Vetores no Rn 
 
 
 
 
 52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 54 
 
 
 
 
 
 
 
 
colineares 
 
 55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 57 
 
 
 
 
 
 
 
 58 
 
 
 
GABARITO 
 
1. a) 7 b) 2 c) 1 d) 1 e) 6 f) 5 
2. d 
3. a) AH b) BE c) CA d) AF e) CF f) AF 
4. módulo: 300 m sentido: para a esquerda direção: leste-oeste. 
5. kgfF 401 = e kgfF 302 = ou kgfF 301 = e kgfF 402 = . 
6. BHAG = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 59 
5.5 Produto Interno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 60 
 
 
 
Distancia entre dois vetores 
 
Chama-se distância do vetor x ao vetor y, o número real positivo definido por: 
 
d(x,y) = √ (x1 - y1)2 + (x2 - y2) 2 + ….+ (xn - yn) 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 61 
 
 
 
 
 
 
5.6 Decomposição de Vetores 
 
 
 
 
 
 
 62 
 
 
 
 
 
5.7 Produto Vetorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 63 
 
 
 paralelogramo 
 
 
 
5.8 Produto Misto 
 
 
 
 
 
 
 64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 66
67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 68 
6 ESPAÇOS VETORIAIS 
 
Definição: Seja V um conjunto não vazio de objetos, chamados vetores, no espaço K (K = R ou 
K = C). Dizemos que V é um espaço vetorial sobre R se, e somente se, existe uma ‘adição’ 
entre os elementos de V e uma ‘multiplicação’ entre os elementos de K e os elementos de V. 
Então V é chamado de espaço vetorial sobre K (e os elementos de V são chamados 
vetores), se: 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
.Vx ,xx1 .10
.xxVx ,K , .9
.xxxVx ,K , .8
.yxyxVy ,x ,K .7
.0xx/Vx Vx .6
.Vx ,x0x/V0 . .5
.xyyxVy ,x .4
.zyxzyxVz ,y ,x .3
.Vxv xK, 2.
V.y x, V,y)(x .1
∈∀=⋅
⋅βα=β⋅α⇒∈∀∈βα∀
β+α=β+α⇒∈∀∈βα∀
α+α=+α⇒∈∀∈α∀
=−+∈−∃⇒∈∀
∈∀=+∈∃
+=+⇒∈∀
++=++⇒∈∀
∈α⇒∈∀∈α∀
∈∀∈+
 
 
Exemplo: V = Rn, K = R 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈=⋅
∈+++=+
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔∈
∈
n
21
n
2211
21
21
n
R ) ,..., ,(
R ),...,,(
),...,,(
),...,,(
K 
Ry ,
n
nn
n
n
xxxx
yxyxyxyx
yyyy
xxxx
x
αααα
α
 
 
Propriedades imediatas: 
( )
 0ou x 0 0x V, x K, 
 
x )x(-
)x()x(x)(
 V x K, 
 0 x 0 V x 
 0 0 K 
==α⇒=⋅α∈∀∈α∀
⎩
⎨
⎧
α=−α
−α=α−=α−
⇒∈∀∈α∀
=⋅⇒∈∀
=⋅α⇒∈α∀
 
 
Exemplos: 
1) Seja V o primeiro quadrante do plano xy , isto é, seja 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥≥⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= 0,0: yx
y
x
V . 
a) Se u e v estão em V , será que vu + está em V ? 
b) Determine um certo vetor v , em V , e um certo escalar c tal que cv não pertença a V . (Isto é 
suficiente para mostrar que V não é um espaço vetorial.) 
2) Verifique se R2 é um espaço vetorial. 
 69 
3) Verifique se R3 é um espaço vetorial. 
4) Verificar se são espaços vetoriais do R3: 
a) V= {(x, y, z) ∈ R3 / x = 0}. b) V = {(x, y, z) ∈ R3 / x + y = 0 e z = -2}. 
 
6.1 Subespaços Vetoriais 
 
Genericamente podemos dizer que um subespaço é um subconjunto de um espaço vetorial desde que 
seja ele mesmo um espaço vetorial em relação às mesmas operações em V. 
 
Definição: Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto não-vazio de V. Se W é um espaço vetorial 
em relação às operações em V, dizemos que W é um subespaço de V, ou seja: 
 W. x). ( W x K, 3.
 W. y) (x W y x, 2.
 W. 0 .1
∈α⇒∈∀∈α∀
∈+⇒∈∀
∈
 
 
Exemplo 1: Todo espaço vetorial tem pelo menos dois subespaços, ele mesmo e o subespaço {0} que 
tem como único elemento o vetor nulo. 
 Observe que: 0 + 0 = 0 e k . 0 = 0 em qualquer espaço vetorial. O subespaço {0} é 
chamado subespaço nulo. 
 
Exemplo 2: Seja W o subconjunto de R3 formado por todos os vetores da forma (a, b, 0), onde a e b 
são números reais quaisquer. Para verificar se W é um subespaço de R3, devemos verificar 
as propriedades. 
 Desta forma, sejam u = (m, n, 0) e v = (p, q, 0) vetores em W. Temos que u + v = (m+p, 
n+q, 0) que também pertence a W. Consideremos agora r um escalar qualquer e o vetor u, 
então ru = (rm, rn, 0) que também pertence a W. 
 Logo as propriedades de espaço vetorial estão satisfeitas e, portanto W é um subespaço de 
R3. 
 
