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Gabarito Segunda Prova de Cálculo I – T02 – 2015 (2O) - Profa Rosane 13-11-2015
.
Questão 1: Calcule as derivadas 
1.1)Verifique que a derivada de f =ln sec  ln é tg  ln 

 :
f ´ = 1
sec ln 
.sec  ln ´= 1
sec ln 
. tag  ln  . sec  ln  . 1

= tag  ln 

1.2)Verifique que a derivada segunda de f x =x.8−x2 é f ´ ´ x =−2x 12−x
2 
8−x2 3/2
:
f ´  x =8−x 2x. 12 .8−x
2
−1
2 .−2 . x=8−x2− x
2
8−x 2
=8−2. x
2
8−x2 ;
f ´ ´ x =
−4x.8−x2−8−2x2 . 12 .8−x
2
−1
2 .−2 . x
8− x2
=
−4x.8−x2 x.8−2 x
2
8−x2
8−x2
f ´ ´ x =−4x8−x
2 x 8−2 x2 
8−x28−x2
=−2 x 16−2 x
2−4 x2
8−x 2
3
2
=−2 x 12−x
2
8−x 2
3
2
Questão 2: 
2.1 Utilize a derivação implicita para encontrar 
dy
dx e a reta normal a curva 
x2 xy y2=7 no ponto 7 ,−7 .
Fazendo na equação y=y(x) e derivando os dois lados em relação a x:
2x+y(x)+x.y´(x)+2y(x).y´(x)=0
Isolando y´(x): y´  x =
−2 x− y  x 
x2 y  x . Substituindo x=7 e y=−7
y´ 7=−7
−7
=1 e a equação da reta normal: 
y7
x−7
=−1
2.2 Mostre que lim
x∞1 kx 
x
=ek
Usamos logaritmo, para y x =1 kx 
x
, ln y x = x ln1 kx  . Assim teremos
lim
x∞
ln y x = lim
x∞
x ln1 kx =0.∞ .
Mexendo na indeterminação
lim
x∞
ln y x = lim
x∞
ln1 kx 
1/ x
=0
0
, indeterminaçãodo tipo L ´ Hôspital
e aplicando a regra, obtem-se: 
lim
x∞
ln y x =lim
x∞
ln1 kx ´
1 /x ´
=lim
x∞
k.1/ x´
1 k
x
1/ x´
= lim
x∞
k
1 k
x
=k .
Portanto,
y x =e ln y x=e
x ln1 kx 
e 
lim
x∞
y x = lim
x∞
e ln y x=e
lim
x∞
ln y x
=ek. .
Questão 3: (4 pts) Considere a função f x =x.8−x2
3.1) Encontre o domínio de f e responda sem fazer contas: existe máximo e mínimo absolutos? Por 
que?
 O domínio de f é [−8 ,8 ] e, portanto, como f é continua neste intervalo fechado ela terá máximo e 
mínimo absoluto.
 3.2) Estabeleça os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
 Os pontos críticos são pontos do interior do domínio em que ou a derivada vale zero ou a derivada 
não existe. 
 Como a derivada primeira f ´  x =
8−2. x2
8−x 2 então os pontos críticos são x=-2 e x=2, além disso, o 
sinal de f ´(x) será o sinal do seu numerador.
• No intervalo −2, 2 a função f é crescente .
• Nos intervalos −8 ,−2 e 2 ,8 a função será decrescente. 
Por aqui, utilizando a derivada primeira, os pontos críticos x=-2 e x=2 são , respectivamente, mínimo e 
máximo locais. 
3.3) Estude a concavidade e indique os pontos de inflexão, se existirem;
Estudando sinal da derivada segunda f ´ ´ x =
−2x 12−x2 
8−x2 3/2
:
• No intervalo −8 ,8 o valor de 8− x2 é positivo e, portanto, o denominador é 
positivo e 48−x2=12− x2 , fator do numerador, também é;
• Assim o sinal da fração será o sinal do fator – 2.x:
Concavidade para cima quando x < 0 e para baixo quando x>0.
• Ponto de Inflexão: Em x=0 a função tem reta tangente e muda de concavidade.
3.4) Utilize ou o teste da derivada primeira ou o da segunda para classificar os pontos críticos em máximo ou 
mínimo local: O teste da derivada primeira foi aplicado no item 3.2. A derivada segunda é contínua no 
intervalo −8 ,8 e neste intervalo temos os pontos críticos -2 e 2:
• f´´(-2) > 0 e x= -2 é mínimo local
• f´´(2) < 0 e x= 2 é máximo local.
 3.5) Utilize as informações acima para esboçar o gráfico ;
−8 −2 0 2 8
decresc cresc cresc decresc
Conc cima cima baixo baixo
x f(x)
−8 0
-2 -4
0 0
2 4
8 0
Questão 4: Uma escada com 13 pés de comprimento está apoiada uma parede vertical, quando sua base 
começa a escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da parede ela 
escorre a uma taxa de 5 pés/s.
4.1) Com que velocidade o topo da escada escorrega na parede?
4.2) Qual a taxa de variação do ângulo  formado pela escada e pelo solo? 
y(t) → posição da cabeceira
 t  t  → ângulo formado pela escada e pelo solo 
 solo x(t) → posição da base no instante t
1. x t 2 y t 2=132 , sendo 13 pés o comprimento da escada;
2. sen t = y t 
13
 
3. No instante em a base está a 12 pés, isto é, x =12, teremos x ´ = 5 pés/s, y=132 – 122=5 pés 
e sen = 513 .
 Derivando (1) e (2) obtemos
2. x  t . x´  t2. y t  . y ´ t =0 e cos t . t ´=
y´ t 
13 , ou ainda, 
 t´= y ´ t 
13.cos t  . 
Substituindo os valores dados no problema:
• 2.12.52.5.y´=0 e daí y´=−12 pés / s e
´= −12
13.1− 5132
=−1 rad / s
.