MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Manual de Matemática
522
XI
PPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprender Matender Matender Matender Matender Mateeeeemáticamáticamáticamáticamática
FFFFFinanceirinanceirinanceirinanceirinanceira?a?a?a?a?
Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentos sobros sobros sobros sobros sobreeeee
MatMatMatMatMateeeeemática Fmática Fmática Fmática Fmática Financeirinanceirinanceirinanceirinanceira?a?a?a?a?
O mundo atual está diretamente ligado à economia
de mercado.
Para compreendermos, entre outras coisas, os
fenômenos ligados à economia mundial na qual
estamos inseridos é necessário o conhecimento da
Matemática Financeira.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Toda vez que você necessitar decidir sobre tipos de
aplicações financeiras, fazer empréstimo, comprar
algo a prazo etc. De forma direta ou indireta, você
estará utilizando conceitos básicos da Matemática
Comercial e Financeira.
– MATEMÁTICA FINANCEIRA
Manual de Matemática
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Capítulo 1
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Razão
Razão vem do latim ratio e nos dá idéia de relação.
O matemático grego Euclides criou o conceito de razão, postulando que
“razão é uma relação de tamanho entre grandezas da mesma espécie”.
Existem razões especiais que são utilizadas no cotidiano, tais como densi-
dade de um corpo, densidade demográfica, velocidade média e escala.
Razão entre dois números racionais a e b, com b ≠ 0, é o quociente entre
esses números. Indicamos a razão entre a e b por 
a
b
 ou a:b.
Exemplos:
1) A razão entre 30 e 60 é 
30 1
60 2
= ; já a razão entre 60 e 30 é 
60
2
30
= .
2) Numa classe há 25 rapazes e 35 moças. Encontre a razão entre:
a) o número de rapazes e o número de moças.
25 5
35 7
=
b) o número de moças e o número de alunos da classe.
35 7
60 12
=
3) De acordo com as figuras, determine:
a) a razão entre os perímetros dos quadrados A e B.
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524
Solução:
16 4
28 7
= é a razão dos perímetros dos quadrados A e B.
b) a razão entre as áreas dos quadrados A e B.
Solução:
Calculando a área dos quadrados:
A
�
 = l 2 B
�
 = l 2
A
�
 = 16 cm2 B
�
 = 49 cm2
16
49
 é a razão das áreas dos quadrados A e B.
Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
A proporção 
3 6
4 8
= é lida da seguinte forma: “três está para quatro, assim
como seis está para oito”.
Podemos representar uma proporção por:
a c
= ou a : b=c : d
b d
Em que a e d são chamados extremos da proporção e b e a são chamados
meios.
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525
COMO A PROPORÇÃO É UTILIZADA NA GEOGRAFIA?
É por meio de mapas e escalas que a aviação e a navegação
planejam rotas de viagem, calculam distâncias e tempo de percurso.
Propriedade Fundamental das Proporções
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Assim:
As razões 
3 6
4 8
= formam uma proporção, pois:
3 x 8 = 4 x 6
24 = 24
Exemplos:
1) Calcule o valor de x nas proporções:
2 x
a)
3 6
3x 2 6
3x 12
x 4
=
= ⋅
=
=
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3x 1 6
b)
4x 3 5
5(3x 1) 6(4x 3)
15x 5 24x 18
9x 23
9x 23
23
x
9
+
=
−
+ = −
+ = −
− = −
=
=
2) (FAAP) O proprietário de uma área quer dividi-la em três lotes, confor-
me indica a figura. Sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e
que a + b +c = 120 m, então os valores de a, b e c em metros são, res-
pectivamente:
a) 40, 40 e 40 m
b) 30, 30 e 60 m
c) 36, 64 e 20 m
d) 30, 36 e 54 m
e) 30, 46 e 44 m
Solução:
a b c 120
a b c
20 24 36
a b c 120 3
20 24 36 80 2
a 3 b 3 c 3
20 2 24 2 36 2
2a 60 2b 72 2c 108
a 30 b 36 c 54
+ + =
= =
+ +
= =
+ +
= = =
= = =
= = =
Resposta: d
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Regra de Três Simples
Encontramos no nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou
mais grandezas.
Podemos definir grandeza como tudo aquilo que pode ser medido, contado.
São exemplos de grandezas: volume, massa, comprimento, velocidade e
tempo.
Os gregos e os romanos conheciam as proporções, porém não chegaram a
aplicá-las na resolução de problemas. Somente na Idade Média os árabes
mostraram ao mundo a regra de três.
Regra de três simples é o processo prático para resolver problemas que
envolvem duas grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
Exemplos:
a) Um carro faz 80 km com 10 l de gasolina.
Quantos litros de gasolina esse carro gastaria para percorrer 300 km?
Solução:
CRESCIMENTO POPULACIONAL X CONSUMO DE ÁGUA
Dois dos grandes problemas que atingem as grandes cidades
são a população e o consumo. Os esgotos domésticos e despejos
industriais determinam a poluição das águas. Com essa poluição,
a água não pode ser consumida, afetando nossa saúde.
