03 Cap II SISTEMA DE FORÇAS Bidimensionais

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SISTEMAS DE FORÇAS 
Capítulo 2 – Aula 3 
Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS 
Momento 
Momento M ou Torque: 
 
 
 
 
 
 Uma força pode tender a girar 
um corpo em relação a um 
eixo. Sendo esse eixo 
qualquer linha, que não 
intercepte ou não seja 
paralela à linha de ação da 
força. “Tendência à Rotação” 
 
 
 
 
 
 
 
Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS 
Momento – Momento em Torno de um Ponto 
• O módulo do Momento ou Tendência ao 
Giro é proporcional: 
 
 
 
 
• O Momento é um vetor M perpendicular ao 
plano do corpo; 
• O sentido do momento é dado pela Regra 
da Mão Direita – Vetor apontando na 
direção do polegar, com os dedos curvados 
na direção da tendência da rotação; 
• Momento em relação a um ponto – 
momento em relação a um eixo normal ao 
plano e passando pelo ponto 0. Anti-horário 
positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Módulo da Força F; 
 Braço de Alavanca d - A distância 
perpendicular do eixo até a linha de 
ação da força. 
 
 
 
 
FdM=
Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS 
Momento – O Produto Vetorial 
• r é um vetor de posição que vai do ponto 
de referência do momento, 0, para 
qualquer ponto na linha de ação de F; 
 
• Estabelecemos a direção e o sentido de M 
aplicando a regra da mão direita para a 
sequência . Se os dedos da mão direita 
estiverem curvados na direção da rotação, 
do sentido positivo de r para o sentido 
positivo de F, então o polegar aponta no 
sentido positivo de M. 
 ≠ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FM ×=r
FdFrsenM == α
F×r
F×r
r×F
Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS 
Momento – Teorema de Varignon 
O momento de uma força em relação a 
qualquer ponto é igual à soma dos momentos 
dos componentes desta força em relação ao 
mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RrM ×=0
QPR +=  +×=× QPrRr
QrPrRrM ×+×=×=0
qQpPRdM +−==0
Exercícios – Exemplo 2/5 
 Calcular o módulo do momento da força de 600 N em relação ao 
ponto O da base, por cinco diferentes maneiras. 
Exercícios – Exemplo 2/5 – Solução 
Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS 
Binário 
 Binário é o momento produzido por duas forças não colineares, 
iguais e opostas. 
 
 
 
 
 
 
 As forças não podem ser combinadas 
em uma única força, porque sua soma 
em todas as direções é zero; 
 Produz uma tendência à rotação. 
 
 
 
 
FadaFM −+= 




FdM =
 O momento devido a um binário tem o 
mesmo valor para todos os centros de 
momento 
 
 
 
Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS 
Binário - Método da Álgebra Vetorial 
 rA e rB são vetores de posição, que 
partem do ponto 0 para pontos 
arbritários A e B sobre as linhas de 
ação de F e –F, respectivamente. 
 
 
 Onde r=rA - rB 
 
 
 
FBrArFBrFArM ×−=−×+×= 









FrM ×=
 
 
Sentido do Vetor 
Momento do Binário 
Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS 
Binário – Binários Equivalentes 
 Mudar os valores de F e d não altera um binário, 
enquanto o produto Fd permanecer o mesmo; 
 Um binário não é afetado se as forças atuam em um 
plano diferente, porém paralelo. 
 
 
 
 
Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS 
Binário – Sistemas Força-Binário 
 Força F no ponto A. 
 
 
 Força F no ponto A. Substituída por uma força 
igual F em um ponto B qualquer e pelo binário 
anti-horário M=Fd. 
 
 
 Sistema Força-Binário. 
 
 
Exercícios – Exemplo 2/6 
O elemento estrutural rígido está submetido a um binário composto de um 
par de forças de 100N. Substitua este binário por um binário 
equivalente, consistindo nas duas forças P e –P, cada uma com um 
módulo de 400N. Determinar o ângulo Θ apropriado. 
Exercícios – Exemplo 2/6 - Solução 
Exercícios – Exemplo 2/7 
Substitua a força horizontal de 400 N, atuando na alavanca por um 
sistema equivalente consistindo em uma força em O e um 
binário. 
Exercícios – Exemplo 2/7 - Solução 
Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS 
Resultantes 
• Resultante de um sistema de forças é a combinação mais 
simples de forças que pode substituir as forças originais sem 
alterar o efeito externo no corpo rígido sobre o qual as forças 
estão aplicadas; 
• Equilíbrio de um corpo é a condição na qual a resultante de 
todas as forças atuando no corpo é nula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estática: Somatório das Forças é nula; 
 Dinâmica: Somatório das forças é igual a aceleração. 
 
 
 
∑=+++= FFFFR ....321
xx FR ∑= yy FR ∑=
22








 ∑+∑= yx FFR
∑
∑== −−
x
y
x
y
F
F
R
R 11 tantanθ
Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS 
Resultantes – Método Algébrico 
• Tranferir as forças para 
um único ponto de 
referência atraves dos 
Momentos; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Força Resultante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Linha de ação da força resultante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS 
Resultantes – Princípios dos Momentos 
∑= FR
∑ ∑== 


FdMM0
RdM =0
Reduzem um dado sistema de forças a um 
sistema força-binário em um ponto 0 
arbitrariamente escolhido, mais conveniente 
 
 
 
Especifíca a distância do ponto 0 à linha de 
ação de R e afirma que o momento da 
resultante de forças em relação a qualquer 
ponto 0 é igual a soma dos momentos das 
forças originais do sistema em relação ao 
mesmo ponto. 
 
 
 
Sistema com resultante binário (∑R=0) 
Exercícios – Exemplo 2/8 
Determine a resultante das quatro forças e do binário que atuam 
na placa mostrada. 
Exercícios – Exemplo 2/8 - Solução 
	SISTEMAS DE FORÇAS
	Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS�Momento
	Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS�Momento – Momento em Torno de um Ponto
	Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS�Momento – O Produto Vetorial
	Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS�Momento – Teorema de Varignon
	Exercícios – Exemplo 2/5
	Exercícios – Exemplo 2/5 – Solução
	Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS�Binário
	Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS�Binário - Método da Álgebra Vetorial
	Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS�Binário – Binários Equivalentes
	Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS�Binário – Sistemas Força-Binário
	Slide Number 12
	Slide Number 13
	Slide Number 14
	Slide Number 15
	Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS�Resultantes
	Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS�Resultantes – Método Algébrico
	Seção A: SISTEMA DE FORÇAS BIDIMENSIONAIS�Resultantes – Princípios dos Momentos
	Exercícios – Exemplo 2/8
	Exercícios – Exemplo 2/8 - Solução