Cálculo Diferencial E integrais 1,2 e 3 (39)

Prévia do material em texto

Enviado para www.polishare.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
MAT2453 
Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I 
P1 – 2014 
 
 
Versão A 
u .s o...V'~ o,Ç. O r& \AA-~ k
.Q;~
<J
')
.-
-
-
O
)(4 h1u 'fi
-A-
Questão 1. Calcule o limite ou justifique porque não existe:
2x + 5 sen x
a) (1,0 ponto) lim
VX ( ~ )x-++oo X X scn jx
b) (1,0 ponto) li21 (x2 ~ 2x -
~ ~ ~)
c) (1,0 ponto) lim (v3x6 + 2
- V3x6 + 2x3 - 5)
X--+-CXJ
2)(
X J)( S~VJ 12...'\L'í;(J
S :s êV\ )(
XV)( SêV)(~)
2-
3 \G S~ C-f)( )
.+ s
{;( Sf'~ C:X: ')
- ~)
. 3 ')
tI/>') -3 S~1 ( rz
x .-") t t7V 3
G
~
c\CÀ.\/V\ e~+eJ7 )
-
-3
.J S eY\ X :::C>
'>(
fi
IS~X I~ .2.
Lo
~o J
2-
-
3
+-
~fx G.-\L>(3 - S )
-
-
-I-
~3/"+2)('3- 5 )
x+.L
\::
x-L )
~ak ~vQ..'
l , ) () .
'AA
. 'zÍl' 5, u y_. fI - X. .- X ~ -
')( '-7 2-
U',} bw-
X -7 2
XlK-l} - O
Uí~) .(011V\ ;<.[X-2);:: Oi-
X -") 2 +-
.I( ~ 2.
X (x-2.')
(' I~ -.~X - L'X
_'Xtl j __dO--- -X -7..
o ~ VV1 ;k v\~o
e )(.'\) k ro~ ~ o ç ~'V1A.' .k y
~.k~~~ i~1 tfi'fk'-~kJ
~ Q.;,- lh"~ '
-(?'x" + 2,! -ç) ( 4 3x". 1-
X'-")- ,;..>
(v3xb f '2..- -
C-
-
::. O ." ~
I'V
\
'/
'/-."'"
'1..5 (- Z- + -:r-/><1 ')
iX~'(~3t 2-/x.b t ~3t- 2/'1.3,-5/>(:)
-
-A-
{
ijX2
- 3x sen (-L )x-3
Questão 2. (3,5 pontos) Seja f(x) = 3 + arctg x
1,
se x =I 3
sex=3
a) Determine todos os pontos em que f não é contínua. Justifique.
b) Determine todos os pontos em que f não é derivável. Justifique.
c) Calcule a derivada de f nos pontos em que f é derivável.
C9 ~ Lt.3) .Ç fli (.tr'ttÚtLLCU C9lLOcltm I "f1bclu1~ Q.. (~ç~tQ tdt ttvnçi"'t\ ccn1L1ú-t.{]A
1CLrú '1..
-= 3 :
lvm .í\x.) =
L-73
::~ ..t :'1. I' ~ ,1'1
r;
,. (-
6)~ 1-toO .Lt:p3 I f QI dLrL0Vel/L/LtJ CP-WC).untc I PW(ucto t (t~~h dt fU)Y1~Çt&citÜ"liJvCÜ)
Sn1. ~ -=3f 1\CL6 ti dl'1-Ltm'\rtL ~f 1'\Q,~l Cf)YítL-nÁ-{(L~,é\ ':~
"\
"'>rz, - V'
bm 7(.,::::O : . / / , 1 f
.lene rl?l}c f «;) ,1.,," -v;([i~.,)' /WfI 0C--J ~ lvm-
J.E3At;,,., Gx--')
~ + Cú
Ã-.-] o Ã- /l'-'"8
- 2'C3 t- CLru.t~ 1.) -x..-, c fi? (~tC\-'ll~'X.. )
.)' t) ('70' ':> .,
L~ ) f,n(\,\).Q' d1~L \)Ll'vd, t fY\ j(. = C J. t rfn ~,.( -=- -3 .
