Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Profº Orlando Sodré Gomes M e c â n ic a 1 Aula 4 2015.1 UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO Considere um SISTEMA DE FORÇAS F1, F2, F3, ..., atuando sobre o corpo rígido nos pontos A1, A, A3, ..., definidos pelos vetores de posição r1, r2, r3, etc. F1 pode ser movida de A1 para um dado ponto 0 se um BINÁRIO DE MOMENTO M1, igual ao momento r1 x F1 de F1 em relação a 0, for adicionado ao sistema original de forças. Repetindo esse procedimento com F2, F3, ..., obtemos o sistema: SISTEMA DE FORÇAS 2.1 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UMA FORÇA E UM BINÁRIO UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO Como as forças são agora concorrentes, elas podem ser somadas vetorialmente e substituídas pela sua resultante R. De modo análogo os vetores binários M1, M2, M3, ... podem ser somados vetorialmente e substituídos por um vetor binário único M0. Observação: Cada um dos vetores binários M1, M2, M3, ... é perpendicular à sua força correspondente, mas a força resultante R e o vetor binário M0 não serão perpendiculares entre si. Então, o SISTEMA FORÇA-BINÁRIO equivalente é definido pelas equações: 2.1 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UMA FORÇA E UM BINÁRIO UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO Então, o SISTEMA FORÇA-BINÁRIO equivalente é definido pelas equações: Uma vez que um dado SISTEMA DE FORÇAS tenha sido reduzido a uma FORÇA e um BINÁRIO em outro ponto 0’. 2.1 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UMA FORÇA E UM BINÁRIO UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.1 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UMA FORÇA E UM BINÁRIO Na prática, a redução de um SISTEMA DE FORÇAS a uma FORÇA ÚNICA R em 0 e um vetor binário M0 será efetuada em termos de componentes. Decompondo cada vetor posição r e cada força F do sistema em componentes retangulares, temos: UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.1 SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORÇAS Dois sistemas de forças são EQUIVALENTES se puderem ser reduzidos ao mesmo SISTEMA DE FORÇA-BINÁRIO em um dado ponto 0. Dois sistemas de forças F1, F2, F3, ..., e F’1, F’2, F’3, ..., que atuam sobre o mesmo corpo rígido, são EQUIVALENTES se, e somente se, as somas das forças e as somas dos momentos em relação a um dado ponto 0 das forças dos dois sistemas forem, respectivamente, iguais, temos: Decompondo as forças e os momentos das equações acima, em seus componentes retangulares, podemos expressar a equivalência de dois sistemas de forças que atuam sobre um corpo rígido, da seguinte maneira: Uma viga de 4,80 m de comprimento está sujeita às forças mostradas na figura ao lado. 1º EXERCÍCIO a) Um sistema força-binário equivalente em A. b) Um sistema força-binário equivalente em B. c) Uma força única ou resultante. a) SISTEMA FORÇA BINÁRIO EM A – O sistema força-binário em A equivalente ao sistema de forças dado consiste na força R e no binário MAR definido da seguinte maneira: UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO Reduza o sistema de forças dado a: 1º EXERCÍCIO - continuação UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO Logo, o sistema de força-binário equivalente em A é: 1º EXERCÍCIO - continuação UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO Logo, o sistema de força-binário equivalente em B é: b) SISTEMA FORÇA BINÁRIO EM B – A sugestão é encontrar um sistema força- binário em B equivalente ao sistema de força-binário em A, determinado no trecho a. A força R fica inalterada, porém, deve-se determinar um novo binário MBR cujo momento é igual ao momento em relação a B do sistema força-binário determinado no trecho a. Assim, temos: 1º EXERCÍCIO - continuação UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO c) FORÇA ÚNICA OU RESULTANTE – A resultante do sistema forças dado é igual a R, e seu ponto de aplicação deve ser tal que o momento de R iem relação a A é igual a MAR. Temos: Uma laje de fundação quadrada apoia os quatro pilares como mostrado na figura. 2º EXERCÍCIO Determine: a) A intensidade e o ponto de aplicação da resultante das quatro cargas. SOLUÇÃO – Primeiro, reduzimos o sistema de forças a um sistema de força na origem 0 do sistema de coordenadas. Esse sistema força-binário consiste em uma força R e no binário M0R definidos da seguinte maneira: UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 180 kN 54 kN 36 kN 90 kN 1,5 m 1,5 m 1,8 m 1,2 m R = – 180 kN – 54 kN – 36 kN – 90 kN = – 360 kN Os vetores posição dos pontos de aplicação das várias forças são determinados e os cálculos são distribuídos em forma de tabela: 2º EXERCÍCIO - continuação UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO r (m) F (kN) r x F (kN. m) 0 3i 3i + 1,5k 1,2i + 3k -180j - 54j - 36j - 90j 0 -162k 54i - 108k 270i – 108k R = - 360j M0R = 324i – 378k 180 kN 54 kN 36 kN 90 kN 1,5 m 1,5 m 1,8 m 1,2 m (0i + 0k) x – 180 kNj (3i + 0k) x – 54 kNj (3i + 1,5k) x – 36 kNj (1,2i + 3k) x – 90 kNj Os vetores posição dos pontos de aplicação das várias forças são determinados e os cálculos são distribuídos em forma de tabela: 2º EXERCÍCIO - continuação UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO - (360 kN) j - (378 kN.m) k (324 kN.m) i r (m) F (kN) r x F (kN. m) 0 3i 3i + 1,5k 1,2i + 3k -180j - 54j - 36j - 90j 0 -162k 54i - 108k 270i – 108k R = - 360j M0R = 324i – 378k Dado r o vetor posição do ponto de aplicação desejado e x e z as suas coordenadas, podemos escrever: 2º EXERCÍCIO - continuação UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO De onde temos: - (360 kN) j (xi + zk) x (-360j) = 324i – 378k – 360xk + 360zi = 324i – 378k - 360x = - 378 360z = 324 x = 1,05 m z = 0,90 m Concluímos que a resultante do sistema de forças dado é: R = 360 kN x = 1,05 m z = 0,90 m Como a força R e o vetor binário M0R são perpendiculares entre si, o sistema força-binário obtido pode ainda ser reduzido a uma força única R. O novo ponto de aplicação de R será escolhido no plano da laje de modo que o momento R em relação a 0 seja igual a M0R. UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.2 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO Quando a força e o binário são iguais a ZERO, as forças externas formam um sistema equivalente a ZERO, e diz-se que o CORPO RÍGIDO ESTÁ EM EQUILÍBRIO. As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido são estabelecidas por R e M0 R iguais a ZERO: Decompondo cada força e cada momento em seus componentes retangulares, podemos indicar o EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO com seis equações escalares seguintes: UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.2 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO Para escrever as equações de equilíbrio para um corpo rígido, é essencial primeiro identificar todas as forças que atuam sobre esse corpo e, então, desenhar o DIAGRAMA DE CORPO LIVRE correspondente. Neste capítulo vamos considerar o equilíbrio de ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS sujeitas a forças contidas em seus planos. Vamos estudar, também, as REAÇÕES exercidas sobre a estrutura por seus apoios. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE Para resolver um problema relativo ao EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO, é essencial considerar TODAS as forças que atuam sobre o corpo e, é importante excluir qualquer força que não esteja diretamente, aplicada ao corpo. Portanto, o primeiro passo na solução de qualquer problema de equilíbrio de um corpo rígido é traçar um DIAGRAMA DE CORPO LIVRE. UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.2 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UMCORPO RÍGIDO REAÇÕES DE APOIO As reações exercidas sobre uma estrutura bidimensional podem ser divididas em 3 (três) grupos, que correspondem a 3 (três) tipos de APOIOS: 1- Reações Equivalentes a uma Força com Linha de Ação Conhecida - Cada uma dessas reações envolve 1 (uma) INCÓGNITA. Os tipos de apoios que causam reações como essa, são os seguintes: ROLETES, SUPORTES BASCULANTES, SUPERFÍCIES SEM ATRITO, HASTES DE CONEXÃO, CABOS CURTOS, CURSORES EM HASTES SEM ATRITO e PINOS SEM ATRITO EM FENDAS. 2- Reações Equivalentes a uma Força de, Direção, Sentido e Intensidade Desconhecidos - As reações desse grupo envolvem 2 (duas) INCÓGNITAS e são representadas por seus componentes x e y. 3- Reações Equivalentes a uma Força e a um Binário - As reações desse grupo envolvem 3 (três) INCÓGNITAS que consistem nos dois componentes x e y da força e no momento binário. UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.2 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO REAÇÕES DE APOIO UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.2 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO REAÇÕES DE APOIO Três cargas são aplicadas a um viga (figura ao lado). A viga é sustentada por um rolete em A e por um pino em B. Despreze o peso da viga. 1º EXERCÍCIO Determine: a) As reações em A e B quando P = 67,5 kN. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE – Traça-se um diagrama de corpo livre da viga. A reação em A é vertical e é representada por A. A reação em B é representada pelos componentes Bx e By. OBS.: Admite-se que cada componente atua com sentido estipulado inicialmente como na figura abaixo: UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 27 kN 27 kN 1,8 m 0,6 m 0,6 m 0,9 m 1º EXERCÍCIO - continuação EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 27 kN 27 kN 1,8 m 0,6 m 0,6 m 0,9 m 67,5 kN – (67,5 kN)(0,9 m) + By(2,7 m) – (27kN)(3,3 m) – (27kN)(3,9 m) = 0 By = 94,5 kN – A.(2,7 m) + (67,5 kN)(1,8 m) – (27kN)(0,6 m) – (27kN)(1,2 m) = 0 A = 27 kN A estrutura representada na figura sustenta parte do teto de um pequeno edifício. Sabendo que a tração no cabo é 150 kN. 2º EXERCÍCIO Determine: a) A reação na extremidade fixa E. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE – Traça-se um diagrama de corpo livre da estrutura e do cabo BDF. A reação na extremidade fixa E é representada pelos componentes Ex e Ey e pelo binário ME. As outras forças que atuam no corpo livre são as quatro cargas de 20 kN e a força de 150 kN exercida na extremidade F do cabo. UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2º EXERCÍCIO - continuação UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO Introdução à Engenharia. Florianópolis: UFSC, 2000. Referências Bibliográficas • BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9ª. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2012.
Compartilhar