Aula 30Coordenadas Polares, Ci e Esf

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Sistemas de Coordenadas
Polares, Cilíndricas e Esféricas
Engenharia Civil
Cálculo II
Geometria Analítica e Vetores
A. Sistemas de Coordenadas Polares
Sistema constituída de duas coordenadas (r,Q), onde 
r = distância entre origem O e um ponto P e
Q = medida do ângulo AÔP, 
 formado pelo eixo polar OA e segmento OP. 
 Q>0  sentido anti-horário
 Q<0  sentido horário 
C oordenadas do pólo (0,Q) , para qualquer Q.
Localização dos pontos no Sistema Polar
Quando r < 0, o ponto P está na extensão do lado terminal do ângulo AÔP.
P possui infinitas representações: 
Relação entre Sistemas Coordenadas
Cartesianas Retangulares e Polares
Cálculo das Coordenadas Cartesianas (x,y),
dado um ponto P(r, ) polar.
Exemplo 1) Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas 	 coordenadas polares são	 . 
					 e
Cálculo das Coordenadas Polares (r, ),
dado um ponto P(x,y) cartesianas.
Exemplo 1) Encontrar as coordenadas polares do ponto cujas 	 	 coordenadas cartesianas são . 
		 e
					
	 Portanto , P cartesianas  
Gráfico de uma Equação com Coordenadas Polares
Calculando r = f( )
Exemplo: Esboço da curva r = 2.(1 – cos ).
r
r = 2 – 2cos
0
0
1
2
3
4
Cardióide r=2(1-cos )
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
1.Equações de Retas
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
1.Equações de Retas
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
2.Circunferências
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
2.Circunferências
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
3.Limaçons:
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
3.Cardióides:
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
3.Limaçons:
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
4.Rosáceas:
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
5.Lemniscatas:
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
6.Espirais: 
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
6.Espirais: 
Área de figuras planas em coord. polares
Exemplo:
Resolvendo uma situação-problema como exemplo:
Fórmulas de Bissecção: ; ; 
Fórmula da Multiplicação
Resolvendo uma situação-problema, com integrais duplas,em coordenadas polares:
Ache o volume V do sólido delimitado pelo parabolóide z = 4 – x^2 – y^2 e o plano-xy.
B. Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas onde abcissa e ordenada são polares e a cota é coordenada retangular usual , isto é, P = (r, ,z). 
Serve para simplificar certos tipos de integrais múltiplas.
Relação entre as coordenadas retangulares (x,y,z) e as coordenadas cilíndricas P = (r, ,z):
			x = r cos 
		 y = r cos 
		 z = z
B. Coordenadas Cilíndricas
	Gráfico da equação r = ro 
	é um cilindro circular de raio ro 
	com eixo ao longo do eixo Oz.
						
			Gráfico da equação = o 
			é um plano contendo eixo-z.
Gráfico de z = zo
	 é um plano perpendicular ao eixo Oz.
B. Coordenadas Cilíndricas
Exemplo: Equação em coordenadas 	 cilíndricas e seu gráfico 
	 Se , 
	 
O gráfico é um cone circular com eixo ao longo do eixo Oz.
B. Coordenadas Cilíndricas
Equação em coordenadas retangulares de:
a)					b)
O gráfico é o parabolóide de		
revolução ao longo do eixo Oz. 
O gráfico é um cilindro de geratrizes paralelas ao eixo Oz. 
2
C=(0,2,0)
y
x
z
B. Coordenadas Cilíndricas e Integrais Triplas
Teorema de Cálculo (Coord. Cilíndricas)
Exemplo : Cálculo do centróide de um sólido hemisférico Q de raio a.
B. Coordenadas Cilíndricas e Integrais Triplas
B. Coordenadas Cilíndricas e Integrais Triplas
Exemplo : Cálculo do centróide de um sólido hemisférico Q de raio a.
Equação do hemisfério: 
Centróide sobre o eixo-z: 
B. Coordenadas Cilíndricas e Integrais Triplas
Logo, 

C. Sistema de Coordenadas Esféricas
As coordenadas esféricas de um ponto P é uma terna , “ro, fi, teta”, onde:
	 é a distância da origem ao ponto P;
 é o ângulo entre OP e o vetor k;
	 é um ângulo polar associado à projeção P’ de P sobre o 	plano-xy.
C. Sistema de Coordenadas Esféricas
Se , gráfico de é uma esfera de raio
	com centro na origem O. 
	Se , o gráfico consiste num único ponto: origem (0,0,0) 
P
C. Sistema de Coordenadas Esféricas
Se ,o gráfico de
 é um meio-cone de vértice O.
O gráfico de é a parte
não-negativa do eixo-z. 
C. Sistema de Coordenadas Esféricas
Se , seu gráfico é um semiplano contendo o eixo-z. 
C. Sistema de Coordenadas Esféricas
Relações entre as coordenadas esféricas e as coordenadas retangulares (x,y,z) de um ponto P.
Considerando:
					 
