5 Compensadores

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Compensadores
Controle 1 - DAELN - UTFPR
Prof. Paulo Roberto Brero de Campos
0.1 Introduc¸a˜o
Os compensadores sa˜o utilizados para alterar alguma caracter´ıstica do sistema em
malha fechada.
1. Avanc¸o de fase (lead): a) melhora margem de estabilidade; b) aumenta a faixa de
passagem; c) melhora a resposta transito´ria (sistema fica mais ra´pido); d) fica sujeito
a ru´ıdos de alta frequeˆncia; e) diminui o sobre-sinal ma´ximo na resposta ao degrau.
2. Atraso de fase (lag): a) diminui o ganho do sistema em altas frequeˆncias, sem reduzir
o ganho em baixas frequeˆncias (melhora a precisa˜o em regime estaciona´rio); b) reduz
a largura de faixa; c) o sistema fica mais lento; d) por causa da diminuic¸a˜o do ganho
em altas-frequeˆncias o ganho total do sistema pode ser aumentado, melhorando a
precisa˜o em regime permanente.
3. Avanc¸o-atraso de fase (lead-lag): a) ganho em baixas frequeˆncias pode ser aumen-
tado (o que significa uma melhoria na precisa˜o em regime permanente); b) enquanto
ao mesmo tempo a largura de banda e margem de estabilidade do sistema pode ser
aumentada.
4. PID: caso especial de Lead-lag.
5. PD - comporta-se como o avanc¸o de fase: a) afeta regia˜o de alta frequeˆncia; b)
aumenta o aˆngulo de fase; c) melhora estabilidade; d) aumenta a largura de faixa;
e) mais ra´pido.
i
6. PI - atua como o atraso de fase: a) afeta a regia˜o de baixa-frequeˆncia; b) aumenta
o ganho em baixa frequeˆncia; c) melhora a precisa˜o em regime.
0.2 Compensadores
0.2.1 Controlador PI
A equac¸a˜o do compensador PI e´ dada por:
C(s) = Kp +
KI
s
O controlador PI adiciona um zero em s = −Ki/Kp e um po´lo em s = 0.
Ele aumenta a ordem do sistema, podendo ser menos esta´vel que o sistema original,
devendo-se escolher com crite´rio Kp e KI . Como ele aumenta o tipo do sistema de um
(devido ao po´lo na origem), o erro em regime para uma entrada degrau e´ zero.
O controlador PI permite uma resposta transito´ria com pouco ou nenhum sobressinal,
mas o tempo de subida pode ser um tanto grande.
0.2.2 Controlador PD
A equac¸a˜o do compensador PD e´ dada por:
C(s) = Kp +Kd.s
O controle derivativo equivale a` adic¸a˜o de um zero simples em s = −Kp
Kd
. Em blocos o
controlador PD e´ mostrado na figura 1.
Figura 1: Compensador PD
Explicac¸a˜o de como o derivativo atua
O sinal de sa´ıda tem um overshoot considera´vel (sem levar em conta o termo deriva-
tivo), como mostrado na figura 2. O sinal de erro e´ tambe´m mostrado nesta figura.
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Figura 2: Sinal de sa´ıda e erro sem compensador
O que causa o sobressinal e´ o sinal de erro ser muito grande no intervalo 0 < t < t1 e
ser inadequado entre t1 < t < t2.
O sinal da derivada do erro e´ mostrado na figura 3, no mesmo gra´fico que os sinais
e(t) e c(t).
Figura 3: Sinal de saida e erro sem compensador e derivada do sinal de erro
No compensador PD, os sinais Kpe(t) e Kd
de
dt
sa˜o somados e o resultado leva a um
sinal que ira´ reduzir a amplitude do sinal de entrada e sa´ıda. Isto acontece porque e(t) e
de(t)
dt
tem sinais opostos em alguns intervalos promovendo uma diminuic¸a˜o do sobressinal.
0.2.3 Controlador PID
Compensador PID (proporcional integral derivativo): PID = KP +
KI
s
+ Kds ,
podendo-se trabalhar com os elementos tambe´m de forma isolada, como por exemplo:
a) proporcional: KP ; b) proporcional + integral: KP +
KI
s
; c) proporcional + derivativo:
KP +Kds; d) integral:
KI
s
Obs: existem diversas formas de se representar o compensador PID: a) PID = KP (1+
iii
KI
s
+Kds); b) PID = KP (1 +
I
s
+Ds).
Na figura 4 e´ mostrada uma versa˜o do compensador PID. Nesta figura qualquer
variac¸a˜o no sinal de refereˆncia e´ rapidamente passada a` planta devido ao compensador
derivativo. Mas isto pode ser prejudicial para algumas plantas industriais.
Figura 4: Compensador PID
Assim na figura 5 e´ mostrada uma outra possibilidade de construc¸a˜o do PID. Aqui o
compensador derivativo apenas responde a variac¸o˜es do sinal de sa´ıda
Figura 5: Compensador PID
0.2.4 Construc¸a˜o do bloco derivativo puro D
O controlador derivativo puro na˜o pode ser implementado fisicamente com elementos
passivos R, L, C, pois a func¸a˜o de transfereˆncia tem um zero e nenhum po´lo. Mas pode
ser constru´ıdo com amplificadores operacionais. O derivativo puro e´ um filtro passa alta
e devido a isto o sistema ficara´ sens´ıvel a ru´ıdos em alta frequeˆncia.
