Aula_6_Capacitancia

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Profª Drª Simone F. Souza 
 
 
Aula 6 
 
Capacitância 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
Ao participar dessa aula, você aprenderá: 
 
• Natureza dos capacitores e como calcular a grandeza que mede a sua 
capacidade de armazenar energia; 
• Como analisar capacitores conectados em rede; 
• Como calcular a quantidade de energia armazenada em um capacitor. 
• O que são dielétricos e como eles aumentam a eficácia dos capacitores 
Um dos objetivos da Física é fornecer os princípios básicos para os dispositivos 
práticos projetados pelos engenheiros. 
Introdução 
O capacitor é um dispositivo que armazena 
energia potencial elétrica e carga elétrica. 
Os capacitores possuem muitas aplicações: 
em flash de máquinas fotográficas, em um 
laser pulsante, nos sensores de air bags 
automotivos ou em receptores de rádio e 
televisão. 
Alguns dos muitos tipos e tamanhos de capacitores. 
Um capacitor é um sistema 
constituído por dois condutores 
isolados entre si. 
Nos diagramas de circuitos, um 
capacitor pode ser representado 
por qualquer um dos símbolos: 
Quando um capacitor está carregado as placas contêm cargas de mesmo valor absoluto 
e sinais opostos +q e –q. 
Capacitância e capacitores 
Quando afirmamos que um capacitor possui carga q, 
queremos dizer que um dos condutores possui carga =q e 
o outro condutor carga –q. 
Um método comum de carregar um capacitor consiste em conectar dois fios aos 
terminais opostos de uma bateria. Quando as cargas +q e –q são estabelecidas sobre 
os condutores, os fios são desconectados da bateria. 
A figura ao lado mostra um 
arranjo particular, conhecido 
como capacitor de placas 
paralelas. 
Ao carregar o capacitor, surgirá uma diferença de 
potencial fixa entre os condutores. 
O campo elétrico em qualquer ponto na 
região entre os condutores é 
proporcional ao módulo q da carga em 
cada condutor. Dessa forma, a diferença 
de potencial entre os condutores também 
é proporcional a q. 
Quando dobramos o módulo da carga 
de cada condutor, dobramos também a 
densidade de carga em cada ponto, bem 
como o campo elétrico e o potencial entre 
os condutores. 
Contudo, a razão entre a carga e a diferença de potencial não varia. 
Essa razão é chamada de capacitância C do capacitor. 
Matematicamente temos: 
O valor da capacitância depende da geometria do capacitor. 
A capacitância é uma medida da capacidade de armazenar energia 
de um dado capacitor. 
Quanto maior for a capacitância C de um capacitor, maior será o módulo q da carga em 
cada condutor para uma dada diferença de potencial, e, portanto, maior a energia 
armazenada (U = Vq). 
No SI temos que a unidade de capacitância é 
dada por: 
Em homenagem ao inglês Michael Faraday. 
Cálculo da capacitância 
Vamos agora discutir o cálculo da capacitância de um capacitor a partir de sua forma 
geométrica (serão analisadas diferentes formas). 
Metodologia empregada: 
(1) Supomos que as placas são carregadas com uma carga q; 
(2) Calculamos o campo elétrico entre as placas em função da carga usando a lei de 
Gauss: 
Por conveniência vamos sempre desenhar a superfície 
gaussiana de forma a envolver a carga positiva e escolhe-
la de forma que 𝐸 e 𝑑𝐴 sejam sempre paralelos. 
(3) A partir do campo elétrico calculamos a diferença de potencial V entre as placas: 
Vamos escolher uma trajetória que coincida com 
uma linha de campo elétrico, da placa negativa para 
a positiva. Neste caso teremos: 
Logo, a diferença de potencial será: 
Vamos agora aplicar essa técnica para alguns casos particulares. 
Capacitor de placas paralelas 
Vamos supor que as placas do nosso capacitor de placas paralelas são tão extensas e 
tão próximas que podemos desprezar os efeitos das bordas. 
Neste caso, teremos, de acordo com a lei 
de Gauss: 
Sendo A a área da placa. 
A diferença de potencial será dada por: 
Logo, a capacitância será escrita como: 
A capacitância depende apenas de fatores geométricos! 
Exemplo 1: Tamanho de um capacitor de 1 farad (1 F) 
Um capacitor com placas paralelas possui capacitância igual a 1F. Se a 
distância entre as placas for igual a 1,0 mm, qual será a área de cada placa? 
