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Microeconomia II - Gabarito Lista 5 - Oligopo´lio Tiago Ferraz 17 de novembro de 2015 1. Vamos resolver a forma geral, depois e´ so´ substituir os dados do enunciado. (a) O problema da firma i e´ max qi a− b qi + N∑ j 6=i qj − c qi = max qi a− c− b N∑ j 6=i qj qi − bq2i CPO : a− c− b N∑ j 6=i qj − 2bqi = 0⇒ qi = a− c 2b − ∑N j 6=i qj 2 Esta e´ a curva de reac¸a˜o da firma i. Por simetria, sabemos que ∑N j 6=i qj = (N−1)qi. Portanto, qi = (a− c) 2b − (N − 1) 2 qi ⇒ qi ( 1 + N − 1 2 ) = (a− c) 2b ⇒ qi ( N + 1 �2 ) = (a− c) �2b q∗i = (a− c) (N + 1)b Substituindo na demanda inversa p∗ = a− bQ∗ = a− bN ( (a− c) b(N + 1) ) ⇒ p∗ = a N + 1 + Nc N + 1 Basta substituir os valores do enunciado q∗i = 53− 5 N + 1 ⇒ q∗i = 48 N + 1 p∗ = 53 + 5N N + 1 Tomando o limite quando n→∞ lim N→∞ 53 + 5N N + 1 L′Hospital = 5 Ou seja, quando o nu´mero de firmas e´ suficientemente grande, p∗ = CMg. 1 (b) No caso do cartel, basta resolver o problema de uma firma u´nica max Q (a− bQ− c)Q = max Q (a− c)Q− bQ2 CPO : a− c− 2bQ = 0⇒ Q∗ = a− c 2b Substituindo na demanda inversa p∗ = a− bQ∗ = a− �b (a− b) 2�b = a+ c 2 O lucro do cartel sera´ pi∗ = (a− c)Q∗ − bQ∗2 = (a− c) (a− c) 2b − �b ( a− c 2b )2 ⇒ pi∗ = (a− c) 2 4b Novamente, usando os dados do enunciado Q∗ = 53− 5 2 = 24 p∗ = 53 + 5 2 = 29 pi∗ = 482 4 = 576 (c) No modelo de Stackelberg, comec¸amos resolvendo o problema da seguidora (backward in- duction). Seja qs a quantidade produzida pela seguidora e ql a quantidade produzida pela l´ıder. max qs (a− c− b(qs + ql)) qs = max qs (a− c− bql)qs − bq2s CPO : a− c− bql − qbqs = 0⇒ qs = a− c 2b − ql 2 Esta e´ a curva de reac¸a˜o da seguidora, que e´ conhecida pela l´ıder. Portanto, o problema da firma l´ıder e´ max ql (a− c− b(ql + qs))ql = max ql [ a− c− b ( a− c 2b − ql 2 )] ql − bq2l max ql ( a− c 2 ) ql − bq 2 l 2 CPO : a− c 2 − bql = 0⇒ q∗l = a− c 2b Substituindo em qs temos 2 qs = a− c 2b − a− c 4b ⇒ q∗s = a− c 4b Portanto, Q∗ = q∗l + q ∗ s = a− c 2b + a− c 4b ⇒ Q∗ = 3(a− c) 4b p∗ = a− bQ∗ = a− �b3(a− c) 4�b ⇒ p∗ = a+ 3c 4 Agora, basta substituir os dados do enunciado q∗l = 53− 5 2 = 24 q∗s = 53− 5 4 = 12 Q∗ = 24 + 12 = 36 p∗ = 53 + 15 4 = 17 E o lucro de cada firma e´ pi∗l = (p− c)q∗l = (17− 5)24 = 288 pi∗s = (p− c)q∗s = (17− 5)12 = 144 2. (a) Como ambas as firmas teˆm a mesma estrutura de custos, sabemos que o problema sime´trico nos dara´ a mesma soluc¸a˜o para cada uma. Vamos resolver apenas o problema para a firma 1, pois o da outra sera´ igual. max y1 (5400− y1 − y2)y1 − 1 2 y21 CPO : 5400− y2 − 3y1 = 0⇒ y1 = 1800− y2 3 Por simetria, sabemos que a curva de reac¸a˜o da firma 2 sera´ y2 = 1800− y1 3 Basta resolver o sistema. Vamos substituir y2 em y1 y1 = 1800− 1 3 ( 1800− y1 3 ) = 1800− 600 + 1 9 y1 8 9 y1 = 1200⇒ y∗1 = 1200 ∗ 9 8 ⇒ y∗1 = y∗2 = 1350 3 Os lucros das firmas sera˜o picn1 = pi cn 2 = (5400− y∗1 − y∗2)y∗1 − y∗21 2 = (5400− 2.1350)1350− 1350 2 2 = 3 2 (1350)2 (b) Basta resolver o problema max y1,y2 (5400− y1 − y2)(y1 + y2)− 1 2 (y21 + y 2 2) CPO : { (y1) : 5400− 2y1 − y2 − y2 − y1 = 0 (y2) : 5400− 2y2 − y1 − y1 − y2 = 0 y1 = 1800− 2 3 y2 y2 = 1800− 2 3 y1 Novamente, basta resolver o sistema y1 = 1800− 1200 + 4 9 y1 ⇒ 5 9 y1 = 600⇒ y1 = 9 ∗ 600 5 ⇒ y∗1 = y∗2 = 1080 Note que neste caso, o lucro de cada firma sera´ picti = (5400− y∗1 − y∗2)y∗1 − 1 2 y∗21 = 3240 ∗ 1080− 1 2 10802 = 3 ∗ 10802 − 1 2 10802 picti = 5 2 (1080)2 (c) Basta substituir o valor encontrado no item anterior nas condic¸o˜es de primeira ordem do item (a): ∂pi1 ∂y1 (y∗1 , y ∗ 2) = 5400− y∗2 − 3y∗1 = 5400− 3 ∗ 1080 = 2160 ∂pi2 ∂y2 (y∗1 , y ∗ 2) = 5400− y∗1 − 3y∗2 = 5400− 3 ∗ 1080 = 2160 A interpretac¸a˜o e´ que cada firma, individualmente, tem um incentivo a produzir mais, pois o seu lucro e´ crescente com y1. O problema e´ que cada unidade produzida por uma firma reduz o lucro da outra. (d) Neste caso, queremos saber qual o payoff que uma firma obte´m se decidir desviar da soluc¸a˜o de cartel. Usando o resultado anterior, basta substituir y∗2 e resolver para y ∗ 1 ∂pi1 ∂y1 (y∗2) = 0⇒ 5400− 1080− 3y1 = 0⇒ y1 = 4320 3 ⇒ y∗1 = 1440 4 Pela simetria do problema, sabemos que ∂pi2 ∂y2 (y∗1) = 0⇒ y∗2 = 1440 O lucro de cada firma seria pid1 = pi d 2 = (5400−y1−y2)y1− 1 2 y22 = (5400−1440−1080)1440− 1 2 14402 = 2880∗1440− 1 2 14402 pid1 = pi d 2 = 3 2 (1440)2 (e) Enquanto as firmas estiverem cooperando, cada uma recebera´ o lucro de cartel, cujo valor presente e´ ∞∑ t=0 δtpicti (t) = 1 1− δ . 5 2 (1080)2 Por outro lado, se a firma desviar da cooperac¸a˜o, ela ira´ receber em um u´nico per´ıodo o payoff do desvio e em todos os per´ıodos seguintes o lucro de Cournot. Assim, o valor presente do desvio sera´ pidi + ∞∑ t=1 picni (t) = 3 2 (1440)2 + δ 1− δ . 3 2 (1350)2 Para que o cartel seja sustenta´vel e´ preciso que o valor presente da cooperac¸a˜o seja na˜o inferior ao do desvio ∞∑ t=0 δtpicti (t) ≥ pidi + ∞∑ t=1 picni (t)⇒ 1 1− δ . 5 �2 (1080)2 ≥ 3 �2 (1440)2 + δ 1− δ . 