Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (22)

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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 23: Sistemas de Equações Diferenciais (Cont.)
e Equações a Diferenças
Marcos Y. Nakaguma
27/10/2017
1
Aviso
Não haverá aula nos dias 17/11 (sexta), 22/11 (quarta) e 24/11
(sexta).
Haverá reposição nos dias 6/11 (segunda) e 13/11 (segunda) às 7h30
na sala G-3.
A prova …nal será realizada no dia 1/12 (sexta).
2
Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Na última aula, vimos como resolver, pelo método da substituição,
sistemas de equações lineares do seguinte tipo:
�
y1 = a11y1 + a12y2
�
y2 = a21y1 + a22y2
ou, em termos matriciais:"
�
y1
�
y2
#
=
�
a11 a12
a21 a22
�
| {z }
A
�
y1
y2
�
Vimos também que existe uma relação bastante próxima entre os
autovetores e autovalores da matriz de coe…cientes A e a solução do
sistema de equações diferenciais...
3
Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Em particular, considere o sistema:"
�
y1
�
y2
#
=
�
a11 a12
a21 a22
� �
y1
y2
�
Sejam λ1 e λ2 dois autovalores reais distintos e v1 =
�
v11
v12
�
e
v2 =
�
v21
v22
�
os seus respectivos autovetores.
Neste caso, a solução geral do sistema é dada por:�
y1 (t)
y2 (t)
�
= k1
�
v11
v12
�
eλ1t + k2
�
v21
v22
�
eλ2t
4
Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Considere novamente o seguinte sistema de equações lineares:
�
y1 = y1 + 4y2
�
y2 = y1 + y2
Mostramos que a solução geral do sistema é dada por:
y1 (t) = k1e
3t + k2e
�t
y2 (t) =
1
2
k1e
3t �
1
2
k2e
�t
ou, em forma matricial:�
y1 (t)
y2 (t)
�
= k1
�
1
1
2
�
e3t + k2
�
1
� 12
�
e�1t
5
Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
As possíveis trajetórias das variáveis y1 (t) e y2 (t) podem ser
reprepresentadas conjuntamente através do seguinte grá…co:
6
Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Exemplo 2: Encontre a solução geral do seguinte sistema de equações
lineares:
�
y1 = y1 � 5y2 (1)
�
y2 = 2y1 � 5y2 (2)
Além disso, obtenha a solução particular que satisfaz y1 (0) = 1 e
y2 (0) = 0.
I Re-escreva a equação (6) como:
y2 = �
1
5
�
�
y1 � y1
�
(3)
Da expressão acima, segue que:
�
y2 = �
1
5
�
��
y 1 �
�
y1
�
7
Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
(Cont.)
I Substituindo y2 e
�
y2 na equação (2), obtemos:
�
1
5
�
��
y 1 �
�
y1
�
= 2y1 +
�
�
y1 � y1
�
Re-arranjando, obtemos a seguinte equação de segunda ordem em y1:
��
y 1 + 4
�
y1 + 5y1 = 0 (4)
I As raízes da equação característica associadas a esta equação
diferencia são:
λ = �2� i
Logo, a solução geral da equação acima é dada por:
y1 (t) = e
�2t [k1 cos (t) + k2sen (t)], (5)
com
�
y1 = �2e
�2t [k1 cos (t) + k2sen (t)] + e
�2t [�k1sen (t) + k2 cos (t)]
8
Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
(Cont.)
I Substituindo as duas expressões acima na equação (3), obtemos:
y2 =
1
5
�
3e�2t [k1 cos (t) + k2sen (t)]� e�2t [�k1sen (t) + k2 cos (t)]
�
) y2 (t) = e
�2t
h�
3
5k1 �
1
5k2
�
cos (t) +
�
1
5k1 +
3
5k2
�
sen (t)
i
I Portanto, a solução geral do sistema é:
y1 (t) = e
�2t [k1 cos (t) + k2sen (t)]
y2 (t) = e
�2t
��
3
5
k1 �
1
5
k2
�
cos (t) +
�
1
5
k1 +
3
5
k2
�
sen (t)
�
9
Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
(Cont.)
I Dada as condições iniciais y1 (0) = 1 e y2 (0) = 0, temos que:
y1 (0) = k1 = 1
y2 (0) =
3
5
k1 �
1
5
k2 = 0
Logo, k1 = 1 e k2 = 3.
I Portanto, a solução particular do sistema é:
y1 (t) = e
�2t (cos (t) + 3sen (t))
y2 (t) = e
�2t (2sen (t))
10
Equações a Diferenças
11
Equações a Diferenças
Nas aulas anteriores, assumimos que o tempo (t) era uma variável
contínua, de modo que o padrão da variação de uma variável
qualquer y poderia ser capturado pelas suas derivadas dy
dt
,
d 2y
dt2
, etc.
Nesta parte do curso, analisaremos o caso em que o tempo é uma
variável discreta, de forma que a noção de derivada não será mais
apropriada.
Neste caso, estaremos interessados em encontrar uma sequência de
valores fy0, y1, y2, ..., yt , ...g que satisfaça uma relação com a seguinte
forma:
yt+n = F (t, yt , yt+1, ..., yt+n�1)
Esta equação relaciona os valores da variável y em diferentes períodos
e é denominada equação a diferenças.
12
Equações a Diferenças
São exemplos de equações a diferenças:
yt+1 = yt + 2
e
yt+1 = 0, 9yt
Note que essas equações podem ser expressas de maneira equivalente
como:
∆yt = 2
e
∆yt = �0, 1yt�1,
onde de…nimos ∆yt � yt � yt�1 como a primeira diferença da variável
y em t.
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Equações a Diferenças
É importante notar também que o índice de tempo de uma equação a
diferenças se refere a qualquer período t = 0, 1, 2, ... .
Assim, por exemplo, no caso da equação
yt+1 = yt + 2
valem as seguintes relações:
y1 = y0 + 2
y2 = y1 + 2
...
yt+1 = yt + 2
yt+2 = yt+1 + 2
...
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Equações a Diferenças de Primeira Ordem
Considere a seguinte equação a diferenças (autônoma) de
primeira-ordem:
yt+1 = ayt + b
I Note que, neste caso, podemos escrever:
y1 = ay0 + b
y2 = ay1 + b = a (ay0 + b) + b = a
2y0 + b+ ab
y3 = ay2 + b = a(a
2y0 + b+ ab) + b = a
3y0 + b+ ab+ a
2b
...
yt = ayt�1 + b = a
ty0 + b+ ab+ ...+ a
t�1b
15
Equações a Diferenças de Primeira Ordem
(Cont.)
I Logo, a solução geral é dada por:
yt = a
ty0 + b+ ba+ ...ba
t�1| {z }
P.G.
I Se a 6= 1, a expressão acima pode ser escrita como:
yt = a
ty0 + b
1� at
1� a
)
) yt =
�
y0 �
b
1�a
�
at + b1�a
I Se, por outro lado, a = 1, então temos que:
yt = y0 + bt
16
Equações a Diferenças de Primeira Ordem
Exemplo 1: Resolva a seguinte equação:
yt+1 + 2yt = 10
com y0 = 7.
I Primeiro, re-escreva a equação acima como:
yt+1 = �2yt + 10
Vimos pelo método iterativo que a solução dessa equação tem forma
geral dada por:
yt =
�
y0 �
10
3
�
(�2)t +
10
3
I Substituindo y0 = 7, obtemos:
yt =
11
3
(�2)t +
10
3
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Equações a Diferenças de Primeira Ordem
(Cont.)
I A solução acima determina a seguinte trajetória:
Neste caso, dizemos que a trajetória é divergente e oscilatória.
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Trajetórias Temporais
Considere uma equação a diferenças de primeira ordem:
yt+1 = ayt + b,
com b 6= 0. Vimos que a solução deste problema é dada por:
yt =
�
y0 �
b
1�a
�
at + b1�a , se a 6= 1
e
yt = y0 + bt, se a = 1
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Trajetórias Temporais
Suponha que y0 6= b1�a , com b 6= 0. Neste caso, dizemos que:
i . Se jaj < 1, a trajetória de yt é convergente;
ii . Se jaj > 1 ou a = 1 com b 6= 0, a trajetória de yt é divergente.
iii . Se a = �1, a trajetória de yt é neutramente estável.
Além disso, dizemos que:
i . Se a < 0, a trajetória de yt é oscilatória;
ii . Se a > 0, a trajetória de yt é não-oscilatória.
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