Solução: 
Explicitando a área A na equação da capacitância de um capacitor de placas paralelas: 
Essa área corresponde a um quadrado com lado aproximadamente igual a 10 km! 
Atualmente é possível desenvolver capacitores de 1F com aresta 
de apenas alguns centímetros. O truque é ter a substância 
adequada entre as placas, em vez de vácuo. 
Exemplo 2: propriedades de um capacitor de placas paralelas 
A distância entre as placas de um capacitor com placas paralelas é igual a 5,0 
mm e a área da placa é de 2,0 m². Uma diferença de potencial de 10,0 kV é 
mantida através do capacitor. Calcule (a) a capacitância; (b) a carga de cada 
placa e (c) o módulo do campo elétrico no espaço entre as placas. 
Solução: 
(a) Usando a expressão encontrada para a capacitância de um capacitor de placas 
paralelas, teremos: 
(b) A carga no capacitor é dada a partir da definição de 
capacitância: 
Substituindo os dados: 
A placa com o potencial mais elevado possui carga +35,4 µC e a outra placa possui 
carga -35,4 µC. 
(c) O módulo do campo elétrico é dado por (através da lei de Gauss): 
Poderíamos obter o mesmo resultado, lembrando que o campo elétrico pode ser escrito 
em termos do potencial: 
Capacitor cilíndrico 
A figura mostra a vista de perfil de um capacitor 
cilíndrico de comprimento L formado por dois 
cilindros coaxiais de raios a e b. 
 Estamos supondo 𝐿 ≫ 𝑏 de modo que podemos 
desprezar os efeitos de borda. 
 As duas placas contêm cargas de valor absoluto q. 
Como gaussiana, escolhemos um cilindro de 
comprimento L e raio r que pode ser visto na figura. 
De acordo com a lei de Gauss, teremos: 
Substituindo o campo elétrico na expressão que fornece a diferença de potencial, 
teremos: 
Aqui usamos o fato de que ds = -dr e integramos na direção radial, de fora para dentro. 
Usando a relação que fornece a capacitância, teremos: 
Vemos, portanto, que a capacitância de um capacitor cilíndrico 
depende apenas de fatores geométricos, no caso o comprimento 
L e os raios a e b. 
Capacitor esférico 
A mesma figura usada anteriormente pode ser 
interpretada como uma vista de perfil de um 
capacitor formado por duas cascas esféricas 
concêntricas de raios a e b. 
Como gaussiana, escolhemos uma esfera de raio r 
concêntrica com as placas do capacitor. De acordo 
com a lei de Gauss, teremos: 
Substituindo o campo elétrico na expressão que fornece a 
diferença de potencial, teremos: 
Onde, mais uma vez, temos ds = -dr e integramos na direção radial de fora para dentro. 
Usando a relação que fornece a capacitância, teremos: 
Vemos, portanto, que a capacitância de um capacitor esférico 
depende somente de fatores geométricos. 
Capacitores em série e em paralelo 
Os capacitores são fabricados com certos 
valores padronizados para as 
capacitâncias e para as voltagens de 
operação. Contudo, esses valores podem 
não ser aqueles de que você realmente 
precisa para uma determinada aplicação. 
Você pode obter os valores desejados combinando capacitores! 
Esse conjunto de capacitores podem ser 
agrupados em série ou em paralelo. 
Capacitores em paralelo 
A figura ao lado mostra um circuito 
elétrico com três capacitores ligados 
em paralelo à bateria B. 
A expressão “em paralelo” significa que cada placa de um dos capacitores é 
ligada a uma das placas do outro capacitor, de modo que existe a mesma 
diferençade potencial V entre as placas dos dois capacitores. 
As cargas não são necessariamente iguais, visto que: 
Quando analisamos um circuito com capacitores em paralelo podemos simplificá-lo 
fazendo a seguinte modificação: 
Capacitores ligados e paralelo podem ser 
substituídos por um capacitor equivalente com a 
mesma carga total q e a mesma diferença de 
potencial V que os capacitores originais. 
Neste caso teremos: 
Logo podemos falar de uma capacitância equivalente, com a mesma carga total q e a 
mesma diferença de potencial V entre os capacitores originais: 
O resultado anterior pode ser facilmente generalizado para um número arbitrário n de 
capacitores: 
Assim, para obter a capacitância equivalente de uma 
combinação de capacitores em paralelo basta somar as 
capacitâncias individuais. 
Para esta configuração (em paralelo), a capacitância equivalente é 
sempre maior do que qualquer capacitância individual. 
Capacitores em série 
A figura ao lado mostra um circuito elétrico com três 
capacitores ligados em série à bateria B. 
