Questões resolvidas
No espaço ℘3, considere os vetores 132)( 23 −++= xxxxp , 12)( 2 −+= xxxq e 12)( 23 ++= xxxr .
Verifique que )(3)(2)( xqxpxr −= e, usando unicamente esse cálculo como justificativa, diga se })(,)(,)({ xrxqxp=α é um conjunto LI ou LD.
Verifique que }22,,1{ 2xxx ++=α é uma base para o espaço vetorial ℘2.
Determine α]152[ 2 +− xx .
Em R3, qual a matriz de mudança da base canônica para a base })0,0,2(,)0,1,0(,)1,0,0({=α ?
Qual a matriz de mudança da base canônica para a base α?
Se T é o operador linear sobre R2 que possui o vetor )0,1(=u em seu núcleo, tendo )2,1(v = como seu autovetor associado ao autovalor 2=λ ,
Determine T )3,1( − .
Seja T : R2→ ℘1 a transformação linear definida por T axbaba +−= )(),( .
Verifique que T é um isomorfismo e determine a transformação T – 1.
Seja T : R2→ R2 o operador linear definido por T )4,44(),( yxyxyx ++= .
Encontre uma base α de R2 , tal que [T ] = 60 02α α .
Considere R3 com o produto interno usual e sejam )0,1,1(=u e )2,1,0(=v .
Existe um vetor w satisfazendo uww ⊥= ,1 e vw ⊥ ?
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UFPB – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
EXAME FINAL – PERÍODO 99.2
ALUNO (A) - _______________________________ MATRÍCULA - __________
OBSERVAÇÃO
Esta prova consta de 10 (dez) questões, dentre as quais você poderá escolher até 05
(cinco) para resolver.
Se você resolver mais que 05 (cinco) questões, serão corrigidas, a partir do verso
desta página, as 05 (cinco) primeiras soluções encontradas na prova.
01. No espaço ÃÃ3, considere os vetores 132)( 23 -++= xxxxp , 12)( 2 -+= xxxq e
12)( 23 ++= xxxr . Verifique que )(3)(2)( xqxpxr -= e, usando unicamente esse
cálculo como justificativa, diga se })(,)(,)({ xrxqxp=a é um conjunto LI ou LD.
02. No espaço das matrizes 2Î2, encontre uma base e dê a dimensão dos subespaços
U }02/{ =-=+ú
û
ù
ê
ë
é
= bada
dc
ba
, W }0/{ =+=+ú
û
ù
ê
ë
é
= cbda
dc
ba
e U I W.
03. Verifique que }22,,1{ 2xxx ++=a é uma base para o espaço vetorial ÃÃ2 e determine
a]152[
2 +- xx .
04. Em R3, qual a matriz de mudança da base canônica para a base
})0,0,2(,)0,1,0(,)1,0,0({=a ?
05. Sejam U e W subespaços de um espaço V. Sabendo que dimV = n e que dimU >
2
n
e
dimW >
2
n
, mostre que U I W }0{
r
¹ .
06. Se T é o operador linear sobre R2 que possui o vetor )0,1(=u em seu núcleo, tendo
)2,1(v = como seu autovetor associado ao autovalor 2=l , determine T )3,1( - .
07. Seja T : R2® ÃÃ1 a transformação linear definida por T axbaba +-= )(),( .
Verifique que T é um isomorfismo e determine a transformação T – 1.
08. Seja T : R2® R2 o operador linear definido por T )4,44(),( yxyxyx ++= . Encontre
uma base a de R2 , tal que [T ] ú
û
ù
ê
ë
é
=
60
02a
a .
09. Considere R3 com o produto interno usual e sejam )0,1,1(=u e )2,1,0(=v . Existe um
vetor w satisfazendo uww ^= ,1 e vw ^ ?
10. Em um espaço vetorial V com produto interno, suponha que o vetor vu + seja ortogonal ao
vetor vu - . Que relação se pode estabelecer entre u e v ?Mais conteúdos dessa disciplina
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