.
} (
.~ ,
-A-
Questão 3. (2,0 pontos) Sejam f(.T) =.1:3 + a.T2 + b.1:+ r, em que a, b, c E IR, e q(.T) = 5 - 3sen.T.
Determine u, b e c sabendo que f e 9 possuem mesma reta tangente no ponto de abscissa O e que o
ponto (O, -3) pertence à reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 2.
~ ~ L tó f~~ .~~ Ktk ~
~ f~ P-c-ccbt~(1...O I
~.~
-:\(0) ""3(0) ~ ~\(o) =~(o) .
I'W'> ~(o) =5
-'-
~(o) = C . ~ \ C =
5,
3'(,,-) = - 3 O<nX- '-I t''''~' 3'(0) = - 3
fh) ; 3 JeL-;- .:10. L +10 'I t'''''~ I
~'(o) = 10
'Í~ ~
~
10 =- 3 .<.- f('X-) = <:-3... ú-LL -
'3
"-
+5 .
/
.
]h{, (). kL~ ~~ 0$ t+<..-,d..<- f "... ~ ~ ~Q.. 02-
k~ ~e
d
-~(2.) .~ ~\(L) (L-~) I~~)
d- (a.~ -t-:t-j'" (~+ ~,,-) (x.-LJ .
c O f,.;tH (O I- 3) ~"'-
CL- ~
",,-ta.. J ~ ~
~ .hL'i)' ~ a.. =
- ;). ,
--í~
~
~
o...'" - ;), I Ia = -
-A-
Questão 4. (1,5 ponto) Da janela de um prédio, a 20 metros do solo, um menino brinca com uma
ponteira laser, movendo-a verticalmente e iluminando a parede do prédio vizinho, situado a uma
distância de 15 metros. Num determinado instante, o ponto de luz está a uma altura de 11 metros e
a velocidade com que ele sobe é de 10 metros por segundo. Determine a taxa de variação do ângulo
formado entre a horizontal e o feixe de luz nesse instante.
~ e\.\o) =. -JS ~ /I . h
5"
Enviado para www.polishare.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
MAT2453 
Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I 
P1 – 2014 
 
 
Versão B 
-B-
Questão 1. Calcule o limite ou justifique porque não existe:
a) (1,0 ponto) lim 3x + 4senx
x-Hoo xyXsen (]x)
b) (1,0 ponto) lim ( 1 _ x + 1)x -+3 x2
- 3x x - 3
c) (1,0 ponto)
x~~oo
(V4x6 + 2
- V4x6 + 3x3 - .5)
te) .~WI
x-H~
-
3;,<
x J)Z S êY\ [!.\
~)
t 4 S{.'v\ X
)(g St:", L~ )
3
_ '2
~I- 6ê.V\ l-G: )
~ok tv~"
li )
~"'"
X -" t-70
z S~V1 l~)
L :;-)
_ 2
o
0'~\ ~"-
x-H~
\
-
- - c.
"
c.) t (.'i) O\okVV\.05
( J...S~X" (_ 4 "\ ::
"-
)( ),~
s~_"" (~) \
0-2.=0
~.bk rUe..:
~LI) (0~ .. x' -
-1
-
~~X~-(J0 1)(I
.=) @::. 3
.-
ti i) ~.~ c (V\~i) t
-'-=-O
,X-)-'10 x""
) -xd..)(-3
\Lv"" \-
XL._ X ~ -li
)(~3
tINI 'j.. ('I:. -~)'-=- 0+
X -') '?>~
x { '( - s) ;. 0-
( I--'A./..-~A~\ '-)\'-3> )
o:::)
ex~~k ?C)l~ o~ (b.'W1f'kJ
Qo.-lu-0) S~c L~{e"1 ks+00
- J4X'b -r3x' l
-
S..,
') .~ (t"",
x ~ --iJ\;I
c\ ()'.~ lJ '
.
