2-MecanicaFluidosII-EqConservacao_MEC2345

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1
Equações de Conservação
 Teorema de Transporte de Reynolds
 Equação de Conservação de Massa (continuidade)
 Equação de Conservação de Quantidade de Movimento 
Linear (2a Lei de Newton)
 Equação de Navier-Stokes
 Equação de Energia Mecânica
 Equação de Conservação de Quantidade de Movimento 
Angular
2
Teorema de Transporte de Reynolds
Variação total = taxa de variação + fluxo líquido saindo 
com o tempo de da grandeza grandeza específica
de uma grandeza específica no VC através da SC 
de um sistema
 f = grandeza específica ; r = massa específica ; 
 d  = volume infinitesimal 
 d m = massa infinitesimal ; d m = r d  ;
 d F = grandeza no volume infinitesimal ; d F = f d m = f r d 
 permite transformar as equações para sistema 
(massa fixa) para volumes de controle (volume fixo)
dm = r d
sistema dm = r d
SC
VC
V2
V1
3
d m=r dA L= =r dA Vn dt
quantidade da grandeza que cruza a superfície:
f d m = f r dA L= = f r dA Vn dt = f r
fluxo líquido de massa cruzando a SC
dA
dm = r d
SC
VC
V2
V1
 taxa de acumulação de uma grandeza específica
 rf


 f


VCVC
d
t
dm
t
 
SC
AdnV

rf
  



SCVCsistema
AdnVd
ttd
d rfrfF
nV


V

V

Vn
Vn
Vn
4
Equação de Conservação de Massa
 Sistema: 
00  
 td
md
d
td
d
sistema
r
dm = r d
sistema
 Volume de controle:
A B
Variação com o tempo da Fluxo líquido de massa
da massa do volume de controle através da superfície de controle
  
SCVC
AdnVd
t
0
rr

5
Aplicando o teorema de Leibnitz 



t
a t
b t
t
a t
b t
f x dx f x dx db
dt
f b da
dt
f a( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
   
 
 
ao termo A , temos 




r r
t
V C
t
V C
d d   
. .
 
 
Aplicando o teorema de divergência de Gauss ao termo B, temos 
 
r r
  
V n d A div V d
VCSC
   ( )
 
 
Somando A com B 
 r

r
t
div V d
VC





  ( )

0
 
 
Queremos que está equação seja válida para qualquer volume, portanto, dividindo por d 

 e 
aplicando o limite d 

 tende a zero, obtemos a equação de conservação de massa diferencial, 
válida para qualquer ponto 
 r

r
t
div V ( )

0
 ( I ) 
 
Variação da massa Fluxo líquido de massa 
com o tempo por por unidade de volume 
unidade de volume 
 
A equação acima pode ser rescrita sabendo que 
ρVVρ)Vρ()Vρ( 

div
 
como  r

r r
t
V V      
   
0
 
Definido o operador : derivada material, ou total ou substantiva 
D A
D t
A
t
V A   


  
 variação local variação 
 temporal convectiva 
temos D
D t
V
r
r   
 
0
 ( II ) 
7
 Coordenadas cartesianas:
 Coordenadas curvilíneas:
 Coordenadas cilíndricas:
      0
















w
z
v
y
u
xt
rrrr
      0
















zr u
z
u
r
ur
rrt
rrr
r 
Equação de Conservação de Massa ou 
Continuidade
0


)(div V
t

rr 0 )(div V
Dt
D rr
ou
0





i
i
x
u
t
)(rr
Casos Particulares
1. Regime Permanente:
2. Incompressível:
0)(div V

r
0)(div V

i
j
ij
i
i
i
j
ij
i
j
jijj
i
i
x
e
eu
x
u
tx
e
eu
x
u
ee
t
ue
x
e
t 






















 )(
)(
)(
)(
)( rrrrrrrr0
8
Equação de Conservação de Quantidade 
de Movimento Linear (2a Lei de Newton)
tD
VD
ff
tD
VD
dfdamF cSextext



 rr  
força de corpo: 
Cf

força volumétrica,ex: força gravitacional 
gf g

r
força de superfície: 
fff pS


9
dydzxP )(
dy
dz
dydzdxxP )( 
),,( zyx
- força de pressão: força normal compressiva
pf

dx









 k
z
P
j
y
P
i
x
P
f p

Pf p 

dFp,x= P dy dz - (P dy dz +  P/x dx dy dz) = -  P/x d
 fp,x = -  P/x logo fp,y = -  P/y e fp,z = -  P/z
10
 Força de superfície viscosa resultante na direção x
yxdz
z
yxzxdy
y
zxzydx
x
zyF zxzxzx
yx
yxyx
xx
xxxxx     ,
zyx
zyx
F zx
yxxx
x 





 






,
convenção
n



n










zyx
f zx
yxxx
x 





,
dx
dz
f

força viscosa: força definida por um 
tensor, em cada face possui 3 componentes, dois 
tangenciais e um normal













zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx




xx
yx
yy
y
x
z
yz
zz
xz
xy
zx
zy
11
 Procedendo de forma análoga para as outras direções









zyx
f zx
yxxx
x 





 ,









zyx
f
zyyyxy
y 





 ,









zyx
f zz
yzxz
z 





 ,
 f



























zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zyx
f














zyxzyxzyx
f zz
yzxzzyyyxyzxyxxx 
12
Equação diferencial de quantidade de 
movimento na forma vetorial
 coordenadas cartesianas
 Pgρ
tD
VD
ρ


z
τ
y
τ
x
τ
z
P
gρwvuρ
z
τ
y
τ
x
τ
y
P
gρwvuρ
z
τ
y
τ
x
τ
x
P
gρwvuρ
zzyzxz
zz
w
y
w
x
w
t
w
zyyyxy
yz
v
y
v
x
v
t
v
zxyxxx
xz
u
y
u
x
u
t
u
















 
















 
















 
























13
Pgρ
tD
VD
ρ grad


Pgρ grad

•Equação de Euler (fluido perfeito, não viscoso) 
•Equação da Hidrostática: 
Para fluidos viscosos, precisamos de uma informação
adicional: relação entre a tensão cisalhante e a taxa de
deformação do elemento de fluido
Casos Particulares:
14
pode-se demonstrar pelo uso
da equação conservação de
quantidade de movimento
angular que o tensor é
simétrico














zzzyzx
zyyyyx
zxyxxx




Equação Constitutiva para fluidos Newtonianos






 IVVVf T



div
3
2
gradgraddivdivdiv=  ])([












y
u
x
v
xy V
x
u
xx





3
2












z
u
x
w
xz 










y
w
z
v
yz
V
y
v
yy





3
2
V
z
w
zz





3
2
15
Equação de Navier-Stokes: Equação de 
conservação de quantidade de movimento linear para 
fluido Newtonianos (coordenadas cartesianas)























































x
w
zx
v
yx
u
xz
u
zy
u
yx
u
x
z
w
y
v
x
u
xxz
u
y
u
x
u
t
u
x
p
gwvu










































rr
3
2
























































y
w
zy
v
yy
u
xz
v
zy
v
yx
v
x
z
w
y
v
x
u
yyz
v
y
v
x
v
t
v
y
p
gwvu










































rr
3
2
























































z
w
zz
v
yz
u
xz
w
zy
w
yx
w
x
z
w
y
v
x
u
zzz
w
y
w
x
w
t
w
z
p
gwvu










































rr
3
2
16
 A equação de Navier-Stokes simplifica bem se a massa 
específica e a viscosidade foram constante
 A maioria dos líquidos podem ser considerados como fluidos 
incompressíveis 
 A viscosidade da maioria dos gases é aproximadamente constante
0 V

















 
















 
















 










































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
zz
w
y
w
x
w
t
w
z
v
y
v
x
v
yz
v
y
v
x
v
t
v
z
u
y
u
x
u
xz
u
y
u
x
u
t
u
μ
z
P
gρwvuρ
μ
y
P
gρwvuρ
μ
x
P
gρwvuρ
Navier-Stokes (propriedades constantes)
VμPgρ
tD
VD
ρ 2



coordenadas cartesianas
Vμf 2


17
Navier-Stokes (propriedades constantes) em coordenadas cilíndricas

























 



































































































2
z
2
22
z
2
zzzz
2
θ
2
22
θ
2
θθθθ
2
r
2
22
r
2
rrrr
z
u
θr
uz
zz
u
zθr
u
θr
u
rt
u
r
2z
u
θr
u
2
θθ
θ
θr
z
u
zθr
u
θr
u
rt
u
θ
2z
u
θr
u
2
rr
r
2
θ
z
u
zθr
u
θr
u
rt
u
r
u
r
rr
1
μ
z
P
gρuuuρ
θ
u
r
2
r
u
r
u
r
rr
1
μ
θr
P
gρ
r
uu
uuuρ
θ
u
r
2
r
u
r
u
r
rr
1
μ
r
P
gρ
r
u
uuuρ
Direção 
radial
Direção 
angular
Direção 
axial
Equação da Vorticidade
18
Tensor vorticidade



  TVV )(W

2
1
V


2
1

 = ex x+ ey y+ ez z  vetor vorticidade



































































































0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
xy
xz
yz
y
w
z
v
x
w
z
u
z
v
y
w
x
v
y
u
z
u
x
w
y
u
x
v



W
Equação da Vorticidade
 Uma característica essencial do escoamento turbulento é que estes 
devem ser rotacionais, isto é a vorticidade é não nula. A vorticidade 
é definida pelo rotacional do vetor velocidade
 sendo igual a duas vezes a rotação do elemento de fluido.
 Em notação indicial 
 onde
símbolo de permutação (símbolo Levi-Civita)
19
V


  kijk
i
j
jji
i
kk e
x
u
eue
x
e 











 kijkji eee  sendo 








contráriocaso0
cíclicosantisão1
cíclicossão1
),,(
),,(
),,(
kjise
kjise
kjise
ijk 
 A equação para a vorticidade pode ser derivada, 
aplicando o rotacional na equação de Navier-Stokes
 resultando em
 A equação para a evolução de um elemento de linha 
material infinitesimal é
 Comparando as duas últimas equações, observa-se que para um 
escoamento não viscoso, o vetor vorticidade se comporta da 
mesma forma que um elemento de linha material infinitesimal 
(teorema de Helmholtz) 
20
 VP
tD
VD 

21 













 r
V
tD
D 

  2
Vs
td
sd 


21
Equação de Energia Mecânica
 A energia mecânica de um sistema não se conserva, porém esta 
equação é muito útil em diversas situações.
 Pode ser obtida através do produto escalar do vetor velocidade com 
a equação de conservação de quantidade de movimento linear
 τPgV
tD
VD
V 












rr
ii VVVVouVVVV 

22
  








































 VVV
t
VV
t
V
V
tD
VD
V





22
2
1
2
1 rrrrr
  VPVPPV

   VVV

 :
 VV
t
V
V
t
VVV
t
V
tD
VD
decontinuida
zero


  


rrrrrr 

















 ])([
 Obs: (1)
(2)
 Então, operando o produto escalar
22
jiijklijjkilklijkjlilklkjiji eeeeeeee   :τ:σ
 Produto escalar de dois tensores (produto duplo):
VVVVV T








 :])([: 
3
2
 Para fluido Newtoniano
j
i
ij
k
k
i
j
j
i
x
u
x
u
xu
x
u
V


























 F
3
2
:

































x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
k
k
j
i
i
j
j
i
j
i
3
2F
F é sempre positivo, é a
função dissipação

































22
3
2
2
1
k
k
i
j
j
i
x
u
x
u
x
uF
Para fluidos Não-newtonianos pode ser negativo
V

:
23
Equação de Energia Cinética
 










  

  
interna
energia
asível
irrever
conversão
detaxa
viscosas
forças
adevido
trabalho
detaxa
interna
energia
a
reversível
conversão
detaxa
pressão
adevido
trabalho
detaxa
cional
gravita
força
adevido
trabalho
detaxa
cinética
energia
delíquido
fluxo
cinética
energia
deaumento
detaxa
VVVPVPgVVVV
t
















:)( rrr 22
2
1
2
1
 pode ser positivo ou negativo, dependendo se o fluido está 
sofrendo expansão ou compressão. As mudanças de temperatura 
podem ser grandes em compressores, turbinas ou na presença de 
ondas de choque.
 é sempre positivo para fluidos Newtonianos. Este termo pode 
ser significativo em sistemas com viscosidades e gradientes de 
velocidades elevados, como ocorre em lubrificação, extrusão rápida 
e vôos de alta velocidade.
VP


V

:
24
Equação de Energia Mecânica
 Trabalhando o termo podemos rescrever a equação para 
a soma da energia cinética e potencial, gerando a equação de 
energia mecânica
 Introduzindo a definição de energia potencial potencial por unidade 
de massa Y, definida com , temos que 
gV

r
t
V
t
V
VVVgV







)(
)()(
)()(
YrYrrYYr
rYYrYrr


Yg

  VVVPVPVVV
t
















:)())( YrrYrr 22
2
1
2
1
25
Equação de Conservação de Quantidade 
de Movimento Angular
 Esta equação pode ser obtida com o produto vetorial do vetor 
posição r com a equação de conservação de quantidade de 
movimento linear
   τPgrVV
t
V
r 














 rrr
  ]:[ε][I][][][ rrr 


rPrgrVrV
t
Vr 

  é o tensor de 3ª. ordem com componentes ijk (símbolo de 
permutação)
diferentes
foremíndicesdoisquaisquerse
ijkse
ijkseijk
0
213ou1323211
312ou2311231



,
,
26
kjiijk wve wv
 Produto vetorial de dois vetores:
 Produto vetorial de um vetor e tensor:
321
321
321
www
vvv
eee
detwv 
jkiijlklkjkjii rrr  eeeee 
 Se  é simétrico:
 não existe conversão de momentum angular macroscópico em 
momentum angular interno, i.e, as duas formas de momentum se 
conservam separadamente. 
0]:[ε 
27
CONDIÇÕES EM INTERFACES
Balanço de massa
Fluxo de massa na interface, devido a mudança de fase
Para obter o componente normal, vamos considerar que a interface pode ser 
definida por S(x, t)=0
Em t=t+dt, ainda temos S(x + vi dt, t+dt)=0
Logo, usando uma expansão em série de Taylor
00 


SemS
t
S
iv
S
S


n
O unitário normal de fluido 1 S< 0 fluido 2 S > 0 
t
S
S
ini




1
nvv
nvunvu  )()( i22i11 ρρm
m
n1=-n2
vi= vti + vniVelocidade da interface
vti = vsi Componente tangencial = componente 
tangencial da superfície
28
CONDIÇÕES EM INTERFACES
Para superfície sólida, impermeável = 0
m ivnun 
00 


SemS
t
S
u
Condição de contorno cinemática
Superfícies sólidas para escoamento viscoso: condição de não deslizamento 00  Semi )v(un
Esta expressão não se aplica, quando existe movimento da linha de contato, porém, 
ainda não existem modelos bem definidos para essas situações 0 Semivu
Paredes impermeáveis
Para a interface entre dois fluidos 
021  )u(un 021  Semuu
Na ausência de mudança de fase
29
CONDIÇÕES EM INTERFACES
Balanço de quantidade de movimento
(I – n n) é a projeção do plano tangente à interface
Tangencial:
   nnIuun)σ(σ )( 1212 m
n1=-n2
k é a curvatura
nk
 é a tensão superficial
Decompondo nas partes normais e tangencias k )( 121212 uun)τ(τn mpp 
 Ip
Normal:    nnIn)τ(τn 12
  nnnI k
30
CONDIÇÕES DE CONTORNO
 Interface fluido-sólido: a velocidade do líquido é igual a 
velocidade do sólido
 condição de não deslizamento: velocidades tangenciais iguais
 condição de impenetrabilidade: velocidades normais iguais
 Interface plana líquido-líquido: as velocidades e tensões são 
contínuas através da interface
 Interface plana líquido-gás: a tensão cisalhante é nula na 
interface, uma vez que os gradientes do lado do gás são pequenos. 
Esta é uma boa aproximação porque gases << liquidos.
 Quando as interfaces líquido-liquido ou líquido-gás são 
curvas, a tensão normal não é mais contínua através da 
interface, e a tensão superficial torna-se importante
31
ESCOAMENTOS EXTERNOS: em geral desejamos 
determinar as forças que atuam no corpo, isto é, força de arraste e 
sustentação.
Região afetada pela 
presença do corpo

CAMADA LIMITE
Fora da camada limite, o 
escoamento não é afetado 
pela presença do corpo 
forças viscosas não são 
importantes
Quando o escoamento na camada limite é 
desacelerado devido a uma diferença de 
pressão, pode ocorrer uma reversão do 
escoamento e a camada limite separa-se da 
superfície do corpo, formando a esteira
ESCOAMENTOS EXTERNOS
 A velocidade característica é a velocidade de 
aproximação do corpo U
 A dimensão característica é o comprimento do corpo 
na direção do escoamento, L
32

r LU
Re 
 O número de Reynolds que caracteriza a 
transição neste caso é
Re  5 x 105  laminar
Re > 5 x 105  turbulento
33
 ESCOAMENTOS INTERNOS: em geral desejamos 
buscar a relação entre vazão e queda de pressão. 
• Em um escoamento interno, longe da região de entrada, observa-se que o 
escoamento não apresenta variações na sua própria direção, e a pressão varia 
linearmente ao longo do escoamento. O escoamento é considerado como hidro
dinâmicamente desenvolvido.
• O comportamento na região de entrada de uma tubulação apresenta o mesmo 
comportamento que o escoamento externo. Portanto, estudaremos escoamentos 
externos e depois aplicaremos os resultados obtidos para analisar a região de 
entrada de uma tubulação.
34
ESCOAMENTOS INTERNOS
 Considerando que o escoamento como hidrodinâmicamente
desenvolvido.
 A velocidade característica é a velocidade média um
 A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh
 dAuA
1
A
Q
u
TT
m
m
t
h
P
A4
D 
At é a área transversal do 
escoamento e Pm é o perímetro 
molhado, o fator 4 é introduzido por 
conveniência.

r hm DuRe
O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é
Re  2300  laminar 
Re > 2300  turbulento