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Mecanica1 UVA Aula 4 2015 1

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Profº Orlando Sodré Gomes 
M
e
c
â
n
ic
a
 
1
 
Aula 4 
2015.1 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
Considere um SISTEMA DE FORÇAS F1, F2, F3, ..., atuando sobre o 
corpo rígido nos pontos A1, A, A3, ..., definidos pelos vetores de posição r1, r2, 
r3, etc. F1 pode ser movida de A1 para um dado ponto 0 se um BINÁRIO 
DE MOMENTO M1, igual ao momento r1 x F1 de F1 em relação a 0, for 
adicionado ao sistema original de forças. Repetindo esse 
procedimento com F2, F3, ..., obtemos o sistema: 
SISTEMA DE FORÇAS 
2.1 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UMA FORÇA E UM BINÁRIO 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
Como as forças são agora concorrentes, elas podem ser somadas 
vetorialmente e substituídas pela sua resultante R. De modo análogo os 
vetores binários M1, M2, M3, ... podem ser somados vetorialmente e 
substituídos por um vetor binário único M0. 
Observação: Cada um dos vetores binários M1, M2, M3, ... é perpendicular 
à sua força correspondente, mas a força resultante R e o vetor binário M0 
não serão perpendiculares entre si. 
Então, o SISTEMA FORÇA-BINÁRIO equivalente é definido pelas equações: 
2.1 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UMA FORÇA E UM BINÁRIO 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
Então, o SISTEMA FORÇA-BINÁRIO equivalente é definido pelas equações: 
Uma vez que um dado SISTEMA DE FORÇAS tenha sido reduzido a uma 
FORÇA e um BINÁRIO em outro ponto 0’. 
2.1 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UMA FORÇA E UM BINÁRIO 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.1 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UMA FORÇA E UM BINÁRIO 
Na prática, a redução de um SISTEMA DE FORÇAS a uma FORÇA ÚNICA 
R em 0 e um vetor binário M0 será efetuada em termos de componentes. 
Decompondo cada vetor posição r e cada força F do sistema em 
componentes retangulares, temos: 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.1 SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORÇAS 
Dois sistemas de forças são EQUIVALENTES se puderem ser reduzidos ao 
mesmo SISTEMA DE FORÇA-BINÁRIO em um dado ponto 0. 
Dois sistemas de forças F1, F2, F3, ..., e F’1, F’2, F’3, ..., que atuam sobre o 
mesmo corpo rígido, são EQUIVALENTES se, e somente se, as somas das 
forças e as somas dos momentos em relação a um dado ponto 0 das forças 
dos dois sistemas forem, respectivamente, iguais, temos: 
Decompondo as forças e os momentos das equações acima, em seus 
componentes retangulares, podemos expressar a equivalência de dois 
sistemas de forças que atuam sobre um corpo rígido, da seguinte maneira: 
Uma viga de 4,80 m de 
comprimento está sujeita às 
forças mostradas na figura ao 
lado. 
1º EXERCÍCIO 
a) Um sistema força-binário equivalente em A. 
b) Um sistema força-binário equivalente em B. 
c) Uma força única ou resultante. 
a) SISTEMA FORÇA BINÁRIO EM A – O sistema força-binário em A equivalente 
ao sistema de forças dado consiste na força R e no binário MAR definido da 
seguinte maneira: 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
Reduza o sistema de forças dado a: 
1º EXERCÍCIO - continuação 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
Logo, o sistema de força-binário equivalente em A é: 
1º EXERCÍCIO - continuação 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
Logo, o sistema de força-binário equivalente em B é: 
b) SISTEMA FORÇA BINÁRIO EM B – A sugestão é encontrar um sistema força-
binário em B equivalente ao sistema de força-binário em A, determinado no 
trecho a. A força R fica inalterada, porém, deve-se determinar um novo 
binário MBR cujo momento é igual ao momento em relação a B do sistema 
força-binário determinado no trecho a. Assim, temos: 
1º EXERCÍCIO - continuação 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
c) FORÇA ÚNICA OU RESULTANTE – A resultante do sistema forças dado é 
igual a R, e seu ponto de aplicação deve ser tal que o momento de R iem 
relação a A é igual a MAR. Temos: 
Uma laje de fundação 
quadrada apoia os quatro pilares 
como mostrado na figura. 
2º EXERCÍCIO 
Determine: 
a) A intensidade e o ponto de 
aplicação da resultante das quatro 
cargas. 
SOLUÇÃO – Primeiro, reduzimos o sistema de forças a um sistema de força na 
origem 0 do sistema de coordenadas. Esse sistema força-binário consiste em 
uma força R e no binário M0R definidos da seguinte maneira: 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
180 kN 
54 kN 36 kN 
90 kN 
1,5 m 
1,5 m 
1,8 m 
1,2 m 
 R = – 180 kN – 54 kN – 36 kN – 90 kN = – 360 kN 
Os vetores posição dos pontos de aplicação das várias forças são 
determinados e os cálculos são distribuídos em forma de tabela: 
2º EXERCÍCIO - continuação 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
r (m) F (kN) r x F (kN. m) 
0 
3i 
3i + 1,5k 
1,2i + 3k 
-180j 
- 54j 
- 36j 
- 90j 
0 
-162k 
54i - 108k 
270i – 108k 
R = - 360j M0R = 324i – 378k 
180 kN 
54 kN 36 kN 
90 kN 
1,5 m 
1,5 m 
1,8 m 
1,2 m 
 (0i + 0k) x – 180 kNj 
 (3i + 0k) x – 54 kNj 
 (3i + 1,5k) x – 36 kNj 
 (1,2i + 3k) x – 90 kNj 
Os vetores posição dos pontos de aplicação das várias forças são 
determinados e os cálculos são distribuídos em forma de tabela: 
2º EXERCÍCIO - continuação 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
- (360 kN) j 
- (378 kN.m) k 