Na periferia das grandes cidades, o lixo doméstico e os esgotos sanitários
são lançados diretamente na água.
Vários estudos feitos mostram que o consumo de água aumenta numa
proporção de duas vezes o crescimento populacional.
Manual de Matemática
528
As grandezas distância e litros de gasolina são diretamente proporcionais.
Indica-se com setas no mesmo sentido.
80 10
300 x
80x 3000
3000
x
80
x 37,5
=
=
=
=
Serão necessários 37,5 l de gasolina.
b) Uma obra é construída em 30 dias por 6 operários. Em quanto tempo
essa obra será construída por 12 operários?
Solução:
As grandezas são inversamente proporcionais. Indica-se com setas em sen-
tidos contrários. Geralmente trocamos a razão que apresenta a variável x.
Observe:
A obra será construída em 15 dias.
c) No tratamento da água consumida pela população e para diminuir a inci-
dência de cáries dentárias, muitos países acrescentam flúor à água que será
distribuída.
A proporção recomendada é de 700 g de flúor para um milhão de litros de
água.
Para saber a quantidade de flúor em cada litro de água podemos utilizar a
regra de três. Resolvendo:
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529
106 litros 700 g
1 litro x g
Para cada litro de água tratada, será necessá-
rio 7 · 10–4 g de flúor.
6
6
2
6
4
10 700
1 x
10 x 700
7 10
x
10
x 7 10−
=
=
⋅
=
= ⋅
Regra de Três Composta
Utilizamos a regra de três composta quando temos mais de duas gran-
dezas.
Resolvemos a regra de três composta comparando as grandezas sempre
com aquela que tem o valor desconhecido.
Exemplo:
15 homens fazem um certo trabalho em 4 dias, trabalhando 8 horas por dia.
Para fazer o mesmo trabalho, quantos dias levarão 8 homens, trabalhando
5 horas por dia?
A água traz muitos benefícios à saúde. Ela é simples, eficiente e
não tem contra-indicações.
A receita é simples. Tome pelo menos oito copos de água por dia
e os efeitos aparecem no corpo inteiro.
Perder apenas 20% dos 40 ou 50 litros do volume total de água
do corpo pode ser mortal.
A sede pode ser um sinal de desidratação.
Por isso tome muita água.
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Solução:
Porcentagem
Podemos perceber que o símbolo % aparece com freqüência em jornais,
revistas, televisão, anúncio de liquidação etc.
Toda fração de denominador 100 representa uma porcentagem.
Exemplos:
1) Escreva como taxa de porcentagem:
15 8 124
15% 8% 124%
100 100 100
= = =
A Geografia utiliza-se de conhecimentos
matemáticos para estudos populacionais.
A tabela abaixo apresenta dados referentes à mortalidade infantil (1), à
porcentagem de famílias de baixa renda com crianças menores de 6 anos (2)
e às taxas de analfabetismo (3) das diferentes regiões brasileiras e do Brasilem geral.
O campo da tabela “mortalidade infantil” indica o número de crianças que
morrem antes de completar um ano de idade para cada grupo de 1.000 crianças
que nasceram vivas.
Manual de Matemática
531
Agora é a sua vez:
3
4
=
Para obtermos denominador 100, devemos multiplicar a fração por 25.
Assim:
2) Represente por um número decimal:
16 0,2
a) 16% 0,16 c) 0,2% 0,002
100 100
5 0,05
b) 5% 0,05 d) 0,05% 0,0005
100 100
= = = =
= = = =
3) Calcule 20% de 150.
Podemos resolver de forma prática:
20% de 150 = 0,2 · 150 = 30
Ou usando a regra de três:
Valor Taxa %
150 100%
x 20%
100x = 3000
x = ’ x = 30
4) Calcule:
12 representa quantos por cento de 48?
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532
Solução:
Para determinar a porcentagem, basta dividir
12
0,25 25%
48
= =
5) 60 representa 6% de qual número?
Usando a regra de três:
6% 60
100% x
6 60
100 x
6x 6000 x 1000
=
= ⇒ =
6) Um quadrado tem uma área igual a 16 m2. Se aumentarmos o lado de
50%, qual o valor da área desse novo quadrado?
Solução:
A área do quadrado é A = l 2 ⇒
16 = l 2
l 2 = 16 ⇒ l = 4m
Setenta por cento da superfície da Terra é coberta por água,
atingindo um volume de 1,5 milhões de km2.
Noventa e oito por cento dessa água é salgada e imprópria para o
uso, a menos que seja dessalinizada. Dois por cento de água doce
aparece na forma de gelo, calotas polares e água subterrânea, ficando
apenas 0,44% da água disponível para os seres vivos.
Para isso é necessário economizarmos água. Como?
• evitando desperdício;
• tratando os esgotos domésticos;
• tratando os poluentes líquidos industriais;
• fazendo projetos de irrigação;
• evitando o consumo exagerado.
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Usando a regra de três:
4 100%
x 50%
4 100
x 50
100x 200
x 2
=
=
=
O novo lado será 4 + 2 = 6
A = 62
A = 36 m2
7) Um sapato é vendido por R$ 20,00. Se o preço fosse aumentado em
20%, quanto passaria a custar?