3 �2 (1350)2 5(1080)2 ≥ 3(1440)2(1− δ) + 3(13502)δ ⇒ δ(14402 − 13502) ≥ 14402 − 5 3 (1080)2 δ ≥ 1440 2 − 5310802 14402 − 13502 ⇒ δ ≥ 0, 5161 3. (a) As curvas de reac¸a˜o sa˜o dadas pelas condic¸o˜es de primeira ordem do problema de cada firma. Para a firma 1 max y1 (10− y1 − y2 − 2)y1 CPO : 8− y2 − 2y1 = 0⇒ y1 = 8− y2 2 Para a firma 2 max y2 (10− y1 − y2 − 3)y1 5 CPO : 7− y1 − 2y2 = 0⇒ y2 = 7− y1 2 (b) Para encontrar as quantidades o´timas, basta resolver o sistema y1 = 8− y2 2 y2 = 7− y1 2 Substituindo y2 em y1 y1 = 4− 7 4 + y1 4 ⇒ 3 4 y1 = 9 4 ⇒ y∗1 = 3 y2 = 7− 3 2 ⇒ y∗2 = 2 Substituindo na demanda inversa P = 10− y∗1 − y∗2 = 10− 3− 2⇒ P ∗ = 5 Os lucros das firmas sera˜o pi1 = (P − c)y∗1 = (5− 2)3⇒ pi∗1 = 9 pi2 = (P − c)y∗2 = (5− 3)2⇒ pi∗2 = 4 (c) O lucro conjunto pode ser expresso como Π(y1, y2) = (10− y1 − y2)(y1 + y2)− 2y1 − 3y2 As derivadas pedidas sa˜o ∂pi2 ∂y1 (y∗1 , y ∗ 2) = −y∗2 = −2 ∂pi1 ∂y2 (y∗1 , y ∗ 2) = −y∗1 = −3 Ambas as firmas geram uma externalidade negativa na concorrente. Isto significa que se cada uma diminu´ısse a pro´pria produc¸a˜o, ambas estariam melhor. ∂Π ∂y1 (y∗1 , y ∗ 2) = 8− 2(y∗2 + y∗1) = −2 ∂Π ∂y2 (y∗1 , y ∗ 2) = 7− 2(y∗1 + y∗2) = −3 Neste caso, ambas as firmas teˆm um incentivo a participar do cartel, pois diminuir a produc¸a˜o ira´ aumentar o lucro conjunto. 6 4. (a) Agora, temos um caso de duopo´lio de Bertrand. A ideia geral e´ muito parecida, mas ao inve´s de escolher quantidades, as firmas esta˜o escolhendo os prec¸os. O problema da firma 1 e´ max p1 (p1 − c′1)(12− 2p1 + p2) Note que como c1 = q1 e´ o custo total, o custo me´dio (e tambe´m o marginal) e´ c ′ 1 = 1. Assim, max p1 (p1 − 1)(12− 2p1 + p2) = max p1 12p1 − 2p21 + p1p2 − 12 + 2p1 − p2 max p1 14p1 − 2p21 + p1p2 − p2 − 12 CPO : 14− 4p1 + p2 = 0⇒ p1 = 14 + p2 4 No caso da firma 2, o problema e´ max p2 (p2 − 2)(12− 2p2 + p1) = max p2 12p2 − 2p22 + p1p2 − 24 + 4p2 − 2p1 max p2 16p2 − 2p22 + p1p2 − 2p1 − 24 CPO : 16− 4p2 + p1 = 0⇒ p2 = 16 + p1 4 (b) Para encontrar o equil´ıbrio basta resolver o sistema p1 = 14 + p2 4 p2 = 16 + p1 4 Substituindo p2 em p1 p1 = 14 + ( 16 + p1 4 ) 4 = 18 4 + p1 16 ⇒ 15 16 p1 = 18 4 ⇒ p∗1 = 72 15 p2 = 16 + 7215 4 = 4 + 72 60 = 312 60 ⇒ p∗2 = 78 15 Substituindo os valores de p1 e p2 nas curvas de demanda q1 = 12− 272 15 + 78 15 ⇒ q∗1 = 114 15 q2 = 12− 2 78 115 + 72 115 ⇒ q∗2 = 96 15 Portanto, os lucros sera˜o 7 pi1 = p ∗ 1q ∗ 1 − c1 = 72 ∗ 114 152 − 114 15 ⇒ pi∗1 = 722 25 pi2 = p ∗ 2q ∗ 2 − c2 = 78 ∗ 96 152 − 96 15 ⇒ pi∗2 = 512 25 (c) Da mesma forma feita na questa˜o anterior, o lucro conjunto e´ Π(p1, p2) = pi1(p1, p2) + pi2(p1, p2) = 12p1 − 2p21 + 2p1p2 + 15p2 − 2p22 − 36 Calculando