Exemplos: 
 
1) Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 são subespaços: 
a) W = {(x, y, z, t)∈R4 / x + y = 0 e z – t = 0} 
b) U = {(x, y, z, t)∈R4 / 2x + y – t = 0 e z = 0} 
 
2) Verifique se S = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x + 2y – z = 0 e t = 0} é um subespaço vetorial. (Resp. S é 
subespaço de R4). 
 
3) Seja V = R2 e K = R. Verifique se W = {(a, b)∈R2 / (a + b)∈Z} é subespaço de V. (Resp. W não 
é subespaço de V.) 
4) Verificar se 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∈⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
−
= Rb,a;
bba
a2ba
S é um subespaço de M(2, 2). (Resp. S é subespaço 
de M(2, 2)). 
 70 
 
5) Seja V = R2 e K = R. Verifique se W = {(a, b)∈R2 / a + b = 0} é subespaço de V. 
 
 
6.2 Combinação Linear 
 
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Dizemos que o vetor y ∈ V é combinação 
linear dos vetores x1, x2, ..., xn de V se, e somente se, existem escalares n21 ,..., , ααα 
tais que nn2211 x...xxy α++α+α= . 
 
Exemplos 
1) Escreva, se possível, z como combinação linear de u e v em R3 onde ( )3,2,1=z , ( )4,1,2−=u 
e ( )13,7,1=v . 
2) Escreva, se possível, 2321 ttv +−= como combinação linear de tx 21+= , 2tty −= e 
231 ttz ++= em P2(R). 
3) Consideremos os vetores u = (1, -3, 2) e v = (2, -1, 1) em R3. 
a) Escreva (1, 7, -4) como combinação linear de u e v. 
b) Escreva (2, -5, 4) como combinação linear de u e v. 
c) Para que valor de k, w = (1, k, 5) é uma combinação linear de u e v? 
4) Escreva u como combinação linear dos polinômios 432 2 −+= ttv e 322 −−= ttx , onde: 
a) u = 3t2 + 8t - 5 
b) u = 4t2 - 6t - 1 
 
 
6.3 Dependência e Independência Linear 
 
O primeiro fato importante a destacar sobre combinações lineares é que elas são resultados das 
operações com vetores, definidas no espaço vetorial: adição e multiplicação por um escalar. 
 
Definição. Sejam v1, v2, ..., vn, vetores de um espaço vetorial V. Diz-se que o conjunto {v1, v2, ..., vn} é 
linearmente independente (LI), ou que os vetores v1, v2, ..., vn são LI., se a equação 
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0; implica que a1 = a2 = ... = an = 0. 
 
No caso em que a igualdade se verifique para algum ai ≠ 0 diz-se que {v1, v2, ..., vn} é linearmente 
dependente (LD), ou que os vetores v1, v2, ..., vn são LD. 
 
Propriedades: 
 
1. Um único vetor v é LD, se e somente se, v = 0. 
 
2. Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} é LD, se e somente se, um destes vetores for uma 
combinação linear dos outros. 
 
 71 
Decorre dessa propriedade o que segue: 
 
a) Dois vetores u e v são LD, se e somente se, um é múltiplo escalar do outro. 
Por exemplo, os vetores (– 1, 1, 2) e (2, – 2, 4) são LD pois (2, – 2, – 4) = – 2(– 1, 1, 2). 
 
b) Três vetores em R3 são LD se e somente se são coplanares. Então, para verificar a dependência ou 
independência linear de 3 vetores em R3 podemos calcular o produto misto. 
 
Exemplo. Os vetores u = (2, – 1, 3), v = (– 2, 1 ,– 3) e w = (1, 0, 1) são LD pois, 
 
 
Também podemos pensar da seguinte forma: u e v são colineares (pois são múltiplos). Então, não 
importa como seja definido w, pela propriedade 2 sendo um dos vetores combinação linear dos outros, 
no caso, u = – 1v + 0w, temos que o conjunto {u, v, w} é LD. 
 
Exemplo. Os vetores u = (2, – 1, 1, 3), v = (1, 0, – 1, 2), w = (1, 3, – 1, 1) e t = (– 1, 2, 1, 0) são l.i. 
pois nenhuma linha de K pode ser anulada: 
 
 
 
Nota. Não é necessário realizar operações elementares sobres as linhas de K até chegar (ou tentar 
chegar) na matriz identidade pois isto é válido somente para matrizes quadradas. As operações 
podem ser suspensas quando for possível garantir que nenhuma linha se anula ou que mais 
nenhuma se anula. 
 
3. Um conjunto de m vetores em Rn é sempre LD se m > n. 
 
Exemplo. Quatro vetores em R3 são LD. Tomemos u = (2, – 3, 4), v = (4, 7, – 6), w = (18, – 11, 4) e 
t = (2, – 7, 3). A equação a.u + b.v + c.w + d.t = 0 origina o sistema 
 
que é compatível e indeterminado. Assim os escalares a, b, c e d não são todos nulos 
(obrigatoriamente) e os vetores u, v, w e t são LD. 
 
4. Um conjunto de vetores LI, em Rn contém, no máximo, n vetores. 
Essa propriedade é uma consequência imediata da propriedade anterior (Propriedade 3). 
 
5. Qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é LD. 
 
6. Qualquer conjunto de n vetores LI em Rn gera o Rn. 
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Exemplos: