Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx Departamento de Matema´tica Ca´lculo Diferencial e Integral II Resoluc¸a˜o da 2a prova - 12/08/2002 - 7:30hs 1. Determine o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia da se´rie ∞∑ n=1 (−2)n√ n (x+ 2)n Soluc¸a˜o. ρ = lim n→∞ |an+1| |an| = limn→∞ 2n+1|x+ 2|n+1√ n+ 1 . √ n 2n|x+ 2|n = limn→∞ 2|x+ 2| √ n n+ 1 = 2|x+ 2| lim n→∞ √ 1 1 + 1 n = 2|x+ 2| < 1 ⇒ a se´rie converge absolutamente para |x+ 2| < 1 2 ⇒ −1 2 < x+ 2 < 1 2 ⇒ −5 2 < x < −3 2 Examinando as extremidades do intervalo, se x = −5 2 , a se´rie e´ ∞∑ n=1 (−2)n√ n (−1 2 )n ∞∑ n=1 1√ n que diverge, p-se´rie, p = 1 2 < 1. E se x = −3 2 a se´rie e´ ∞∑ n=1 (−2)n√ n ( 1 2 )n ∞∑ n=1 (−1)n√ n que converge, pelo teste das se´ries alternadas, pois os mo´dulos dos termos gerais an = 1√ n formam uma sequeˆncia decrescente que tende para 0, n→∞. O intervalo de convergeˆncia da se´rie e´ −5 2 < x ≤ −3 2 2. Usando que 1 1− x = ∞∑ n=0 xn para −1 < x < 1 (a) Ache uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para f(x) = ln(1 + x2)x 2 . (b) Determine o intervalo de convergeˆncia da se´rie obtida no item (a). Soluc¸a˜o. (a) 1 1−x = ∞∑ n=0 xn, −1 < x < 1 Integrando, − ln(1− x) = ∞∑ n=1 xn+1 n+ 1 , −1 < x < 1 Fazendo x = −x2 e multiplicando por −1, ln(1 + x2) = ∞∑ n=1 (−1)n+1x2n+2 n+ 1 , −1 < x < 1 Por uma propriedade do logaritmo, ln(1 + x2)x 2 = x2 ln(1 + x2) = ∞∑ n=0 (−1)n+1x2n+4 n+ 1 , − 1 < x < 1 (b) Para x = −1 ou x = 1, a se´rie ∞∑ n=0 (−1)n+1x2n+4 n+ 1 converge, pelo teste da se´rie alternada. Portanto, o intervalo de convergeˆncia da se´rie do ı´tem (a) e´ −1 ≤ x ≤ 1. 3. Considere as curvas c1 dada por r = 6 cos θ e c2 dada por r = 2 + 2 cos θ. (a) Esboce as curvas c1 e c2. (b) Encontre a a´rea interior a c1 e exterior a c2. (dica: sen2β = 1 2 (1− cos 2β); cos2 β = 1 2 (1 + cos 2β)) Soluc¸a˜o. ((a),(b)) Pontos de intersec¸a˜o: 6 cos θ = 2 + 2 cos θ ⇒ 4 cos θ = 2 ⇒ cos θ = 1 2 ⇒ θ = ±pi 3 Como o integrando e´ par, basta integrar de 0 a pi 3 e depois multiplicar por 2. A = 2.1 2 ∫ pi 3 0 [(6 cos θ)2 − (2 + 2 cos θ)2] dθ A = ∫ pi 3 0 (32 cos2 θ − 8 cos θ − 4) dθ A = 1 2 ∫ pi 3 0 (32 + 32 cos 2θ − 16 cos θ − 8) dθ A = 1 2 (32 θ + 16 sen 2θ − 16 sen θ − 8 θ) ]pi 3 0 A = 1 2 (32 pi 3 + 8 √ 3− 8 √ 3− 8pi 3 ) = 4pi 4. Determine os pontos P e Q da cardio´ide r = 1−cos θ onde a reta tangente e´ horizontal e que esta˜o fora da origem. Se P e Q esta˜o no 2o e no 3ro quadrantes, respectivamente, ache o comprimento do segmento da cardio´ide que comec¸a no ponto P e termina no ponto Q, no sentido crescente do aˆngulo θ. Soluc¸a˜o. Pontos de tangente horizontal: y′ = 0, x′ 6= 0 y′ = 0 = (rsen θ)′ = r′sen θ + r cos θ, onde r = 1− cos θ, r′ = sen θ y′ = sen2θ + (1− cos θ) cos θ = −2 cos2 θ + cos θ + 1 = 0⇒ cos θ = −1 2 θ = 2pi 3 ou θ = 4pi 3 . E, por simetria, para calcular o comprimento L, basta integrar de 2pi/3 a pi de depois multiplicar por 2. L = 2 ∫ pi 2pi/3 √ r2 + (dr dθ )2 dθ = 2 ∫ pi 2pi/3 √ (1− 2 cos θ + cos2 θ + sen2 θ dθ = 2 ∫ pi 2pi/3 √ (2(1− cos θ) dθ = 2 ∫ pi 2pi/3 √ 4 sen2 θ 2 dθ = 4 ∫ pi 2pi/3 sen θ 2 dθ = 8(cos pi 3 − cos pi 2 ) = 4
Compartilhar