Solução:
Aumento: 20% de 20 = 0,20 x 20 = 4,00
Novo preço = 20 + 4 = 24,00
Poderíamos resolver o exercício de outra forma simples:
20 + 0,20 · 20 = 20 · (1 + 0,20) = 20 · 1,2 = 24,00
Obs.:
• Por exemplo, se houvesse um aumento:
de 40%, multiplicaríamos o preço inicial por 1,4.
de 6%, multiplicaríamos o preço inicial por 1,06.
de 14%, multiplicaríamos o preço inicial por 1,14.
• Por exemplo, se houvesse um desconto:
de 40%, multiplicaríamos o preço inicial por 0,6.
de 8%, multiplicaríamos o preço inicial por 0,92.
de 26%, multiplicaríamos o preço inicial por 0,74.
Outro exemplo:
O valor de uma passagem de ônibus foi majorado de R$ 1,10 para R$ 1,40.
Qual foi a taxa percentual aproximada do aumento?
Solução:
Calculando a taxa percentual de aumento, temos:
1,40 – 1,10 = 0,30 (valor do aumento)
Manual de Matemática
534
Podemos dividir o valor do aumento 0,30 por 1,10, obtendo 27% (taxa
percentual do aumento) ou dividir o novo preço da passagem, 1,40, pelo preço
antigo, 1,10.
1,40 : 1,10 = 1,27 = 1 + 0,27 = 100% + 27%
Acréscimos Sucessivos
Às vezes o valor de um produto pode sofrer um reajuste de preços para
valores maiores (acréscimos sucessivos).
Chamamos Po o preço inicial e i1, i2, ..., in as taxas percentuais. O preço
desse produto após n reajustes, passará a Pn.
Pn = Po (1+i1) · (1+i2) · ... · (1+in)
Se esses acréscimos apresentarem taxas percentuais iguais, teremos:
Pn = Po . (1+i)
n
Exemplos:
1) O preço de uma mercadoria teve quatro aumentos sucessivos de 8%
cada. Calcule o valor atual, sabendo que o preço da mercadoria antes dos
reajustes era de R$ 15,00.
Solução:
( )
( )
n
n o
4
4
4
4
4
P P 1 i
8
P 15 1
100
P 15 1,08
P 20,40
= ⋅ +
 
= ⋅ +  
= ⋅
=
O valor atual da mercadoria é R$ 20,40.
2) (MACK) O salário de uma determinada categoria teve reajustes no valor
de 10% no mês de abril, de 20% no mês de maio e de 30% no mês de junho.
O percentual total de aumento recebido nesses três meses foi de:
a) 68,6% c) 600% e) 40%
b) 60% d) 71,6%
Manual de Matemática
535
Solução:
Como a categoria teve acréscimos sucessivos, cujas taxas foram de 10%,
20% e 30%, usaremos a fórmula:
P3 = (1 + 0,10) · (1 + 0,20) · (1 + 0,30)
P3 = 1,1 x 1,2 x 1,3
P3 = 1,716 (71,6%)
Resposta: d
Descontos Sucessivos
Como o preço de um produto pode sofrer acréscimos sucessivos, pode
também ter descontos sucessivos.
Neste caso, aplicaremos a fórmula:
Pn = Po · (1 – i1) · (1 – i2) · ... · (1 – in)
Se o produto sofrer descontos com taxas percentuais iguais, teremos a
fórmula:
Pn = Po · (1 – i)
n
Exemplo:
O preço de uma televisão, que era de R$ 450,00, sofreu três descontos
sucessivos de 2%, 4% e 7%. Determine o preço atual.
Solução:
P3 = 450 · (1 – 0,02) · (1 – 0,04) · (1 - 0,07)
P3 = 450 · 0,98 · 0,96 · 0,93
P3 = 393,72
O preço atual é de R$ 393,72.
Juros
Em várias situações do nosso cotidiano aparecem juros.
Exemplo:
Kátia dispõe de uma importância em dinheiro e deseja aplicá-la em uma
caderneta de poupança. Ao fim de um certo período, ela receberá essa impor-
tância acrescida de um valor referente aos juros da aplicação.
Manual de Matemática
536
Os juros podem ser simples, quando não são acrescidos ao capital para
renderem novos juros, ou compostos, quando são acrescidos ao capital, para
em um período seguinte renderem novos juros.
Juros Simples
Podemos aplicar a fórmula para juros simples:
C i t
j
1.200
⋅ ⋅
= em que 
C é o capital aplicado
t é o tempo
i é a taxa percentual

Quando o tempo (t) for dado em meses, aplicaremos a fórmula 
C i t
j
1.200
⋅ ⋅
= e
quando for dado em dias, 
C i t
j
36.000
⋅ ⋅
= .
Exemplo:
Calcule os juros de um capital de R$ 30.000,00, aplicado à taxa de 36% a.a.
em 5 meses.
Solução:
C = 30.000,00
t = 5 meses
i = 36% ⇒ i = 36 ⇒ j = ? ⇒ ⇒ j = 4.500
Os juros serão de R$ 4.500,00.
Montante
Define-se montante como Capital acrescido de seus juros (j).
M = C + j , em que j =
M = C + 
M = C 
Devemos fazer as mesmas substituições de 100 para 1.200 ou 36.000 quan-
do t for dado em meses ou em dias, respectivamente.
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537
Exemplo:
Qual o montante que resulta de um investimento de R$ 18.000,00 aplicado
durante 6 meses à taxa de 15% a.a.?
Solução:
C = R$ 18.000,00 t = 6 meses i = 15% M = ?
100 i t
M C
1200
+ ⋅ 
= ⋅  
1200 15 6
M 18000
1200
23220000
M
1200
M 19.350,00
+ ⋅ 
=   
=
=
Juros Compostos
É o regime de capitalização mais utilizado nas transações comerciais.
Os juros do 1º período são calculados em função do capital inicial e acresci-
dos a ele formam um novo capital para o cálculo dos juros do 2º período e
assim sucessivamente.
Exemplo:
Um capital de R$ 50.000,00 é aplicado, a juros compostos, por um prazo de
4 meses, à taxa de 3% ao mês. Calcule o montante obtido no final.
Solução:
Construindo uma tabela, temos:
Obs:
No cálculo de juros compostos, o montante M é tal que:
M = C · (1 + i1) · (1 + i2) · ... · (1 + in)
Em que i1, i2, ...in são as taxas referentes aos 1º, 2º, 3º... períodos, respectivamente.
Se i1 = i2 = i3 =...= in , então M = C(1+i)
n.
Manual de Matemática
538
Exemplo:
Aplicando R$ 5.000,00 a juros compostos, 6% a.m. durante 3 meses, qual
o valor do montante e dos juros adquiridos?
Solução:
M = C · (1 + i)n C = 5.000
M = 5 000 · (1 + 0,06)3 i = 6% a.m. = 0,06 a.m.
M = 5 000 + 1,063 n = 3 meses
M = 5 000 · 1,19 J = ?
M = 5 955,08 M = ?
Como M = C + J, temos:
J = M – C
J = 5 955,08 – 5.000
J = 955,08
Estatística
Freqüentemente, assistindo à televisão, lendo um jornal ou uma revista,
deparamos com gráficos e tabelas que nos dão muitas informações, como
índices de inflação, consumo e restituiçãode água, taxa de desemprego e
taxa de mortalidade infantil.
A todas essas informações devemos inicialmente colher dados, em segui-
da organizá-los e analisá-los.
Para chegarmos ao resultado desejado, utilizamos a Estatística.
Vejamos o exemplo a seguir:
Manual de Matemática
539
No gráfico acima, podemos analisar um dos dados mais importantes para a
agricultura de uma região, que é a relação entre os meses do ano (x) e a
quantidade de chuva – índice pluviométrico (y).
Com o gráfico podemos escolher a melhor época do ano para o plantio de
certa cultura e concluir que:
• O maior índice pluviométrico foi em janeiro.
• O menor índice pluviométrico foi em julho.
• De janeiro a março, o índice decresceu.
• De outubro a dezembro, o índice cresceu.
Portanto, a estação das chuvas é o verão.
Capítulo 2
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
População
É o conjunto de objetos, de indivíduos ou de ocorrência na observação des-
ses grupos.
Exemplos:
• Conjunto de estudantes do ensino fundamental de uma escola.
• Conjunto de pessoas que moram num condomínio fechado.
Amostra
É uma parte dessa população, isto é, um subconjunto do universo estudado.
Freqüência Absoluta
Freqüência absoluta de uma variável é dada pelo número de vezes que essa
variável aparece no conjunto considerado.
Freqüência Relativa
É a razão entre a freqüência absoluta e o número total de elementos do
conjunto.
Manual de Matemática
540
A freqüência relativa é dada em porcentagem.
Exemplo:
A tabela mostra a distribuição das idades dos jogadores de um time de
futebol.
Obtemos a freqüência relativa:
4 7
0,13 14% 0,23 24%
30 30
6 2
0,20 20% 0,06 6%
30 30
3 8
0,10 10% 0,26 26%
30 30
= ≅ = ≅
= ≅ = ≅
= = ≅ =
Freqüência Absoluta Acumulada
A freqüência absoluta acumulada é obtida adicionando-se a cada freqüên-
cia absoluta os valores das freqüências anteriores.
No exemplo dado temos:
Manual de Matemática
541
Gráficos Estatísticos
Podemos representar graficamente a distribuição de freqüências de um le-
vantamento estatístico.
É de grande importância a utilização de gráficos e tabelas na
estatística. Com eles podemos fazer melhor a interpretação dos dados
coletados.
Veja alguns exemplos:
• pesquisa de opinião;
• pesquisa de mercado;
• índice de desemprego nas regiões do país etc.
Manual de Matemática
542
As representações gráficas mais utilizadas são:
• Gráfico de Segmentos
• Gráfico de Barras
É o representado pela união dos
segmentos.