A expressão “em série” significa que os 
capacitores são ligados em sequência, um 
após o outro, e uma diferença de potencial V é 
aplicada às extremidades do conjunto, tal que 
haja somente um percurso para a carga de 
um capacitor para o outro. 
As diferenças de potencial entre as placas dos 
capacitores fazem com que todos armazenem a mesma 
carga q. 
Porque todos os capacitores possuem a mesma carga? 
Podemos explicar porque os capacitores armazenam a 
mesma carga acompanhando a seguinte reação em cadeia: 
(1) Quando a bateria é ligada ela faz com que uma 
carga –q se acumule na placa inferior do capacitor 3 
(2) Essa carga repele as cargas negativas da placa 
superior de C3, deixando-a com uma carga +q. 
(3) A carga que foi repelida é transferida para a placa 
inferior de C2, acumulando então uma carga –q. 
(4) Essa carga repele as cargas negativas da placa 
superior de C2, deixando-a com uma carga +q. 
(5) A carga que foi repelida é transferida para a placa 
inferior de C1, acumulando uma carga –q. 
(6) Finalmente, essa carga repele as cargas negativas 
da placa superior de C1, deixando-a com +q. 
Dois fatos importantes a respeito dos capacitores em série: 
(1) Quando a carga é transferida de um capacitor para 
outro pode haver somente um percurso para a 
carga de um capacitor para o outro. Se houver mais 
de um percurso isso significa que os capacitores não 
estão em série. 
(2) A bateria produz cargas apenas nas duas 
placas às quais está ligada diretamente. As cargas 
produzidas nas outras placas se devem ao deslocamento 
das cargas já existentes nas placas. 
A carga total envolvida pela linha tracejada deve ser 
igual a zero, visto que não existe nenhuma fonte entre 
elas. 
Capacitores ligados em série podem ser 
substituídos por um capacitor equivalente com a 
mesma carga q e a mesma diferença de potencial 
total V que os capacitores originais. 
Neste caso teremos: 
A diferença de potencial total produzida pela bateria é a soma dessas três diferenças de 
potencial. Assim: 
Quando analisamos um circuito com capacitores em série podemos simplificá-lo 
fazendo a seguinte modificação: 
Logo podemos falar de uma capacitância equivalente, com a mesma carga total q e a 
mesma diferença de potencial V entre os capacitores originais: 
Esse resultado pode ser generalizado para um número arbitrário n de capacitores: 
A capacitância equivalente de capacitores ligados em série é 
sempre menor que a menor capacitância dos capacitores individuais. 
Exemplo 3: capacitância equivalente 
Fig. 25-10 a 
Solução do exemplo 3 
Os capacitores 1 e 3 estão ligados um após o 
outro, mas será que estão em série? A resposta é 
não! 
(1) O potencial V aplicado aos capacitores faz com que 
uma carga se acumule na placa inferior do capacitor 3. 
Essa carga faz com que uma carga de mesmo valor 
absoluto deixe a placa superior do capacitor 3. 
(2) A carga descrita em (1) se divide entre as placas inferiores dos capacitores 1 e 2. 
Como existe mais de um caminho para a carga, o capacitor 3 não está em série com 
o capacitor 1 (nem com o capacitor 2). 
(1) As placas superiores dos dois capacitores estão 
ligadas entre si, o que também acontece com as placas 
inferiores. 
Como os capacitores 1 e 2 estão em paralelo, podemos calcular a capacitância 
equivalente dos dois capacitores: 
Os capacitores 1 e 2 estão em paralelo? A resposta é sim! 
(2) Dessa forma, a diferença de potencial entre as 
placas do capacitor 1 e as placas do capacitor 2 é a 
mesma. 
Podemos então, substituir os capacitores 1 e 2 pelo capacitor 
equivalente, que chamamos de capacitor 12 (“um dois”). 
O capacitor 12 
está em série com 
o capacitor 3? 
Aplicando novamente o teste para capacitores, vemos que a carga que deixa a placa 
superior do capacitor 3 vai para a placa inferior do capacitor 12. Assim, o capacitor 3 e 
12 estão em série. 
Estes capacitores podem ser substituídos por um capacitor resultante: 
A capacitância equivalente será: 
Agora estamos interessados em calcular a carga de um dos capacitores a partir da 
capacitância equivalente. Para percorrer esse “caminho inverso” usamos dois princípios: 
(1) A carga de capacitores em série é igual à do capacitor equivalente. 
(2) A diferença de potencial de capacitores em paralelo é igual à do 
capacitor equivalente. 