as derivadas cruzadas ∂pi2 ∂p1 (p∗1, p ∗ 2) = p ∗ 2 = 78 115 ∂pi1 ∂p2 (p∗1, p ∗ 2) = p ∗ 1 = 72 115 O que estas derivadas nos dizem e´ que quando uma firma aumenta o prec¸o ela gera um im- pacto positivo no lucro da outra. Agora, calculando as derivadas do lucro conjunto ∂Π ∂p1 (p∗1, p ∗ 2) = 12− 4p∗1 + 2p∗2 = 12− 4 72 115 + 2 78 115 = 1248 115 ∂Π ∂p2 (p∗1, p ∗ 2) = 15− 4p∗2 + 2p∗1 = 15− 4 78 115 + 2 72 115 = 1248 115 = 1557 15 Como ambas as derivadas sa˜o positivas, as firmas teˆm incentivo atuar conjuntamente de modo a aumentar seus prec¸os. 5. Nesta questa˜o, basta lembrar a relac¸a˜o entre o fator de desconto intertemporal, δ, e a taxa de juros, r: δ = 1 1 + r Sabemos que para que as firmas sejam indiferentes entre participar ou na˜o da coaliza˜o, existe um valor de δ para o qual o valor presente do payoff de monopo´lio e´ igual ao do payoff de trair a coalizac¸a˜o. Assim, 100 1 1− δ = 200 + 50 δ 1− δ ⇒ 1 1− δ (100− 50δ) = 200⇒ 100− 50δ = 200(1− δ)⇒ 150δ = 100 δ = 100 150 ⇒ δ = 2 3 Portanto, a taxa de juros que torna a firma indiferente entre participar ou na˜o da coaliza˜o e´ 8 δ = 1 1 + r ⇒ 1 + r = 1 δ ⇒ r = 1 δ − 1⇒ r = 3 2 − 1⇒ r = 1 2 = 50% 6. (a) No modelo de Stackelberg, comec¸amos resolvendo o problema da firma 2 (backward induction), para encontrar a sua curva de reac¸a˜o. max y2 (100− y1 − y2)y2 − y22 CPO : 100− y1 − 4y2 = 0⇒ y2 = 100− y1 4 Como a firma 1 conhece a curva de reac¸a˜o da firma 2, ela incorpora esta informac¸a˜o ao seu problema max y1 [ 100− y1 − ( 100− y1 4 )] y1 − 10y1 = max y1 65y1 − 3 4 y21 CPO : 65− 3 2 y1 = 0⇒ y∗1 = 130 3 y2 = 25− 1 4 130 3 = 300− 130 12 ⇒ y∗2 = 85 6 Assim, o prec¸o de mercado sera´ P = 100− (y∗1 + y∗2) = 100− ( 260 + 85 6 ) ⇒ p∗ = 345 6 E os lucros pi1 = (P − c1)y1 = ( 345 6 − 10 ) 130 3 = 37050 18 ⇒ pi∗1 = 2058, 33 pi2 = (P − c2)y2 = ( 345 6 − 85 6 ) 85 6 = 22100 36 ⇒ pi∗2 = 613, 89 (b) Da mesma forma, se a firma 1 for a seguidora, comec¸amos resolvendo o seu problema max y1 (100− y1 − y2)y1 − 10y1 CPO : 90− y2 − 2y1 = 0⇒ y1 = 90− y2 2 Usando a curva de reac¸a˜o da firma 1 no problema da firma 2 max y2 [ 100− ( 90− y2 2 ) − y2 ] y2 − y22 = max y2 55y2 − 3 2 y22 9 CPO : 55− 3y2 = 0⇒ y∗2 = 55 3 Substituindo em y1 y1 = 45− 55 6 = 270− 55 6 ⇒ y∗2 = 215 6 Substituindo na demanda inversa P = 100− 110 6 − 215 6 ⇒ P ∗ = 275 6 Portanto, os lucros sera˜o pi1 = (P ∗ − c)y1 = ( 275 6 − 10 ) 110 6 = 23650 36 ⇒ pi∗1 = 656, 95 pi2 = (P ∗ − c)y2 = ( 275 6 − 215 6 ) 215 6 = 12900 36 ⇒ pi∗2 = 358, 33 10
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