(324 kN.m) i 
r (m) F (kN) r x F (kN. m) 
0 
3i 
3i + 1,5k 
1,2i + 3k 
-180j 
- 54j 
- 36j 
- 90j 
0 
-162k 
54i - 108k 
270i – 108k 
R = - 360j M0R = 324i – 378k 
Dado r o vetor posição do ponto de aplicação desejado e x e z as suas 
coordenadas, podemos escrever: 
2º EXERCÍCIO - continuação 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
De onde temos: 
- (360 kN) j 
 (xi + zk) x (-360j) = 324i – 378k 
– 360xk + 360zi = 324i – 378k 
 - 360x = - 378 360z = 324 
 x = 1,05 m z = 0,90 m 
Concluímos que a resultante do sistema de 
forças dado é: 
 R = 360 kN x = 1,05 m z = 0,90 m 
Como a força R e o vetor binário M0R são perpendiculares entre si, o 
sistema força-binário obtido pode ainda ser reduzido a uma força única R. 
O novo ponto de aplicação de R será escolhido no plano da laje de modo 
que o momento R em relação a 0 seja igual a M0R. 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.2 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO 
Quando a força e o binário são iguais a ZERO, as forças externas formam 
um sistema equivalente a ZERO, e diz-se que o CORPO RÍGIDO ESTÁ EM 
EQUILÍBRIO. 
As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo 
rígido são estabelecidas por R e M0 R iguais a ZERO: 
Decompondo cada força e cada momento em seus componentes 
retangulares, podemos indicar o EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO com seis 
equações escalares seguintes: 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.2 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO 
Para escrever as equações de equilíbrio para um corpo rígido, é 
essencial primeiro identificar todas as forças que atuam sobre esse corpo e, 
então, desenhar o DIAGRAMA DE CORPO LIVRE correspondente. 
Neste capítulo vamos considerar o equilíbrio de ESTRUTURAS 
BIDIMENSIONAIS sujeitas a forças contidas em seus planos. 
Vamos estudar, também, as REAÇÕES exercidas sobre a estrutura por 
seus apoios. 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
Para resolver um problema relativo ao EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO, 
é essencial considerar TODAS as forças que atuam sobre o corpo e, é 
importante excluir qualquer força que não esteja diretamente, aplicada ao 
corpo. 
Portanto, o primeiro passo na solução de qualquer problema de equilíbrio 
de um corpo rígido é traçar um DIAGRAMA DE CORPO LIVRE. 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.2 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UMCORPO RÍGIDO 
REAÇÕES DE APOIO 
As reações exercidas sobre uma estrutura bidimensional podem ser 
divididas em 3 (três) grupos, que correspondem a 3 (três) tipos de APOIOS: 
1- Reações Equivalentes a uma Força com Linha de Ação Conhecida - 
Cada uma dessas reações envolve 1 (uma) INCÓGNITA. Os tipos de apoios 
que causam reações como essa, são os seguintes: ROLETES, SUPORTES 
BASCULANTES, SUPERFÍCIES SEM ATRITO, HASTES DE CONEXÃO, CABOS 
CURTOS, CURSORES EM HASTES SEM ATRITO e PINOS SEM ATRITO EM FENDAS. 
2- Reações Equivalentes a uma Força de, Direção, Sentido e Intensidade 
Desconhecidos - As reações desse grupo envolvem 2 (duas) INCÓGNITAS e 
são representadas por seus componentes x e y. 
3- Reações Equivalentes a uma Força e a um Binário - As reações desse 
grupo envolvem 3 (três) INCÓGNITAS que consistem nos dois componentes x 
e y da força e no momento binário. 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.2 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO 
REAÇÕES DE APOIO 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.2 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO 
REAÇÕES DE APOIO 
Três cargas são aplicadas 
a um viga (figura ao lado). A 
viga é sustentada por um 
rolete em A e por um pino em 
B. 
Despreze o peso da viga. 
1º EXERCÍCIO 
Determine: 
a) As reações em A e B quando P = 67,5 kN. 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE – Traça-se um diagrama de corpo livre da viga. 
A reação em A é vertical e é representada por A. A reação em B é 
representada pelos componentes Bx e By. OBS.: Admite-se que cada 
componente atua com sentido estipulado inicialmente como na figura 
abaixo: 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
27 kN 27 kN 
1,8 m 
0,6 m 0,6 m 0,9 m 
1º EXERCÍCIO - continuação 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
27 kN 27 kN 
1,8 m 
0,6 m 0,6 m 0,9 m 
67,5 kN 
 – (67,5 kN)(0,9 m) + By(2,7 m) – (27kN)(3,3 m) – (27kN)(3,9 m) = 0 
 By = 94,5 kN 
 – A.(2,7 m) + (67,5 kN)(1,8 m) – (27kN)(0,6 m) – (27kN)(1,2 m) = 0 
 A = 27 kN 
A estrutura representada na 
figura sustenta parte do teto de 
um pequeno edifício. Sabendo 
que a tração no cabo é 150 kN. 
2º EXERCÍCIO 
Determine: 
a) A reação na extremidade fixa E. 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE – Traça-se um diagrama de corpo livre da 
estrutura e do cabo BDF. A reação na extremidade fixa E é representada 
pelos componentes Ex e Ey e pelo binário ME. As outras forças que atuam 
no corpo livre são as quatro cargas de 20 kN e a força de 150 kN exercida 
na extremidade F do cabo. 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2º EXERCÍCIO - continuação 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
 Introdução à Engenharia. Florianópolis: UFSC, 2000. 
Referências Bibliográficas 
• BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 9ª. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2012.

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