Lembrando a definição de capacitância, teremos: 
Os capacitores em série da figura ao lado, tem a mesa carga 
que o capacitor equivalente 123. Assim, teremos: 
Uma vez que a diferença de potencial entre as placas do 
capacitor 12 é dada por: 
De acordo com a figura inicial, os capacitores 1 e 2 
estão em paralelo. Logo, a diferença de potencial 
entre as placas do capacitor equivalente deve ser 
igual à diferença de potencial nas placas dos 
capacitores 1 e 2: 
Dessa forma: 
Energia armazenada em um campo elétrico 
Muitas das aplicações mais importantes dos capacitores dependem de sua capacidade 
de armazenar energia. 
A energia potencial elétrica armazenada em um capacitor carregado é exatamente 
igual ao trabalho realizado para carregá-lo, ou seja, o trabalho necessário para 
separar cargas opostas e depositá-las em diferentes condutores. 
Podemos determinar a energia potencial U de um capacitor carregado calculando o 
trabalho W necessário para carregá-lo. Suponha que, depois do processo, a carga 
final seja q e a diferença de potencial final seja V. Dessa forma, teremos: 
Seja q’ a carga e V’ a diferença de potencial em uma 
dada etapa intermediária durante o processo de 
armazenamento de carga. Dessa forma, teremos: 
Nessa etapa, o trabalho dW necessário para transferir um elemento de carga adicional 
dq’ é dado por: 
O trabalho necessário para aumentar a carga q’ de zero até o valor final q é dado por: 
O trabalho necessário para carregar um capacitor se 
transforma na energia potencial elétrica U do campo 
elétrico que existe entre as placas. Podemos recuperar essa 
energia descarregando o capacitor através de um circuito elétrico. 
Quanto maior C mais fácil será fornecer ao capacitor uma quantidade fixa de carga. 
Definindo como zero a energia potencial de um capacitor descarregado, então W é 
igual à energia potencial U do capacitor carregado. A carga final acumulada é dada 
por: 
Podemos expressar a energia potencial U dos seguintes modos: 
Essa expressão mostra que um capacitor carregado é o análogo elétrico de uma 
mola comprimida ou esticada, com energia potencial elástica U = kx²/2. A carga q 
é semelhante à deformaçãoda mola x, e o inverso da capacitância, 1/C, desempenha 
papel semelhante ao da constante da mola k. A energia fornecida para carregar um 
capacitor é análoga o trabalho que realizamos para produzir uma deformação na 
mola. 
Para entender melhor o fenômeno do armazenamento de energia em capacitores 
considere dois capacitores como mostrado na figura: 
• O volume entre as placas de C1 é duas vezes maior que o volume entre as placas de C2 
-q 
+q 
(1) 
2d 
-q 
+q 
(2) d 
A capacitância de C2 é duas vezes maior do que a capacitância de C1. 
Os capacitores possuem a mesma carga e os campos elétricos entre as 
placas são iguais. 
A energia armazenada em C1 é duas vezes maior que a energia em C2. 
Assim, se dois capacitores com a mesma forma geométrica têm a mesma 
carga e, portanto, o mesmo campo elétrico, aquele que tem um volume 
duas vezes maior possui uma energia armazenada duas vezes maior. 
Densidade de energia 
Em um capacitor de placas paralelas, desprezando o efeito das bordas, o campo 
elétrico tem o mesmo valor em todos os pontos situados entre as placas. 
Portanto, a densidade de energia u, ou seja, a energia potencial por unidade de 
volume no espaço entre as placas, também é uniforme. 
Podemos calcular u dividindo a energia potencial total pelo volume: 
Lembrando que para um capacitor de placas paralelas : 
Teremos: Lembrando que E = -∆V/ ∆s, V/d é igual 
ao módulo do campo elétrico. Logo: 
Exemplo 4: transferência de carga e de energia entre capacitores 
0 
Capacitor com um dielétrico 
Dielétrico = um material isolante (como 
plástico, parafina, óleo mineral). 
Colocar um dielétrico sólido entre as placas de um capacitor possui três objetivos: 
(1) Resolver o problema mecânico de manter duas grandes placas metálicas 
separadas por uma distância muito pequena, sem que ocorra contato entre elas. 
(2) Usando um dielétrico torna-se possível 
aumentar a diferença de potencial máxima 
entre as placas. 
Qualquer material isolante quando submetido a um campo 
elétrico suficientemente elevado, sofre uma ruptura 
dielétrica, uma ionização parcial que permite a condução 
através dele. 