4 x ',.. 2.
(
i
4)(k
-* 2.. - ,~--
S.)(j \-S-
i 4)(10 f- 2 ' +- J 4Kf-r ~-;c'S 7
,~
I i;j (/4 t 2/X~' + V 4t 3/)(~ - 5/X{.
-B-
{
\lX2
- 2x sen (~)
Questão 2. (3,5 pontos) Seja f(x) = 4 + arctg.1:
1,
se x/:2
se x = 2
a) Determine todos os pontos em que f não é contínua. Justifique.
b) Determine todos os pontos em que f não é derivável. .Tustifique.
c) Calcule a derivada de f nos pontos em que f é derivável.
~) Se Lt-C .t'X-:t=2 I f Qi dul,VVÚv& (CfLDUUAAIruduJõ ~ (D1rnp{hea eLe.~w~,~
liUlUJz1rvt"Cb
[rr~ 'X.::: 2- l-f .rv1{;~' clUÚA/b/l; Ü1) 00) f 1\(1[ .-t; o~ntÚ'L{)t{~
ç ?c" 'I '
;-~"\
em -x..:::O . ~U/,
~. L-
,::" .'.'"~
.
"2.'
(), p ,3r-' / (/ -'- \
~;Yi\.-~ (A-)~.1Cq):: 11~ .'v~-_~_/~jYJ
.
x- 2-)
-= -t-Cú
'X--7 :; X- ~
-) o
"fi-2- (,41- (J){Ltg ~ )
'>0 ()o) -y Li
10Cf I f1'\CtC.(i
\
,dL~Uj\;cl\/{l ~/yy\. ~ = C lL J/YYt -x.:= 2-
-B-
Questão 3. (2,0 pontos) Sejam f(x) = x3 + ax2 + bx + c, em que a, b,c E IR, e g(x) = 7 - 5senx.
Determine a, b e c sabendo que f e 9 possuem mesma reta tangente no ponto de abscissa O e que o
ponto (O,-1) pertence à reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 2.
~ f '-
~
~~ ""'-~
hLi:<:c.~r ~ ~J~ a/;><'-M>o....
k~
~
~(O) = Cf(o-) JL ~\(o) ~ ~(o).
~ Cs"(O)= =t JL 4-(0) = C. ~) C-;; :=t-
o
I
~'( 'L ') ::::- 5" CdJ ~ .L I f~' ~
I (O)
==
- <5 ,
~\(~) = ~~ -to- J.,CL"L+ \o Á , r~J ~I(O) ~ b
~
3
'Í~.~ ~
~
10 = - 5 ..1l--f(-x...') -::. x- ';--~")...2- 5" x.- ;- -=t
'Da...:I "'- ~ ~r
O» ~ eLo- + """ ~
,:k. ah.t,~ ;2-
{Q:~J.-~ 'd- -fCl-) = -1'(~) (~-~) I ou- ~)
~
- (.4 lÃ.--t-S) = ('-i Q..~ :rX~ 2)
~ o ~ (0.-1) r-uct1,'WtL- Ci..- L~
.hL-tci- I "k~
~
-B-
Questão 4. (1,5 ponto) Da janela de um prédio, a 25 metros do solo, um menino brinca com uma
ponteira laser, movendo-a verticalmente e iluminando a parede do prédio vizinho, situado a uma
distância de 20 metros. Num determinado instante, o ponto de luz está a uma altura de 10 metros e
a velocidade com que ele sobe é de 16 metros por segundo. Determine a taxa de variação do ângulo
formado entre a horizontal e o feixe de luz nesse instante.
1Joi1PMi-~,,,~ r NC-"(e (l»e'(k) = -h"(L)
1". .2 ( ) J.. (" (:..2-
~ dJ/)'~"1 ALe-8(\0) = Ii-+~
G(~))
= 1\+ ~S~"O) =-
_AG
-
õ)O
~ I e'llc) == - ~1 ~/,A.I~S