Manual de Matemática
543
A ESTATÍSTICA APLICADA AOS ESPORTES
Algumas atividades físicas, praticadas por alguns minutos todos
os dias, diminuem o risco de doenças ligadas ao sedentarismo.
Veja alguns exemplos:
• 30 minutos de caminhada (equivale a andar cerca de 3.200 m);
• 10 a 15 minutos de corrida (equivale a andar cerca de 2.400 m);
• 15 minutos subindo escadas.
• Gráfico de Colunas
Manual de Matemática
544
Gráfico de Setores
Exemplo:
Distribuição de Freqüências com Dados
Agrupados
Observando-se o salário dos funcionários de uma empresa, foram obtidos
os seguintes valores em reais:
800 500 700 400 200
400 800 200 800 200
400 700 400 800 700
500 700 300 900 1000
Com esses dados, construa uma tabela de freqüências absoluta e relativa.
Para determinarmos a freqüência absoluta, organizamos os salários em or-
dem crescente.
200 200 200 300 400
400 400 400 500 500
700 700 700 700 800
800 800 800 900 1000
Observamos que o menor salário é de 200 reais e o maior é 1.000 reais.
A variação de salários é 1.000 – 200 = 800
Manual de Matemática
545
Esse valor é chamado de amplitude total.
Podemos agrupar esses valores em intervalos de classe da seguinte forma:
Como o menor salário é de 200 reais e o maior é de 1.000 reais, podemos
agrupá-los em intervalos de amplitude 200, ou seja:
Nesse caso, 200 é o limite inferior e 1.000 é o limite superior da classe.
A diferença entre o limite superior e o limite inferior é igual à amplitude.
No intervalo , por exemplo, podemos determinar o ponto
médio do intervalo.
+
= =
400 600 1000
500
2 2
Assim, podemos construir uma tabela de freqüência com classes.
Manual de Matemática
546
Histograma de Freqüências
Podemos utilizar o histograma de freqüências para a distribuição de fre-
qüências com dados agrupados.
No exemplo dado, podemos construir o seguinte gráfico:
Polígonos de Freqüências
Pelo histograma, traçamos segmentos de retas consecutivos com extremi-
dades nos pontos médios das bases superiores dos retângulos que formam o
histograma, formando um polígono de freqüências.
Manual de Matemática
547
O cálculo da média é freqüente no nosso
dia-a-dia. É comum determinarmos valores
como a velocidade média, o salário médio de
uma empresa, a estatura média das pessoas e o consumo médio de gasolina.
Medida de Tendência Central
Chamamos de média, mediana e moda as medidas de posição ou tendên-
cia central.
Média aritmética
Média aritmética de um conjunto de números é a soma dos números dividi-
da pela quantidade de números do conjunto.
Exemplo:
Calcule a média aritmética dos números 4, 5, 6, 8,7.
Solução:
a a
4 5 6 8 7 30
M M 6
5 5
+ + + +
= = =
Manual de Matemática
548
Média Ponderada
Definimos média ponderada de dois ou mais números o quociente da soma
dos produtos desses números pela soma dos respectivos pesos.
Exemplo:
O quadro mostra a avaliação anual de um aluno em Física:
Qual a média anual que o aluno conseguiu?
Solução:
p
p
5 1 6 2 7 2 8 3
M
8
55
M 6,8
8
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
=
= =
Podemos utilizar o cálculo da média ponderada quando os valores da variá-
vel se apresentam numa distribuição de freqüências absolutas.
Assim:
x Freqüência absoluta
2 5
3 8
8 6
10 4
p
p
2 5 3 8 8 6 10 4
M
5 8 6 4
122
M 5,3
23
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
=
+ + +
= =
Manual de Matemática
549
Para construir um túnel, os operários precisam colocar estacas para
sustentação.
Observando o triângulo abaixo, podemos concluir que o comprimento
da estaca é a média geométrica das distâncias entre o ponto de apoio
da estaca e as laterais do túnel.
Mediana
Dado um conjunto de números, ordenando seus elementos em ordem cres-
cente, a mediana é o elemento que ocupa o termo central.
Exemplo:
16 14 18 20 15 22 19
Colocando em ordem crescente:
14 15 16 18 19 20 22
 ↓
 termo central (medieval)
Se o conjunto de elementos for par, a mediana será a média aritmética
entre os dois termos centrais.
Exemplo:
 
Manual de Matemática
550
Moda
Moda é o valor que aparece mais vezes (maior freqüência) em um conjunto.
Exemplos:
a) 3 4 3 2 3 5 6 3 A moda é 3.
b) 2 6 7 2 5 6 8 As modas são 2 e 6.
c) 1 3 5 8 9 Não existe moda.
No exemplo dado, calcule a média aritmética;
Observando a freqüência de cada intervalo e o respectivo ponto médio,
obtemos:
Média aritmética:
a
a
a
(4 300) (6 500) (4 700) (6 900)
M
20
1200 3000 2800 5400
M
20
M 620
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
=
+ + +
=
=
Medidas de dispersão
Variância
Definimos variância o número real positivo.
( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 nVar x x x x x ... x x= − + − + + − 2
Manual de Matemática
551
O VELHO PAÍS DO FUTURO
Nos últimos 30 anos a população brasileira mudou radicalmente de
perfil. O envelhecimento é uma decorrência direta do bem-estar social.
Hoje, a maior expectativa de vida no país é a da Região Sul: 70,4 anos. A
menor é a do Nordeste: 64,8 anos. Daqui a 50 anos, o número de velhos
com mais de 60 anos será maior que o de jovens de até 14 anos.
Considerando o mesmo exemplo; temos:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
Var x
4 300 620 6 500 620 4 700 620 6 900 620
204 102 400 6 14 400 4 6400 6 78400
Var x
20
Var x 49600
=
⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
=
=
Desvio-Padrão
O desvio-padrão é uma medida de dispersão calculada pela raiz da variância.
( )DP x Var=
No exemplo dado, temos: ( )
( )
DP x 49600
DP x 222,71
=
=
Revista Superinteressante, abr. 1999.
Manual de Matemática
552
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Matemática Financeira
1) Calcule a velocidade média de uma moto que fez o percurso de 240 km
em 4 horas.
2) (UNIFOR–CE) Se a razão entre dois números é 
3
5
, a razão entre o quíntuplo
do primeiro e a terça parte do segundo é igual à:
a)
1
9
b) 
1
3
c) 1 d) 3 e) 9
3) Numa prova de matemática, um aluno acertou 30 questões e errou 20.
Qual a razão entre o número de acertos e o número de questões?
4) (FESP–SP) A solução do sistema 
x y z 30
x y z
7 3 5
+ + =
= =
 é:
a) x = 6, y = 14 e z = 10 d) x = 4, y = 5 e z = 21
b) x = 14, y = 6 e z = 10 e) x = 5, y = 4 e z = 21
c) x = 8, y = 5 e z = 4
5) (UF–BA) Na proporção 
1
2 3 x2
45 1
3
− ⋅
=
+
, o valor de x é:
9 7 1 1
a) b) c) d)
5 30 10 10
−
6) (Cesgranrio) Se 
1 1 1
a b c
+ = , com 
1 1
a e b
2 3
= = , então c vale:
5 5 1 2
a) b) c) d)
2 6 5 5
Manual de Matemática
553
7) (VUNESP–SP) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo
projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias
para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado:
a) 2 horas a menos por dia. c) 3 horas a menos por dia.
b) 2 horas a mais por dia. d) 3 horas a mais por dia.
8) (FGV) De acordo com especialistas, a dificuldade de tradução do inglês
para o português está para a dificuldade de tradução do francês para o portu-
guês assim como 4 está para três. Um tradutor (que se comporta segundo
essa regra) traduz 8 páginas de um texto em inglês em 7 horas. Quanto tempo
(aproximadamente) gastará para traduzir 20 páginas de um texto em francês?
Obs.:
A paginação é a mesma nos dois livros.
a) 9 horas b) 5 horas c) 13 horas d) 17 horas e) 23 horas
9) (FGV) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo
devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$ 10.000,00 e que daqui a
5 anos valerá R$ 1.000,00, seu valor daqui a três anos será:
a) R$ 5.400,00 d) R$ 4.600,00
b) R$ 5.000,00 e) R$ 3.200,00
c) R$ 4.800,00
10) O preço inicial de um certo produto é R$ 30,00. Então, se ele sofrer:
a) um aumento de 20%, isto é, , que é R$ , o
preço final será de R$ , que é equivalente ao preço inicial multiplicado
por .
b) dois aumentos sucessivos de 20% e 35%, basta multiplicarmos o pre-
ço inicial por para obtermos o preço final de
R$ , que corresponde a um único aumento de %,
que é R$ .
c) dois descontos sucessivos de 20% e 20%, basta multiplicarmos o pre-
ço inicial por para obtermos o preço final de
R$ , que corresponde a um único desconto de
%, que é .
Manual de Matemática
554
Obs.:
Nos exercícios 11, 12 e 13 trabalharemos com operações comerciais como compra e venda
de mercadorias obtendo lucro ou prejuízo. Observe as fórmulas:
11) Calcule o preço de custo de uma televisão que foi vendida por R$ 800,00
com um lucro equivalente a 40% do preço de custo.
12) Vendi um microcomputador por R$ 2.000,00, o que significou um prejuízo
de 15% em relação ao preço que paguei por ele. Qual foi o preço de compra?
13) Um terreno foi vendido por R$ 6.000,00, com R$ 1.200,00 de prejuízo
sobre o valor de custo.
Qual o valor de custo e a taxa percentual de prejuízo sobre o preço de venda?
