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Lista 7. A´lgebra Linear. Professor: Mauricio
1. Quais das func¸o˜es indicadas sa˜o transformac¸o˜es lineares?
a) T (x, y) = (x + y, x− y) : R2 → R2,
b) T (x, y) = (x− y, x2 − y2) : R2 → R2
c) T
([
a 0
b c
])
=
(
(a + b)x2 + (a− b)x + b− c) : V → W , onde
V e´ o espac¸o das matrizes de 2× 2 triangulares inferiores e W e´
o espac¸o dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 2.
d) T
([
a b
c d
])
=
([
a c
b d
])
: V → V , onde V e´ o espac¸o das
matrizes de 2× 2.
e) T
([
a b
c d
])
= det
([
a b
c d
])
: V → V , onde V e´ o espac¸o
das matrizes de 2× 2.
2. Indique se as afirmac¸o˜es seguintes sa˜o verdadeiras ou falsas. Em cada
caso justifique sua resposta.
a) O nu´cleo de uma transformac¸a˜o linear T : V →W e´ um subespac¸o
vetorial de W . F � V �.
b) O conjunto imagem de uma linear T : V → W e´ um subespac¸o
vetorial de W . F � V �.
c) A unia˜o de dois subespac¸os vetoriais e´ um subespac¸o vetorial.
F � V �.
d) O nu´cleo de uma transformac¸a˜o linear T : V →W e´ um subespac¸o
vetorial de V . F � V �.
e) Existe uma transformac¸a˜o linear injetora T : R3 → R2. F � V �,
f) Existe uma transformac¸a˜o linear sobrejetora T : R2 → R3. F � V �
1
h) Uma transformac¸a˜o linear T : V → W injetora transforma con-
juntos linearmente independentes em conjuntos linearmente in-
dependentes. F � V �.
i) Existe um isomorfismo entre T : V → W , onde V e´ o espac¸o
vetorial dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 3 e W e´ o
espac¸o vetorial das matrizes de 2× 2. F � V �.
j) Um isomorfismo T : V →W transforma bases em conjuntos gera-
dores. F � V �.
(Dica: Nos itens e) e f) use o Teorema do nu´cleo e da imagem.)
(Dica: No item g) lembre-se que a dimensa˜o de V e´ igual a 4.)
3. Encontre todas as transformac¸o˜es lineares, T : R3 → R2, que satisfa-
zem as seguintes relac¸o˜es:
T (1, 1, 1) = (1, 1), T (1, 1, 0) = (1, 0), T (1, 0, 0) = (1, 1).
a) Calcule o nu´cleo de T .
b) Calcule o conjunto imagem de T .
4. Sejam V o espac¸o das matrizes de 2×2 e W e´ o espac¸o dos polinoˆmios
de grau menor ou igual a 2. Encontre as expresso˜es de todas as trans-
formac¸o˜es lineares, T : V →W , que satisfazem as seguintes relac¸o˜es:
T
([
1 0
0 0
])
= x2 + x, T
([
1 1
1 0
])
= x2 − x,
T
([
1 1
0 0
])
= 1− x e T
([
0 0
0 1
])
= x2 − 2.
2