“Em todo triângulo retângulo, um cateto é igual ao produto da hipotenusa pelo cosseno do ângulo adjacente.”
“Em todo triângulo retângulo, cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pelo seno do ângulo oposto.”
O
C. Sistema de Coordenadas Esféricas
Mudança de Coordenadas:
	a) Esféricas  Retangulares e cilíndricas
Exemplo 1: Encontre as coordenadas retangulares e 		 cilíndrica de P, de coordenadas esféricas . 
		 Coordenadas cart. retang.:
				Coordenadas cilíndricas:
				
C. Sistema de Coordenadas Esféricas
Mudança de Coordenadas:
	b) Retangulares  Esféricas
Exemplo 2: Encontre as coordenadas esféricas cujo 			gráfico seja o parabolóide . 
Sabe-se que:
Substituindo em: 
				 
Dividindo a igualdade por um mesmo termo:
C. Sistema de Coordenadas Esféricas
Mudança de Coordenadas:
	b) Esféricas  Retangulares 
Exemplo 3: Transforme a equação para coordenadas retangulares e identifique a cônica.
	Essa equação é de uma esfera de raio 1, cujo centro, em coordenadas retangulares é C(1,0,0).
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Coordenadas Esféricas e Integrais Triplas
 Se f é uma função expressa em e contínua na região: , então 
 .
 
 
Coordenadas Esféricas e Integrais Triplas
Para transformar uma integral tripla, dada em coordenadas cartesianas, em uma integral tripla de coordenadas esféricas, utiliza-se a fórmula da mudança de variáveis: 
Exemplo: Calcular onde T é a esfera sólida 					expressa por 
Coordenadas Esféricas e Integrais Triplas
Exemplo1: Calcular onde T é a esfera sólida 					expressa por
Solução: A equação da esfera em coordenadas 	esféricas é dada por 
		A região de integração T, em coordenadas esféricas pode ser: 
Coordenadas Esféricas e Integrais Triplas
Recalculando o Exemplo – slide 28: 
“Cálculo do centróide de um sólido hemisférico Q de raio a.”
Equação do hemisfério e Cálculo pelas Coord. Cilíndricas 
 
			 Resp: 
Cálculo pelas Coord. Esféricas:
	

 
Coordenadas
Esféricas e Integrais Triplas
Exemplo 2: Recalculando o Exemplo – slide 28: 
“Calcular o centróide de um sólido hemisférico Q de raio a.”
 
Coordenadas Esféricas e Integrais Triplas
Recalculando o Exemplo – slide 28: 
“Cálculo do centróide de um sólido hemisférico Q de raio a.”
Exemplo 3: 
“Um sólido Q é delimitado pelo cone e pelo plano z = 2. A densidade em P(x,y,z) é diretamente proporcional ao quadrado da distância da origem a P. Determine a sua massa.”
	Solução: Plano
				 Densidade: 
Coordenadas Esféricas e Integrais Triplas
Coordenadas Esféricas e Integrais Triplas
(continuação)
Coordenadas Esféricas e Integrais Triplas
Exercícios diversos:
1. Calcular a integral abaixo:
 
Exercícios diversos
2. Calcular I
Basta calcular a
							 Resp.: 1/2 
Exercícios diversos
3.) Calcular 	 , onde T é a região delimitada pelo:
	 plano xy, pelo parabolóide e pelo cilindro . 
Solução: Projeção da região T integralizável sobre plano xy:
						 Logo: 
T está limitada inferiormente por z=0 e
superiormente pelo parabolóide ,
que em coordenadas cilíndricas, tem
equação 
Exercícios diversos
4) Calcular a integral tripla onde T é a região delimitada 
	 por 
Solução: A região T é delimitada inferiormente pelo parabolóide
	que, em coordenadas cilíndricas, é dado por . 
	Superiormente, a região T e limitada pelo hemisfério 	ou, em coordenadas cilíndricas, . 
	A região R é delimitada pela circunferência . Logo:
				......................... concluir.
Exercícios diversos
5) p.324, Flemming (versão antiga)
Calcular onde T é a região limitada superiormente pela esfera e inferiormente pelo cone .
		Solução: 
			 O cone faz um ângulo com o vetor k.
			 
				Logo: 
Para lembrar:
Coordenadas Polares
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Esféricas