Obs.:
A taxa percentual de desconto em relação ao valor de venda é dada pela razão entre o
desconto e o valor de venda:
D
i 100%
V
= ⋅
A taxa percentual de desconto, em relação ao valor de custo, é dada pela razão entre o
desconto e o valor de custo:
D
i 100%
C
= ⋅
14) (FATEC-SP) Desejo comprar uma televisão à vista, mas a quantia Q que
possuo corresponde a 80% do preço P do aparelho. O vendedor ofereceu-me
um abatimento de 5% no preço, mas, mesmo assim, faltam R$ 84,00 para
realizar a compra. Os valores de P e Q são, respectivamente:
a) R$ 520,00; R$ 410,00. d) R$ 550,00; R$ 438,50.
b) R$ 530,00; R$ 419,50. e) R$ 560,00; R$ 448,00.
c) R$ 540,00; R$ 429,00.
Manual de Matemática
555
15) (CEFET-MG) Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina.
A porcentagem de gasolina na mistura é igual a:
a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50%
16) (VUNESP) As promoções do tipo “leve 3, pague 2”, comuns no comér-
cio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida, de:
50 100
a) % b) 20% c) 25% d) 30% e) %
3 3
17) (FAFI-MG) Um investidor possui R$ 80.000,00. Ele aplica 30% desse
dinheiro em um investimento que rende juros simples a uma taxa de 3% a.m.,
durante 2 meses, e aplica o restante em outro investimento que rende 2%
a.m., durante 2 meses também. Ao fim desse período, esse investidor possui:
a) R$ 83.680,00 c) R$ 84.320,00 e) R$ 88.000,00
b) R$ 84.000,00 d) R$ 84.400,00
18) (UF-RS) Um capital, aplicado a juros simples, triplicará em 5 anos se a
taxa anual for de:
a) 30% b) 40% c) 50% d) 75% e) 100%
19) (UF-MG) A quantia de R$ 15.000,00 é emprestada a uma taxa de juros
de 20% ao mês. Aplicando-se juros compostos, o valor que deverá ser pago
para quitação da dívida, 3 meses depois, será:
a) R$ 24.000,00 c) R$ 40.920,00 e) R$ 48.000,00
b) R$ 25.920,00 d) R$ 42.000,00
20) (ESCCAI) Sendo R$ 7.860,00 o valor atual de um título, descontado à
taxa de 6% a.a., 105 dias antes de seu vencimento, qual o seu valor nominal?
a) R$ 8.000,00 c) R$ 9.000,00 e) R$ 16.540,00
b) R$ 8.490,00 d) R$ 12.810,00
21) Nos últimos seis anos uma certa indústria fez três reajustamentos de
30% cada um nos preços dos seus produtos. Isso totaliza um aumento sobre
os preços de seis anos atrás de aproximadamente:
a) 40% b) 120% c) 30% d) 90% e) 300%
Manual de Matemática
556
22) (FAAP) Do preço de venda de um produto, um comerciante paga 20%
de imposto. Do restante, 70% correspondem ao custo do produto e 30% ao
lucro. Se o produto custou R$ 33.600,00, então o preço de venda foi:
a) R$ 40.786,20 c) R$ 49.800,00 e) R$ 40.068,96
b) R$ 51.224,20 d) R$ 60.000,00
23) (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda
de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Po-
rém ele prepara a tabela dos preços de venda acrescentando 80% ao preço
de custo, porque ele sabe que o cliente gosta de obter desconto no momen-
to da compra.
Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de
tabela, de modo a não ter prejuízo?
a) 10% b) 15% c) 20% d) 5% e) 36%
24) (FUVEST) Um certo tipo de aplicação duplica o capital em dois meses.
a) Qual a taxa mensal de juros?
b) Em quantos meses a aplicação renderá 700% de juros?
25) (UNICAMP) Suponha que todos os preços venham subindo 30% ao
mês nos últimos meses e continuem assim nos próximos meses. Calcule:
a) quanto custará, daqui a 60 dias, um objeto que hoje custa R$ 27.300,00?
b) quanto custava esse mesmo objeto há um mês?
26) (PUC) Uma solução tem 75% de ácido puro. Quantos gramas de ácido
puro devemos adicionar a 48 gramas de solução para que a nova solução
contenha 76% de ácido puro?
27) (VUNESP) Durante um certo período de tempo em que a inflação foi
de 500%, o preço de certo modelo de automóvel subiu 700%, passando a
custar R$ 40.000,00. Quanto custaria esse modelo ao fim do período consi-
derado, se os aumentos de preço tivessem se limitado a acompanhar a
inflação?
Estatística
28) (FUVEST) Calcule a média aritmética dos números 
3 13 1
, e
5 4 2
.
Manual de Matemática
557
29) (PUC) A média aritmética dos números positivos a, b e c é quanto por
cento de sua soma?
1
a) 33 % c) 3% e) depende dos valores de a, b e c.
3
1
b) 30%d) %
3
30) (FGV) A tabela a seguir apresenta a distribuição de salários de trabalha-
dores de uma cidade.