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0.2.5 Implementac¸a˜o pra´tica do bloco derivativo D
Um compensador derivativo ideal e´ dif´ıcil de construir. Como sua magnitude cresce
quando a frequeˆncia tende ao infinito, um diferenciador ideal produz uma amplificac¸a˜o
indeseja´vel de ru´ıdos em altas frequeˆncias que podem estar presentes na malha fechada.
Ale´m disto, o aumento da banda de passagem associado com o compensador derivativo
ideal poderia causar instabilidades devido a dinaˆmicas na˜o-modeladas de altas frequeˆncias.
Assim um compensador derivativo real e´ normalmente implementado pela colocac¸a˜o
de um po´lo em uma frequeˆncia entre treˆs a dez vezes maiores do que a frequeˆncia de canto
Kp
Kd
, isto e´, ω = NKp
Kd
, onde 3 ≤ N ≤ 10. Assim um compensador PD f´ısico e´ caracterizado
por uma func¸a˜o pro´pria:
CPD(s) =
Kp(s
KD
KP
+1)
(s
KD
NKP
+1)
0.2.6 Compensador avanc¸o de fase
O compensador lead tambe´m e´ caracterizado por um par po´lo-zero ajusta´vel, geral-
mente colocado longe da origem no eixo real negativo. A compensac¸a˜o por avanc¸o de fase
pode ser usada para alterar o valor do ganho de malha.
Ele e´ um filtro passa alta (um diferenciador).
No compensador avanc¸o de fase o zero esta´ mais pro´ximo da origem do que o po´lo, no
semi plano esquerdo: |z| < |p|.
A forma geral do compensador Lead e´: C(s) = Kα
s+ 1T
s+ 1αT
= K Ts+1αTs+1 , com α < 1.
Exemplo: C(s) = 10 s+5s+50 .
Figura 6: Compensador avanc¸o de fase
Sendo polo = a e zero = b, o defasamento ma´ximo ocorre na frequeˆncia:
ω =
√
ab
E o valor do defasamento ma´ximo e´ de:
v
φmax = (90− 2tg−1
√
b/a)
O compensador avanc¸o de fase diminui a curva de mo´dulo total na regia˜o de baixa
frequ¨eˆncia e aumenta a curva aˆngulo de fase na regia˜o de baixa a media frequ¨eˆncia.
O compensador lead e´ usado para aumentar o ganho ou a margem de fase do sistema
ou tambe´m para aumentar a faixa de passagem.
Um me´todo u´til para melhorar a estabilidade do sistema e´ tentar cruzar a
linha de 0db (ganho 1) com uma inclinac¸a˜o de -20db/decada. Cruzando com
uma inclinac¸a˜o de -40db/de´cada, geralmente resulta em um valor muito baixo
para a margem de fase.
0.2.7 Compensador atraso de fase
O compensador lag e´ caracterizado por um par po´lo-zero ajusta´vel, geralmente colocado
perto da origem no eixo real negativo. A compensac¸a˜o por atraso de fase pode ser usada
para alterar o valor do ganho de malha.
Ele e´ um filtro passa baixa (um integrador).
A forma geral do compensador Lag e´: C(s) = Kα
s+ 1T
s+ 1αT
= K Ts+1αTs+1 , com α > 1.
No compensador atraso de fase o po´lo esta´ mais pro´ximo da origem do que o zero, no
semi-plano esquerdo: |p| < |z|.
A compensac¸a˜o por atraso de fase baseia-se na colocac¸a˜o de um po´lo e um zero
pro´ximos entre si e pro´ximos da origem. Como eles esta˜o pro´ximos entre si, as con-
tribuic¸o˜es de fase se cancelam e o lugar das ra´ızes original na˜o e´ alterado. Devido a
proximidade entre eles, as contribuic¸o˜es de mo´dulo se cancelam.
Exemplo: C(s) = 0, 1s+10s+1 .
Figura 7: Compensador atraso de fase
Sendo polo = a e zero = b, o defasamento ma´ximo ocorre na frequeˆncia:
vi
ω =
√
ab
E o valor do defasamento ma´ximo e´ de:
φmax = (−90 + 2tg−1
√
b/a)
0.2.8 Compensador atraso-avanc¸o
E´ uma combinac¸a˜o das duas redes anteriores.A forma geral do compensador Lead e´: C(s) =
1+ jω
a1
1+ jω
b1
1+ jω
b2
1+ jω
a2
com b1 > a1, b2 > a2 e a1b2 = b1a2
A compensac¸a˜o atraso-avanc¸o tem todas as vantagens das compensac¸o˜es de atraso e
avanc¸o, e apenas um mı´nimo das suas caracter´ısticas geralmente indeseja´veis. A satisfac¸a˜o
de muitas especificac¸o˜es de sistemas e´ poss´ıvel sem a carga da largura de faixa excessiva
e constantes de tempo predominantes.
vii
	Introdução
	Compensadores
	Controlador PI
	Controlador PD
	Controlador PID
	Construção do bloco derivativo puro D
	Implementação prática do bloco derivativo D
	Compensador avanço de fase
	Compensador atraso de fase
	Compensador atraso-avanço