Muitos materiais dielétricos conseguem suportar campos elétricos mais elevados do que o do ar, 
sem que ocorra a ruptura do isolamento. Portanto, o uso de um dielétrico permite a 
sustentação de uma diferença de potencial mais elevada e, assim, o capacitor pode 
acumular maior quantidade de carga e energia. 
(3) A capacitância de um capacitor com dimensões fixas, quando existe um 
dielétrico entre as placas, é maior do que a capacitância do mesmo capacitor quando 
há vácuo entre as placas. 
Podemos verificar esse efeito usando um eletrômetro como mostrado na figura abaixo: 
A figura mostra um capacitor carregado, 
sendo Q o módulo da carga de cada placa e 
𝑉0 a diferença de potencial. 
A capacitância nesta configuração é dada 
por: 
Quando inserimos um dielétrico descarregado entre as placas... 
A experiência mostra que a diferença de 
potencial diminui para um valor menor V. 
Quando removemos o dielétrico, a diferença de 
potencial retorna a seu valor original 𝑉0 , o que 
mostra que as cargas originais do capacitor não se 
alteram. 
A capacitância quando o dielétrico está presente é 
dada por: 
A carga é a mesma nos dois casos e, como V é menor que 𝑽𝟎 concluímos que a capacitância C 
com o dielétrico é maior do que 𝑪𝟎. 
Quando o espaço entre as placas se encontra completamente preenchido com o dielétrico, a razão C 
sobre 𝐶0 (que é igual à razão entre 𝑉0 e V) denomina-se constante dielétrica: 
Faraday constatou empiricamente que a 
capacitância era multiplicada por um fator 
numérico 𝜅 que chamou de constante 
dielétrica do material isolante. 
Observe que a capacitância calculada para cada geometria de 
capacitor no vácuo pode ser escrita como a constante 
𝜺𝟎 multiplicada por uma grandeza com dimensão de 
comprimento: 
Assim podemos escrever: 
0 0 0 
0 
Quando um dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas, temos: 
A comparação entre as duas equações: 
Em uma região totalmente preenchida por um material 
dielétrico de constante dielétrica 𝜿 , a permissividade do 
vácuo 𝜺𝟎 deve ser substituída por 𝜿𝜺𝟎 em todas as equações. 
Dessa forma, o módulo do campo elétrico produzido por uma carga pontual no 
interior de um dielétrico é dado pela seguinte forma modificada: 
Sugere que o efeito de um dielétrico pode ser descrito da seguinte forma: 
0 
Como κ é sempre maior do que a unidade, essa equação mostra que 
para uma dada distribuição de carga, o efeito de um dielétrico é dividir 
o valor do campo elétrico que existe no espaço entre as cargas. 
Dielétricos e a lei de Gauss 
Nas discussões sobre a lei de Gauss supusemos que as cargas estavam no vácuo. Agora 
vamos modificar e generalizar a li para que possa ser aplicada ao interior de materiais 
dielétricos. 
Para a situação sem dielétrico, o campo elétrico é calculado aplicando a lei de Gauss 
como conhecemos: 
Para a situação com dielétrico, podemos calcular o campo 
elétrico usando a mesma superfície gaussiana. 
Como a carga total envolvida pela superfície 
gaussiana é q – q’, a lei de Gauss nos fornece: 
Como vimos anteriormente, o efeito do dielétrico é dividir por 𝜅 o campo original (sem 
dielétrico): 
Comparando as eqs. (1) e (2), vemos que: 
(1) 
(2) 
Podemos, então, reescrever a lei de Gauss: 
Embora essa equação tenha sido demostrada para o caso particular e um capacitor de placas 
paralelas, é válida para todos os casos e constitui a forma mais geral da lei de Gauss. 
Observe que: 
(1) O vetor 𝜀0𝜅𝐸 é chamado deslocamento elétrico e é representado pelo símbolo 𝐷. 
(2) A carga q envolvida pela gaussiana é apenas a carga livre. Os efeitos da carga 
induzida no dielétrico já foram levados em conta quando a constante k é introduzida. 
(3) A diferença entre a lei de Gauss com dielétrico e a lei de Gauss sem dielétrico está 
apenas no fato de que 𝜀0 foi substituído por 𝜿𝜺𝟎. Mantivemos 𝜅 no integrando para 
incluir casos em que 𝜅 não é a mesma em todos os pontos da superfície gaussiana. 
Exemplo 5: dielétrico preenchendo parcialmente o espaço entre 
as placas 
Solução do exemplo 5 
Bons estudos! ;-)