Coordenadas Polares, Ci e Esf

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Sistemas de Coordenadas
Polares, Cilíndricas e Esféricas
Engenharia Civil
Cálculo II
Geometria Analítica e Vetores
A. Sistemas de Coordenadas Polares
Sistema constituída de duas coordenadas (r,Q), onde 
r = distância entre origem O e um ponto P e
Q = medida do ângulo AÔP, 
 formado pelo eixo polar OA e segmento OP. 
 Q>0  sentido anti-horário
 Q<0  sentido horário 
C oordenadas do pólo (0,Q) , para qualquer Q.
Localização dos pontos no Sistema Polar
Quando r < 0, o ponto P está na extensão do lado terminal do ângulo AÔP.
P possui infinitas representações: 
Relação entre Sistemas Coordenadas
Cartesianas Retangulares e Polares
Cálculo das Coordenadas Cartesianas (x,y),
dado um ponto P(r, ) polar.
Exemplo 1) Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas 	 coordenadas polares são	 . 
					 e
Cálculo das Coordenadas Polares (r, ),
dado um ponto P(x,y) cartesianas.
Exemplo 1) Encontrar as coordenadas polares do ponto cujas 	 	 coordenadas cartesianas são . 
		 e
					
	 Portanto , P cartesianas  
Gráfico de uma Equação com Coordenadas Polares
Calculando r = f( )
Exemplo: Esboço da curva r = 2.(1 – cos ).
r
r = 2 – 2cos
0
0
1
2
3
4
Cardióide r=2(1-cos )
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
1.Equações de Retas
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
1.Equações de Retas
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
2.Circunferências
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
2.Circunferências
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
3.Limaçons:
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
3.Cardióides:
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
3.Limaçons:
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
4.Rosáceas:
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
5.Lemniscatas:
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
6.Espirais: 
Algumas equações em coordenadas polares e seus gráficos
6.Espirais: 
Área de figuras planas em coord. polares
Exemplo:
Resolvendo uma situação-problema como exemplo:
Resolvendo uma situação-problema, com integrais duplas,em coordenadas polares:
Ache o volume V do sólido delimitado pelo parabolóide z = 4 – x^2 – y^2 e o plano-xy.
B. Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas onde abcissa e ordenada são polares e a cota é coordenada retangular usual , isto é, P = (r, Q z). 
Serve para simplificar certos tipos de integrais múltiplas.
Relação entre as coordenadas retangulares (x,y,z) e as coordenadas cilíndricas P = (r, Q z):
			x = r cos Q
		 y = r cos Q
		 z = z
B. Coordenadas Cilíndricas
	Gráfico da equação r = ro 
	é um cilindro circular de raio ro 
	com eixo ao longo do eixo Oz.
						
			Gráfico da equação Q=Qo 
			é um plano contendo eixo-z.
Gráfico de z = zo
	 é um plano perpendicular ao eixo Oz.
B. Coordenadas Cilíndricas
Exemplo: Equação em coordenadas 	 cilíndricas e seu gráfico 
	 Se , 
	 
O gráfico é um cone circular com eixo ao longo do eixo Oz.
B. Coordenadas Cilíndricas
Equação em coordenadas retangulares de:
a)					b)
O gráfico é o parabolóide de		
revolução ao longo do eixo Oz. 
O gráfico é um cilindro de geratrizes paralelas ao eixo Oz. 
2
C=(0,2,0)
y
x
z
B. Coordenadas Cilíndricas e Integrais Triplas
Teorema de Cálculo (Coord. Cilíndricas)
Exemplo : Cálculo do centróide de um sólido hemisférico Q de raio a.
B. Coordenadas Cilíndricas e Integrais Triplas
B. Coordenadas Cilíndricas e Integrais Triplas
Exemplo : Cálculo do centróide de um sólido hemisférico Q de raio a.
Equação do hemisfério: 
Centróide sobre o eixo-z: 
B. Coordenadas Cilíndricas e Integrais Triplas
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