Lista séries e séries de potência

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
UNIDADE ACADEMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO
Disciplina: Ca´lculo diferencial e integral 3
2017.2 – Lista de exerc´ıcios (se´ries e se´ries de poteˆncias)
1. Use o teste do limite para determinar se a se´rie converge ou diverge.
(a)
∞∑
n=1
1√
n4 + 1
(b)
∞∑
n=0
ne−n
(c)
∞∑
k=2
1
ln k
(d)
∞∑
n=2
n
2n3 − n+ 1
(e)
∞∑
n=1
(2n− 1)(n2 − 1)
(n+ 1)(n2 + 4)2
(f)
∞∑
n=1
4n+ 1
3n − 2
(g)
∞∑
n=0
2 + cos
√
n3 + 3
k + 1
2. Use os testes da raza˜o ou da raiz para determinar se a se´rie converge ou diverge, ou justifique
porque os testes sa˜o falhos .
(a)
∞∑
k=0
2k
k!
(b)
∞∑
n=1
(−2)n
n2
(c)
∞∑
n=1
n+ 2
n(n+ 1)
(d)
∞∑
n=1
(−1)nn3
3n
(e)
∞∑
n=1
( −2n
n+ 1
)5n
(f)
∞∑
n=1
n
5n
(g)
∞∑
n=1
3n
n3
(h)
∞∑
k=0
k5
5k
(i)
∞∑
n=1
n!
nn
Obs.: lim
n→∞
(1 + 1/n)n = e.
3. Verifique os seguintes limites
(a) lim
n→∞
nk
kn
= 0 k ≥ 2. (b) lim
n→∞
kn
n!
= 0 k ≥ 2. (c) lim
n→∞
n!
nn
= 0.
4. Teste a se´rie quanto a convergeˆncia ou divergeˆncia.
(a)
∞∑
n=1
2n2 + 3n√
5 + n5
(b)
∞∑
n=1
1√
n+ 3n
.
(c)
∞∑
n=1
(2n+ 1)n
n2n
(d)
∞∑
n=1
√
n+ 3
√
n
n2 + 3n+ 1
(e)
∞∑
n=1
(−1)nn
n+ 2
(f)
∞∑
n=1
1
n
√
lnn
(g)
∞∑
n=1
1
2n+ 1
(h)
∞∑
n=1
(
1
n3
+
1
3n
)
(i)
∞∑
n=1
(−1)n lnn√
n
5. Determine o centro, o raio de convergeˆncia e o intervac¸o de convergeˆncia das se´ries de
poteˆncias a seguir.
(a)
∞∑
n=1
xn
(b)
∞∑
n=1
n!xn
(c)
∞∑
n=1
xn
n!
(d)
∞∑
n=1
(x− 3)n
n
(e)
∞∑
n=1
(−3)nxn√
n+ 1
(f)
∞∑
n=0
n(x+ 2)
3n+1
(g)
∞∑
n=1
(−1)nx2n
22n(n!)2
(h)
∞∑
n=1
xn
2n+ 1
(i)
∞∑
n=1
(−3)n
n
√
n
xn
(j)
∞∑
n=1
(x− 2)n
n2 + 1
(k)
∞∑
n=1
nnxn
(l)
∞∑
n=1
n
bn
(x− a), b > 0
(m)
∞∑
n=1
(5x− 4)n
n3
(n)
∞∑
n=1
xn
1.3.5. · · · .(2n− 1)
6. Represente a func¸a˜o como uma se´rie de poteˆncias e determine o seu raio de convergeˆncia.
(a) f(x) =
1
1− x
(b) f(x) =
1
1 + x2
(c) f(x) =
1
1 + x/3
(d) f(x) =
1
4− x
(e) f(x) =
1
6 + 3x
(f) f(x) =
x
9 + x2
(g) f(x) =
1 + x
1− x
(h) f(x) = ln (1− x)
(i) f(x) = ln (1 + x)
(j) f(x) = tan−1 (x)
7. Mostre que a func¸ø˜dada e´ igual a´ sua se´rie de Taylor em torno do a dado com o raio de
convergeˆncia especificado.
(a) f(x) = ex, a = 0, R =∞
(b) f(x) = sin x, a = 0, R =∞
(c) f(x) = cos x, a = 0, R =∞
(d) f(x) = ex, a = 2, R =∞
(e) f(x) = sinx, a = pi/2, R =∞
(f) f(x) = cos x, a = pi/2, R =∞
8. Encontre a se´rie de Taylor da func¸a˜o f(x) centrada no valor de a dado e determine o seu
raio de convergeˆncia.
(a) f(x) = x4 − 3x2 = 1, a = 1
(b) f(x) = ln x, a = 2
(c) f(x) =
√
x, a = 16
(d) f(x) = 1/x, a = −3
9. Use a se´rie binomial para expandir a func¸a˜o como uma se´rie de poteˆncias. Dga o raio de
convergeˆncia.
(a) f(x) = 4
√
1− x
(b) f(x) =
1
(2 + x)3
(c) f(x) =
√
8 + x
(d) f(x) = (1− x)2/3