Se todos passarem a ter o mesmo salário (mantendo o total de salários
dado pela tabela), cada pessoa receberá:
a) R$ 3.000,00 c) R$ 1.600,00 e) R$ 1.119,10
b) R$ 2.000,00 d) R$ 1.200,00
31) (FAAP) A biblioteca da FAAP comprou x livros ao preço unitário de
R$ 28,00 e y livros ao preço unitário de R$ 22,00. O preço médio por livro é:
a) (50xy) · (28x + 22y) c) (28x + 22y) / 50 e) (28x + 22y) / (xy)
b) (50xy) · (x + y) d) (28x + 22y) / (x + y)
32) (FGV) Em uma classe com 20 rapazes e 30 moças, foi realizada uma
prova. A média dos rapazes foi 8 e a das moças 7. A média da classe foi:
a) 7,5 b) 7,4 c) 7,6 d) 7,55 e) 7,45
33) (ESPM) O salário médio de quatro pessoas (a, b, c, d) é R$ 108.000,00.
Se incluirmos uma quinta pessoa que ganha um salário de R$ 88.000,00, qual
será a nova média salarial?
a) R$ 77.000,00 c) R$ 104.000,00 e) R$ 98.000,00
b) R$ 130.000,00 d) R$ 108.000,00
Manual de Matemática
558
34) (FUVEST) A tabela a seguir mostra a temperatura das águas do Oceano
Atlântico (ao nível do Equador) em função da profundidade:
PPPPProfundidaderofundidaderofundidaderofundidaderofundidade SuperfícieSuperfícieSuperfícieSuperfícieSuperfície 100 m100 m100 m100 m100 m 500 m500 m500 m500 m500 m 1.000 m1.000 m1.000 m1.000 m1.000 m 3.000 m3.000 m3.000 m3.000 m3.000 m
Temperatura 27º C 21º C 7º C 4º C 2,8º C
Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear en-
tre cada duas das medições feitas para a profundidade, à temperatura previs-
ta para profundidade de 400 (em °C) é de:
a) 16 ° b) 14 ° c) 12,5 ° d) 10,5 ° e) 8 °
35) (FGV) Dois atiradores x e y obtiveram, numa série de 20 tiros num alvo
da forma indicada na figura, os seguintes resultados:
a) Qual é a média dos pontos por tiro de cada um dos atiradores?
b) Compare os desvios-padrão de cada uma das séries de tiros e decida
qual é o atirador com o desempenho mais regular.
36) (ENEM/98) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis
de audiência de alguns canais de televisão, entre 20 e 21 horas, durante uma
determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico de
barras acima:
Manual de Matemática
559
a) O número de residências atingidas nessa pesquisa foi aproximadamente de:
a) 100 b) 135 c) 150 d) 200 e) 220
b) A porcentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à TV B
é aproximadamente igual a:
a) 15% b) 20% c) 22% d) 27% e) 30%
Respostas
1) 60km/h 2) e 3) 
3
5
4) b 5) b
6) c 7) a 8) c 9) d
10) a) 0,20 x 30; 6,00; R$36,00; 30 . (1 + 0,20)
b) 30 . (1 + 0,20) . (1 + 0,35); 48,60; 62%, R$18,60
c) 30 . (1 – 0,20) . (1 – 0,20); R$19,20, 36%; R$10,80
11) R$ 571,42 12) R$ 2.352,94 13) C = 7.200,00
i = 20%
14) e 15) d 16) e 17) a 18) b
19) b 20) a 21) b 22) d 23) c
24) a) 41% b) 6 meses
25) a) R$ 46.137,00 b) R$ 21.000,00
26) 2 g de ácido puro. 27) R$ 30.000,00
28)
29
20
29) a 30) c 31) d
32) b 33) c 34) d
35) a) = 26 e =26 Como DPx < DPy, o desempenho
b) DPx = 14,46 e DPy = 17,58 do atirador x é mais regular do que
o do atirador y.
36) a) d b) a
Sites para Pesquisa
www.somatematica.com.br
www.cursoanglo.com.br/mmate.htm
www.impa.br
www.sercomtel.com.br/matematica
www.exatas.hpg.ig.com.br
www.matematica.com.br
www.10emtudo.com.br
www.matematica.com.br
www.profcardy.com
www.reniza.com/matematica
www.terra.com.br/matematica/index.htm
Referências Bibliográficas
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São Paulo: FTD, 1998. Vol. 1, 2 e 3.
BELLOTO FILHO, Antônio. GENTIL, Nelson. GRECO, Antônio Carlos. GRECO,
Sérgio Emílio. SANTOS, Carlos Alberto Marcondes dos. Matemática para
o 2º Grau. São Paulo: Editora Ática, 1998.
BONGIOVANNI. LAUREANO; VISSOTO. Matemática e Vida. São Paulo: Edito-
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BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI, José Ruy. Matemática 2º Grau. São
Paulo: FTD, 1992.
FERNANDES, Valter dos Santos; SILVA, Jorge Daniel. Matemática. São
Paulo: IBEP.
FERNANDES, Vicente Paz; SOARES, Elisabeth; YOUSSEF, Antônio. Matemáti-
ca para o 2º grau (Curso Completo). São Paulo: Editora Scipione, 1998.
KIYUKAWA, Rokusaburo; SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Matemática. São
Paulo: Editora Saraiva, 1998.